复变函数2.2

复变函数 (2)

一.选择题

1. 下列集合是区域的是[ ]

(A) 01z (B) 1Re3z (C) 0Im3z (D) 112z

2. 下列运算正确的是[ ]

(A) 1212()LnzzLnzLnz (B) 1212zzzz

(C) 22LnzLnz (D) 12LnzLnz

3. 设c为正向圆周2z，则42sin(1)czzzdzz[ ]

(A) 10 (B) 10i (C) 0 (D) 8i

4. 设函数()fz在区域D内解析，对()fz下面的[ ]是不正确的

(A)在区域D内有任意阶导数 (B)虚部是实部的共轭调和函数

(C)实部是虚部的共轭调和函数 (D)在区域D内连续

5. 1z是ln(1)zz的[ ]

(A) 可去奇点 (B) 极点 (C) 本性奇点 (D) 非孤立奇点

6. 函数2()(1)(1)zfzzz在1z的留数是[ ]

(A) 12 (B) 1 (C) 14 (D) 1

7. 设c为正向圆周31z，则cos1czdzz[ ]

(A) cos1 (B) 2cos1i (C) 0 (D) sin1

8. 下列映射中将z0Im1映为角形域的映射是[ ]

(A) ize (B) ze (C) lnz (D) lniz 9. 幂级数03nnnnz的收敛半径为[ ]

(A) 13 (B) 3 (C) 0 (D) 

10. 设nnin，则级数1nn[ ]

(A) 收敛但非绝对收敛 (B) 发散 (C) 绝对收敛但非收敛 (D) 绝对收敛

第二章

教学课题：第二节 初等解析函数

教学目的：1、了解复正、余弦函数的有关性质；

2、了解正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性；

3、理解指数函数)sin(cosyiyeeexiyxz的常见性质；

4、充分掌握整幂函数及有理函数的解析性；

教学重点：指数函数)sin(cosyiyeeexiyxz的常见性质

教学难点：正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性

教学方法：启发式

教学手段：多媒体与板书相结合

教材分析：这一节主要是讨论初等单值函数的解析性，这可从他们的可微性来判定，他们是数学分析中相应初等函数在复数域中的自然推广。

教学过程：

1、指数函数

定义2.4对于任何复数iyxz我们用关系式

),sin(cosyiyeeexiyxz来规定指数函数ze

指数函数ze它有如下性质：

（1）当z=x时（y=0）我们的定义与实指数函数是一致的。

（2）0;arg,0zzxzezyeee平面上在

（3）ze在z平面上解析，且zzee)(

（4）2121zzzzeee

（5）ze是以i2为基本周期的周期函数。

（6）极限zzelim不存在，既无意义。

2、三角函数与双曲函数：

由于Euler公式，对任何实数x，我们有：

xixexixeixixsincos,sincos，

所以有 ,2sin,2cosieexeexixixixix

因此，对任何复数z，定义余弦函数和正弦函数如下：

,2sin,2cosieezeeziziziziz

则对任何复数z，Euler公式也成立：

,sincoszizeiz

关于复三角函数，有下面的基本性质：

1、cosz和sinz是单值函数；

2、cosz是偶函数，sinz是奇函数:

,cos22)cos()()(zeeeezizizzizi

,sin22)sin()()(zieeieezizizzizi

《复变函数》教案

第一章：复数的概念与运算

1.1 复数的基本概念

介绍复数的定义：形如 a + bi 的数，其中 i 是虚数单位，i^2 = -1。

解释实部和虚部的概念。

强调复数是实数域的拓展。

1.2 复数的运算

掌握复数加法、减法、乘法和除法的运算规则。

举例说明复数运算的实质：代数形式的运算。

1.3 复数的几何表示

引入复平面（复数坐标系）。

讲解复数在复平面上的表示：点的坐标。

介绍共轭复数的概念及其在复平面上的表示。

第二章：复变函数的定义与基本性质

2.1 复变函数的定义

给出复变函数的定义：定义在复平面上的函数，输入为复数，输出也为复数。

强调函数的连续性和可导性。

2.2 复变函数的基本性质

介绍复变函数的奇偶性、周期性和可积性等基本性质。

举例说明这些性质的应用和判定方法。

2.3 复变函数的极限与连续性

讲解复变函数在一点或一点的邻域内的极限概念。 强调复变函数的连续性及其与实变函数连续性的联系。

第三章：解析函数

3.1 解析函数的定义

引入解析函数的概念：在其定义域内具有无穷导数的复变函数。

解释解析函数的导数性质：解析函数是解析的，即在其定义域内每个点上都可以求导。

3.2 解析函数的例子

举例说明常见解析函数：三角函数、指数函数、对数函数等。

强调解析函数在复平面上的图形特点：没有奇点。

3.3 解析函数的积分

讲解解析函数的积分性质：解析函数在其定义域内积分路径无关。

介绍柯西积分定理和柯西积分公式。

第四章：积分变换

4.1 傅里叶变换

引入傅里叶变换的概念：将一个函数从时域转换到频域的积分变换。

讲解傅里叶变换的数学表达式及其物理意义。

4.2 拉普拉斯变换

介绍拉普拉斯变换的概念：解决偏微分方程的积分变换方法。

强调拉普拉斯变换的应用领域：工程和物理学。

4.3 其他积分变换

简要介绍希尔伯特变换、哈特莱变换等其他积分变换。

强调这些变换在信号处理等领域的应用。 第五章：复变函数在几何中的应用

复变函数与积分变换

办公室：基础楼305

电话：89731521（办）

E-mail : wangpei@王培

§1.6复变函数的极限和连续性

一、极限

定义6.1设(){}

0

00C0,zNzzzz

ρρ∈=∈<−<()

,wfz=

若存在复数

A,

0,ε∀>(0),δδρ∃<<

有

(),fzAε−

A为当时的极限，记为()

fz

0zz→

0lim(),

zzfzA

→=

或记为当时，

0zz→().fzA→

uv

(w)

o

Aε

xy

(z)

oδ0z)(zfw=

注：（1）对于若()

0lim,

xxfxM

→=()

,yfx=

0xx→意指

从左右两侧趋于

x

0.x

0zz→意指（2）对于若()

0lim,

zzfzA

→=(

)

,wfz=

无论以何种方式趋于,

0zz

().fzA→都有

（3）复变函数极限唯一.§1.6复变函数的极限和连续性

定理6.1 设

00000()(,)(,),,,fzuxyivxyAuivzxiy=+=+=+则

0lim()

zzfzA

→=

00

0000lim(,),lim(,).

xxxx

yyyyuxyuvxyv

→→

→→==

[]

()0

0

00lim()();

lim()();

()

lim,lim()0.

()zz

zz

zzzzfzgzAB

fzgzAB

fzA

gz

gzB→

→

→→±=±

=

=≠定理6.2 若

00lim(),lim(),

zzzzfzAgzB

→→==则

§1.6复变函数的极限和连续性

例6.1 判断下列函数的极限是否存在：

22

(1)();wxyixy=+++

(2)()zz

fz

zz=+在点是否有极限？

0z=

Re()

(3)()z

fz

z=在点是否有极限？

0z=处处有极限

.

否.

否.定理6.1 设

00000()(,)(,),,,fzuxyivxyAuivzxiy=+=+=+则

0lim()

zzfzA

→=

00

0000lim(,),lim(,).

xxxx

yyyyuxyuvxyv

→→

→→==§1.6复变函数的极限和连续性

二、连续性

定义6.2 若

00lim()(),