《极坐标系》

极坐标系

一、 极坐标系的概念：

在平面内取一个定点O

，叫极点，引一条射线Ox

，

叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常

取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用 𝜌 表示线

段OM

的长度，𝜃表示从Ox

到OM

的角度，𝜌 叫做点

M

的极径，𝜃 叫做点M

的极角，对应 (𝜌,𝜃)就叫点M的

极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。

二、极坐标与直角坐标的转化：

在直角坐标系中一点𝑀

0为(𝑥

0,𝑦

0)则在以其处直角坐标系的原点为极点的极坐标系

中其极径𝜌

0=√𝑥

02

+𝑦

02

, 极角𝜃

0=tan−1

(𝑦

0

𝑥

0) （极角所在象限由原角而定），得𝑀

0极坐

标为(√𝑥

02

+𝑦

02

,tan−1

(𝑦

0

𝑥

0))。那么得极坐标方程与直角坐标方程的互化公式：

{𝜌=√𝑥2+𝑦

2

𝜃=𝑡𝑎𝑛−1

(𝑦

𝑥)

{𝑥=𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑦=𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃

三、极坐标系的运用及简单图像的方程：

1) 极坐标系中两点的距离：

若在极坐标系中存在不同的两点𝐴(

𝜌

1,𝜃

1)

、𝐵(

𝜌

2,𝜃

2)

则

其距离d

为：

𝑑=√

𝜌

12

+𝜌

22

−2𝜌

1𝜌

2cos (𝜃

1−𝜃

2

)

推导过程:

由余弦定理

𝑐2

=𝑎2

+𝑏2

−2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶

得:

|

𝐴𝐵|2

=|

𝑂𝐴|2

+|

𝑂𝐵|2

−2|

𝑂𝐴||

𝑂𝐵|

𝑐𝑜𝑠∠

𝐴𝑂𝐵

其中有：|

𝑂𝐴|

=𝜌

1 , |

𝑂𝐵|

=𝜌

2 ∠

𝐴𝑂𝐵=𝜃

1−𝜃

2

则有：

|

𝐴𝐵|2

=𝜌

12

+𝜌

22

−2𝜌

1𝜌

2cos (𝜃

1−𝜃

2)

即：

𝑑=√

𝜌

12

+𝜌

22

−2𝜌

1𝜌

2cos (𝜃

1−𝜃

2

)

2) 极坐标系中直线的方程：

若在极坐标系中存在过极点的直线𝑙

0，其倾斜角为𝜑，则该直线的的极坐标方程为：

𝜃=𝜑 (

𝜌 ∈𝑅)

3) 极坐标系中圆的方程：

极坐标系的基本概念

极坐标系是一种用极径和极角来描述平面直角坐标系中点的坐标系统。当我们需要描述一个点在平面直角坐标系中的位置时，通常使用横纵坐标(x,y)来表示，但在极坐标系中，则使用极径(r)和极角(theta)来表示。极径(r)是表示点到原点的距离，极角(theta)是表示点与x轴正半轴之间的夹角。

极坐标系的基本概念还包括：原点，正极轴，负极轴，极角，旋转角度和极坐标方程等。

- 原点是平面直角坐标系中的原点，其坐标为(0,0)。

- 正极轴是与x轴正半轴重合的半条直线，其极角为0度。而负极轴则是与x轴负半轴重合的半条直线，其极角为180度。

- 极角是指一个点与x轴正半轴之间的夹角。在极坐标系中，极角范围是0度到360度。

- 旋转角度是指将极坐标系按照一定的角度进行旋转，这个角度称为旋转角度。在不同的情况下，极坐标系的旋转角度可能不同。

- 极坐标方程是将一个点的坐标表示为(r,theta)的方程。例如，一个圆形的极坐标方程为r=a，表示这个圆形的极径是a。

极坐标系具有很多特点和应用，例如，在物理学、工程学、计算机科学等学科中，均经常使用极坐标系来描述和计算各种问题。另外，极坐标系还可以用来描述平面中各种曲线和图形，例如心形线、螺旋线等。

总之，极坐标系是一种用极径和极角来描述平面直角坐标系中点的坐标系统，其基本概念包括原点、正负极轴、极角、旋转角度和极坐标方程等。在各种学科中，极坐标系都有着广泛的应用。

- 1 - 《极坐标系》教学设计方案

教学目标

知识与技能

1.认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；

2.体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。

过程与方法

1.通过观看图片，让学生直观感受引进极坐标的必要性；

2.运用类比方法，经历极坐标的建立过程；

3.通过学生动手描点，得出极坐标的多值性。

情感、态度与价值观

1.培养学生的类比思想，培养探究,研讨,综合自学应用能力；

2.培养学生分析问题，解决问题的能力。

重点难点

重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。

难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识

教学过程

一、新课导入

1.平面直角坐标系是最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系。有时用别的坐标系比较方便。还有什么坐标系呢？我们先看下面的问题：

（投影图片,让学生直观感受引进极坐标的必要性。）

2.在以上问题中，位置是用什么方法确定的？

3.在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置：如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等。

这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

二、探究新知

问题：类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立极坐标系？

（学生思考，抽生回答，并补充，最后教师总结。）

1.极坐标系的概念

(1)概念:

在平面内取一个定点O，叫做极点；

自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；

- 2 - 再选定一个长度单位，一个角度单位(通常用弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

(2)点的极坐标的规定:

如图：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为；有序实数对( ,)叫做点M的极坐标，记为(,)M；

一般地，不做特殊说明时，我们认为0,R。

极坐标系

1．极坐标系的概念

(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标

①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.

②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.

③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

3．极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ； ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yxx≠0.

例题训练：

1．(教材习题改编)点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为________．

2．在极坐标系中，圆ρ＝4表示 ．θ＝π3表示________．

3．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的极坐标为________．

4.在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值？

1.(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1： x＝tcos α，y＝tsin α(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝23cos θ.

(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

2．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝31＋2sin2θ，点R 22，π4.

(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；

(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．