人教新课标A版高二数学《选修4-5》第二讲 三 反证法与放缩法

1 高中数学 2.3证明不等式的基本方法（三）学案 新人教A版选修4-5

——反证法与放缩法

【学习目标】1.通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，

了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单命题，

2.感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式，

3.探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧

【重点难点】重点：1. 体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题，

2. 掌握证明不等式的两种放缩技巧，

重点：1. 会用反证法证明简单的命题，

2. 体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”

【学习过程】

一、问题情景导入：

1.命题p与其否定p的真假关系是怎样的？

2.在证明不等式时，直接证明很繁琐或很困难，而要证的结论的否定情况很简单，我们该怎样证明呢？

二、自学探究：（阅读课本第26-29页，完成下面知识点的梳理）

1.反证法：先假设要证的命题

，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的实数等） 的结论，以说明假设 ，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.

2.放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某个部分的值

，简化不等式，从而达到证明的 ，我们把这种方法称为放缩法.

三、例题演练：

题型一.用反证法证明否定性结论的命题：

例1已知1,0cba、、，求证：accbba1,1,1不能同时大于41

变式：若20,20,20cba，求证：

accbba2,2,2不能同时大于1.

2

题型二.用反证法证明“至多”“至少”型命题：

人教版高数选修4-5第2讲：证明不等式的基本方法（教师版）

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第 4 页 矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。

反证法证明一个命题的思路及步骤：

1） 假定命题的结论不成立；

2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;

3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;

4） 肯定原来命题的结论是正确的。

5.放缩法：放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处, 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。

类型一： 比较法、分析法和综合法去证明不等式

例1. 求证：x2 + 3 > 3x

解析：∵(x2 + 3)  3x = 043)23(3)23()23(32222xxx

∴x2 + 3 > 3x

答案：见解析

练习1. 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：

第 5 页 bambma

答案：)()()()()(mbbabmmbbmbamabbambma

∵a,b,m都是正数，并且a 0 ,

b  a > 0

∴0)()(mbbabm 即：bambma

练习2. 已知a, b都是正数，并且a  b，求证：a5

+ b5 > a2b3 + a3b2

答案：(a5 + b5 )  (a2b3 + a3b2) = ( a5  a3b2) + (b5

 a2b3 )

= a3 (a2  b2 )  b3 (a2

 b2) = (a2  b2 ) (a3  b3)

学必求其心得，业必贵于专精

1 2。3.1 反证法

课堂导学

三点剖析

一,熟悉反证法证明不等式的步骤

【例1】 设f(x）、g(x)是定义在[0，1］上的函数，求证:存在x0、y0∈［0，1]，使|x0y0—f（x0)-g（y0)|≥41。

证明:用反证法.假设对［0，1］内的任意实数x，y均有|xy—f（x）—g(y)｜<41,考虑对x，y在［0,1］内取特殊值:

(1）取x=0，y=0时，有|0×0—f(0）—g(0)｜〈41,∴|f（0)+g(0)|<41;

（2）取x=1，y=0时，有|1×0—f（1）-g（0）|<41，∴|f(1）+g(0)|<41；

(3)取x=0，y=1时，有｜0×1—f(0）-g（1）｜<41，∴｜f(0)+g（1)|<41；

（4）取x=1，y=1时，有|1×1—f（1）-g(1)|〈41，∴|1—f(1）—g(1)｜〈41.

∵1=1—f（1)—g（1）+f(0）+g（1）+f（1)+g（0）—f(0)-g(0)，

∴1≤｜1—f(1）-g（1）|+|f(0）+g(1)|+｜f（1）+g(0)|+｜f(0)+g（0）|<41+41+41+41=1.

∴1<1，矛盾，说明假设不能成立。故要证结论成立.

各个击破

类题演练1

求证：如果a〉b>0，那么nnba(n∈N且n〉1）。

证明：假设na不大于nb有两种情况:nnba或者nnba。由推论2和定理1，当nnba时,有a〈b；当nnba时，有a=b，这些都与已知a>b>0矛盾,所以nnba。

变式提升1

求证：如果a>b>0,那么21a〈21b。

证明:假设21a≥21b,

则21a-21b=2222baab≥0.

∵a〉b〉0，∴a2b2>0.

∴b2—a2=(b+a)(b—a）≥0。

∵a〉b>0，∴b+a〉0。

∴b-a≥0，即b≥a.

这与已知a>b矛盾。

∴假设不成立，原结论21a〈21b成立。

三 反证法与放缩法

知识梳理

1.反证法

先____________,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已知证明的定理,性质,明显成立的事实等) _________的结论,以说明_________不正确,从而证明原命题成立,我们称这种证明问题的方法为反证法.

2.放缩法

证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值_________或_________,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.

知识导学

1.用反证法证明不等式必须把握以下几点：

(1)必须否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出各种情况,缺少任何一种可能,反证法都是不完全的.

(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证.否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.

(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实相违背等等.推导出的矛盾必须是明显的.

(4)在使用反证法时,“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用,可视为已知条件.

2.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小,如欲证A≥B,需通过B≤B1,B1≤B2≤…≤Bi≤A(或A≥A1,A1≥A2≥…≥Ai≥B)，再利用传递性，达到证明的目的.

疑难突破

1.反证法中的数学语言

反证法适宜证明“存在性问题,唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,或者说“正难则反”,直接证明有困难时,常采用反证法,下面我们列举一下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.

常见词语 至少有一个 至多有一个 唯一一个 不是 不可能 全 都是

否定假设 一个也没有 有两个或两个以上 没有或有两个以上 是 有或存在 不全 不都是

对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此.