高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切

简单的三角恒等变换

第1页（共10页） 简单的三角恒等变换

学习过程

知识点1： 各个公式

熟练掌握诱导公式，两角和差的正弦、余弦、正切公式。

知识点2 ：三角恒等变换

主要包括：①角的变换——异角变同角

②名的变换——异名化同名

③式的变换——幂的升降等

典型例题

例题1、 求证2222tantan1cossin)sin()sin(．

分析：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.

证法一：左边＝22cossin)sincoscos)(sinsincoscossin

222222cossinsincoscossin

222222tantan1cossinsincos1右边

∴原式成立.

证法二：右边＝2222222222cossinsincoscossincossinsincos1

22cossin)sincoscos)(sinsincoscos(sin

22cossin)sin()sin(＝左边， ∴原式成立.

例题2、 已知：sinβ＝ｍ²sin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝mm11tanα

分析：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2α＋β可化为结论式中的α＋β与α的和，不妨将α＋β作为一整体来处理.

证明：由sinβ＝msin(2α＋β)

sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]

sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα] 简单的三角恒等变换

ruize

课时检测区·基础达标

1.计算sin 47°cos17°+cos47°cos107°的结果等于 ( )

A.- B. C. D.

【解析】选D.sin47°cos17°+cos47°cos(90°+17°)

=sin47°cos17°+cos47°(-sin17°)=sin(47°-17°)=sin30°=.

2.cos-sin的值为 ( )

A.0

B.-

C. D.2

【解析】选C.cos-sin

=2=2cos=

3.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cosαcosβ的值为

( )

A.0 B. C.0或 D.0或±

【解析】选A.由条件知:

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=,①

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-.②

①+②得2cosαcosβ=0,即cosαcosβ=0. ruize

4.sin=________.

【解析】sin=sin=sin

=sin=sincos+cossin=.

★答案★:

5.求函数f(x)=sinx-cos的值域.

【解析】f(x)=sinx-

=sinx-cosx=sin,

故函数f(x)的值域为[-,].

三角恒等变换专题复习

一．要点精讲

1．两角和与差的三角函数

sincoscossin)sin(；

sinsincoscos)cos(； tantantan()1tantan。

2．二倍角公式

cossin22sin；

2222sin211cos2sincos2cos；

22tantan21tan。

3．半角公式

2cos12sin 2cos12cos

cos1cos12tan

（sincos1cos1sin2tan）

4.（1）降幂公式

2sin21cossin；22cos1sin2；22cos1cos2。

（2cos1sin22 2cos1cos22）

（2）辅助角公式

22sincossinaxbxabx，

2222sincosbaabab其中，。

5．三角函数式的化简、求值、证明

（1）三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

（2）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（3）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

二．典例解析

题型1：巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()，2()()，2()()，22，222等），

1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

5分钟训练(预习类训练，可用于课前)

1.(高考全国卷Ⅱ，理2)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是( )

A.2π B.4π C.4 D.2

解析：y=sin2xcos2x=21sin4x,所以最小正周期为T=42=2.

答案：D

2.(高考全国卷Ⅱ，理10)若f(sinx)=3-cos2x，则f(cosx)等于( )

A.3-cos2x B.3-sin2x C.3+cos2x D.3+sin2x

解析：f(sinx)=3-(1-2sin2x)=2sin2x+2,所以f(x)=2x2+2.

因此f(cosx)=2cos2x+2=(2cos2x-1)+3=3+cos2x.

答案：C

3.已知α为锐角，且sinα∶sin2=8∶5，则cosα的值为( )

A.2512 B.258 C.257 D.54

解析：由2sin2cos2sin22sinsin=2cos2=58，得cos2=54，

cosα=2cos22-1=2×(54)2-1=257.

答案：C

4.求下列各式的值：

(1)cos12cos125=______________；

(2)(cos12-sin12)(cos12+sin12)=______________；

(3)21-cos28=______________；

(4)-32+34cos215°=______________；

(5)5.22tan15.22tan2=_________________

解析：(1)原式=cos12sin12=21sin6=41；