高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和差的正弦、余弦和正切公式3.1.2第2课时两角和与差的正切

教学设计

3.2.1倍角公式

教材：人民教育出版社必修四 第三章3.2.1

一、教学目标：

1.知识与技能目标

（1）应用三角函数的和角公式推导出倍角公式.在推导过程中，进一步掌握变量替换的思想方法，渗透用已知解决未知问题的化归数学思想.

（2）初步掌握倍角公式公式，并能应用于求值、化简以及三角恒等式的证明.

（3）通过学习倍角公式的推导和初步应用，体会知识之间的有机联系，激发学习数学的兴趣.

2.过程与方法目标

通过倍角公式的探究过程，体验从已知到未知的研究方法，培养观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。通过公式的正用、逆用、变形用，以及“学生自主探究、合作探究，师生共究”的教学方式，使学生自觉地利用发展、变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.

3.情感、态度与价值观目标

通过倍角公式的推导过程，使学生获得发现问题、分析问题、解决问题的成就感，同时展现数学中的和谐美和奇异美。激发学生探究的兴趣，产生热爱数学的情感。并逐步养成科学严谨的学习态度，提高数学推理的能力。

二、教学重点与难点：

重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式2C的两种变形；

难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用.

三、教学方法与教学手段：

教学方法：波利亚说，教师讲了什么并非不重要，更重要千百倍的是学生想了些什么。为了达成教学目标，突出重点，突破难点，彰显关键点，本节课采用复习回顾、问题导引、观察、赋值、启发探究式相结合的教学方法，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中或得倍角公式，对于倍角公式采取讲、练结合的方式进行处理，使学生被学变练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆.

教学手段：使用导学案辅助教学，目标明确，学有所依，借助多媒体辅助教学，直观高效.

四、教学设计

第一环节：情境引入

教学过程 双边活动 设计意图

简单的三角恒等变换

第1页（共10页） 简单的三角恒等变换

学习过程

知识点1： 各个公式

熟练掌握诱导公式，两角和差的正弦、余弦、正切公式。

知识点2 ：三角恒等变换

主要包括：①角的变换——异角变同角

②名的变换——异名化同名

③式的变换——幂的升降等

典型例题

例题1、 求证2222tantan1cossin)sin()sin(．

分析：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.

证法一：左边＝22cossin)sincoscos)(sinsincoscossin

222222cossinsincoscossin

222222tantan1cossinsincos1右边

∴原式成立.

证法二：右边＝2222222222cossinsincoscossincossinsincos1

22cossin)sincoscos)(sinsincoscos(sin

22cossin)sin()sin(＝左边， ∴原式成立.

例题2、 已知：sinβ＝ｍ²sin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝mm11tanα

分析：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2α＋β可化为结论式中的α＋β与α的和，不妨将α＋β作为一整体来处理.

证明：由sinβ＝msin(2α＋β)

sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]

sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα] 简单的三角恒等变换

1 1.2.1 两角差的余弦函数

整体设计

教学分析

本节教材的安排是从复习向量引入,直接利用向量的知识推导了两角差的余弦公式,并单独作为一节.这样安排的用意是想突出两角差的余弦函数,从逻辑关系上来看,本章的其他所有公式都是以两角差的余弦为基础变化而来的,这对学生来说,学习本章就有一个清晰的逻辑关系.同时也突出体现了向量这一工具的强大威力,使第二章的向量有了用武之地.

本节作为全章的重要课时,对于如何推导两角差的余弦公式可做多方面的设计探讨,因为凭直觉得出cos(α-β)=cosα-cosβ是学生经常出现的错误.因此在教学中,也可引导学生对cos(α-β)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假,这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出推导证明“两角差的余弦公式”的方案.这对发展学生的思维有一定的好处.由此可得两种推导思路:一是引导学生利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出α-β角,利用学过的三角函数知识探索,联系已经学过的三角函数知识探索有关三角函数的问题是很自然的.但学生独立地运用单位圆上的三角函数线进行探索存在一定的困难,教师要作恰当地引导.二是引导学生充分利用向量数量积探究两角差的余弦公式,但要抓住三个要点:①在回顾求角的余弦有哪些方法时,注意联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其讨论线索进行探索,然后再作反思,予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则),其中完善的过程既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.

本节主要是对数学公式的发现探究的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:①要使学生了解公式的来龙去脉;②使学生认识公式的结构特征加以记忆;③使学生掌握公式的推导和证明过程;④通过应用举例使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题,也为推导其他和差公式作准备.

1 3.1.2 两角和与差的正弦

整体设计

教学分析

1．两角和与差的正弦公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦公式的．在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如：比较cos(α－β)与cos(α＋β)，它们都是角的余弦，只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α＋β＝α－(－β)的关系，从而由公式C(α－β)推得公式C(α＋β)，又如：比较sin(α－β)与cos(α－β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S(α－β)、S(α＋β)等．

2．通过对“两角和与差的正弦公式”的推导，揭示了两角和差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了对数学公式的推导和证明方法的理解．因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．

3．本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆．本节几个例子的主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如，在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等；另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的．

三维目标

1．在学习两角和与差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．