高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正

ruize

课时检测区·基础达标

1.计算sin 47°cos17°+cos47°cos107°的结果等于 ( )

A.- B. C. D.

【解析】选D.sin47°cos17°+cos47°cos(90°+17°)

=sin47°cos17°+cos47°(-sin17°)=sin(47°-17°)=sin30°=.

2.cos-sin的值为 ( )

A.0

B.-

C. D.2

【解析】选C.cos-sin

=2=2cos=

3.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cosαcosβ的值为

( )

A.0 B. C.0或 D.0或±

【解析】选A.由条件知:

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=,①

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-.②

①+②得2cosαcosβ=0,即cosαcosβ=0. ruize

4.sin=________.

【解析】sin=sin=sin

=sin=sincos+cossin=.

★答案★:

5.求函数f(x)=sinx-cos的值域.

【解析】f(x)=sinx-

=sinx-cosx=sin,

故函数f(x)的值域为[-,].

1 3.1.2 两角和与差的正弦

整体设计

教学分析

1．两角和与差的正弦公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦公式的．在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如：比较cos(α－β)与cos(α＋β)，它们都是角的余弦，只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α＋β＝α－(－β)的关系，从而由公式C(α－β)推得公式C(α＋β)，又如：比较sin(α－β)与cos(α－β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S(α－β)、S(α＋β)等．

2．通过对“两角和与差的正弦公式”的推导，揭示了两角和差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了对数学公式的推导和证明方法的理解．因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．

3．本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆．本节几个例子的主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如，在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等；另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的．

三维目标

1．在学习两角和与差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．

1

两角和与差的正余弦、正切公式

及二倍角公式

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.

2、灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.

一、 两角和的余弦公式：sinsincoscos)cos( 的推导：

复习：两点间的距离公式：

设),(111yxP，),(222yxP 22122121()()PPxxyy

推导过程：

由三角函数定义知：

(1,0)A， (cos,sin)B, (cos(),sin())C， (cos(),sin())D，

由已知：AOCBOD; 设角、角为任意角

如左图在平面直角坐标系xoy中

作AOB,BOC

则AOC

作单位圆．．．，

设角、角的终边分别与单位圆交于点B，点C

再作DOABOC 2

 DABABC

DBAC

2222coscos()[sinsin()]cos()1sin()

2222coscos()[sinsin()]cos()1sin()

展开并整理得: 22(coscossinsin)22cos()

 sinsincoscos)cos(

上述公式称为两角和的余弦公式

记为 ():Csinsincoscos)cos(

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦公式导学案

【学习目标】

1. 能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、再推导出两角和与差的正弦，并且了解公式间的内在联系。

2、会用公式进行灵活计算

3、掌握“变角”和“拆角”的方法

【学习重点、难点】

重点：两角和与差的余弦、正弦的推导过程及运用；

难点：两角和与差的正弦、余弦的灵活运用。

【自主学习】

一、课前准备

复习：1、两角差的余弦公式：)cos(

2、（ ）

3、在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，能否用它来推导两角和与差的正弦公式呢？

二、新课导学

阅读教材第128—131页，独立完成下列填空：

新知探究一：由两角差的余弦公式，怎样得到两角和的余弦公式呢？

）（C：)cos(

新知探究二：由两角和与差的余弦公式，怎样得到两角和与差的正弦公式呢？ ：)sin(

：)sin(

练习一

例3 利用和、差角公式计算下列各式的值。

（1）sin72°cos42°－cos72°sin42°

（2）cos10°cos70°+sin10°cos20°

练习二

10cos50cos10sin50sin.1

的值：求例75sin1)4cos(),4sin(,,53sin2求是第四象限角：若例已知α,β均为锐角,sinα＝55，cosβ＝1010求cos(α－β),sin(α－β)及α－β

32sin()coscos()sin,5sin___、则与高与考对接：拆角

的值，求且若sin0,53)cos(,53cos

知识拓展：辅助角

猜想

xbxaxbxacossincossin