函数的最大(小)值与导数

第 4 页 共 5 页 1.3.3 函数的最大（小）值与导数

一、【教学目标】

重点: 求函数最值的方法.

难点：函数存在最值的的条件；求函数最值的方法.

知识点：理解函数最值的特点；掌握函数存在最值的的条件及用导数求函数最值的方法.

能力点：通过引导学生观察、归纳,培养学生的观察能力和归纳能力.

教育点：通过以学生为主体的教学方法,让学生自己探究函数最值的求法,发展体验获取知识的感受.

自主探究点：通过“会观察”,“敢归纳”,“善建构”,培养学生自主学习,勇于创新的精神.

考试点：求函数最值的方法.

易错易混点：极值和最值的区别与联系.

拓展点：通过函数的最大（小）值与导数教学,建立概念间的多元联系,培养同学们多角度审视问题的习惯.

二、【复习回顾】

【师生活动】

（1）师:好美的图片啊,这里的山高低起伏，层峦叠嶂，你能用两句诗形容这里的山吗?

第 4 页 共 5 页 生:横看成岭侧成峰,远近高低各不同.

（2）师:我们从图片上提炼出来一段图象,观察闭区间],[ba上函数)(xfy的图象,找出它的极大值点,极小值点.

生:极大值点：642,,xxx 极小值点：531,,xxx

【设计意图】利用课件的生动性激发学生的学习兴趣.

师:我们在图象上取一个闭区间],[dc，以这一段为例，你能说出极大值的定义吗?这里的极大值也是最大值，那你能再说一下最值的定义吗?

【设计意图】温故而知新,通过学生回答,为本节课的学习作铺垫.

教师总结：极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益,常常遇到如何能使用料最省、产量最高,效益最大等问题,这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题

函数在什么条件下一定有最大、最小值?它们与函数极值关系如何?这就是我们这一节课的主要内容----函数的最大（小）值与导数.

3.3.3 函数的最大（小）值与导数

一、教学目标

1．核心素养

通过学习函数的最大（小）值与导数，形成基本的逻辑推理和数学运算能力，能围绕讨论问题的主题，观点明确，论述有理有据，并依据运算法则解决数学问题．

2．学习目标

（1）借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值的概念。

（2）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉)(xf必有最大值和最小值的充分条件。

（3）掌握求在闭区间],[ba上连续的函数)(xf的最大值和最小值的思想方法和步骤。

3．学习重点

利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

4．学习难点

函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

任务1

结合函数2)(xxf在]2,1[上的图像，想一想：函数2)(xxf在]2,1[上的极小值是多少？函数2)(xxf在]2,1[上的最大值、最小值分别是多少？

任务2

预习教材P96—P98，完成P98相应练习题，并找出疑惑之处.

2．预习自测

1．下列说法正确的是( )

A．函数的极大值就是函数的最大值 B．函数的极小值就是函数的最小值

C．函数的最值一定是极值 D．在闭区间上的连续函数一定存在最值

解：D 最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后得到的．

2．函数)(xf在区间],[ba上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则)(xf( )

A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．以上都有可能

解：A 由题意知函数在闭区间上所有函数值相等,故其导数为0．

3．函数xxey在]4,2[x上的最小值为 ． 解：44e xxxxexexeey1)(2，当]4,2[x时，0y，即函数xxey在]4,2[x上单调递减，故当4x时，函数有最小值为44e．

3.3.3 函数的最大(小)值与导数

学 习 目 标 核 心 素 养

1．能够区分极值与最值两个不同的概念．(易混点)

2．掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．(重点)

3．能根据函数的最值求参数的值．(难点) 1．通过学习导数与最值的关系，培养学生数学直观的素养．

2．借助函数最值的求法，提升逻辑推理和数学运算的素养.

1．函数f(x)在区间[a，b]上的最值

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．

思考：若函数f(x)在区间[a，b]上只有一个极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值吗？

[提示] 根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值．

2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤

(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．

(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

1．下列说法正确的是( )

A．函数的极大值就是函数的最大值

B．函数的极小值就是函数的最小值

C．函数的最值一定是极值

D．在闭区间上的连续函数一定存在最值

D [极值有可能是最值，但最值未必是极值，故选D．] 2．函数y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是( )

A．π－1

B．π2－1

C．π D．π＋1

C [y′＝1－cos x>0，故函数y＝x－sin x，x∈π2，π是增函数，因此当x＝π时，函数有最大值，且ymax＝π－sin π＝π.]

3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )

A．－2 B．0

C．2 D．4

C [f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.

贾老师数学

第三节 导数与函数的极值、最值

❖ 基础知识

1．函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

①函数fx在x0处有极值的必要不充分条件是f′x0＝0，极值点是f′x＝0的根，但f′x＝0的根不都是极值点例如fx＝x3，f′0＝0，但x＝0不是极值点.

②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.

2．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

❖ 常用结论

(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．

(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．

考点一 利用导数解决函数的极值问题

考法(一) 利用导数求函数的极值或极值点

[典例] (2018·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．