第4讲 三角函数的图象与性质

1

●高考明方向

1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，

了解三角函数的周期性．

2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、

最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数

在区间－π2，π2内的单调性．

★备考知考情

三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法.

一、知识梳理《名师一号》P55

知识点

2 二、例题分析：

（一）三角函数的定义域和值域

例1．（1）《名师一号》P56 对点自测3

函数y＝lg(sinx)＋ cosx－12的定义域为____________

解析 要使函数有意义必须有 sinx>0，cosx－12≥0，

即 sinx>0，cosx≥12，解得 2kπ

(k∈Z)．

∴2kπ

∴函数的定义域为{x|2kπ

例1．（2）《名师一号》P56 高频考点 例1(1)

函数y＝sinx－cosx的定义域为________．

3

解:(1)要使函数有意义，必须有sinx－cosx≥0，即sinx≥cosx，同一坐标系中作出y＝sinx，y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示．

结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，

函数的定义域为x 2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z.

注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法

(1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．

一般可用三角函数的图象或三角函数线确定

三角不等式的解．

例2．（1）《名师一号》P56 对点自测4

函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )

第4讲 正余弦函数图像及其性质 （沪教版2020必修二）

【知识网格】

知识梳理一

1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：

正弦函数xysin，]2,0[x的图象中，五个关键点是：

)0,0( )1,2( )0,( )1,23( )0,2(

2、正弦函数Rxxy,sin的图像：

把xysin，]2,0[x的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到Rxxy,sin的图像，此曲线叫做正弦曲线。

由正弦函数图像可知：

（1）定义域：R

（2）值域：1,1 ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin|x， 即

1sin1x，也就是说，正弦函数的值域是]1,1[亦可由正弦图像直接得出。

（3）奇偶性：奇函数 由xxsin)sin(可知：xysin为奇函数，正弦曲线关于原点O对称

（4）单调递增区间：zkkk,22,22；

（5）单调递减区间：zkkk,232,22；

（6）对称中心：（0,k）；

（7）对称轴：2kx

（8）最值：当且仅当,22kxy取最大值1maxy；

当且仅当,232kxy取最小值1miny。

（9）最小正周期：2T

一般地，对于函数)(xf，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf，那么函数)(xf就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期

由此可知)0(2,,4,2,2,4,kzkk且都是这两个函数的周期

对于一个周期函数)(xf，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(xf的最小正周期

根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2kzkk且都是它的周期，最小正周期是2

三角函数的图像与性质集体备课

一、教材分析

《三角函数的图像与性质》是高中《数学》必修④（人民教育出版社）第一章第四节的内容，其主要内容是正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质。过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学过三角函数线，在此基础上来学习正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，为以后要学习的函数yAin(w某)的图象的研究打好基础。因此，本节的学习有着极其重要的地位。

二、知识网络

三、教学目标

根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：

1、知识与技能目标（1）会用单位圆中的三角函数线画出三角函数图象；（2）掌握正弦函数、余弦函数图象的“五点作图法”；

（3）利用图像掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质2、过程与方法

通过问题探究，经历知识产生发展的过程，体验数学发展和创造历程。培养学生观察、

分析、表达能力及数形结合思想，提高学生数学素养。

3、情感态度与价值观 通过探究体验知识的发生过程，使学生从中体味成功喜悦。激发学生积极主动的学习精神和探索勇气。通过画图及多媒体展示，使学生体验数学之美、体会数学学习的兴趣。

四、教学重点、难点

重点：1、用单位圆三角函数线做出三角函数图象

2、会用“五点法”作图画出三角函数图象

3、利用图像掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质难点：用单位圆三角函数线画出三角函数的图象

五、学情分析

高一学生对函数概念的理解本身就是难点，再加上三角的知识，就要求学生有较高的理解和综合的能力。关于作图方面，在前面函数的章节中，学生已经学习了画函数图像的一些方法，如幂函数、指数函数、对数函数等可以用列表描点法、图像平移翻折等方法作出其图像。基于上述情况，预测学生对于本节课的内容，会有以下的一些困难：

1．概念的引出，把三角与函数两个概念结合起来，正确理解三角函数。2．利用单位圆的三角函数线作出三角函数在0,2上的图像。3．正确掌握五点法的作图步骤与要求。

第1讲：任意角、弧度制及任意角的三角函数

1．

角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．

(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．

(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．

2． 弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad,1 rad＝180π°.

(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|·r2.

3． 任意角的三角函数

任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.三个三角函数的初步性质如下表：

三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号

sin α R ＋ ＋ － －

cos α R ＋ － － ＋

tan α {α|α≠kπ＋π2，k∈Z} ＋ － ＋ －

4. 三角函数线

如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T. 三角函数线

(Ⅰ) (Ⅱ)

(Ⅲ) (Ⅳ)

有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线

题型一 角的有关问题

例1 (1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；

(2)若角θ的终边与67π角的终边相同，求在[0,2π)终边与θ3角的终边相同的角；

(3)已知角α是第一象限角，试确定2α、α2所在的象限．