第六章 定积分的应用
§6-1 微元法
用定积分解决已知变化率求总量问题的过程.
若某量在[a，b]上的变化率f(x)，求它在[a，b]上的总累积量S：
因为分割区间、取i都要求有任意性，求和、求极限又是固定模式，故可简述过程：
在微段[x，x+x]上，S累积的微量S，代之以微分dS=f(x)dx，(dx=x)，则还可简化成：
再简化一下，则变成：
用以上所表示的形式，来解决求累积总量的方法，称为微元法，dS称为微元．
以求曲边梯形面积A问题为例，用微元法就可以简写成这样：任取微段[x，x+dx]，曲边梯形在此微段部分的面积微元dA=f(x)dx，所以A=badxxf
)(．
§6－2定积分在几何中的应用
一、平面图形的面积
1. 直角坐标系下平面图形的面积
(1)X－型与Y－型平面图形的面积
把由直线x=a，x=b(a
化整为微
[a,b]=niiixx11],[
xi=xi-xi-1 微量近似
Sif(i)xi
i[xi-1,xi] 积微为整
Sniiixf1)( 极限求精
S=0||||limxniiixf1)(
=badxxf
)(
分割区间,任取
一微段[x,x+x] 在微段[x,x+x]
中微量近似
Sf()x 近似累积总量
Sxf)( 实际累积总量
S=badxxf
)(
在[a,b]上任取
一微段[x,x+dx] 在微段[x,x+dx]上 S的累积微量 dS=f(x)dx 累积总量 S=badxxf
)(
若在[a,b]的微段[x,x+dx]上，
S累积的微量是dS=f(x)dx S=badxxf
)(
x y
O x x+dx S y=f(x)
第一节_定积分的微元法(大专)
定积分是高等数学中的一个重要概念，它是微积分学的基础。定积分的微元法是定积分的一种重要解法方法。
定积分的定义是：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义，并且在该区间内是有界的，那么将该区间分成许多小区间，每个小区间长度为 $ \triangle x $，并在每个小区间内任取一点 $x_i$，则当小区间宽度趋近于 0 时，Riemann和 $\sum f(x_i)
\triangle x$ 的极限称为函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记作 $\int_a^b f(x)
dx$。
定积分的微元法可以简化定积分的求解过程，实现求解和计算的快速精确。
定积分的微元法公式是：
$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\max\limits_{i=1}^{n} \triangle x_i \to 0}
\sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i) \triangle x_i \approx \sum\limits_{i=1}^{n} f(x_i)
\triangle x$$
其中，$n$ 为区间 $[a,b]$ 被分成的小区间的数量，$\triangle x_i$ 为每个小区间的宽度，$\xi_i$ 为每个小区间中任意一个点的值，$x_i$ 是每个小区间的左端点。
根据定积分的微元法公式，我们可以将要求解的区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间，记作 $[x_0,x_1], [x_1,x_2], …, [x_{n-1},x_n]$。在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 中取一点 $x_i$，则定积分的值可以近似表示为：
$$\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \triangle x_i$$
微元法在利用定积分解决实际问题中所起的作用
张志军
一、能利用定积分来解决的实际问题有什么特点？
能利用定积分来解决的实际问题，总可归结为求一个确定在某一区间上且一般来说在上非均匀分布的量。这个量有以下两个特点：
1、 对区间具有可加性
设是与变量的变化区间有关的待求量，在内任意插入分点
，把分成个小区间，相应地量也被分成个部分量，那么等于这些部分量的和，即
2、 能找出部分量的近似表达式
如果对每个部分量可以找到如下形式的近似值
，
其中为上的连续函数，那么待求量的近似值为
我们要求的是的精确值，而用的近似值累加，其误差也将累加，所以就要求累加的误差能随所有而趋于零。因此，希望相应于任一长为的小区间的部分量都满足表达式：
且当时，（并与无关）。这样我们可以证明量即可用定积分来计算
二、如何理解和运用微元法来解决可化为定积分的实际问题？
微元法也成为元素法，它是用来化实际问题为定积分问题的一种简便方法，也是物理学、力学和工程技术上普遍采用的方法。如问题一所述，可化为定积分来计算的待求量有两个特点，对区间的可加性这一特点，是容易看出来的，因此，关键在于另一特点，即找任仪部分量的表达式： （1）
然而，人们往往根据问题的几何或物理的特征，自然地将注意力集中于去找这一项上。但不能忘记，这一项与之差，当时，应是比高阶的无穷小量，借用微分的记号，将这项记为 （2）
这个量称为待求量的微元或元素。用定积分来解决实际问题的关键就在于求出微元。
若连续，我们由（1）式即知，（2）式表示的微元实际上是的微分，因为在区间上的待求量为 ，
故。因此，要求出在区间上的待求量，先要求出的微分。然后把在上积分，即可求出，这就是所谓微元法或元素法。
微积分中的中值定理及其应用
在高等数学中，微积分是一个重要的分支，它是数学的基础之一。微积分主要研究的是极限和导数、微分和积分等数学问题。而在微积分中，中值定理是一个非常重要的定理，它不仅是微积分的基础，而且在数学和物理等领域中也有着广泛的应用。
一、中值定理的定义
中值定理是微积分中的一个基本定理，它是关于连续函数的一个定理。中值定理包括一系列的定理，其中最基本的是魏尔斯特拉斯中值定理，也就是：
定理：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$\xi
\in(a,b)$，使得$f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$。
意义：对于一个连续函数$f(x)$，在闭区间$[a,b]$内必然存在一个取值$\xi$，使得$f(\xi)$等于其在该区间内的均值，也就是该区间内$f(x)$在$x$上的积分与该区间长度的比值。
二、中值定理的应用
中值定理在微积分中应用非常广泛，它的应用主要有以下几个方面：
1.函数极值：中值定理可以用来证明函数的极值。具体来说，当$f(x)$在某个区间上连续并且在该区间的内部取得了极值，则一定存在一个中间点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。
2.导数的应用：中值定理在求解导数存在的问题时也有很大的作用。根据中值定理，如果$f(x)$在区间$[a,b]$内可导，那么存在一个点$\xi$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。这个公式常常被称为Lagrange中值定理，它可以用来证明导数的存在性，并且可用于证明很多导数相关的定理。
3.曲线长度：中值定理还可以用于计算曲线的长度。具体来说，我们可以将曲线分成若干个线段，然后利用Lagrange中值定理来求每个线段的长度，最后将它们加起来即可得到整条曲线的长度。
4.牛顿迭代法：在求解方程的问题中，中值定理也有着很大的应用。例如，可以利用中值定理来实现牛顿迭代法。具体来说，牛顿迭代法是基于中值定理中的Lagrange中值定理，通过求解$f(x)$和$f'(x)$来不断逼近方程的根。
