函数的最大(小)值与导数

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1.3第三课时 函数的最大（小）值与导数

一、课前准备

1．课时目标

（1）了解函数最值的意义，了解最值与极值的区别和联系.

（2）会求闭区间上函数的最大值和最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

2．基础预探

(1) 函数的最大值与最小值：

在闭区间ba,上图象连续不断的函数)(xf在ba,上 最大值与最小值．

(2) 利用导数求函数的最值的基本步骤

设函数)(xf在在（a,b）内可导，在闭区间ba,上图象是 的，求函数)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：

①求)(xf在(,)ab内的 ；

②将)(xf的各极值与 比较，得出函数)(xf在ba,上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

二、学习引领

对于函数的最值问题，应该注意以下几点：

1. 依据最值的含义,在闭区间ba,上图象连续不断的函数)(xf，在ba,上,既有最大值又有最小值．

2. 在开区间(,)ab内图象连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值．如函数xxf1)(在),0(内连续，但没有最大值与最小值.

3. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．

4. 函数)(xf在闭区间ba,上的图象连续不断，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．如函数1,10()0,0xxxfxx但在1,1上有最大值，最小值，（最大值是0，最小值是-2），但其图象却不是连续不断的,如图所示.

5. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个没有.

6. 若函数f(x)只有一个极值，则必为最值.若函数f(x)在闭区间[a,b]上递增，则min()()fxfa，max()()fxfb；若函数f(x)在闭区间[a,b]上递减，则min()()fxfb，max()()fxfa.

三、典例导析

题型一 用导数求函数的最值

2 例1 已知a为实数，))(4()(2axxxf,若0)1(f，求)(xf在[－2,2] 上的最大值和最小值.

思路导析：先求导,再由0)1(f求实数a.令0)(xf,求极值点和极值,最后比较大小求最值.

解: 由原式得,44)(23axaxxxf∴.423)(2axxxf

由0)1(f 得21a,此时有43)(),21)(4()(22xxxfxxxf.

由0)1(f得34x或x=－1 .当[2,2]x在变化时，'(),()fxfx的变化如下表

4509()(),()(1),(2)0,(2)0,3272fxffxfff极小极大又所以f(x)在

[－2,2]上的最大值为,29最小值为.2750

规律总结：事实上,用导数求一些非基本初等函数的最值问题,是求函数极值的进一步深入.当求得函数在一个闭区间上的极值后,再与区间端点的函数值进行大小比较,即可求得最值,所以其关键步骤,还是求函数极值.

变式训练1设函数2()ln22xfxxx.试求函数()fx在区间[1,e]上的最大值.

题型二 由函数最值求参数的取值或取值范围

例2 已知函数32()23fxaxx，其中0a．若函数()()()(0,1)gxfxfxx在0x处取得最大值，求实数a的取值范围．

思路导析:求实数a的取值范围,一般需要找到关于a的等价不等式,通过解不等式,得到a的范围.依据函数的特点,判断函数取得最值的可能时刻,并求出可能的表达式,最后依据最值的意义得不等式,解不等式得解.

解:由题意知,32()2(63)6,0,1gxaxaxxx. 则22()62(63)66(21)1gxaxaxaxax.令0)(xg，即2(21)10axax. ①由于0142a ，可设方程①的两个根为1x，2x，由①得axx121.由于，0a所以021xx，不妨设210xx，12()6()()gxaxxxx．

当102x时,)(2xg为极小值,所以在区间1,0上,()gx在0x或1x处取得最 x (2,1) 1 4(1,)3 43 4(,2)3

)(xf  0 - 0 

)(xf 递增 极大值92 递减 极小值5027 递增

3 大值；当2x≥1时，由于)(xg在区间1,0上是单调递减函数，所以最大值为)0(g.

综上，函数)(xg只能在0x或1x处取得最大值．又已知)(xg在0x处取得最大值，所以)0(g≥)1(g,即0≥98a，解得a≤89，又因为0a，所以a（89,0］．

规律总结:上述问题中,判断取得最值的时刻,用参数a表示可能的最值，是解决该类问题的关键.等价转化是主要解题过程.

变式训练2已知函数aaxxxf3)(3在)1,0(内有最小值.

(1)求a的取值范围;

(2)函数)(xf在)1,0(内能否有最大值？若能,求出a的取值范围,若没有,说明理由.

题型三 实际问题中的函数最值

例3 为倡导环保低碳生活,同时增加企业利润,某低碳科技企业拟投入适当的广告费对产品进行促销,在2016年内,预计年销量Q(万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为0113xxxQ,已知生产此产品的年固定投人为3万元，每生产l万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占广告费的50％”之和.年利润=年收入―年成本―年广告费.

(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x (万元)的函数.

(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?

思路导析:依据题设要求, 将年利润y(万元)表示为年广告费x (万元)的函数,判断该函数的极值,并求最值,回答实际问题.

解：(1)由题意，每年产销Q万件,共计成本为332Q万元,销售收入是xQ%50%150)332(.xxxxQy3113322133221

)0(1235982xxxx．故所求的函数关系式为)0(1235982xxxxy.

(2)由(1)可得：2222126321235981982xxxxxxxxy,令0y，则06322xx7x或9x(舍去).又0,,7;0,7,0yxyx，427fxf极大值．又)(xf在上只有一个极值点，427fxfxf极大值最大值．所以每年广告费投入7万元时,企业年利润最大．

规律总结:依题意建立目标函数,是解决该类问题的关键步骤.当该目标函数为简单非基本初等函数时,一般通过求导研究该函数的性质,判断取得最值的时刻,求得最值.在实际问

4 题中,若只有一个极值点,则该极值点为最值点.

变式练习3 制作一个圆柱形锅炉,容积为V两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积价格为b元,当造价最低时,锅炉底面半径与锅炉高的比是（ ）

A. ba2 B.ba22 C. ab2 D. ab22

四、随堂练习

1．下列说法中正确的是（ ）

A.函数若在定义域内有最值和极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值

B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值

C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值

D.若函数在给定区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可能有多个极值

2．223yxx在区间[,2]a上的最大值为154，则a=（ ）

A.32 B. 12 C. 12 D. 12或32

3. 已知函数mxxxf2362)((m为常数）在]2,2[有最大值3，那么此函数在]2,2[

上的最小值是（ ）

A.37 B.29 C.5 D.以上都不对

4. 函数],2[,sinxxxy的最大值是 .

5. 函数)02(,1)(xxxxf的值域为 .

6. 已知函数()lnfxxx．求函数()fx在区间[1,3]上的最小值；

五、课后作业

1．已知函数aaxxxf2)(2在区间)1(，上有最小值,则函数xxfxg)()(在区间),1(上一定（ ）

A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数

2．电动自行车已逐渐成为重要的交通工具之一.电动自行车的耗电量y与速度x(公里)之间有如下关系：)0(,202193123xxxxy,为使耗电量最小,则速度应定为每小时

( )公里?

A.10 B.15 C.20 D.25

3. 设函数2()ln(23)fxxx,则()fx在区间3144，的最小值为 ．

4. 将8分为两数之和,使两个数的立方和为最小,则分成的两数为 .

A. 2和6 B. 4和4 C. 3和5 D. 以上都不对

5. 将一段长为100 cm的铁丝截成两段,一段弯成圆,一段变成正方形．问如何截法使正方形与圆面积之和最小,并求出最小面积．

5 6. 已知函数()lnfxxx.

（Ⅰ）求()fx的最小值；

（Ⅱ）若对所有1x都有()1fxax，求实数a的取值范围.

1.3第三课时 函数的最大(小)值答案及解析

一、2. 基础预探

(1) 必有;(2) 连续不断; 极值; )(af、)(bf.

三、变式练习

1.解:函数()fx的定义域为(0,).对函数2()ln22xfxxx求导得:21(1)()20xfxxxx，所以函数()fx在区间[1,e]上单调递增，所以当=ex时,函数()fx取得最大值 ,2e(e)12e2f.

2. 解:)(3)(2axxf.令0)(xf在)1,0(内有解,即0))((3)(axaxxf.

(1) 由题意知10a,即10a,而且当ax0时,0)(xf,ax

时,0)(xf,所以当ax时,)(xf 在)1,0(内取极小值且唯一,故为最小值,因此a的取值范围为10a.

(2)由(1)可知,如果0)(xf在)1,0(内有解,只可能是ax,而且)(xf在ax

两侧的符号只能是左负右正,不具备取极大值的条件,所以函数)(xf在)1,0(内没有最大值.

3. 答案:C. 解析：设锅炉底面半径和高分别为hr,,则22,rVhhrV,总造价rbVrarVrbray2222222,0242rbVray,得brVar22即abhr2时取极大值,即最大值.故选C.

四、随堂练习

1．答案:D. 解析：根据函数极值和最值的定义知, 函数在给定区间上有最值,最多有一个最大值和一个最小值,但极值可以有多个,故选D.