三角函数的图象与性质(解析版)

三角函数的图象与性质

一、 考情分析

1.能画出三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；

2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在－π2，π2上的性质. 二、 知识梳理

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0).

(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1).

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域 R R {x|x∈R，且 x≠kπ＋π2}

值域 [－1，1] [－1，1] R

周期性 2π 2π π

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

递增区间 2kπ－π2，2kπ＋π2 [2kπ－π，2kπ] kπ－π2，kπ＋π2

递减区间 2kπ＋π2，2kπ＋3π2 [2kπ，2kπ＋π] 无

对称中心 (kπ，0) kπ＋π2，0 kπ2，0

对称轴方程 x＝kπ＋π2 x＝kπ 无

[微点提醒]

1.对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

2.对于y＝tan

x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数.

三、 经典例题

考点一 三角函数的定义域

【例1】 (1)函数f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是( )

A.x|x≠π6

B.x|x≠－π12

C.x|x≠kπ＋π6（k∈Z） D.x|x≠kπ2＋π6（k∈Z）

(2)不等式3＋2cos x≥0的解集是________.

(3)函数f(x)＝64－x2＋log2(2sin x－1)的定义域是________.

【解析】 (1)由2x＋π6≠kπ＋π2(k∈Z)，得x≠kπ2＋π6(k∈Z).

(2)由3＋2cos x≥0，得cos x≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos

x≥－32的解集为x|－5π6≤x≤56π，故原不等式的解集为x|－56π＋2kπ≤x≤56π＋2kπ，k∈Z.

(3)由题意，得64－x2≥0，①2sin x－1>0，②由①得－8≤x≤8，由②得sin x>12，由正弦曲线得π6＋2kπ

规律方法 1.三角函数定义域的求法

(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.

(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.

2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解.

(2)利用三角函数的图象求解.

考点二 三角函数的值域与最值

【例2】 (1)y＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域是________.

(2)函数f(x)＝sin2x＋3cos x－34x∈0，π2的最大值是________.

(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.

【解析】 (1)当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，

sin2x－π6∈－12，1，故3sin2x－π6∈－32，3，

即y＝3sin2x－π6的值域为－32，3.

(2)由题意可得f(x)＝－cos2x＋3cos x＋14＝－(cos x－32)2＋1.

∵x∈0，π2，∴cos x∈[0，1].

∴当cos x＝32，即x＝π6时，f(x)max＝1.

(3)设t＝sin x－cos x，

则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，

sin xcos x＝1－t22，且－2≤t≤2，

所以y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1.

当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－12－2.

所以函数的值域为－12－2，1.

规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：

(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；

(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).

考点三 三角函数的单调性

角度1 求三角函数的单调区间 【例3－1】 (1)函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间是( )

A.kπ12－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)

B.kπ12－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)

C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)

D.kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)

(2)函数y＝sin－2x＋π3的单调递减区间为________.

【解析】 (1)由kπ－π2<2x－π3

(2)y＝－sin2x－π3，它的减区间是y＝sin2x－π3的增区间.令2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故其单调递减区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.

角度2 利用单调性比较大小

【例3－2】 已知函数f(x)＝2cosx＋π6，设a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ4，则a，b，c的大小关系是( )

A.a>b>c B.a>c>b

C.c>a>b D.b>a>c

【解析】 令2kπ≤x＋π6≤2kπ＋π，k∈Z，

解得2kπ－π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z，

∴函数f(x)＝2cosx＋π6在－π6，5π6上是减函数，

∵－π6

∴fπ7>fπ6>fπ4.

角度3 利用单调性求参数

【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )

A.π4 B.π2 C.3π4 D.π 【解析】 f(x)＝cos x－sin x＝2cosx＋π4，

由题意得a>0，故－a＋π4

因为f(x)＝2cosx＋π4在[－a，a]是减函数，

所以－a＋π4≥0，a＋π4≤π，a>0，解得0

规律方法 1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.

2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.

考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性

角度1 三角函数奇偶性、周期性

【例4－1】 (1)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )

A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

(2)设函数f(x)＝sin12x＋θ－3cos12x＋θ|θ|

A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3

【解析】 (1)易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3cos 2x＋12＋1＝32cos 2x＋52，则f(x)的最小正周期为π，当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.

(2)f(x)＝sin12x＋θ－3cos12x＋θ

＝2sin12x＋θ－π3， 由题意可得f(0)＝2sinθ－π3＝±2，即sinθ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋kπ(k∈Z)，

∴θ＝5π6＋kπ(k∈Z).

∵|θ|

规律方法 1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则

(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；

(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).

2.函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝2π|ω|，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.

角度2 三角函数图象的对称性

【例4－2】 (1)已知函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝π6对称，则函数g(x)＝sin x＋acos x的图象( )

A.关于点π3，0对称 B.关于点2π3，0对称

C.关于直线x＝π3对称 D.关于直线x＝π6对称

(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤π2，x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )

A.11 B.9 C.7 D.5

【解析】 (1)因为函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝π6对称，

所以f(0)＝fπ3，所以1＝32a＋12，a＝33，

所以g(x)＝sin x＋33cos x＝233sinx＋π6，

函数g(x)的对称轴方程为x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋π3(k∈Z)，当k＝0时，对称轴为直线x＝π3，所以g(x)＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝π3对称.

(2)因为x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为f(x)的图象的对称轴，所以π4－－π4＝T4＋kT2，即π2＝2k＋14T＝2k＋14·2πω(k∈Z)，所以ω＝2k＋1(k∈Z).