两样本Wilcoxon秩和检验

两个独立样本的4种非参数检验方法

两个独立样本的4种非参数检验方法

1、两独立样本的Mann-Whitney U检验

定义：两独立样本的非参数检验是在对总体分布不很了解的情况下，通过分析样本数据，推断样本来自的两个独立总体分布是否存在显著差异。一般用来对两个独立样本的均数、中位数、离散趋势、偏度等进行差异比较检验。

Mann-Whitney U检验（Wilcoxon秩和检验）主要通过对平均秩的研究来实现推断。

秩：将数据按照升序进行排序，每一个具体数据都会有一个在整个数据中的名次或排序序号，这个名次就是该数据的秩。

相同观察值（即相同秩，ties），取平均秩。

两独立样本的Mann-Whitney U检验的零假设

H0：两个样本来自的独立总体均值没有显著差异。

将两组样本（X1 X2 …… X m）(Y1 Y2…… Y n)混合升序排序，每个数据将得到一个对应的秩。

计算两组样本数据的秩和W x，W y 。

N=m+n Wx+Wy=N(N+1)/2

如果H0成立，即两组分布位置相同，W x应接近理论秩和m(N+1)/2；W y 应接近理论秩和n(N+1)/2)。

如果相差较大，超出了预定的界值，则可认为H0不成立。

2、两独立样本的K-S检验

两独立样本的K-S检验与单样本K-S检验类似。

其零假设H0：样本来自的两独立总体分布没有显著差异。

检验统计量 D 为两个样本秩的累积分布频率的最大绝对差值。当D较小时，两样本差异较小，两样本更有可能取自相同分布的总体；反之，当D较大时，两样本差异变大，两样本更有可能取自不同分布。

3、两独立样本的游程检验（Wald-Wolfwitz Runs）

零假设是H0：为样本来自的两独立总体分布没有显著差异。 样本的游程检验中，计算游程的方法与观察值的秩有关。首先，将两组样本混合并按照升序排列。在数据排序时，两组样本的每个观察值对应的样本组标志值序列也随之重新排列，然后对标志值序列求游程。

wilcoxon符号秩检验计算公式

Wilcoxon符号秩检验用于比较两个相关样本之间的差异。其计算公式如下：

1. 对于给定的两组相关样本，将每组样本的差值（即第二组样本减去第一组样本）计算出来。

2. 对于每一个差值，将其的绝对值进行排序，并赋予一个秩次，即差值的秩次。若有相同的差值，则其秩次为这些差值的平均秩次。

3. 对于正差值和负差值，分别计算它们之和的秩次，分别记为W+和W-。

4. 计算W+和W-的较小值，以及n1和n2分别为两组样本的样本容量，计算统计量T = min(W+, W-)。

5. 根据样本容量的大小和显著性水平选择对应的临界值，判断T的显著性。

6. 若T的显著性小于设定的显著性水平，则拒绝原假设，即两组样本存在显著差异。

这是Wilcoxon符号秩检验的计算公式，可以用于比较两个相关样本之间的差异是否显著。

SAS系统和数据分析Wilcoxon秩和检验

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Page 1 of 30 第二十八课 Wilcoxon秩和检验

一、 两样本的Wilcoxon秩和检验

两样本的Wilcoxon秩和检验是由Mann，Whitney和Wilcoxon三人共同设计的一种检验，有时也称为Wilcoxon秩和检验，用来决定两个独立样本是否来自相同的或相等的总体。如果这两个独立样本来自正态分布和具有相同方差时，我们可以采用t检验比较均值。但当这两个条件都不能确定时，我们常替换t检验法为Wilcoxon秩和检验。

Wilcoxon秩和检验是基于样本数据秩和。先将两样本看成是单一样本（混合样本）然后由小到大排列观察值统一编秩。如果原假设两个独立样本来自相同的总体为真，那么秩将大约均匀分布在两个样本中，即小的、中等的、大的秩值应该大约被均匀分在两个样本中。如果备选假设两个独立样本来自不相同的总体为真，那么其中一个样本将会有更多的小秩值，这样就会得到一个较小的秩和；另一个样本将会有更多的大秩值，因此就会得到一个较大的秩和。

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Page 2 of 30 设两个独立样本为：第一个x的样本容量为1n，第二个y样本容量为2n，在容量为21nnn的混合样本（第一个和第二个）中，x样本的秩和为xW，y样本的秩和为yW，且有：

2)1(21nnnWWyx (28.1)

我们定义：

2)1(111nnWWx

(28.2)

2)1(222nnWWy (28.3)

以x样本为例，若它们在混合样本中享有最小的1n个秩，于是2)1(11nnWx，也是xW可能取的最小值；同样yW可能取的最小值为2)1(22nn。那么，xW的最大取值等于混合样本的总秩和减去yW的最小值，即2)1(2)1(22nnnn；同样，yW的最大取值等于2)1(2)1(11nnnn。所以，式(28.2)和式(28.3)中的1W和2W均为取值在0与2122112)1(2)1(2)1(nnnnnnnn的变量。当原假设为真时，所有的ix和iy相当于从同一总体中抽得的独立随机样本，ix和iy构成可分辨的排列情况，可看成一排n个球随机地指定1n个为x球，另2n个为

秩和检验

参数统计与非参数统计的区别：

参数统计：即总体分布类型已知，用样本指标对总体参数进行推断或作假设检验的统计分析方法。

非参数统计：即不考虑总体分布类型是否已知，不比较总体参数，只比较总体分布的位置是否相同的统计方法。

下面我们将介绍非参数统计中一种常用的检验方法--秩和检验，其中“秩”又称等级、即按数据大小排定的次序号。上述次序号的和称“秩和”，秩和检验就是用秩和作为统计量进行假设检验的方法。

二、 不同设计和资料类型的秩和检验

1.配对比较的资料：

对配对比较的资料应采用符合秩和检验（Sighed rank test），其基本思想是：若检验假设成立，则差值的总体分布应是对称的，故正负秩和相差不应悬殊。检验的基本步骤为：

（1）建立假设；

H0：差值的总体中位数为0；

H1：差值的总体中位数不为0；检验水准为0.05。

（2）算出各对值的代数差；

（3）根据差值的绝对值大小编秩；

（4）将秩次冠以正负号，计算正、负秩和；

（5）用不为“0”的对子数n及T（任取T+或T-）查检验界值表得到P值作出判断。

应注意的是当n>25时，可用正态近似法计算u值进行u检验，当相同秩次较多时u值需进行校正。

2. 两样本成组比较：

两样本成组资料的比较应用Wilcoxon秩和检验，其基本思想是：若检验假设成立，则两组的秩和不应相差太大。其基本步骤是：

（1）建立假设；

H0：比较两组的总体分布相同；

H1：比较两组的总体分布位置不同；检验水准为0.05。

（2）两组混合编秩；

（3）求样本数最小组的秩和作为检验统计量T；

（4）以样本含量较小组的个体数n1、两组样本含量之差n2-n1及T值查检验界值表；

（5）根据P值作出统计结论。

同样应注意的是，当样本含量较大时，应用正态近似法作u检验；当相同秩次较多时，应用校正公式计算u值。