2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷

试题数：21，总分：150

1.（填空题，5分）函数y= √𝑙𝑛(2021−𝑥) 的定义域为___ ．

2.（填空题，5分）已知集合 𝐴={𝑥|𝑦=𝑥12} ，B={x|ex-2＜1}，则A∩B=___ ．

3.（填空题，5分）已知函数f（x）=（a2-1）x，若函数在（-∞，+∞）严格增函数，则实数a的取值范围是___ ．

4.（填空题，5分）函数 𝑓(𝑥)=(12)𝑥2−𝑥−2 的单调递增区间为___ ．

5.（填空题，5分）对于任意实数a，函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+3+12 （a＞0且a≠1）的图象经过一个定点，则该定点的坐标是___ ．

6.（填空题，5分）如图是一个地铁站入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为16cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BQD=30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为___ cm．

7.（填空题，5分）已知函数f（x）=x2（x≤0），则y=f（x）的反函数为___ ．

8.（填空题，5分）已知a、b都是正数，且（a+1）（b+2）=16，则a+b的最小值为___ ．

9.（填空题，5分）已知log35= 1𝑎 ，5b=7，则用a、b的代数式表示log63105=___ ．

10.（填空题，5分）当|lga|=|lgb|，a＜b时，则a+3b的取值范围是___ ．

11.（填空题，5分）如图所示，已知函数f（x）=log24x图象上的两点A、B和函数f（x）=log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，设点B的坐标为（p，q），则 2𝑞𝑝 的值为___ ．

12.（填空题，5分）已知函数 𝑓(𝑥)={2−|𝑥|，𝑥≤2(𝑥−2)2，𝑥＞2 ，函数g（x）=b-f（2-x），如果y=f（x）-g（x）恰好有两个零点，则实数b的取值范围是___ ．

13.（单选题，5分）函数f（x）= 𝑙𝑔|𝑥|𝑥2 的大致图象为（ ）

A.

B.

C.

D.

14.（单选题，5分）若函数 𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎−1𝑒𝑥 是偶函数，则实数a的值是（ ）

A.-1

B.0

C.1

D.不唯一

15.（单选题，5分）已知cos170°=m，则tan10°的值为（ ）

A. √1−𝑚2𝑚 B. −√1−𝑚2𝑚

C. 𝑚√1−𝑚2

D. −𝑚√1−𝑚2

16.（单选题，5分）已知n＜m，函数 𝑓(𝑥)={𝑙𝑜𝑔12(1−𝑥)，−1≤𝑥≤𝑛22−|𝑥−1|−3，𝑛＜𝑥≤𝑚 的值域是[-1，1]，有下列结论：

① 当n=0时， 𝑚∈(12，2] ； ② 当 𝑛∈[0，12) 时，m∈（n，2]；

③ 当 𝑛∈[0，12) 时，m∈[1，2]； ④ 当 𝑛=12 时， 𝑚∈(12，2] ．

其中正确结论的序号是（ ）

A. ① ②

B. ① ③

C. ② ③

D. ③ ④

17.（问答题，12分）（1）已知 𝑓(𝛼)=𝑐𝑜𝑠(𝜋+𝛼)𝑡𝑎𝑛(𝜋−𝛼)𝑐𝑜𝑡(−𝛼)𝑠𝑖𝑛(2𝜋+𝛼) ，求 𝑓(𝜋3) 的值；

（2）已知 𝑡𝑎𝑛𝜃=12 ，求sin2θ+sinθcosθ-cos2θ的值．

18.（问答题，12分）设函数 𝑓(𝑥)=𝑎•𝑒𝑥−11+𝑒𝑥(𝑎∈𝑅) 是R上的奇函数．

（1）求a的值，并求函数f（x）的反函数f-1（x）解析式；

（2）若k为正实数，解关于x的不等式 𝑓−1(𝑥)＞𝑙𝑛1+𝑥𝑘 ．

19.（问答题，14分）某校数学建模小组研究发现：在40分钟的一节课中，高一年级学生注意力指标S与学生听课时间t（单位：分钟）之间的函数关系为 𝑆={−14𝑡2+6𝑡+46，0＜𝑡≤1383−𝑙𝑜𝑔3(𝑡−5)，13＜𝑡≤40 ．

（1）在上课期间的前13分钟内（包括第13分钟），求注意力的最大指标；

（2）根据研究结果表明，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的20分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？

20.（问答题，16分）已知幂函数 𝑓(𝑥)=𝑥−2𝑚2+𝑚+3(𝑚∈𝑍) 是奇函数，且f（x）在（0，+∞）为严格增函数．

（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；

（2）求 𝑦=𝑙𝑜𝑔22𝑓(𝑥)−𝑙𝑜𝑔12 [2f（x）]， 𝑥∈[12，2] 的最值，并求出取得最值时的x取值．

21.（问答题，16分）已知函数f（x）=2x（x∈R），记g（x）=f（x）-f（-x）．

（1）解不等式：f（2x）-2f（x）≤3；

（2）设t为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，求t的取值范围；

（3）记H（x）=f（2x+2）+af（x）+b（其中a、b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|H（x）|≤ 12 ，求a、b的值．

2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

试题数：21，总分：150

1.（填空题，5分）函数y= √𝑙𝑛(2021−𝑥) 的定义域为___ ．

【正确答案】：[1]（-∞，2020]

【解析】：根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．

【解答】：解：由题意得：2021-x≥1，

解得：x≤2020，

故答案为：（-∞，2020]．

【点评】：本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及二次根式的性质，是一道基础题．

2.（填空题，5分）已知集合 𝐴={𝑥|𝑦=𝑥12} ，B={x|ex-2＜1}，则A∩B=___ ．

【正确答案】：[1][0，2）

【解析】：求出集合A，B，由此能求出A∩B．

【解答】：解：∵集合 𝐴={𝑥|𝑦=𝑥12} ={x|x≥0}，

B={x|ex-2＜1}={x|x＜2}，

∴A∩B=[0，2）．

故答案为：[0，2）．

【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3.（填空题，5分）已知函数f（x）=（a2-1）x，若函数在（-∞，+∞）严格增函数，则实数a的取值范围是___ ．

【正确答案】：[1] (−∞，−√2)∪(√2，+∞)

【解析】：根据指数函数的单调性即可得出：a2-1＞1，然后解出a的范围即可． 【解答】：解：∵f（x）在（-∞，+∞）严格增函数，

∴a2-1＞1，解得 𝑎＜−√2 或 𝑎＞√2 ，

∴a的取值范围是 (−∞，−√2)∪(√2，+∞) ．

故答案为： (−∞，−√2)∪(√2，+∞) ．

【点评】：本题考查了指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．

4.（填空题，5分）函数 𝑓(𝑥)=(12)𝑥2−𝑥−2 的单调递增区间为___ ．

【正确答案】：[1] (−∞，12]

【解析】：利用复合函数的单调性，转化求解即可．

【解答】：解：因为y= (12)𝑥 是减函数，y=x2-x-2在 (−∞，12] 是减函数，

所以函数 𝑓(𝑥)=(12)𝑥2−𝑥−2 的单调递增区间为： (−∞，12] ．

故答案为： (−∞，12] ．

【点评】：本题考查复合函数的单调性的求法，是基础题．

5.（填空题，5分）对于任意实数a，函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+3+12 （a＞0且a≠1）的图象经过一个定点，则该定点的坐标是___ ．

【正确答案】：[1] (−3，32)

【解析】：直接利用指数的性质a0=1求解即可．

【解答】：解：因为当x=-3式时，f（x）= 𝑎0+12=32 ，

所以函数f（x）必过定点 (−3，32) ．

故答案为： (−3，32) ．

【点评】：本题考查了指数函数的性质，解题的关键是掌握指数的性质a0=1，属于基础题．

6.（填空题，5分）如图是一个地铁站入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为16cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BQD=30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为___ cm． 【正确答案】：[1]70

【解析】：连接AB，CD，过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，推得四边形AEFB为矩形，可得EF=AB，再由解直角三角形可得CE=DF，即可得到所求最大值．

【解答】：解：连接AB，CD，过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，

因为AB || EF，AE || BF，所以四边形AEFB为平行四边形，

又因为∠AEF=90°，可得四边形AEFB为矩形，

所以EF=AB=16，

因为AE || PC，可得∠PCA=∠CAE=30°，

所以CE=ACsin30°= 12 ×54=27，

同理可得DF=27，

所以当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为：

CD=CE+EF+FD=27+16+27=70（cm），

故答案为：70．

【点评】：本题考查解直角三角形在实际问题中的应用，考查运算能力和数形结合思想，属于基础题．

7.（填空题，5分）已知函数f（x）=x2（x≤0），则y=f（x）的反函数为___ ．

【正确答案】：[1] 𝑓−1(𝑥)=−√𝑥(𝑥≥0)