第一章 导数及其应用
§1.1 变化率与导数
§1.1.1 变化率问题
§1.1.2 导数的概念
§1.1.3 导数的几何意义
§1.2 导数的计算
§1.2.1 几个常用函数的导数
§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
§1.3 导数在研究函数中的应用
§1.3.1 函数的单调性与导数
§1.3.2 函数的极值与导数
§1.3.3 函数的最大(小)值与导数
§1.4 生活中的优化问题举例
§1.5 定积分的概念
§1.5.1 曲边梯形的面积
§1.5.2 汽车行驶的路程
§1.5.3 定积分的概念
§1.6 微积分基本定理
§1.7 定积分的简单应用
§1.7.1 定积分在几何中的应用
§1.7.2 定积分在物理中的应用
章末整合提升 章末达标测试
第二章 推理与证明
§2.1 合情推理与演绎推理
§2.1.1 合情推理
§2.1.2 演绎推理
§2.2 直接证明与间接证明
§2.2.1 综合法和分析法
§2.2.2 反证法
§2.3 数学归纳法
章末整合提升
章末达标测试
第三章 数系的扩充与复数的引入
§3.1 数系的扩充和复数的概念
§3.1.1 数系的扩充和复数的概念
§3.1.2 复数的几何意义
§3.2 复数代数形式的四则运算
§3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
§3.2.2 复数代数形式的乘除运算
章末整合提升
章末达标测试
模块综合检测
§1.1 变化率与导数
§1.1.1 变化率问题
§1.1.2 导数的概念
[课标要求]
1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．(难点)
2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)
3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)
一、函数平均变化率
如果函数关系用y＝f(x)表示，那么变化率可用式子f（x2）－f（x1）x2－x1表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是平均变化率可以表示为ΔyΔx．
2.2.2 反 证 法
一、教学目标
1．核心素养
培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力
2．学习目标
（1）理解反证法的概念
（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤
（3）会用反证法证明简单的命题
3．学习重点
对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．
4．学习难点
理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．
二、教学设计
（一）课前设计
【学习过程】
1．预习任务
任务1
预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？
任务2
反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？
2．预习自测
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（ ）
①结论相反的判断，即假设
②原命题的条件
③公理、定理、定义等
④原结论
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③ 答案：C
【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】
由反证法的定义可知应选C．
2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（ ）
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．两个都是非负数
D．至少有一个是正数
答案：D
3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（ ）
A．a<0，b<0，c>0
B．a≤0，b>0，c>0
C．a，b，c不全是正数
D．abc<0
答案：C
4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）
A．有一个解
B．有两个解
C．至少有两个解
D．至少有三个解
答案：D
（二）课堂设计
1．知识回顾
著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
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页人教版高中数学必修2-2知识点
第一章导数及其应用
一.导数概念的引入
1.导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()yfx在
0xx处的瞬时变化率是00
0()()
lim
xfxxfx
x
，我们称它为函数()yfx在
0xx处的导数，记作
0()fx
或
0|
xxy
，即
0()fx=
00
0()()
lim
xfxxfx
x
2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像，我们可以看出当点
nP趋近于P时，直
线PT与曲线相切。容易知道，割线
nPP的斜率是
0
0()()
n
n
nfxfx
k
xx
，当点
nP趋
近于P时，函数()yfx在
0xx处的导数就是切线PT的斜率k，即
0
0
0
0()()
lim()
n
x
nfxfx
kfx
xx
3.导函数：当x变化时，()fx
便是x的一个函数，我们称它为()fx的导函数.
()yfx的导函数有时也记作y，即
0()()
()lim
xfxxfx
fx
x
二.导数的计算
1.基本初等函数的导数公式：第2页共7页若()fxc(c为常数)，则()0fx
；
若()fxx
，则1()fxx
；
若()sinfxx，则()cosfxx
若()cosfxx，则()sinfxx
；
若()xfxa，则()lnxfxaa
若()xfxe，则()xfxe
若()logx
afx，则1
()
lnfx
xa
若()lnfxx，则1
()fx
x
2.导数的运算法则
[()()]()()fxgxfxgx
[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx
2()()()()()
[]
()[()]fxfxgxfxgx
gxgx
3.复合函数求导
()yfu和()ugx，称则y可以表示成为x的函数，即(())yfgx为一个复合
函数(())()yfgxgx
三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数
2．2.2 反证法
填一填
1.反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
2．反证法常见矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
判一判
1.反证法属于间接证明问题的方法．(√)
2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．(×)
3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．(√)
想一想
1.反证法的一般步骤是什么？
提示：第一步，写出与命题结论q相矛盾的假设非q；
第二步，由非q出发，应用正确的推理，得出矛盾；
第三步，断定产生矛盾的原因在于所作的假设非q不成立，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题．
2．反证法解题的实质是什么？
提示：反证法实质是否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．
由四种命题的相互关系可知，原命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，具有同真同假性，即等价性．根据这一结论，要证原命题“若p，则q”为真，可以改证逆否命题“若非q，则非p”为真，这种证明方法即为反证法．也就是说，若非q(即否定结论，假设结论的反面成立)，则非p(经过推理论证，得出与题设条件相矛盾的结论)，从而根据等价性原则，肯定原命题成立．
3．用反证法证题需要把握哪些？
提示：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．
4．反证法适用范围主要有哪些方面？
