正弦函数、余弦函数的图像(附答案)

A'

正弦函数、余弦函数的图象

[学习目标]1•了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法 .2.掌握“五点法”画正弦曲线 和余弦曲线的步骤和方法， 能用“五点法”作出简单的正弦、 余弦曲线.3.理解正弦曲线与余 弦曲线之间的联系.

-=知识梳理 自主学习

知识点一正弦曲线

正弦函数y = sin x(x€ R)的图象叫正弦曲线.

利用几何法作正弦函数 y= sin x, x€ [0,2 n]图象的过程如下：

① 作直角坐标系，并在直角坐标系 y轴的左侧画单位圆，如图所示.

② 把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确 ).过单位圆上的各分点作 x轴的垂

线，可以得到对应于 0, £ n，扌，…，2n等角的正弦线.

6 3 2

③ 找横坐标：把 x轴上从0到2 n (2 6.28一段分成12等份.

④ 平移：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与 x轴上的点x重合.

⑤ 连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来， 即得y= sin x, x€ [0,2 n]

的图象.

y= sin x, x € [0,2 诃以通过找出(0,0),(寸，1), ( n 0) , (# — 1),

(2 n 0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图.

思考 在所给的坐标系中如何画出 y= sin x, x€ [0,2 7的图象？如何得到 y= sin x, x€ R的

图象？ 在精度要求不太高时, A'

只要将函数y= sin x, x€ [0,2 n的图象向左、向右平行移动 （每次2n个单位长度），就可以得

到正弦函数y= sin x, x€ R的图象.

知识点二余弦曲线 余弦函数y= cos x（x€ R）的图象叫余弦曲线.

n n

根据诱导公式sin x+ 2 = cos x, x€ R.只需把正弦函数 y= sin x, x€ R的图象向左平移-个

单位长度即可得到余弦函数图象 （如图）.

n 3

要画出y = cos x, x€ [0,2従的图象，可以通过描出 （0,1）,勺，0，（ n - 1）, 0 , （2 n

1）五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数 y= cos x, x€ [0,2的

图象.

思考 在下面所给的坐标系中如何画出 y= cos x, x€ [0,2品的图象？

答案

A'

题型探究 重点突破

题型一 五点法”作图的应用 例1利用 五点法”作出函数y= 1-sin x（0 * 2曲）简图.

解（1）取值列表:

x 0 n

2 n _3n 2 2 n

sin x 0 1 0 —1 0

1 — sin x 1 0 1 2 1 A'

⑵描点连线，如图所示:

跟踪训练1作函数y= sin x, x€ [0,2 n与函数y=— 1 + sin x, x€ [0,2冗的简图，并研究它

们之间的关系.

解按五个关键点列表：

x 0 n

2 n 3 n ~2 2 n

sin x 0 1 0 —1 0

—1 + sin x —1 0 —1 —2 —1

利用正弦函数的性质描点作图:

x€ [0,2 的图象.

题型二利用正弦、余弦函数图象求定义域

例2 求函数f(x)= lg sin x+寸16 — x2的定义域.

sin x>0,

解由题意得，x满足不等式组 2

16 — x2 >0,

—4 w xW 4,

即 作出y= sin x的图象，如图所示.

sin x>0, y=— 1

+ sin x, 由图象可以发现，把 A'

结合图象可得定义域：x€ [ — 4，— nU (0, n)A'

跟踪训练2 求函数f(x)= lg cos x+ 25-x2的定义域.

cos x>0

解由题意得，x满足不等式组25—"0，

cos x>0

即 — 5W迄5，作出y= C0S x的图象，如图所示.

结合图象可得定义域:

x € — 5,— 3 nU

题型三 利用正弦、余弦函数图象判断零点个数

例3在同一坐标系中，作函数 y= sin x和y= lg x的图象，根据图象判断出方程 sin x = lg x

的解的个数.

解 建立坐标系xOy,先用五点法画出函数 y= sin x, x€ [0,2冗的图象，再依次向左、右连

续平移2 n个单位，得到y= sin x的图象.

描出点(1,0), (10,1)并用光滑曲线连接得到 y= lg x的图象，如图所示.

由图象可知方程 sin x= lg x的解有3个.

跟踪训练3方程x2— cos x = 0的实数解的个数是 ___________

答案 2

解析 作函数y= cos x与y= x2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解.

思韻方法

数形结合思想在三角函数中的应用

例4函数f(x) = sin x+ 2|sin x|, x€ [0,2冗的图象与直线y= k有且仅有两个不同的交点， 求k

的取值范围.

3sin x, x € [0 , n,

解 f(x)= sin x+ 2|sin x|= A'

—sin x, x€ n 2 n ].A'

图象如图,

F当堂检测 自查自纠

1.函数y= sin x (x€ R)图象的一条对称轴是( )

A. x轴 B. y轴

C.直线y= x D .直线x = 2

2.用五点法画y= sin x, x€ [0,2的图象时，下列哪个点不是关键点 ( )

1

A.(6，2) % 八

B.(2, 1)

C. ( , 0) D. (2 , 0)

3.函数 y= sin x, x€ [0,2 1 亠

的图象与直线 y= — 2的交点为 A(X1, y1), B(x2, y2),贝U X1 + x2

4. 利用 五点法”画出函数y= 2-sin x, x€ [0,2的简图.

5. 已知Ow x< 2 n^试探索sin x与cos x的大小关系.若使f(x)的图象与直线 y=k有且仅有两个不同的交点，根据图可得 k的取值范围是(1,3). A'

课时精练 、选择题

n 3 n

1函数y= — sin x, x€ — 2, y 的简图是( )

2. 在同一平面直角坐标系内， 函数y= sin x, x€ [0,2 与y= sin x, x€ [2 n 4 n的图象（ ）

A .重合

B .形状相同，位置不同

C.关于y轴对称

D .形状不同，位置不同 3.方程 sin x= 10的根的个数是

4.

B. 8 C. 9 D. 10

函数 A'

3 n n

5.如图所示，函数 y= cos x阳n x|（0且x③的图象是（ ）A'

6. 若函数y= 2cos x(0< x< 2 n的图象和直线y= 2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图

形的面积是( )

A . 4 B . 8 C . 2 n D . 4 n

二、 填空题

7. __________________________________________________ 函数 y= ” . log^sin x的定义域是

_________________________________________________________ .

&函数y= _ 2cos x+ 1的定义域是 ___________ .

___ 1

9. 函数 f(x) = >,'sin 或为 ---------------- .

10. _______________________________________________________________ 设 0

三、 解答题

1

11. 用“五点法”画出函数 y = 2 + sin x, x€ [0,2 n的简图.

12. 根据y= cos x的图象解不等式:

-于三cos x< 2, x€ [0,2 n]

13. 分别作出下列函数的图象.

(1) y= |sin x|, x€ R；

(2) y= sin|x|, x€ R.D A'

当堂检测答案

1答案 D

2. 答案 A

3. 答案 3n

解析如图所示，

_ 3 n xi + X2= 2 = 3 n.

4. 解（1）取值列表如下:

x 0 n

2 n 3n

~2 2 n

sin x 0 1 0 —i 0

y = 2— sin x 2 1 2 3 2

⑵描点连线，图象如图所示:

由图象可知 ①当x=m或x= 5n时，sin x= cos x；

4 4

③当 OW x

课时精炼答案

一、选择题

1•答案 D

2.答案 B 5 •解用“五点法”作出 sin x>cos x;