竖曲线运算步骤及公式讲解

纵断面设计——竖曲线设计纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车平顺用一段曲线来缓和，这条连接两纵坡线的曲线叫竖曲线。

竖曲线的形状，通常采用平曲线或二次抛物线两种。

在设计和计算上为方便一般采用二次抛物线形式。

纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角用转坡角表示。

当竖曲线转坡点在曲线上方时为凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线。

一、竖曲线如图所示，设相邻两纵坡坡度分别为i1 和i2，则相邻两坡度的代数差即转坡角为ω= i1-i2 ，其中i1、i2为本身之值，当上坡时取正值，下坡时取负值。

当i1- i2为正值时，则为凸形竖曲线。

当i1 - i2 为负值时，则为凹形竖曲线。

（一）竖曲线基本方程式我国采用的是二次抛物线形作为竖曲线的常用形式。

其基本方程为：若取抛物线参数为竖曲线的半径，则有：（二）竖曲线要素计算公式竖曲线计算图示1、切线上任意点与竖曲线间的竖距通过推导可得：2、竖曲线曲线长：L = Rω3、竖曲线切线长：T= TA =TB ≈ L/2 =4、竖曲线的外距：E =⑤竖曲线上任意点至相应切线的距离：式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m；R—为竖曲线的半径，m。

二、竖曲线的最小半径(一)竖曲线最小半径的确定1.凸形竖曲线极限最小半径确定考虑因素（1）缓和冲击汽车行驶在竖曲线上时，产生径向离心力，使汽车在凸形竖曲线上重量减小，所以确定竖曲线半径时，对离心力要加以控制。

（2）经行时间不宜过短当竖曲线两端直线坡段的坡度差很小时，即使竖曲线半径较大，竖曲线长度也有可能较短，此时汽车在竖曲线段倏忽而过，冲击增大，乘客不适；从视觉上考虑也会感到线形突然转折。

因此，汽车在凸形竖曲线上行驶的时间不能太短，通常控制汽车在凸形竖曲线上行驶时间不得小于3秒钟。

（3）满足视距的要求汽车行驶在凸形竖曲线上，如果竖曲线半径太小，会阻挡司机的视线。

为了行车安全，对凸形竖曲线的最小半径和最小长度应加以限制。

竖曲线及平纵线形组合设计（纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车平顺用一段曲线来缓和，这条连接两纵坡线的曲线叫竖曲线。

）竖曲线的形状，通常采用平曲线或二次抛物线两种。

在设计和计算上为方便一般采用二次抛物线形式。

纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角用转坡角表示。

当竖曲线转坡点在曲线上方时为凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线。

一、竖曲线如图所示，设相邻两纵坡坡度分别为i 1 和i 2，则相邻两坡度的代数差即转坡角为ω= i 1-i 2 ，其中i 1、i 2为本身之值，当上坡时取正值，下坡时取负值。

当 i 1- i 2为正值时，则为凸形竖曲线。

当 i 1 - i 2 为负值时，则为凹形竖曲线。

（一）竖曲线基本方程式我国采用的是二次抛物线形作为竖曲线的常用形式。

其基本方程为：Py x 22=若取抛物线参数P 为竖曲线的半径 R ，则有：Ry x 22= R x y 22= （二）竖曲线要素计算公式竖曲线计算图示1、切线上任意点与竖曲线间的竖距h 通过推导可得：==PQ h )()(2112li y l x R y y A A q p ---=-Rl 22= 2、竖曲线曲线长： L = R ω3、竖曲线切线长： T= T A =T B ≈ L/2 =2ωR 4、竖曲线的外距： E =RT 22⑤竖曲线上任意点至相应切线的距离：Rx y 22= 式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m ；R —为竖曲线的半径，m 。

二、竖曲线的最小半径(一)竖曲线最小半径的确定1.凸形竖曲线极限最小半径确定考虑因素（1）缓和冲击汽车行驶在竖曲线上时，产生径向离心力，使汽车在凸形竖曲线上重量减小，所以确定竖曲线半径时，对离心力要加以控制。

（2）经行时间不宜过短当竖曲线两端直线坡段的坡度差很小时，即使竖曲线半径较大，竖曲线长度也有可能较短，此时汽车在竖曲线段倏忽而过，冲击增大，乘客不适；从视觉上考虑也会感到线形突然转折。

竖曲线计算公式第三节竖曲线纵断⾯上两个坡段的转折处，为⽅便⾏车，⽤⼀段曲线来缓和，称为竖曲线。

可采⽤抛物线或圆曲线。

⼀、竖曲线要素的计算公式相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。

1.⼆次抛物线基本⽅程：或ω：坡度差（%）；L：竖曲线长度；R：竖曲线半径2.竖曲线诸要素计算公式竖曲线长度或竖曲线半径R: （前提：ω很⼩）L=Rω竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2竖曲线上任⼀点竖距h：竖曲线外距：⼆、竖曲线最⼩半径（三个因素）1.缓和冲击对离⼼加速度加以控制。

ν(m/s)根据经验，a=0.5~0.7m/s2⽐较合适。

我国取a=0.278,则Rmin=V2/3.6 或 Lmin=V2ω/3.62.⾏驶时间不过短 3s的⾏程Lmin=V.t/3.6=V/1.23.满⾜视距的要求分别对凸凹曲线计算。

(⼀)凸形竖曲线最⼩半径和最⼩长度按视距满⾜要求计算1.当LLmin = 2ST - 4/ω2.当L≥ST时，ST为停车视距。

以上两个公式，第⼆个公式计算值⼤，作为有效控制。

按缓和冲击、时间⾏程和视距要求（视距为最不利情况）计算各⾏车速度时的最⼩半径和最⼩长度，见表4-13。

表中：（1）⼀般最⼩半径为极限最⼩半径的1.5~2倍；（2）竖曲线最⼩长度为3s⾏程的长度。

（⼆）凹曲线最⼩半径和长度1.夜间⾏车前灯照射距离要求：1）L2) L≥STLL≥STω /26.92 (4-15)3s时间⾏程为有效控制。

例：设ω＝2%=0.02;则L＝ωＲ竖曲线最⼩长度Ｌ＝Ｖ/1.2例题4-3ω=-0.09 凸形；L=Rω=2000*0.09=180mT=L/2=90mE=T2/2R=2.03m起点桩号＝k5+030 - T =K4+940起始⾼程＝427.68 - 5%*90=423.18m桩号k5+000处：x1=k5+000-k4+940=60m切线⾼程＝423.18+60*0.05=426.18m h1=x21/2R=602/2*2000=0.90m 设计⾼程＝426.18 - 0.90=425.28m 桩号k5+100处：x２=k5+100-k4+940=160m切线⾼程＝423.18+160*0.05=431.18m h2=x22/2R=1602/2*2000=6.40m 设计⾼程＝431.18 - 6.40=424.78m。

第三节竖曲线纵断面上两个坡段的转折处，为方便行车，用一段曲线来缓和，称为竖曲线。

可采用抛物线或圆曲线。

一、竖曲线要素的计算公式相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。

1.二次抛物线基本方程：或ω：坡度差（%）；L：竖曲线长度；R：竖曲线半径2.竖曲线诸要素计算公式竖曲线长度或竖曲线半径R: （前提：ω很小）L=Rω竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2竖曲线上任一点竖距h：竖曲线外距：二、竖曲线最小半径（三个因素）1.缓和冲击对离心加速度加以控制。

ν(m/s)根据经验，a=0.5~0.7m/s2比较合适。

我国取a=0.278,则Rmin=V2/3.6 或Lmin=V2ω/3.62.行驶时间不过短 3s的行程Lmin=V.t/3.6=V/1.23.满足视距的要求分别对凸凹曲线计算。

(一)凸形竖曲线最小半径和最小长度按视距满足要求计算1.当L<ST时，Lmin = 2ST - 4/ω2.当L≥ST时，ST为停车视距。

以上两个公式，第二个公式计算值大，作为有效控制。

按缓和冲击、时间行程和视距要求（视距为最不利情况）计算各行车速度时的最小半径和最小长度，见表4-13。

表中：（1）一般最小半径为极限最小半径的1.5~2倍；（2）竖曲线最小长度为3s行程的长度。

（二）凹曲线最小半径和长度1.夜间行车前灯照射距离要求：1）L<ST2) L≥STL<ST Lmin = 2ST - 26.92/ω (4-14)L≥STω /26.92 (4-15)3s时间行程为有效控制。

例：设ω＝2%=0.02;则L＝ωＲ竖曲线最小长度Ｌ＝Ｖ/1.2速度Ｖ=120km/h V=40km/h 一般最小半径Ｒ凸17000 700一般最小半径Ｒ凹6000 700 L凸340 14Ｌ凹120 14 例题4-3ω=-0.09 凸形；L=Rω=2000*0.09=180mT=L/2=90mE=T2/2R=2.03m起点桩号＝k5+030 - T =K4+940起始高程＝427.68 - 5%*90=423.18m桩号k5+000处：x1=k5+000-k4+940=60m切线高程＝423.18+60*0.05=426.18m h1=x21/2R=602/2*2000=0.90m设计高程＝426.18 - 0.90=425.28m 桩号k5+100处：x２=k5+100-k4+940=160m切线高程＝423.18+160*0.05=431.18m h2=x22/2R=1602/2*2000=6.40m设计高程＝431.18 - 6.40=424.78m。

突竖曲线公式
H=H0+(C－C0) *i－(C－C0)2÷(2*R)
I：竖曲线纵坡度
H：所求设计标高
H0：竖曲线起点标高
C0：竖曲线起点桩号
C：所求设计标高（H）处的桩号
R：竖曲线半径
在桥型布置图中，所给出的参数有R：竖曲线半径，T切线长度，E：外距，JD为交点桩号，H1：交点处标高（但不是交点处桩号路面的标高），i：竖曲线纵坡度
C0=JD－T
H0=H1－T*i
凹曲线
H=H0－(C－C0) *i+(C－C0)2÷(2*R)
以D匝道桥为例：
竖曲线起点标高：H0=H1－T*i=7.308－42.892×0.03635=5.748
竖曲线起点桩号：C0=JD－T=DK0+270－42.892=DK0+227.108
交点桩号路面标高：H=H0+(C－C0) *i－(C－C0)2÷(2*R)=H1－E
=5.748+（270－227.108）×0.03635－(270－227.108)2÷（2×1500）=6.694
你用有已知标高的桩号带入这个公式看看，这是竖曲线，算的是纵断面的标高，每个桩号的横断面，已知横坡的坡度就可以了，要注意横坡的坡度与设计线的关系，横坡的坡度计算要注意超高段的坡度变化。

注意：求垫石及垫石以上部分的标高一定要从设计标高往下反算，复核墩柱及以下的标高也要从上往下反算。

第三节竖曲线纵断面上两个坡段的转折处，为方便行车，用一段曲线来缓和，称为竖曲线。

可采用抛物线或圆曲线。

一、竖曲线要素的计算公式相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。

2.竖曲线诸要素计算公式竖曲线长度或竖曲线半径R: （前提：ω很小）L=Rω竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2竖曲线上任一点竖距h：竖曲线外距：例题4-3ω=-0.09 凸形；L=Rω=2000*0.09=180mT=L/2=90mE=T2/2R=2.03m起点桩号＝k5+030 - T =K4+940起始高程＝427.68 - 5%*90=423.18m 桩号k5+000处：x1=k5+000-k4+940=60m切线高程＝423.18+60*0.05=426.18m h1=x21/2R=602/2*2000=0.90m设计高程＝426.18 - 0.90=425.28m 桩号k5+100处：x２=k5+100-k4+940=160m切线高程＝423.18+160*0.05=431.18m h2=x22/2R=1602/2*2000=6.40m设计高程＝431.18 - 6.40=424.78m曲线放样心得—坐标法结合偏角法的桥梁---CAD关于曲线放样的方法有偏角法、坐标法、切线支距法等等，这里就不在做详细说明。

众所周知，在应用坐标法放样曲线时，缓和曲线上每10m要计算一个坐标点，圆曲线上每20m要计算一个坐标点，计算公式复杂、繁琐、而且容易出错（在没有坐标计算程序的前提下）。

本人在测量放样中总结、实践了一种比较简易的曲线坐标放样方法，具体过程如下：第一步：在CAD中画出要放样的曲线的切线方向。

（必须按照设计提供的坐标画）第二步：计算曲线要素，根据切线长度就可以定出ZH、HZ两点的放样坐标。

（以带有缓和的曲线为例）第三步：利用偏角计算公式分别计算缓和曲线上+10m、+20m……圆曲线上+10m、+20m……对应的偏角。

铁路竖曲线要素计算公式铁路竖曲线是指铁路线路中的曲线段，用于连接两个不同高度的平面。

在铁路设计中，竖曲线的设计是非常重要的，它能够保证列车在曲线段上的平稳行驶，减少列车的震动和不适感，提高行车的安全性和舒适性。

而要计算铁路竖曲线的要素，我们需要使用一些特定的公式。

首先，我们需要计算竖曲线的曲率半径。

曲率半径是指竖曲线的曲率大小，它决定了列车在曲线上的行驶速度和舒适度。

计算曲率半径的公式如下：R = (L^2 + (2h)^2) / (8h)其中，R表示曲率半径，L表示曲线的长度，h表示曲线的高差。

通过这个公式，我们可以得到曲率半径的数值。

接下来，我们需要计算竖曲线的坡度。

坡度是指竖曲线的上升或下降的程度，它决定了列车在曲线上的爬坡能力和制动能力。

计算坡度的公式如下：G = (h / L) * 100其中，G表示坡度，h表示曲线的高差，L表示曲线的长度。

通过这个公式，我们可以得到坡度的百分比。

最后，我们需要计算竖曲线的超高。

超高是指竖曲线的最高点相对于曲线起点的高度差，它决定了列车在曲线上的通行高度。

计算超高的公式如下：H = (L^2 * G) / (24 * R)其中，H表示超高，L表示曲线的长度，G表示坡度，R表示曲率半径。

通过这个公式，我们可以得到超高的数值。

通过以上的计算公式，我们可以得到铁路竖曲线的要素，包括曲率半径、坡度和超高。

这些要素的计算结果将直接影响到铁路线路的设计和列车的行驶安全。

因此，在进行铁路竖曲线设计时，我们必须准确地计算这些要素，并根据实际情况进行调整和优化。

总之，铁路竖曲线要素的计算是铁路设计中的重要环节。

通过使用特定的计算公式，我们可以准确地计算出曲率半径、坡度和超高等要素，为铁路线路的设计和列车的行驶提供准确的数据支持。

这将有助于提高铁路的安全性和舒适性，为乘客提供更好的出行体验。

竖曲线上高程计算
已知：①第一坡度：i 1(上坡为“＋”，下坡为“－”)
②第二坡度：i 2(上坡为“＋”，下坡为“－”)
③变坡点桩号：S Z
④变坡点高程：H Z
⑤竖曲线的切线长度：T
⑥待求点桩号：S
计算过程：
1、切线上任意点与竖曲线间的竖距h 通过推导可得：
==PQ h )()(2112li y l x R y y A A q p ---=-R
l 22= 2、竖曲线曲线长： L = R ω
3.竖曲线切线长： T= T A =T B ≈ L/2 =
2ωR
4、竖曲线的外距： E =R
T 22
5. 竖曲线上任意点至相应切线的距离：R
x y 22= 式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m ；
R —为竖曲线的半径，m 。

竖曲线计算的目的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标高，其计算步骤如下：
（1）计算竖曲线的基本要素：竖曲线长：L ；切线长：T ；外距：E 。

（2）计算竖曲线起终点的桩号： 竖曲线起点的桩号 = 变坡点的桩号－T
（3）计算竖曲线上任意点切线标高及改正值：
切线标高 = 变坡点的标高±（x T -）⨯i ；改正值：y=R
x 22 （4）计算竖曲线上任意点设计标高
某桩号在凹形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高 + y 某桩号在凸形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高－ y。

一、设置竖曲线的要求铁路线路所包含的坡度除平坡外，有上坡、下坡。

所谓坡度，即铁路线路的高程变化率，用千分率表示，就是每1000m水平距离高程上升或下降的数值，通常用符号“+、-、0”依次表示上坡、下坡或平坡。

在进行纵断面设计时，相邻两坡段的交点叫变坡点，两变坡点之间的水平距离叫坡段长度。

《铁路线路设计规范》规定：工、Ⅱ级铁路相邻坡段坡度的代数差大于3％0和Ⅲ级铁路相邻坡段坡度的代数差大于4‰时，需用竖曲线连接。

竖曲线的形状主要分为圆曲线形和抛物线形两种。

《新建客货共线铁路设计暂行规定》规定：纵断面宜设计为较长的坡段，相邻坡段的连接宜设计为较小的坡度差。

旅客列车设计行车速度为200 km／h的路段，最小坡段长度不宜小于600m，困难条件下最小坡段长度不应小于400m，且最小坡段长度不得连续使用2个以上。

旅客列车设计行车速度为160km／h的路段，最小坡段长度不宜小于400m，且最小坡段长度不宜连续使用2个以上。

竖曲线不得与缓和曲线、相邻竖曲线重叠设置，也不得设在明桥面和正线道岔内。

二、竖曲线的计算方法1.圆曲线形竖曲线计算《铁路线路设计规范》规定：Ⅰ、Ⅱ级铁路竖曲线半径为10000m Tv=5 X △i ，Ⅲ级铁路竖曲线半径为5000m。

Tv=2.5 X △i(1)竖曲线的切线长Tv=Rv ×tan a/2 = Rv/2 ×tan a= Rv/2000 × △i △i=△i2-△i1 的绝对值Tv－竖曲线的切线长(m)；Rv--竖曲线半径，a----竖曲线转角，△i－相邻坡段坡度的代数差(‰)。

(2)竖曲线的曲线长C≈2T。

(3)竖曲线的纵距竖曲线的纵距即竖曲线上任意点与切线上相邻点的标高差，用y表示，即y=x2/2Rv式中Y－竖曲线的纵距(m)；x－竖曲线上任意点距竖曲线始点或终点的距离(m)；(4)竖曲线标高H=Hp±y 式中H－竖曲线标高(m)；Hp－计算点坡度线标高，【例题】某一级铁路，有一圆曲线形竖曲线(如图3－20所示)，竖曲线中点里程为K24+400，标高为65.7 m，上坡i1=+2‰，下坡i2=-4‰，试计算竖曲线上每20 m点的标高。

竖曲线任意点标高计算方法一、曲线要素的计算1、转坡角ω=（i1－i2）（上坡取正、下坡取负）2、竖曲线曲线长L = ω×R （ R为曲线半径）3、切线长T = L ÷24、外矢距 E = T2÷2R二、任意点起始桩号、切线标高、改正值的计算1、竖曲线起点桩号=变坡点里程－切线长竖曲线终点桩号=变坡点里程＋切线长2、切线标高= 变坡点标高（不考虑竖曲线标高）－（变坡点里程－待求点里程）× i1（所求点位于变坡点后乘i2）3、改正值= （待求点里程－起点里程）2÷（2R）（所求点位于变坡点前）= （待求点里程－终点里程）2÷（2R）（所求点位于变坡点后）4、待求点设计标高= （切线点标高－改正值）三、例：某高速公路变坡点里程为DK555+550，高程为279.866m，前为上坡i1＝17.6288‰，后为上坡i2＝4.5‰，设计曲线半径R=30000m，试算竖曲线曲线要素及桩号为DK555+450及DK555+680处的设计标高？1、计算曲线要素转坡角ω=（i1－i2）=（17.6288－4.5）‰＝0.0131288竖曲线曲线长L = ω×R = 0.0131288×30000 =393.864(m)切线长 T = L ÷2 = 393.864÷2 =196.932(m)外矢距 E = T2÷ 2R = 196.9322÷（2×30000）=0.646(m)2、竖曲线起、始桩号计算起点桩号：（DK555+550）－ 196.932 = DK555+353.068终点桩号：（DK555+550）＋ 196.932 = DK555+746.9323、DK555＋450、DK555＋680的切线标高和改正值计算DK555+450切线标高 = 279.866-（DK555+550-DK555+450)×17.6288‰=278.103(m) DK555+450改正值 =（DK555+450-DK555+353.068)2÷（30000×2）=0.157(m)DK555+680切线标高 = 279.866-（DK555+680-DK555+550)×4.5‰=280.451(m)DK555+680改正值 =（DK555+680-DK555+746.932)2÷（30000×2）=0.075(m)4、DK555＋450、DK555＋680设计标高计算DK555+450设计标高 = 278.103 - 0.157=277.946(m)DK555+680设计标高 = 280.451 -0.075 =280.376(m)。