三角函数的图象与性质 (共44张PPT)

- 1 - 三角函数的图像和性质

1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2,1) (,0) (23,-1) (2,0)

余弦函数y=cosx x[0,2]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2,0) (,-1) (23,0) (2,1)

2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

sinyx cosyx tanyx

图象

定义域 R R ,2xxkk

值域 1,1 1,1 R

最值 当22xk时，max1y；当22xk

时，min1y． 当2xk时，

max1y；当2xk

时，min1y． 既无最大值也无最小值

周期性 2 2 

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

单调性 在2,222kk

上是增函数；

在32,222kk

上是减函数． 在2,2kk上是增函数；

在2,2kk上是减函数． 在,22kk

上是增函数．

对称性 对称中心,0k

对称轴2xk 对称中心,02k

对称轴xk 对称中心,02k

无对称轴

函 数 性 质 - 2 - 例作下列函数的简图

(1)y=|sinx|，x∈[0，2π]， (2)y=-cosx，x∈[0，2π]

例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：

21sin)1(x 21cos)2(x

3、周期函数定义：对于函数()yfx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：()()fxTfx，那么函数()yfx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

三角函数的图像与性质

1 三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）

【知识点1】函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象性质

性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx

一周期简图

最小正周期 2π 2π π

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

单调性 增区间 Zkkk],2ππ2,2ππ2[ [2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z Zkkk],2ππ,2π－π[

上是增函数 减区间 Zkkk),23ππ2,2ππ2( [2kπ，2kπ＋π]，k∈Z

对称性 对称轴 Zkkx,2ππ x＝kπ，k∈Z

对称中心Zkk),0,2π( 对称

中心 (kπ，0)，k∈Z Zkk),0,2ππ(

题型1：定义域

例1：求下列函数的定义域

(1)xxycos2cos1； (2)xy2sin (2)y=12cos()3x (4)y=22sin1lg(4)xx

题型2：值域

例2：求下列函数值域

(1))3π2,6π(,sin2xxy (2)y=2sin(2x-3),x5,46 (3) )3π,2π(),3π2cos(2xxy

(4)函数1)6π21cos(2xy的最大值以及此时x的取值集合

三角函数的图像与性质

2 题型3：周期

例3：求下列函数的周期：

（1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x) (3)y=tan(2x4) （4）y=sinx

例4： 若函数()2sin(2)3fxkx的最小正周期T满足12T,则自然数k的值为______.

例5：若)10(sin2)(xxf在区间[0,]3上的最大值是2，则=________.

例6：使xysin（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】

.正弦、余弦、正切函数图象和性质

函

数 正弦函数y sinx,x R 余弦函数y cos x, x R 正切函数 y tan x, x k 一 2

有

界

性 有界 有界 无界

士 7E

义

域 (,) (,) x | x k — , k Z

2

值

域 [1,1]

当 X — 2k (k Z)时，ymax 1 2

当 x — 2k (k Z)时， 2

ymin 1 [1,1]

当 x 2k (k Z)时，ymax 1

当 x 2k (k Z)时,

ymin 1 (,)

周

期

性 是周期函数，最小正周期 T 2 是周期函数，最小正周期 T 2 T

奇

偶

性 奇函数，图象关于原点对称 偶函数，图象关于 y轴对称 奇函数，图象关于原点对称

单

调

性 在[—2k，- 2k ],(k Z) 2 2

上是单调增函数

在[- 2k ,3— 2k ], (k Z) 2 2

上是单调减函数 在[ 2k ,2 2k ], (k Z)上 是单调增函数

在[2k , 2k ], (k Z)上是单 调减函数 在(一k ,— k ),(k Z)

2 2

上是单调增函数

对

称

轴 x k 一，(k Z) 2 x k ,(k Z)

对

称

中

心 (k ,0) (k Z) (k — ,0) (k Z) 2 k

(y,0) (k Z)

正弦 函数、余弦函数、正切函数的图既

… y

y=sinx :

/c、-5- -2-1 $

3 7

-4 -7 -3 -2 -3 .

T T -1 o \_J 2 5 3、/ 叫

2 T

(2) /(航+如型三角函数的奇偶性

（i ） g （x） = /沏（颜+如（x€ R）

(x)为偶函数匕鼠

U 力（而+ 出=j4sin（-

7T

cos 卯=。=上7T+一1左 e Z）

由此得 2 ,

同理，式夫4皿皈+双相的 为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)

（ii）飙# = +劭SwR]

1 三角函数的图象与性质

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx

1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx

y=tanx322-32--2oyxy=cotx3222--2oyx

2．三角函数的单调区间：

xysin的递增区间是2222kk，)(Zk，

递减区间是23222kk，)(Zk；

xycos的递增区间是kk22，)(Zk，

递减区间是kk22，)(Zk，

xytan的递增区间是22kk，)(Zk，

3．函数BxAy)sin(），（其中00A

最大值是BA，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。 2 4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移||个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。