复变函数第2章

第三章 复变函数的积分

（一）

1.解:)10(xxy为从点0到1+i的直线方程,于是

iCyixdixyxdzixyx1022)()()(

102102)1()()(dxxiiixxdixxx

31013)1(3ixi

2.解:(1)11,:xxzC,因此111Cdxxdzz

(2)iezC:,从变到0,因此

200deidedzziCi

(3)下半圆周方程为2,iez,则

202dieidedzziCi

3.证明:(1)11,0:yxC

因为1)(222iyiyxzf,而积分路径长为2)(ii

故 2)()(2222iiCdziyxdziyx.

(2) 0,1:22xyxC

而1)(4422yxiyxzf,右半圆周长为,

所以 iidziyx)(22.

4.解:(1)因为距离原点最近的奇点2z,在单位圆1z的外部,所以zcos1在1z上处处解析,由柯西积分定理得 0cosCzdz.

(2)1)1(122122zzz,因奇点iz1在单位圆1z的外部, 所以2212zz在1z上处处解析,由柯西积分定理得 0222Czzdz. (3) )3)(2(652zzezzezz,因奇点3,2z在单位圆1z的外部,

所以652zzez在1z上处处解析,由柯西积分定理得 0652Czzzdze.

(4)因为2coszz在1z上处处解析, 由柯西积分定理得

0cos2Cdzzz.

1 复变函数期末复习提要

第2章：解析函数

⒈理解解析函数的定义，性质及其充分必要条件；

⒉了解函数在一点解析与函数在一点可导的区别；

⒊熟练掌握利用柯西——黎曼条件判别解析函数的方法；

⒋熟练掌握“已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数”的方法。

函数在一点可导的定义是

设函数)(zfw定义在区域D内，DzzDz)(,00，若

zzfzzfz)()(lim0

存在，则称此极限为函数)(zf在点0z的导数，记为)(0zf，即

zzfzzfzfz)()(lim)(0000 （2.1）

此时，称函数)(zf在点0z可导，否则，称函数)(zf在点0z不可导。

函数在一点解析的定义是

设函数)(zfw定义在区域D内，0z为D内某一点，若存在一个邻域),(0pzN，使得函数)(zf在该邻域内处处可导，则称函数)(zf在点0z解析。此时称点0z为函数)(zf的解析点。若函数)(zf在点0z不解析，则称0z为函数)(zf的奇点。

函数在一点解析，则在该点可导，反之则未必。

例1 试证：函数)Re()(zzf在复平面上处处不可导。

分析：导数是一个特定类型的极限，要证明复变函数在某点的极限不存在，只需要找两条特殊的路径，使自变量沿这两条路径趋于该点时，函数值趋于不同的值。

证 对任意点z，因

zzzzzzfzzf)Re()Re()()(

令yxzi，于是有

yxxzzfzzfi)()(

由于上式当zz沿平行于虚轴的方向趋于点z时（即0,0yx），其极限为0；当zz沿平行于实轴的方向趋于点z时（即0,0xy），其极限为1，所以

第二章小结

本章主要介绍了解析函数的概念，给出了一些初等函数的定义，并研究了这些初等函数的性质, 主要知识点有

一、与函数解析有关的问题：要看解析，先看可导

1. 解析与可导的关系：

区域内等价，一点处并不等价，一点处解析是比一点处可导更强的概念

2. 一元实变函数具有的一些求导运算法则对复变函数同样成立，如四则运算、复合运算、反函数求导等

3.形式较简单的函数在一点可导的判断及求导方法

(1). 可导定义

(2). 转化为这些复变函数对应的两个二元实变函数的讨论

a. 判断可导：可微性、C-R方程

b. 求导：'()uvfzixx

4. 形式较复杂函数在一点可导判断及求导步骤：

拆解为一些形式较简单的函数；研究这些函数的可导性并求导；利用求导法则得原函数的可导性及导数

二、与初等函数有关的问题及要求

1. 熟记各种初等函数的定义公式、解析性及求导公式

2. 高数中的初等函数与复变函数中初等函数的区别

ze仅是一个记号、指数函数的周期为2()kikZ；负实数的对数有意义、11,nnnLnznLnzLnzLnz在复数范围内不再成立；(0)bbLnaaea；sin1,cos1zz在复数范围内不再成立

三、与三角函数及双曲函数有关的复数方程的求解步骤

1. 根据三角函数及双曲函数的定义将所给方程用ize或ze表示

2. 整理为关于ize或ze的一元二次方程后并配方、开方

3. 利用方程wez解的公式得原方程解公式

例 求解方程shzi

1 第二章 复变函数:

第二节：初等函数

1、指数函数：

我们要把实指数函数的定义扩充到整个复平面上，使得复变数z=x+iy的函数f(z)满足下列条件：

（1）xexfRx)(,；

（2）f(z)在整个复平面C上解析；

（3）C,21zz，有)()()(2121zfzfzzf；

则可以证明，)sin(cos)(yiyezfx，事实上，由(3)及(1)有

)()()(iyfeiyxfzfx

令 ),()()(yiByAiyf其中A(y)及B(y)是实值函数，所以

)()()(yBieyAezfxx

显然，yyAcos)(及yyBsin)(满足上面的条件。若,,222111iyxziyxz则有

)()]sin()[cos()sin(cos)sin(cos)()(2121212211212121zzfyyiyyeyiyeyiyezfzfxxxx

因此，定义复指数函数，为

)sin(cosexpyiyezewxz

由此有Euler公式：

yiyeiysincos；

指数函数的基本性质：

（4）Cz，0ze；

（5）指数函数zew在整个复平面内有定义并且解析，zzee)'(，指数函数zew是实指数函数在复平面上的解析推广；

（6）Euler公式：

yiyeiysincos；

（7）从定义得

||xzee，,2,1,02kkyArgez， 2 利用Euler公式，得到复数的指数表示式：若复数z的模为r，幅角为，则有ireirz)sin(cos；

（8）指数函数是周期i2为得周期函数；

（9）指数函数的几何映射性质：

由于指数函数有周期i2，所以研究当z在带形

}2Im0C,|{zzzB

中变化时，函数zew的映射性质。设w的实部及虚部分别为u及v。

设z从左到右描出一条直线L：0Imyz，那么0iyxew，于是W从0(不包括0)增大到，而0argyw保持不变，因此w描出一条射线01arg:ywL（不包括0w），L和1L上的点之间构成一个双射；