复变函数复习(2)

第一章：

考核要求：

1、复数

1.1 复数的各种运算、表示法（应用）

2.复数的乘幂和方根。（应用）

3、复平面上点集

平面点集的几个基本概念 （领会）

4初等函数

指数函数、对数函数、幂函数（应用）

三角函数、反三角函数、双曲函数与反双曲函数。（记住sinz和cosz的定义，其他三角函数可由此推导）

要点：

1、复数的表示

2求主幅角方法

3.方根函数、对数函数和幂函数运算。 arctan 0,argarctan 0,0yxyRxzyxyx

注意点：

1、复数不能比较大小。例如i和2i不能比较大小。

2、z=0的模为0，幅角不存在。

3、当z为复数时，sinz，cosz的值可以大于1.

第二章

考核要求：

1 复极限、复连续（识记，与实数函数的定义类似）

2、解析函数的概念与C－R条件

1.1 复变函数可导与解析（领会）

1.2 解析函数的C－R条件（应用）

3、初等解析函数 例指数函数、幂函数、三角函数的解析性质（识记）

4. 调和函数的概念，解析函数与调和函数的关系（识记）

注：,(,)fzuxyivxy若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R程，则称v为u的共轭调和函数，且f解析。

要点：

1、设000,(,),,fzuxyivxyzxiyAaib，那么0lim()zzfzA的必要与充分条件是00(,)(,)lim(,)xyxyuxya且00(,)(,)lim(,)xyxyvxyb。

注:可导的函数一定连续.

2、函数()(,)(,)fzuxyivxy在定义域内一点zxiy可导的必要与充分条件是：(,)uxy和(,)vxy在点(,)xy可微，并且在该点满足柯西—黎曼方程,uvuvxyyx

注：如果()fz可导，必须同时满足,uvuvxyyx，只满足其中的一个式子不一定可导！！！

3、求导公式：

'()uvvuuuvvfziiiixxyyxyyx记住第一个式子，其他三个可以根据柯西-黎曼方程得到。.

4函数在Z点可导，且在Z领域内也可导，则函数在Z点解析

5、已知函数的实部或虚部求解函数表达式的方法（两种）

（1）偏积分法 例1、已知222vxyy是调和函数求解析函数()fzuiv

解：2(1);22(2)vuvuxyxyyx

(22)2(1)()uydxxygy由（2）式

2'()2uvxgyxyx

'()0;gy()gyc(c为实数)

2(1)uxyc

222()2(1)(2)2fzxycixyxyizzc(c为实数)

(2)线积分法

同上例2;22vuvuxyxyyx

0000(,)(,)(,)(,)(,)(22)2xyxyxyxyvvuxydxdyydxxdyyx

00,00(,)(,)()(,)(22)2xyxyxyxyydxxdy

000(22)()2()yxxxyy

0002222xyxxyx

22xyxc(c为实数)

222()2(1)(2)2fzxycixyxyizzc(c为实数)

第三章

考核要求：

1、复积分的概念性质

1.1 复积分 （识记、领会、应用，与实数积分类似）

2、柯西积分定理（领会、应用）

3、柯西积分公式及推论

3.1 柯西积公式与高阶导数公式（领会、应用） 要点：

1、积分

2、例3.6（这是一个比较重要的结论，解题方法也是我们应该掌握的）

计算积分10()nCdzzz，其中C为以0z为圆心，r为半径的正向圆周，n为整数。

解:C的方程可以写作0izzre(02)

2211(1)000()inninninCdzireiddzzrere

20(cossin)ninindr

当0n时,

10()nCdzzz02Cdzizz＝

当0n时

10()nCdzzz0

3、柯西定理：设C是一条简单正向闭曲线，()fz在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么()0Cfzdz＝

0.50z-3z-1z-2zzdz例：＝

4、复合闭路定理：设D为由外线路C0及内线路C1，C2，…，Cn 围成的有界多连通域，()fz在多连通域D内及边界线C0，C1，C2，…，Cn上解析，那么()0Cfzdz＝（此定理可以用'()()()()()()()()()()()()CCCCCCZtxtiytfZdZfZtZtdtfZdZuivdxidyudxvdyivdxudy路线：　常用或　　　　　121122102232003021()211()(1)221111()()()22321(2)3CIZdZCZZiZtttiIttiidtttidttittii例：：直线　　()CfZdZ的计算方法作求区域内含奇点的沿边界的积分，比较难理解）

例如：求积分(1)Cdzzz，其中C+为||2z。

解：以0和1为圆心在C内取两个半径为0.1的圆，设其边界为C1-，C2-

则有复合闭路定理有：120(1)CCCdzzz

所以1212(1)(1)(1) =4(1)(1)CCCCCdzdzdzzzzzzzdzdzizzzz

注：这种积分可以用留数定理来求，且容易理解。

5、如果()fz是定义在C上的解析函数，则0()zzfzdz只与0z和z有关，与积分路径无关。

6、柯西积分公式：设()fz在简单正向闭曲线C及所围成的区域D内处处解析，0z为D内任一点，那么001()()2Cfzfzdzizz

7高阶导数公式：（说明：解析函数的高阶导数都是解析函数）设()fz在简单正向闭曲线C及所围成的区域D内处处解析，0z为D内任一点，那么0()01!()()2()nnCnfzfzdzizz，这里n=0,1,2,…

高阶导数应用的例子:求3(2)Cdzzz其中C为|2|1z

由高阶导数公式可知1()fzz

''32(2)(2)!Cdzifzzn

2312'();''()fzfzzz 21''()|4zfz

所以 321(2)2!44Cdziizz

第四章

考核要求：

1、复级数的基本性质

1.1 复数项级数 （理解）

2、幂级数

2.1 幂级数 （识记、应用）

3解析函数的Taylor展式： (理解，应用）

4. 解析函数的罗朗展式 (应用)

要点：

1、若nnnzxiy，则nz收敛nx，ny收敛

2、若级数1||nnz收敛，则级数1nnz必收敛。

3、收敛半径

求法1：1lim||nnncRc 求法2：lim||nnnlc；1Rl

对于含有不连续项（例：下面级数只含有z的偶次幂项）的级数求收敛半径时,不能再用上面的公式.我们应该利用定理计算比如:求级数203412nnzn的收敛半径

122n03414(1)12limlim432341211 2 1nnnnnznznnznzqq（几何级数的收敛半径为即=？，当时级数收敛） 所以原级数的收敛半径是2.(如果用公式来算的话,结果是1,不信你算算).

4、幂级数和函数的求法。

幂级数和函数的性质：和函数在其收敛圆内是解析的，那么它在其收敛域内是可以逐次求导，逐次积分。

5.泰勒级数。

0021020()z11sin(1)(21)(1)cos(2)ZnnKKKKKKfZZZReZnZZKZZK函数在其解析圆盘内，可展开成泰勒级数。记住常用三种函数在以=0为展开中心的泰勒级数（与实数泰勒级数类似）：！！！

6、罗朗级数

对于将函数表达式展成罗朗级数，我们一般是利用一些已知函数的函数（包括几何级数、e指数函数、正弦函数和余弦函数）展开式来将表达式展开。所以我们要注意已知函数的收敛半径，并利用题目已给的条件，化成满足条件的形式。

例如：21()(2)fzzz（||2z）展成罗朗级数。

注：如果我们用011nnzz来求解的时候，要求|z|<1（此为几何级数，比较重要，经常用来展开泰勒和洛朗级数）

所以我们可以把函数表达式化成这样的形式22211111()(2)22(1)2fzzzzzzz

21021()222nnnnnzzfzz

如果z的取值范围是2||z我们要把其中一些式化成含有1z的形式。

2223300(3)311111()2(2)2(1)122 k=-n-32nnnnnkkkfzzzzzzzzzzzz令