山东省日照市日照第一中学2021-2022学年高三考前热身数学试卷含解析

参照秘密级管理★启用前试卷类型：A日照市2021级高三模拟考试数学试题2024．02考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

6．“π02α<<”是“3sin αα<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数sin cos ()22x x f x =-，则A ．ππ()()44f x f x +=-B ．()f x 不是周期函数C ．()f x 在区间π(0,2上存在极值D ．()f x 在区间(0,π)内有且只有一个零点D ．32二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．下列命题正确的是A.复数2i z =--的虚部为1-B.设z 为复数，(1i)1i z -=+，则|2|z =C.若复数i()z a b a b =+∈R ，为纯虚数，则00a b =≠，D.复数2i -在复平面内对应的点在第二象限10.从标有1238 ，，，，的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，依次得到数字a b ，，记点()A a b ，，(11)B -，，(00)O ，，则A ．AOB ∠是锐角的概率为716B ．ABO ∠是直角的概率为132C ．AOB ∆是锐角三角形的概率为764D ．AOB ∆的面积不大于5的概率为436411．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球1O ，球2O 切于点E F ，（E F ，是截口椭圆C的焦点）．设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和1，球心距12O O =，则四、解答题：本题共5小题，共77分。

山东省日照市第一中学2025届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“cos B <的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知4403S =，43231030a a a -+=，则4a =（ ） A ．9B ．27C ．81D ．833．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ） A ．4510B ．4510-C ．32-D ．3210-4．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =-B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+5．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C．22i - D．22i +6．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．23πC ．πD ．43π 7．已知函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．312x x x <<8．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ）A ．－1B ．1C ．32-D ．329．函数()y f x =，x ∈R ，则“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．11．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3πB ．4π C ．2π D ．π12．函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021—2022学年度高三校际联合考试
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x 2＞1}，则 A∩B=（ ）
A. {x|x ＜﹣1或x ＞1}
B. {﹣2，2}
C. {2}
D. {0} 【答案】B
【解析】
试题分析：求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A 与B 的交集即可．
解：由B 中不等式解得：x ＞1或x ＜﹣1，即B={x|x ＞1或x ＜﹣1}，
∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∩B={﹣2，2}，
故选B ．
考点：交集及其运算．
2.已知复数z 满足31i z -=-（i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）
A. 2
B.
C. 5
D. 【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.
【详解】因为31i 2i z =-+=+，所以z =
【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的代数形式的加减运算，复数的模的公式，属于简单题目.
3.如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（ ）。

山东省日照市第一中学2021届高三上学期第一次月考数学（文）试题及答案----b01e0bb8-6eb0-11ec-8236-7cb59b590d7d绝密★启用前山东省日照第1中学三年级2022名学生第一次月考数学试题（文科）注意事项：1.本试题共分三大题，全卷共150分。

考试时间为120分钟。

2.卷I必须用2B铅笔在答题纸上填写相应问题的答案。

修改时，应使用橡皮擦清洁。

3.第ii卷必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置，在草稿纸和本卷上答题无效。

作图时，可用2b铅笔，要求字体工整、笔迹清晰。

第一卷（共60分）一、选择题(本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只一项符合主题要求。

）1.设全集u?{1,2,3,4,5}，集合a?{2,3,4}，b?{2,5}，则b?(cua)?()a.{5}b.{1,2,5}c.{1,2,3,4,5}d.?2.定义映射f:a？b、如果在相应规则F的作用下，集合a中元素的图像为log3x，则集合a中元素9的图像为（）a．－3b．－2c．3d．23.已知命题p：?x?r,cosx?1,则a、 ?。

？p:？十、r、 Coxx？1.c、 ?。

？p:？十、r、 Coxx？1.4.函数f(x)?1?2x的定义域是（）a、（？？，0]b[0，？）c、（？？，0）d.（？？，？？）5.A，B和C是三组，所以“A？B”是“A？C？B？C”保持的条件（）A.充分和不必要条件B.必要和不充分条件C.充分和必要条件D.既不充分也不必要条件6．若a?log3,b?log2,2,c?log2,则,a,bc的大小关系是2313（）b、 ?。

？p:？十、r、 Coxx？1.d、 ?。

？p:？十、r、 Coxx？1.（）a、 a？Bcb.b？C交流电？B广告公司？A.B7．若f(x)为奇函数且在(0,??）上递增，又f(2)?0，则f（x）？f（？x）？0的解决方案集为（）xa．(?2,0)?(0,2)b．(??,2)?(0,2)c．(?2,0)?(2,??)d．(??,?2)?(2,??)8.已知命题p：关于X的函数，y=x2？3ax？4是[1，？上的增函数，命题q：函数y=（2a？1）x是减函数，若p?q为真命题，则实数a的取值范围是()21112b。

2021届高三第一次月考数学试题2019.10时间: 120分钟 满分: 150分注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡上规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答案无效。

5．考试结束后，将试卷带走（方便老师评讲），答题卡不得带走。

一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．1——10为单选，11——13为多选）1． 已知集合{}(){}24,lg |2|A x x B x y x =<=-<=-，则()R A C B ⋂=（ ）A ．()2,4B ．()2,4-C ．()2,2-D ．(]2,2- 2．已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数3． 已知2sin cos 5αα-=，则tan α=A. -2B. 12-C. ±2D. 12± 4． 函数()ln 26f x x x =+-的零点0x 所在区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 5． 已知1275a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1357b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25log 7c =，则a b c 、、的大小关系是（ ） A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a << 6． 已知函数()sin[(1)],02,0x x x f x x π-≥⎧=⎨<⎩，则12log 4f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A 3 B ．3 C 2 D ．27.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发。

2021-2022学年山东省日照市高三（上）月考数学试卷（12月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x(x −2)≤0}，B ={x|0<x ≤1}，则A ∩B =( )A. {x|0≤x ≤1}B. {x|0<x ≤1}C. {x|0<x ≤2}D. ⌀2. 若复数z 满足(1+i)z =|1−i|，则z 的虚部为( )A. −√2iB. −√2C. −√22iD. −√223. 设x ∈R 且x ≠0，则“x >1”是“x +1x >2”成立的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点P(−√2,1)，则cos2α=( )A. 2√23B. 13C. −13D. −2√235. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =4CD ，M 为AD 的中点，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( )A. 98B. 58C. 54D. 326. 下列函数中最小值为4的是( )A. y =x 2+2x +4B. y =|sinx|+4|sinx| C. y =2x +22−xD. y =lnx +4lnx7. 已知f(x)是R 上的奇函数，f(1+x)=f(1−x)，当x 1，x 2∈[0,1]，且x 1≠x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，则当−3≤x ≤1时，不等式xf(x)>0的解集为( )A. [−1,0)∪(0,1]B. [−3,−2)∪(0,1]C. (−2,−1)∪(0,1]D. (−2,0)∪(0,1]8. 已知函数f(x)=sin(ωx +π6)+cosωx(ω>0)，将f(x)图像上的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图像．g(x)的部分图像如图所示(D,C 分别为函数的最高点和最低点)，其中2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则ω的值为( )A. π4B. π2C. πD. 2π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.如果a<b<0，c<d<0，那么下面一定成立的是()A. a+d<b+cB. ac>bdC. ac2>bc2D. da <ca10.函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,−π<φ<0)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()A. 将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到一个奇函数的图象B. f(x)的图象的一条对称轴可能为直线x=−π6C. f(x)在区间[17π6,23π6]上单调递增D. f(x)的图象关于点(4π3,0)对称11.设m=log30.5，n=log0.30.5，则()A. m+n>0B. m+n<0C. m+n>mnD. m+n<mn12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若它的所有棱长都为√2，则()A. AB与PF所成角为π4B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为8πD. PN 与平面EBFN 所成角的正弦值为√22三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=√2，且a ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为______． 14. 已知函数f(x)={log 3(x +1)−2,x ≥0f(x +3),x <0，则f(−2022)=______．15. 已知球O 的半径为4，点A ，B ，C 在球O 的表面上，平面ABC ⊥平面ABO ，且CA =CB ，球面上的点到平面ABC 的最大距离为5，则三棱锥O −ABC 的体积为______． 16. 有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆(编号A ，B ，C)，在A 杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个有孔金盘(如图).游戏的目标：把A 杆上的金盘全部移到C 杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A ，B ，C 任一杆上．记n 个金盘从A 杆移动到C 杆需要的最少移动次数为a n .则a 4=______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 5=12，且a 6,32,a 7成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n 的最小值．18. 在①a +c =13，②b =7，③a +b +c =20三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并完成试题．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，ccosA −2bcosB +acosC =0． (1)求角B ；(2)若____，c >a ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =20，求sinA ．19. 已知数列{a n }，点(n,a n )在直线y =2x +3上．数列{b n }满足b n+2+b n =2b n+1，且b 2=2，前10项和为125． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设f(n)={a n ,n 为奇数b n ,n 为偶数，是否存在正整数m ，使得f(m +5)=3f(m)成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．20. 如图，在多面体ABCDMN 中，四边形ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AB =2√2，BC ⊥DC ，BC =DC =AM =DM =√2，四边形BDMN 为矩形． (1)求证：平面ADM ⊥平面ABCD ；(2)线段MN上是否存在点H，使得二面角H−AD−M的余弦值为3√13？若不存在，13请说明理由．若存在，确定点H的位置并加以证明．21.某景区准备设计一景观，其上部是圆锥形的顶棚，如图所示．圆锥顶点为B，底面圆心为O，半径为2米．通过金属杆AB支撑在地面A处(AB垂直于地面)，BP1，BP2，…，BP n支撑着顶棚，P1，P2，P3，…，P n是底面圆周上的n等分点，圆锥顶点距地面10米，设金属杆BP1，BP2，…，BP n所在直线与圆锥底面所成的角都为θ(金属杆不计粗细)．(1)当θ为60°且n=3时，求AO，BP1，BP2，BP3的总长；(2)当n一定，θ变化时，为美观与安全起见，要求AO，BP1，BP2，…，BP n的总长最短，此时θ的正弦值是多少？并由此说明n越大，O点的位置将会上移还是下移．22.已知函数f(x)=lnx−e x−m+m．(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，求m的值；(2)当m=0时，求证：f(x)<−2；(3)若函数f(x)有两个零点，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A={x|0≤x≤2}，B={x|0<x≤1}；∴A∩B={x|0<x≤1}．故选：B．可以求A，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：∵(1+i)z=|1−i|，∴(1+i)z=√2，∴z=√21+i =√2(1−i)(1+i)(1−i)=√22−√22i，∴z的虚部为−√22．故选：D．根据已知条件，结合复数的四则运算和复数模的公式，对z化简，再结合复数虚部的概念，即可求解．本题主要考查考查的运算，以及复数虚部的概念，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：当x<0时，不等式x+1x>2不成立，当x>0时，x+1x ≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时，取等号，当x>1时，不等式x+1x>2成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，故选：A根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】 【分析】本题考查三角函数的定义的应用，二倍角公式的应用，属于基础题． 直接利用三角函数的定义和倍角公式的应用求出结果． 【解答】解：角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点P(−√2, 1)， 所以cosα=√2√3， 所以cos2α=2cos 2α−1=2×23−1=13． 故选：B ．5.【答案】A【解析】解：连接BD ，因为M 为AD 的中点，所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=58BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=58，μ=12，所以λ+μ=58+12=98． 故选：A ．利用平面向量的线性运算及平面向量基本定理求出BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再与已知对比得到λ与μ的值即可．本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，属于中档题．6.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，考查了转化思想，属于中档题．利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A ，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B ，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C ，利用特殊值验证，即可判断选项D ． 【解答】解：对于A ，y =x 2+2x +4=(x +1)2+3≥3， 所以函数的最小值为3，故选项A 错误；对于B ，因为0<|sinx|≤1，所以y =|sinx|+4|sinx|≥2√|sinx|⋅4|sinx|=4， 当且仅当|sinx|=4|sinx|，即|sinx|=2时取等号， 因为|sinx|≤1，所以等号取不到，所以y =|sinx|+4|sinx|>4，故选项B 错误； 对于C ，因为2x >0，所以y =2x +22−x =2x +42x≥2√2x ⋅42x=4，当且仅当2x =2，即x =1时取等号， 所以函数的最小值为4，故选项C 正确；对于D ，因为当x =1e 时，y =ln 1e +4ln 1e=−1−4=−5<4，所以函数的最小值不是4，故选项D 错误． 故选：C ．7.【答案】D【解析】解：因为f(x)是R 上的奇函数，f(1+x)=f(1−x)， 所以函数的图像关于原点对称且关于x =1对称， 当x 1，x 2∈[0,1]，且x 1≠x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，即函数在[0,1]上单调递增，f(2)=f(0)=f(−2)=0， 其大致图像如图所示，则当−3≤x ≤1时，不等式xf(x)>0可转化为{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0，即{x >00<x ≤1或{x <0−2<x <0， 即0<x ≤1或−2<x <0． 故选：D ．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．8.【答案】C【解析】解：由函数f(x)=√32sinωx +32cosωx =√3sin(ωx +π3)，所以g(x)=√3sin(12ωx +π3)，因为D ，C 分别为函数的最高点和最低点，所以DA =AC =CB ，由2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，即2∣CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2⋅cos∠ACB =∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2， 所以cos∠ACB =12，所以△ACB 为正三角形，又△ACB 的高为√3， 所以∣AB ∣=2， 所以T =2×2=4， 即2π12ω=4，解得ω=π．故选：C ．先求出g(x)的解析式，再利用2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，得到cos∠ACB =12，进而求出∣AB ∣=2，所以T =2×2=4，所以ω=π．本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．9.【答案】BD【解析】解：当a =−2，b =−1，c =−5，d =−1时， a +d >b +c ，故选项A 错误； ∵a <b <0，c <d <0， ∴−a >−b >0，−c >−d >0， ∴ac >bd ，故选项B 正确； ∵a <b ，c 2>0，∴ac2<bc2，故选项C错误；∵−a>0，−c>−d>0，∴ca >da>0，故选项D正确；故选：BD．由不等式的性质依次对四个选项判断即可．本题考查了不等式性质的应用，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：由图象可知，34T=[5π6−(−2π3)]=3π2，所以T=2π，所以ω=1，因为图象过点(5π6,1)，所以cos(5π6+φ)=1，解得5π6+φ=2kπ(k∈Z)，由−π<φ<0，可知φ=−5π6，所以f(x)=cos(x−5π6)，对于A，将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，可得y=cos(x−5π6+π3)=cos(x−π2)=sinx，由正弦函数为奇函数可知，A正确；对于B，因为f(x)=cos(x−5π6)的对称轴方程为x−5π6=kπ，即x=5π6+kπ(k∈Z)，当k=−1时，x=−π6，故B正确；对于C，当x∈[17π6,23π6]时，x−5π6∈[2π,3π]，而余弦函数在该区间不是单调递增的，故C错误；对于D，令x−5π6=kπ+π2(k∈Z)，解得：x=43π+kπ，所以其对称中心为(4π3+kπ,0)(k∈Z)，当k=0时可知，D正确．故选：ABD．先根据函数图象求得其解析式，然后对选项逐一进行判断即可．本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．11.【答案】BC【解析】解：因为m=log30.5<0，n=log0.30.5>0，所以mn<0，所以1m +1n=log0.53+log0.50.3=log0.50.9>0，所以m+nmn>0，所以m+n<0．因为1m +1n=log0.53+log0.50.3=log0.50.9<1，所以m+nmn<1，所以m+n>mn，故选：BC．由已知结合对数函数的单调性及对数的运算性质分析各选项即可判断．本题主要考查了对数运算性质在大小比较中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于基础题．12.【答案】BCD【解析】解：对于A，因为AB//CD，PF//CG，所以AB与PF所成的角为∠DCG，在二十四等边体中，CD=CG=DG，故△DCG为等边三角形，所以∠DCG=60°，则AB与PF所成角为60°，故选项A错误；对于B，补全八个角构成棱长为2的正方形，所以该二十四等边体的体积为28−8×13×12×1×1×1=203，故选项B正确；对于C，取正方体ACPM对角线的交点为O，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为R=√2，其表面积为4πR2=8π，故选项C正确；对于D，因为PN在平面EBFN内的射影为NS，所以PN与平面EBFN所成的角为∠PNS，则sin∠PNS=PSPN =√2=√22，所以PN与平面EBFN所成角的正弦值为√22，故选项D正确．故选：BCD．利用线面角的定义，得到AB与PF所成的角为∠DCG，求解即可判断选项A，先补全八个角构成棱长为2的正方形，计算出体积，即可判断选项B，先找到球心与半径，再计算表面积，即可判断选项C，先找到直线与平面所成的角，再利用边角关系求解，即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体，考查了空间几何体结构特征的理解与应用，异面直线所成的角，直线与平面所成的角，空间几何体外接球的表面积，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．13.【答案】3π4【解析】解：由题意可得a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=0，即a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，∴1+1×√2×cos<a⃗，b⃗ >=0．解得cos<a⃗，b⃗ >=−√22．再由<a⃗，b⃗ >∈[0,π]，可得<a⃗，b⃗ >=3π4，故答案为：3π4．由题意可得a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=0，求得cos<a⃗，b⃗ >的值然后求<a⃗，b⃗ >的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量夹角公式的应用，属于基础题．14.【答案】−2【解析】解：根据题意，函数f(x)={log 3(x +1)−2,x ≥0f(x +3),x <0，则f(−2022)=f(−2022+3×674)=f(0)=log 31−2=−2； 故答案为：−2．根据题意，由函数的解析式直接分析计算可得答案． 本题考查函数值的计算，涉及分段函数的性质，属于基础题．15.【答案】5【解析】解：取AB 中点D ，则OD ⊥AB ， 因为平面ABC ⊥平面ABO ， 所以OD ⊥平面ABC ，OD ⊥DC ， 因为OA =OB =OC ， 所以DA =DB =DC ， 所以CA ⊥CB ，因为CA =CB ， 所以CD ⊥AB ，因为球的半径为4，且球上的点到平面ABC 的最大距离为5， 所以OD =1,CD =√OC 2−OD 2=√15，所以三棱锥O −ABC 的体积V =13×12×AB ×CD ×OD =13×12×2√15×√15×1=5． 故答案为：5．取AB 中点D ，则OD ⊥AB ，在由平面ABC ⊥平面ABO ，可得OD ⊥DC ，再由已知条件可得CA ⊥CB ，CD ⊥AB ，所以OD =1,CD =√OC 2−OD 2=√15，然后利用棱锥的体积公式求解即可．本题主要考查锥体体积的求解，锥体与球的关系等知识，属于基础题．16.【答案】15【解析】解：根据题意，假设A 杆上有n +1个圆环，将n +1个圆环从A 杆全部套到B 杆上，需要最少的次数为a n+1，可这样操作，先将n 个圆环从A 杆全部套到C 杆上，至少需要的次数为a n ， 然后将最大的圆环从A 杆套在B 杆上，需要1次，再将C 杆上n 个圆环从C 杆套到B 木杆上，至少需要的次数为a n ， 所以a n+1=2a n +1，易知a 1=1，则a 2=2a 1+1=3，a 3=2a 2+1=7，a 4=2a 3+1=15， 故答案为：15．根据题意，假设A 杆上有n +1个圆环，结合汉诺塔的游戏的规则，分析数列{a n }的递推公式，由此求出a 4．本题考查数列递推公式的应用，需注意汉诺塔的游戏的规则，属于中档题．17.【答案】解：(1)设等比数列的首项为a 1，公比为q ，且q >0，由{a 1⋅q 4=12a 1q 5+a 1⋅q 6=3， 解得a 1=132，q =2， 所以a n =2n−6；(2)因为b n =log 2a n =log 22n−6=n −6， 因为b n+1−b n =1，所以{b n }为首项为b 1=−5，公差为1的等差数列， 当b n =n −6=0时，n =6， 又b 1<0，d >0，所以数列{b n }是递增数列， 故前5项为负数，第6项为0， 所以前5项或前6项和最小， 故最小值为S 5=S 6=−15．【解析】(1)根据条件可得关于首项a 1，公比q 的方程组，解方程组可求得首项与公比，从而求得等比数列通项公式；(2)化简b n 可得数列{b n }为首项为b 1=−5，公差为1的等差数列，进而由等差数列为递增数列可得前5项或前6项和最小，从而可得最小值．本题考查了等差数列等比数列的综合，等差数列前n 项和的最值问题，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵ccosA −2bcosB +acosC =0，∴在△ABC 中，由正弦定理得，sinCcosA −2sinBcosB +sinAcosC =0， ∴sin(A +C)=2sinBcosB ， ∵A ，B ，C 是△ABC 的内角， ∴sin(A +C)=sinB ≠0， ∴cosB =12，所以，B =π3． (2)选择①a +c =13，∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =20，∴accosB =20，即12ac =20，∴ac =40， ∵c >a ，∴c =8，a =5，在△ABC 中，由余弦定理得，b =√a 2+b 2−2abcosB =√52+82−2×5×8×12=7，在△ABC 中，由正弦定理得，sinA =asinB b=5√314． (2)选择②b =7．∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =20，∴accosB =20，即12ac =20，∴ac =40，在△ABC 中，由余弦定理得，b 2=a 2+c 2−2accosB =(a +c)2−3ac =(a +c)2−120， ∴a +c =13， ∵c >a ，∴a =5．在△ABC 中，由正弦定理得，sinA =asinB b=5√314， (2)选择③a +b +c =20．∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =20，∴accosB =20，即12ac =20，∴ac =40，在△ABC 中，由余弦定理得，[20−(a +c)]2=a 2+c 2−2accosB =(a +c)2−3ac =(a +c)2−120， ∴a +c =13， ∵c >a ，∴a =5．在△ABC 中，由正弦定理得，sinA =asinB b=5√314．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可求cosB =12，进而可求B 的值．(2)选择①，利用平面向量数量积的运算可求ac 的值，根据已知可求a ，c 的值，在△ABC 中，由余弦定理得b ，由正弦定理可求sinA 的值．(2)选择②，利用平面向量数量积的运算可求ac 的值，在△ABC 中，由余弦定理可得a +c =13，解得a 的值，在△ABC 中，由正弦定理即可求解sinA 的值．(2)选择③，利用平面向量数量积的运算可求ac 的值，在△ABC 中，由余弦定理可求a +c =13，根据已知可求a 的值，在△ABC 中，由正弦定理可求sinA 的值．本题主要考查三角简单的恒等变换，正、余定理，平面向量数量积的运算在解三角形中的应用，考查逻辑推理和数学运算等数学核心素养，属于中档题．19.【答案】解：∵数列{a n }，点(n,a n )在直线y =2x +3上，∴a n =2n +3；又b n+2+b n =2b n+1，即b n+2−b n+1=b n+1−b n ， ∴{b n }为等差数列，于是10(b 1+b 10)2=125⇒b 1+b 10=25=b 2+b 9，∴b 2=2⇒b 9=23， ∴d =b 9−b 29−2=23−27=3，因此，b n =b 2+3(n −2)=3n −4， 即b n =3n −4． (2)f(n)={a n ,n 为奇数b n ,n 为偶数，①当m 为奇数时，m +5为偶数，此时f(m +5)=3(m +5)−4=3m +11，3f(m)=3×(2m +3)=6m +9，∴3m +11=6m +9，m =23∉N ∗(舍)； ②当m 为偶数时，m +5为奇数，此时f(m +5)=2(m +5)+3=2m +13，3f(m)=3(3m −4)=9m −12， ∴2m +13=9m −12，m =257∉N ∗(舍去)．综上，不存在正整数m ，使得f(m +5)=3f(m)成立．【解析】(1)根据点(n,a n )在直线y =2x +3上，即可得到数列{a n }的通项公式；运用等差数列的通项和求和公式，求出公差，即可得到数列{b n }的通项公式；(2)分m 为奇数和m 为偶数，分别利用条件f(m +5)=3f(m)，求解m 的值，可得结论． 本题考查数列的通项，考查等差数列的通项和求和公式，考查裂项相消求和方法，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：因为BC ⊥DC ，BC =DC =√2，AB =2√2，所以BD =√BC 2+DC 2=√2+2=2，AD =√BC 2+(AB −CD)2=√2+2=2， 在△ABD 中，满足AD 2+BD 2=AB 2， 故△ABD 为直角三角形，且BD ⊥AD ， 因为四边形BDMN 为矩形， 则BD ⊥DM ，又DM ∩AD =D ，DM ，AD ⊂平面ADM ， 故BD ⊥平面ADM ， 又BD ⊂平面ADM ，所以平面ADM ⊥平面ABCD ；(2)解：存在点H ，使得二面角H −AD −M 的余弦值为3√1313，点H 为靠近点M 的三等分点．证明如下：以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(1,0,1)， 所以DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，设MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(0,2,0)，其中0≤λ≤1， 解得H(1,2λ,1)，故DH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2λ,1)， 设平面ADH 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x =0x +2λy +z =0，令y =1，则z =−2λ， 故n⃗ =(0,1,−2λ)， 又平面ADM 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 因为二面角H −AD −M 的余弦值为3√1313， 所以|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=1√1+4λ2×1=3√1313， 解得λ=13，故存在点H ，使得二面角H −AD −M 的余弦值为3√1313，点H 为靠近点M 的三等分点．【解析】(1)利用平面几何知识求出BD ，AD 的长，从而证明BD ⊥AD ，又BD ⊥DM ，由线面垂直的判定定理证明BD ⊥平面ADM ，再利用面面垂直的判定定理证明即可； (2)建立合适的空间直角坐标系，设MH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到点H 的坐标，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面ADH 的法向量，由向量的夹角公式列式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，二面角的理解与应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)当θ=60°且n =3时，∵OP 1=OP 2=OP 3=2，∴BP 1=BP 2=BP 3=4，OB =2√3，AO =10−2√3， 所以BP 1+BP 2+BP 3+AO =22−2√3；(2)∵金属杆BP 1，BP 2，…，BP n 所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ，(θ∈(0,π2))，∴∠BP 1O =∠BP 2O =∠BP 3O =⋯=∠BP n O =θ ∵OP 1=OP 2=OP 3=⋯=OP n =2，∴BP 1=BP 2=BP 3=⋯=BP n =2cosθ，BO =2tanθ， ∴AO =10−BO =10−2tanθ，设总长为ym ，则y =BP 1+BP 2+BP 3+⋯+BP n +AO =2n cosθ+10−2tanθ=10+2(n−sinθ)cosθ，y′=(10+2(n−sinθ)cosθ)′=4(nsinθ−1)cos2θ+1，当0<sinθ<1n 时，y′<0；当1n <sinθ<1时，y′>0 所以当sinθ=1n 时，函数有极小值，也是最小值；此时sinθ=1n ，n 越大，sinθ越小，因为θ是锐角，所以θ也越小，因此C 点上移了．【解析】(1)先画出图形，然后分别求出金属杆BP 1，BP 2，BP 3及AO 的长，从而可求出所求；(2)设金属杆总长为ym ，然后表示出y 关于θ的函数，最后利用导数研究该函数的最值，即可求出所求．本题主要考查了利用导数研究函数的最值，以及实际问题中导数的意义，同时考查了运算求解的能力和计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由f(x)=lnx −e x−m +m ，得f′(x)=1x −e x−m ，∴f′(1)=1−e 1−m ， 又f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行， ∴f′(1)=0，∴1−e 1−m =0， ∴m =1，(2)证明：当m =0时，f(x)=lnx −e x ，f′(x)=1x −e x (x >0)， 则f′(x)在定义域内单调递减， f′(12)=2−e 12>0,f′(1)=1−e <0， 所以存在x 0∈(12,1)，使得f′(x 0)=0，即e x 0=1x 0，两边取对数得x 0=−lnx 0，当x ∈(0,x 0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈(x 0,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以f(x)max =f(x 0)=lnx 0−e x 0=−x 0−1x 0=−(x 0+1x 0)<−2．原不等式得证．(3)由f(x)=lnx −e x−m +m ，得f′(x)=1x −e x−m ，函数f(x)有两个零点等价于f′(x)在(0,+∞)上有唯一一个根x1，令f′(x)=0，则x=x1，当x∈(0,x1)时，f′(x)>0，当x∈(x1,+∞)时，f′(x)<0，所以x1为函数的唯一极大值点，且f(x1)>0，因为f′(x1)=0⇒1x1=e x1−m⇒−lnx1=x1−m，得m=x1+lnx1，故f(x1)=2lnx1−1x1+x1，令ℎ(x)=2lnx−1x+x,ℎ(1)=0，因为ℎ′(x)=2x +1x2+1>0，所以当x>1时，ℎ(x)>0，则x1>1，又因为y=x+lnx在(0,+∞)上单调递增，由x1>1，得m=x1+lnx1>1．综上，m的取值范围为(1,+∞)．【解析】(1)由题意，对函数求导，使斜率为0，即可求得m的值，(2)先求函数的单调性，再求函数的最大值即可证明，(3)函数f(x)有两个零点等价于f′(x)在(0,+∞)上有唯一一个根x1，结合条件求得m= x1+lnx1，再求x1+lnx1的范围即可确定m的范围．本题考查导数的切线及单调性，考查学生的综合能力，属于难题．第21页，共21页。

山东省日照市第一中学2021届高三数学下学期模拟考试试题（含解析）注意事项：1.考试时间120分钟，满分150分；2.把每小题的答案，写在答题卡上. 一、单项选择题1.已知集合1|02x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，(|B y y ==，则A B =（ ） A. ∅ B. (,2]-∞C. [)1,2D. []0,2【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式确定集合A ，求函数值域确定集合B ，再由交集定义计算．【详解】由102x x -≤-得(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，12x ≤<，即[1,2)A =，又2044x ≤-≤，所以02≤≤，即[0,2]B =， 所以[1,2)A B ⋂=． 故选：C ．【点睛】本题考查集合交集运算，考查解分式不等式，求函数值域，本题属于基础题． 2.复数z 满足342z i ++=，则z z ⋅的最大值是（ ） A. 7 B. 49 C. 9 D. 81【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，由342z i ++=可得出()()22344x y +++=，22z z x y ⋅=+，利用数形结合思想求出z z ⋅的最大值.【详解】设z x yi =+，则()()()()223434342z i x y i x y ++=+++=+++=，()()22344x y ∴+++=，则复数z 在复平面内所对应的点的轨迹是以()3,4--为圆心，以2为半径的圆，22z z x y ⋅=+，其几何意义是原点到圆()()22344x y +++=上一点距离的平方，原点到圆心的距离为()()2230405--+--=，因此，z z ⋅的最大值为()22549+=，故选B.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应点的轨迹，同时也涉及了点到圆上一点最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60︒，每只胳膊的拉力大小均为400N ，则该学生的体重（单位：kg ）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为210/3 1.732g m s ≈＝，） A. 63 B. 69C. 75D. 81【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形法则得到该学生的体重||||G F '=,利用余弦定理即可求出||F '得解.【详解】如图，设该学生的体重为G ,则G F '=.由余弦定理得22222||4004002400400cos()3400,||40033F F π''=+-⨯⨯⨯=⨯∴=所以||369G =≈kg . 故选：B【点睛】本题主要考查向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4.α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（ ） A. αβ>B. 0αβ+>C. αβ<D.22αβ>【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()sin f x x x =，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项.【详解】构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x +'=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又 ()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.5.方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为（ ） A. 甲 B. 丙 C. 戊 D. 庚【答案】D 【解析】 【分析】对乙丙值班的时间分三种情况讨论得解.【详解】假设乙丙分别在星期三和星期五值班，则星期六甲和庚值班，不符合题意； 假设乙丙分别在星期二和星期六值班，则甲在星期日，庚在星期五值班，戊在星期一值班，丁在星期三值班；假设乙丙分别在星期一和星期日值班，显然不符合题意. 故选：D【点睛】本题主要考查分析推理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析能力. 6.已知抛物线24y x ＝的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线交于A ，B 两点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q ．若8AB =，PQ =（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】B 【解析】 【分析】如图，先证明||||PM PF =，||||PM PN =,所以点P 是MN 的中点，根据中位线性质和抛物线的定义即得解.【详解】如图，由题得MAP QAP ∠=∠,||||AF AM =,所以||||AP MF MG GF ⊥=，. 所以||||PM PF =,所以MPA PAF ∆≅∆, 所以90PFB PNB ∠=∠=,所以||||PFB PNB PF PN ∆≅∆∴=，， 所以||||PM PN =,即点P 是MN 的中点， 所以111||(||||)(||||)||4222PQ AM BN AF BF AB =+=+== 故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图2所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数．则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率是（ ）图1 图2A.13B.16C.172D.1144【答案】C 【解析】 【分析】先求出满足题意的所有排法的总数，再求出所有排法的总数，再由古典概型的概率公式求解即可.【详解】先排左上角的数字，可以排2,4,6,8，有4种排法，如果固定了左上角的偶数，如图，假设是2，则有两种排法，当四个角的数字固定之后，其他空位的数字随其固定，所以共有42=8⨯种排法满足题意.要求所有的结果，可以先排四个角上的偶数，有44A 种结果，再排其他四个空位，有44A 种结果，共有44442424576A A =⨯=.由古典概型的概率公式得444488157672P A A ===⋅. 故选：C【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8.已知直线(0)y ax b b =+＞与曲线3y x =有且只有两个公共点1122(,),(,)A x y B x y ，其中12x x ＜，则122x x +=（ ）A. 1-B. 0C. 1D. a【答案】B 【解析】 【分析】先分析出直线(0)y ax b b =+＞与曲线3y x =在点A 处相切，在点B 处相交，求出直线方程为231132y x x x =-，联立曲线方程3y x =，解方程组即得1220x x +=.【详解】问题等价于直线(0)y ax b b =+＞与曲线3y x =有且只有两个公共点1122(,),(,)A x y B x y ，画出函数的图象只能是这样：直线(0)y ax b b =+＞与曲线3y x =在点A 处相切，在点B 处相交.由题得切线的斜率为213k x =，切线方程为3223111113(),32y x x x x y x x x -=-∴=-. 所以23113,2a x b x ==-,所以直线方程为231132y x x x =-.把直线方程和曲线方程3y x =联立得，323323111132,320x x x x x x x x =-∴-+=， 所以2111()(2)0,x x x x x x -+=∴=或12x x =-.所以21122,20x x x x =-∴+=. 故选：B【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、多项选择题9.已知点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，,AB CD 是经过点F 的弦且AB CD ⊥，AB 的斜率为k ，且0k >，,C A 两点在x 轴上方.则下列结论中一定成立的是（）A.1112AB CD p+= B. 若243AF BF p ⋅=，则33k = C. OA OB OC OD ⋅=⋅D. 四边形ABCD 面积最小值为216p【答案】AC 【解析】 【分析】先由AB 的斜率为k ，AB CD ⊥，得到1CD k k=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理得到2122212(2)14p k x x kx x p ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再由抛物线的焦点弦公式求出AB ，CD ，最后根据题意，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为AB 的斜率为k ，AB CD ⊥，所以1CD k k=-， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得，222221(2)04k x p k xk p ，2122212(2)14p k x x k x x p ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以221222(2)2(1)++=++=+=p k p k AB x x p p k k， 同理可得22212(1)2(1)1p k CD p k k +==+ 则有1112AB CD p+=，所以A 正确； 221212121422⎛⎫⎛⎫⋅=+=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭p p OA OB x x y y p k x x ()22222222212121111(2)34244224+⎡⎤=+-++=+-=-⎢⎥⎣⎦p p k p k x x x x p p k p p 与k 无关，同理234⋅=-OC OD p ，故OA OB OC OD ⋅=⋅，C 正确； 若243AF BF p ⋅=，由21212121()2224⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭p p p x x x x x x p 得222222221(2)4223++=+=p k p p p p k k ，解得3k =，故B 错； 因为AB CD ⊥，所以四边形ABCD 面积22222222222112(1)2(1)12(1)22822++⎛⎫==⋅⋅+==++≥ ⎪⎝⎭ABCDp k p k S AB CD p k p k p k k k 当且仅当221k k =，即1k =时，等号成立；故D 错； 故选AC【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，熟记抛物线的简单性质，以及直线与抛物线的位置关系即可，解决此类题型，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，弦长公式等求解，属于常考题型.10.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上的动点（点P 不与点C ，1C 重合），过点P 作平面α分别与棱BC ，CD 交于M ，N 两点，若CP CM CN ＝＝，则下列说法正确的是（ ）A. 1A C ⊥面αB. 存在点P ，使得1AC ∥平面αC. 存在点P ，使得点1A 到平面α的距离为53D. 用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 【答案】ACD 【解析】利用空间直线平面的位置关系对A,B 分析判断，利用点到平面的距离和截面知识对C,D 分析判断得解.【详解】A.如图所示，平面α //平面1BDC ,在正方体中，1A C ⊥平面1BDC ,所以1A C ⊥平面α，所以选项A 正确；B.假设存在点P ，使得1AC ∥平面α，因为1AC ⊂平面1ACC ,平面1ACC 平面α=PE,所以1//AC PE ,所以221222CP CP ===,显然不等，所以假设不成立，故选项B 错误；C. 当CP 越小，则点1A 到平面α的距离越大，这个距离大于零且无限接近1533AC =>,所以存在点P ，使得点1A 到平面α的距离为53，所以选项C 正确； D. 用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，因为PM//1AD ,所以得到的截面就是平面1PMAD ,它是一个梯形，所以该选项正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系，考查点到平面的距离和截面问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知函数()()()sin cos cos sin ,f x x x x R =-∈，则（ ） A. ()f x 为偶函数B. ()f x 为周期函数，且最小正周期C. ()0f x <恒成立D. ()f x的最小值为【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数的性质，对选项逐一分析，得到结果. 【详解】函数()()()sin cos cos sin ,f x x x x R =-∈，满足()sin[cos()]cos[sin()]sin(cos )cos(sin )()f x x x x x f x -=---=-=， 所以()f x 为偶函数，所以A 正确；根据正余弦函数的最小正周期可知()f x 为周期函数，且最小正周期为2π，所以B 正确； 当[0,]2x π∈时，sin [0,1]x ∈，且单调增，cos [0,1]x ∈，且单调减， 所以()0f x <，同理，[,]2x ππ∈，3[,]2x ππ∈，3[,2]2x ππ∈时都成立，结合函数的周期性，满足()0f x <恒成立，所以C 正确； 因为sin [1,1]x ∈-，cos [1,1]x ∈-，而sin cos )4x x x π-=-，当4πx =-时取得最小值，结合条件，取不到这个最小值，所以D 不正确； 故选：ABC.【点睛】该题考查的是有关三角函数的性质，涉及到的知识点有偶函数的性质，函数的周期性的判断，诱导公式的应用，属于简单题目.12.已知二次方程的韦达定理，推广到实系数三次方程320Ax Bx Cx D +++=也成立，即123122331123B x x x AC x x x x x x AD x x x A ⎧++=-⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩.若实数a 、b 、c 满足a b c <<，69a b c ab bc ca ++=⎧⎨++=⎩，则（ ） A. 0a < B. 13b <<C. 34c <<D. ()()55b c --的最小值是154【答案】BCD 【解析】 【分析】构造函数32()()()()69f x x a x b x c x x x abc =---=-+-，利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出()()()30f x f f ==极小值，()()()14f x f f ==极大值，再由a 、b 、c 为函数()y f x =的三个零点可判断出A 、B 、C 的正误，由题中条件得出6b c a +=-，()()2963bc a a a =--=-，代入()()55b c --可判断D 的正误.【详解】构造函数32()()()()69f x x a x b x c x x x abc =---=-+-，则2()3129f x x x -'=+由()0f x '>可得3x >或1x <，由()0f x '<可得13x << 所以()f x 在(),1-∞和()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减 因为a 、b 、c 为函数()y f x =的三个零点所以()()03f x f =<极小值，()()01f x f =>极大值 因为()()()()030,140f f f f ==所以由零点存在定理可得01a <<，13b <<，34c <<，故A 错误，B 、C 正确 由条件可得6b c a +=-，()()2963bc a a a =--=-所以()()()()()()2255525356254,0,1b c bc b c a a a a a --=-++=---+=-+∈ 所以当12a =时()()55bc --取得最小值154，故D 正确故选：BCD【点睛】构造函数32()()()()69f x x a x b x c x x x abc =---=-+-是解答本题的关键，考查了学生的分析能力与转化能力，属于中档题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数sin y x =的图象与直线()()20y m x m =+>恰有四个公共点()11,A x y ，()22,B x y，()33,C x y，()44,D x y，其中1234x x x x<<<，则442tanxx+=__________．【答案】1【解析】【分析】根据题意画出图象，找到只有四个公共点的情况，明确D点即为直线与函数siny x=的图象相切点，然后代入运算，即可得到结果．【详解】由题意画出图象如下：根据题意，很明显，在D点处，直线与函数siny x=的图象相切，D点即为切点．则有，在点D处，siny x=-，cosy x'=-．而4cos x m-=，且()4442siny m x x=+=-，∴44444sin sin2tancosx xx xm x--+===-．∴44442tan1tan tanx xx x+==．故答案为：1．【点睛】此题考查根据函数图象关系求解参数的取值，关键在于结合直线与曲线的几何位置关系利用导数的几何意义建立等式求解.14.若函数11()ln()2x xf x e e--=+-与()sin2xg xπ=像的交点为()11,x y，()22,x y，(),m mx y，则1miix==∑____________.【答案】2【解析】 【分析】利用复合函数的单调性得出()f x 的单调性，再结合两函数的对称性确定交点个数与性质后可得结论．【详解】由1x t e -=是增函数，1u t t=+在[1,)+∞是单调递增，ln 2y u =-在(0,)u ∈+∞单调递增得11()ln()2x x f x e e --=+-在[1,)+∞上是增函数，又211(2)11(2)ln 2ln()2()x x x x f x ee e ef x ------⎡⎤-=+-=+-=⎣⎦，所以()y f x =的图象关于直线1x =对称，易知1x =也是()sin2xg x π=的对称轴，在[1,3]上()g x 是减函数，而(1)10(1)g f =>>，(3)10(3)g f =-<<，因此()f x 与()g x 的图象在[1,3]上有一个交点，[3,4)x ∈时，()0,()0f x g x ><，4x ≥时，()1f x >，()1g x ≤，()f x 与()g x 的图象在[3,)+∞上无交点，所以在[1,)+∞上它们只有一个交点，根据对称性在(,1]-∞上也只有一个交点，且这两个交点关于直线1x =对称．所以1212mii xx x ==+=∑．故答案为：2．【点睛】本题考查两函数图象交点问题，解题方法是研究函数的性质：单调性，对称性，确定交点个数及性质．15.已知函数()()21x f x e x =+，令1()()f x f x '=，1()()n n f x f x +'=，若()2()x n n n n f x e a x b x c =++，记数列22n n n a c b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n S ，求2019S 的近似值.有四位同学做出了4个不同答案：23，1，32，53，其中最接近2019S 的近似值的是____________. 【答案】32【解析】 【分析】依次求导数，归纳出()n f x ，得,,n n n a b c ，然后用放缩法估值n S ，得出结论． 【详解】由已知221()()(21)(22)(43)x x x f x f x e x x e x e x x '==++++=++，2221()()(43)(24)(67)x x x f x f x e x x e x e x x '==++++=++， 2232()()(67)(26)(813)x x x f x f x e x x e x e x x '==++++=++，…归纳出：22()2(1)1x n f x e x n x n n ⎡⎤=+++++⎣⎦，又()2()x n n n n f x e a x b x c =++1n a =，2(1)nb n =+，21nc n n =++.∴222221222(22)n n n n a c b n n n==-+-++，令221111(2)2(1)1n n n n a d n c b n n n n n==<=-≥---，则2019123111111122231n S d d d d n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+<+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭31322n =-<， ∴与2019S 的值最接近的是32. 【点睛】本题考查数列的函数特性，考查基本初等函数的导数运算，考查了用放缩法证明数列不等式，还考查了归纳推理，属于中档题．16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A ，B 距离之比为常数(0λλ＞且1)λ≠的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB上，2BE AE ＝，动点P 满足3BP PE ＝．若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为________；若点P 在长方体1111ABCD A B C D -内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，则三棱锥1M B CF -的体积的最小值为___________．【答案】 (1). 23 (2). 94【解析】 【分析】（1）以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的坐标系，设(,)P x y ，求出点P 的轨迹为22+12x y =，即得解；（2）先求出点P 的轨迹为222++12x y z =，P 到平面1B CF的距离为3h =，再求出h 的最小值即得解.【详解】（1）以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的坐标系，则(6,0),(2,0),B E 设(,)P x y ，由3BP PE ＝得2222(6)3[(2)]x y x y -+=-+， 所以22+12x y =，所以若点P 在平面ABCD 内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为（2）设点(,,)P x y z，由BP 得222222(6)3[(2)z ]x y z x y -++=-++，所以222++12x y z =，由题得1(3,3,3,),(6,0,3),(6,3,0),F B C所以11(3,3,0),(0,3,3),FB BC =-=-设平面1B CF 的法向量为000(,,)n x y z =， 所以100100·330,(1,1,1)·330n FB x y n n B C y z ⎧=-=⎪∴=⎨=-=⎪⎩，由题得(6,3,z)CP x y =--， 所以点P 到平面1B CF的距离为||||CP n h n ⋅== 因为2222222(++)(111)(),66x y z x yz x y z ++≥++∴-≤++≤， 所以minh ==M 到平面1BCF由题得1B CF ∆=， 所以三棱锥1MB CF -的体积的最小值为21934. 故答案为：(1). 94． 【点睛】本题主要考查空间几何中的轨迹问题，考查空间几何体体积的计算和点到平面距离的计算，考查最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.若数列{}n a 满足221n n a a p +-=（n ∈+N ，p 为常数），则称数列{}n a 为等方差数列，p为公方差.（1）已知数列{}n c ，{}n d ，{}n x ，{}n y 分别满足2020n c =，n d =，21n x n =+，3n n y =，从上述四个数列中找出所有的等方差数列（不用证明）；（2）若数列{}n a 是首项为1，公方差为2的等方差数列，求数列{}2na 的前n 项和nS.【答案】（1）{}n c ，{}n d 为等方差数列；（2）2n S n =.【解析】 【分析】（1）根据等方差数列的定义判断；（2）利用等方差数列的定义写出2{}n a 的性质，得出其通项公式2n a ，再求其和． 【详解】（1）22221202020200n n c c +-=-=为常数，22111n n d d n n +-=+-=为常数，22221(23)(21)88n nx x n n n +-=+-+=+不是常数， ()()2222113389n n nn ny y ++-=-=⨯不是常数， 所以{}n c ，{}n d 为等方差数列；（2）因为数列{}n a 是首项为1，公方差为2的等方差数列，所以11a =，2212n n a a +-=，所以212(1)21n a n n =+-=-，所以2(121)2n n n S n +-==.【点睛】本题考查数列的新定义，考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，解题关键是理解新定义，把新定义数列转化为已知数列问题．18.如图，平面四边形ABCD ，点B ，C ，D 均在半径为533的圆上，且3BCD π∠＝．（1）求BD 的长度；（2）若3,2AD ADB ABD ∠∠＝＝，求ABD ∆的面积．【答案】（1）5（2）【解析】 【分析】（1）先求出BCD ∆的外接圆半径为，再利用正弦定理求出BD 得解；（2）设ABD α∠=，α为锐角，则2ADB α∠=，先求出6cos AB α=，再利用余弦定理求出cos α=，即得ABD ∆的面积．【详解】（1）由题意可知，BCD ∆的外接圆半径为3，由正弦定理22sin 3BD R BCD ==∠，解得5BD =；（2）在ABD ∆中，设ABD α∠=，α为锐角，则2ADB α∠=，因为sin 2sin AB AD αα=，所以32sin cos sin AB ααα=，所以6cos AB α=，因为2222cos AD AB BD AB BD α=+-⋅⋅， 即22936cos 2560cos αα=+-，所以cos α=，则6cos 3AB αα===，所以1sin 2ABD S AB BD α∆=⋅⋅= 【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.如图1，平面四边形ABCD 中，,AB AC AB AC AC CD ⊥⊥＝，E 为BC 的中点，将ACD ∆沿对角线AC 折起，使CD BC ⊥，连接BD ，得到如图2所示的三棱锥D ABC -（1）证明：平面ADE ⊥平面BCD ； （2）已知直线DE 与平面ABC 所成的角为4π，求二面角A BD C --的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）66【解析】 【分析】（1）证明 AE ⊥平面BCD ，平面 ADE ⊥平面BCD 即得证；（2）先由题可知DEC ∠即为直线DE 与平面ABC 所成的角，再证明AHE ∠为二面角A DB C --的平面角，再解三角形求解即可.【详解】（1）证明：在三棱锥 D ABC -中，因为,CD BC CD AC ⊥⊥， =AC BC C ，所以 C D ⊥平面 ABC ， 又 AE ⊂平面 ABC ， 所以AE CD ⊥，因为 =AB AC ， E 为BC 中点， 所以 AE BC ⊥， 又= BCCD C ，所以 AE ⊥平面BCD ， 又AE ⊂平面ADE ，所以平面 ADE ⊥平面BCD ．（2）由（1）可知DEC ∠即为直线DE 与平面ABC 所成的角， 所以4DEC π∠=，故1CD CE ==；由（1）知AE ⊥平面BCD ， 过E 作EH BD ⊥于H ，连接AH ， 由三垂线定理可知AH BD ⊥，故AHE ∠为二面角A DB C --的平面角． 由BHE BCD ∆∆∽，得BE EHBD CD=， 即15EH =得55EH =， 所以30AH =， 故6cos EH AHE AH ∠==， 所以二面角A DB C --的余弦值为6．【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间线面角和二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评和差评平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评-分，某商家在试价不积分，正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计1营业期间随机抽取100单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图1和图2．（1）通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓；请根据题目所给信息完成下面22⨯列联表，并判断能否有99％的把握认为“获得好评”与物流速度有关？中评或差合计好评评物流迅速物流迟缓30合计（2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X．该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表（表1），以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数发生的概率．表1（Ⅰ）求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）平台规定，当积分超过10000分时，商家会获得“诚信商家”称号，请估计该商家从正式营业开始，1年内（365天）能否获得“诚信商家”称号附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++参考数据：【答案】（1）见解析，有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关．（2）（Ⅰ）见解析，0.7（Ⅱ）该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号．【解析】【分析】（1）先画出2×2列联表，再利用独立性检验求解；（2）（Ⅰ）先求出X的取值可能是1，0，1-，再求出对应的概率，写出其分布列，求出其期望得解；（Ⅱ）设商家每天的成交量为Y，求出商家每天能获得的平均积分和商家一年能获得的积分，即可判断得解.【详解】（1）由题意得22(5015305)100 6.6358020554511K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关． （2）（Ⅰ）由题意可知，X 的取值可能是1，0，1-，每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为0.8，0.1，0.1， 所以X 的分布列为所以10.800.1(1)0.10.7EX =⨯+⨯+-⨯=；（Ⅱ）设商家每天的成交量为Y ，则Y 的取值可能为27，30，36， 所以Y 的分布列为所以270.4300.4360.230EY =⨯+⨯+⨯=，所以商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分：21365766510000⨯=<，所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号．【点睛】本题主要考查独立性检验，考查随机变量的分布列和期望及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.在平面直角坐标系xOy中，①已知点A，直线l：3x＝，动点P满足到点A 的距离与到直线l ②已知圆C的方程为224x y+=，直线l为圆C的切线，记点A到直线l的距离分别为12,d d，动点P满足12,PA d PB d＝＝；③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且3ST＝，动点P满足21+33OP OS OT=．（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为E，经过点(1,0)D的直线l'交E于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．【答案】（1）不论选哪种条件，动点P的轨迹方程2214xy+=（2）33[,]44-【解析】【分析】（1）选①,可以用直接法求轨迹方程，选②，可以用待定系数法求轨迹方程，选③，可以用代入法求轨迹方程；（2）设0(0,)Q y，当l'斜率不存在时，y=，当l'斜率不存在时，求出02331144kyk kk==++，得到034y-≤<或34y<≤，综合即得解.【详解】（1）若选①，设(,)P x y2=，整理得2214xy+=，所以所求的轨迹方程为2214x y +=．若选②，设(,)P x y ，直线l 与圆相切于点H ，则12||||2||4||PA PB d d OH AB +=+==>=， 由椭圆定义知，点P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，所以24,2||a c AB ===故2,1a c b ===，所以所求的轨迹方程为2214x y +=．若选③，设(,)P x y ，(,0)S x '，(0,)T y '，3(*)=， 因为2133OP OS OT =+， 所以2313x x y y ⎧='⎪⎪⎨⎪='⎪⎩，整理得323x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，代入(*)得2214x y +=，所以所求的轨迹方程为2214x y +=（2）设0(0,)Q y ，当l '斜率不存在时，00y =， 当l '斜率存在时，设直线l '的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理， 得2222(14)84(1)0k x k x k +-+-=，>0∆恒成立，2122814k x x k +=+， 设线段MN 的中点为33(,)G x y ，则()212333224,121414x x k kx y k x kk+===-=-++， 所以线段MN 的垂直平分线方程为：222141414k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0x =，得02331144k y k k k==++，当k 0<时，144k k +≤-， 当且仅当12k =-时，取等号，所以0304y -≤<；当0k >时，144k k +≥，当且仅当12k =时，取等号，所以0304y <≤；综上，点Q 纵坐标的取值范围是33[,]44-【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查椭圆中的范围问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.22.已知函数2(1)()x a e x f x x--=，且曲线()y f x ＝在(2,(2))f 处的切线斜率为1． （1）求实数a 的值；（2）证明：当0x ＞时，()1f x ＞； （3）若数列{}n x 满足1()n x n ef x +＝，且113x ＝，证明：211n x n e -＜【答案】（1）2a =（2）见解析（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由(2)12a f '==即得a 的值；（2）只需证21()102xh x e x x =--->，利用导数证明21()12x h x e x x =---在(0,)+∞上单调递增，所以21()1(0)02x h x e x x h =--->=成立，即得证；（3）分析得到只需证11()122n x n f x e -<-，再利用导数证明即可.【详解】（1）3[(2)2]()x a x e x f x x-++'=，(2)12a f '==，所以2a =； （2）要证()1f x >，只需证21()102xh x e x x =--->， ()1,()1x x h x e x h x e '''=--=-，因为(0,)x ∈+∞， 所以()0h x ''>，所以()1xh x e x '=--在(0,)+∞上单调递增， 所以()1(0)0x h x e x h '=-->'=，所以21()12xh x e x x =---在(0,)+∞上单调递增， 所以21()1(0)02xh x e x x h =--->=成立，所以当0x >时，()1f x >成立． （3）由（2）知当0x >时，()1f x >. 因为1()n x n ef x +=，所以1ln ()n x f x +=， 设()ln ()n n g x f x =， 则1()n n x g x +=，所以121()(())((()))0n n n x g x g g x g g x --====>；要证：2|1|1n x ne -<，只需证：1|1|()2n xne -<，因为113x =， 所以113|1|1x e e -=-， 因为3227()03e e x-=-<， 所以1332e <， 所以1131|1|12x e e -=-<， 故只需证：11|1||1|2n nx x ee +-<-， 因为(0,)n x ∈+∞，故只需证：111122n n x x e e +-<-，即证：11()122n x n f x e -<-， 只需证：当(0,)x ∈+∞时，2211()(2)22022xx x e x x ϕ=-+++>， 21()222x x x x e x ϕ⎛⎫'=+-++ ⎪⎝⎭， 21()2112x x x x e ϕ⎛⎫''=+-+ ⎪⎝⎭，21()3102x x x x e ϕ⎛⎫'''=++> ⎪⎝⎭，所以()x ϕ''在区间(0,)+∞上是增函数， 故21()(21)1(0)02xx x x e ϕϕ''''=+-+>=， 所以()x ϕ'在区间(0,)+∞上是增函数，故21()(22)2(0)02xx x x e x ϕϕ''=+-++>=， 所以()x ϕ在区间(0,)+∞上是增函数， 故2211()(2)22(0)022xx x e x x ϕϕ=-+++>=， 所以原不等式成立．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，考查分析法证明不等式，重点中学试卷可修改欢迎下载意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.31。

2021-2022学年山东省日照市高三（上）开学数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，4，5}，B ={2,3，4}，C ={x ∈R|0<x <2}，则(A ∩C)∪B =( )A. {4}B. {2,3}C. {−1,2，3，5}D. {1,2，3，4}2. “|x −1|<2成立”是“x(x −3)<0成立”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 如图，AB 是单位圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB⏜上的两个三等分点，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 1B. √32C. 32 D. √34. 若复数z 满足|z −2−3i|=5，则复数z 的共轭复数不可能为( )A. 5−7iB. −2−6iC. 5+2iD. 2−8i5. 指数函数f(x)=a x (a >0,a ≠1)，在R 上是减函数，则函数g(x)=(a −2)x 3在R上的单调性为( )A. 单调递增B. 在(0,+∞)上递减，在(−∞,0)上递增C. 单调递减D. 在(0,+∞)上递增，在(−∞,0)上递减6. 已知α∈[0,2π]，点P(1,tan2)是角α终边上一点，则α=( )A. 2B. 2+πC. π−2D. 2+π或27. 围棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国．围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现．围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜．围棋状态空间的复杂度上限为P =3361，据资料显示宇宙中可观测物质原子总数约为Q =1080，则下列数中最接近数值PQ 的是( )(参考数据：lg3≈0.477)A. 1089B. 1090C. 1091D. 10928. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f(2−x)=f(x)，数列{a n }满足a 1=−1，且a n+1n+1=a n n+2n(n+1)(n ∈N ∗)，则f(a 22)=( )A. 0B. −1C. 21D. 22二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 若0<a <b <c ，则下列结论正确的是( )A. lna <lnbB. b 2<a 2C. 1c−a <1c−bD. (12)a <(12)b10. 在△ABC 中，下列结论正确的是( )A. 若A <B ，则sinA <sinBB. 若sinA <sinB ，则A <BC. 若A <B ，则cosA >cosBD. 若A >B ，则1sin2A >1sin2B11. 直线y =5与y =−1在区间[0,4πω]上截曲线y =msin ωx 2+n(m >0,n >0)所得的弦长相等且不为零，则下列结论正确的是( )A. n =52B. n =2C. m ≤3D. m >312. 设函数F(x)=−x 3，g(x)=ax +b ，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得函数f(x)的图像与g(x)的图像有且只有一个交点的是( )A. a =−3，b <−1B. a =−3，b =2C. a =−3，b >2D. a =1，b =−2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)=x 2+bx +3的图象关于y 轴对称，且其定义域为[−1,2a]，则a +b 的值为______．14. 已知等差数列{a n }满足a 1+a 5=10，a 8=3a 3，则数列{a n }的前10项的和等于______．15. 在三角形OAB 中，点P 为边AB 上的一点，且AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点Q 为直线OP 上的任意一点(与点O 和点P 不重合)，且满足OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ1λ2=______． 16. 函数f(x)={x 2+2x,x <−12log a (2x +3),x ≥−12的值域为R ，则f(12)的取值范围是______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=cos(πx +φ)(0<φ<π2)的部分图像如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g(x)=f(x)+f(x +13)，求函数g(x)在区间[−12,13]上的最大值和最小值．18. 已知数列{a n }满足a n+2=2a n (n ∈N ∗)，a 1=1，a 2=2．(1)求数列{a n }的前30项和S 30； (2)设b n =1log 4a 2n ⋅log 4a 2n+2(n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =BC =AB =1，CD =AC ． (1)求CD ；(2)平面内点P 在CD 的上方，且满足∠DPC =3∠ACB ，求DP +CP 的最大值．20.汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示.当车速为v(米/秒)，且v∈(0,33.3]时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，k∈[1,2])．阶段0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3.制动时间t0t1=0.8秒t2=0.2秒t3米距离d0=10米d1d2d3=v220k(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式d(v)；并求当k=1，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间(精确到0.1秒)；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？21.我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”.在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和．(1)把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：1，3，6，10，15，…，写出a n与a n−1(n∈N∗,n≥2)的递推关系，并求出数列{a n}的通项公式．(2)已知数列{b n}满足b1+12b2+13b3+⋯+1nb n=2a n(n∈N∗)，设数列{c n}满足：c n=2n+1b n b n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若T n<nn+1λ(n∈N∗)恒成立，试求实数λ的取值范围．22.已知函数f(x)=xe1−x+2a−12x3−x(a∈R,e为自然对数的底数)．(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为12，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)当x≥1时，不等式f(x)≥xlnx−12x3+a恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：设集合A={−1,1，4，5，0}，C={x∈R|0<x<2}，则A∩C={1}，∵B={2,3，4}，∴(A∩C)∪B={1}∪{2,3，4}={1，2，3，4}；故选：D．根据集合的基本运算即可求A∩C，再求(A∩C)∪B．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出不等式的解集，即可判断出关系．【解答】解：由|x−1|<2解得：−2+1<x<2+1，即−1<x<3．由x(x−3)<0，解得0<x<3．“|x−1|<2成立”是“x(x−3)<0成立”必要不充分条件．故选：B．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识要点：向量的数量积，圆周角和圆心角的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．直接利用平面向量的数量积和圆周角与圆心角的关系的应用求出结果【解答】解：设AB =2，则利用圆周角和圆心角的关系， 则∠CAD =π6，AC =1，AD =√3，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π6=1×√32×√3=32． 故选：C ．4.【答案】C【解析】解：设z =a +bi ，因为复数z 满足|z −2−3i|=5， 则有(a −2)2+(b −3)2=25①，对于A ，若复数z 的共轭复数为5−7i ，则z =5+7i ，故a =5，b =7，符合①式； 对于B ，若复数z 的共轭复数为−2−6i ，则z =−2+6i ，故a =−2，b =6，符合①式； 对于C ，若复数z 的共轭复数为5+2i ，则z =5−2i ，故a =5，b =−2，不符合①式； 对于D ，若复数z 的共轭复数为2−8i ，则z =2+8i ，故a =2，b =8，符合①式． 故选：C ．设复数z 的代数形式z =a +bi ，然后利用模的计算求出(a −2)2+(b −3)2=25，利用共轭复数的定义结合上式，对选项中的复数进行一一验证即可．本题考查了复数的运算，主要考查了复数的模的运算和理解，同时考查了共轭复数的理解和应用，属于中档题．5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了指数函数的单调性以及幂函数的性质的问题，是基础题．根据指数函数f(x)的单调性判定a 的取值范围，从而判定函数g(x)的单调性，得出正确选项． 【解答】解：∵指数函数f(x)=a x 在R 上是减函数， ∴0<a <1， ∴−2<a −2<−1，而函数y =x 3在R 上是递增的， ∴函数g(x)=(a −2)x 3在R 上递减， 故选：C ．6.【答案】D【解析】解：因为点P(1,tan2)是角α终边上一点， 所以tanα=tan2， 可得α=2+kπ，k ∈Z ， 因为α∈[0,2π]， 所以α=2+π或2． 故选：D ．利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，即可得解． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：令PQ =33611080=x ，两边同时取对数，则lgx =361⋅lg3−80=361×0.477−80≈92.197， 所以x ≈1092． 故选：D ．利用题意，令PQ =33611080=x ，两边同时取对数，然后利用对数的运算性质化简求解即可． 本题考查了对数型函数在实际中的应用问题，对数运算性质的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，数列{a n }满足a 1=−1，且an+1n+1=a n n+2n(n+1)(n ∈N ∗)，变形可得an+1n+1−a n n=2n(n+1)=2n −2n+1，则有a n n=(an n −a n−1n−1)+(an−1n−1−a n−2n−2)+⋯…+(a22−a 11)+a 11=(2n−1−2n )+(2n−2−2n−1)+⋯…+(21−22)+(−1)=1−2n ，则a n =n −2，故a 22=22−2=20；又由f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(x)=−f(−x)且f(0)=0，又由f(x)满足f(2−x)=f(x)，则有−f(−x)=f(2−x)，变形可得f(x +2)=−f(x)， 则有f(x +4)=−f(x +2)=f(x)， 则有f(a 22)=f(20)=f(0)=0； 故选：A ．根据题意，将an+1n+1=a n n+2n(n+1)变形可得an+1n+1−a n n=2n(n+1)=2n−2n+1，由累加法分析可得a n =n −2，则有a 22=22−2=20；结合函数的奇偶性分析可得f(x +4)=−f(x +2)=f(x)，据此分析可得答案．本题考查函数与数列的综合应用，涉及函数奇偶性和周期的性质和应用以及数列的递推公式，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：由于0<a <b <c ， 对于A ：lna <lnb ，故A 正确；对于B ：由于0<a <b <c ，所以b 2−a 2=(a +b)(b −a)>0，故B 错误； 对于C ：1c−a −1c−b =(c−b)−(c−a)(c−a)(c−b)=a−b(c−a)(c−b)<0，故C 正确；对于D ：由于0<a <b <c ，故(12)a >(12)b ，故D 错误． 故选：AC ．直接利用对数的运算和作差法的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：对数的运算，作差法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：对于A ，由大角对大边可得，若A <B ，则a <b ，由正弦定理可得2RsinA <2RsinB ，故sinA <sinB ，故选项A 正确；对于B ，因为sinA <sinB ，故2RsinA <2RsinB ，由正弦定理可得a <b ，由大边对大角可得，A <B ，故选项B 正确；对于C ，若A <B ，则A ，B ∈(0,π)，y =cosx 在(0,π)上单调递减，所以cosA >cosB ，故选项C正确．对于D，当A=120°，B=30°时，1sin2A <0,1sin2B>0，故选项D错误．故选：ABC．利用大边对大角以及正弦定理即可判断选项A，B利用余弦函数的单调性即可判断选项C；由特殊值验证，即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体考查了解三角形的应用，主要考查了正弦定理的应用，三角函数性质的应用以及大边对大角的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11.【答案】BD【解析】解：由题意可得，y=msinωx2+n(m>0,n>0)的图象关于直线y=n对称，∵曲线被直线y=n与y=−1所得的弦长相等，∴直线y=5与直线y=−1关于y=n对称，∴n=5−12=2，又∵弦长相等且不为0，∴振幅m>5+12．故选：BD．由题意可得，y=msinωx2+n(m>0,n>0)的图象关于直线y=n对称，由曲线被直线y=n与y=−1所得的弦长相等，由对称性可得n的值，再结合弦长相等且不为0，即可求解．本题主要考查三角函数图象的性质，及其对应参数的关系，属于基础题．12.【答案】CD【解析】解：∵函数f(x)的图像与g(x)的图像有且只有一个交点，∴方程f(x)=g(x)只有一个根，即方程x3+ax+b=0有且只有一个根，设ℎ(x)=x3+ax+b，即函数ℎ(x)只有一个零点，当a=−3时，ℎ(x)=x3−3x+b，∴ℎ′(x)=3x2−3，令ℎ′(x)>0得：x<−1或x>1；令ℎ′(x)<0得：−1<x<1，∴ℎ(x)在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，又∵当x→−∞时，ℎ(x)→−∞；当x→+∞时，ℎ(x)→+∞，要使函数ℎ(x)只有一个零点，需满足ℎ(x)的极大值ℎ(−1)<0或极小值ℎ(1)>0，即2+b<0或−2+b>0，∴b<−2或b>2，当a=1时，ℎ(x)=x3+x+b，此时ℎ(x)单调递增，又∵当x→−∞时，ℎ(x)→−∞；当x→+∞时，ℎ(x)→+∞，∴函数ℎ(x)只有一个零点，∴当a=1时，不论b的值是何值，函数ℎ(x)都只有一个零点，故选：CD．函数f(x)的图像与g(x)的图像有且只有一个交点，等价于方程x3+ax+b=0有且只有一个根，设ℎ(x)=x3+ax+b，即函数ℎ(x)只有一个零点，当a=−3时，ℎ(x)=x3−3x+b，求导得到ℎ(x)的单调性和极值，要使函数ℎ(x)只有一个零点，需满足ℎ(x)的极大值ℎ(−1)<0或极小值ℎ(1)>0，进而求出b的取值范围，当a=1时，ℎ(x)单调递增，此时不论b的值是何值，函数ℎ(x)都只有一个零点，从而求出结果．本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，是中档题．13.【答案】12【解析】解：函数f(x)=x2+bx+3的图象关于y轴对称，则b=0；且其定义域为[−1,2a]，所以−1+2a=0，解得a=12；所以a+b=0+12=12．故答案为：12．根据函数f(x)的图象关于y轴对称求得b=0，再根据定义域关于y轴对称求出a的值．本题考查了函数的对称性问题，是基础题．14.【答案】100【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由{a 1+a 5=10a 8=3a 3，得{a 1+2d =52a 1−d =0，解得{a 1=1d =2， 所以数列{a n }的前10项的和S 10=10a 1+10×92d =10+45×2=100．故答案为：100．设等差数列{a n }的公差为d ，根据a 1+a 5=10，a 8=3a 1可求出a 1与d 的值，再利用等差数列的前n 项和公式，即可求出数列{a n }的前10项的和．本题考查等差数列的前n 项和公式，考查运算求解的能力，属于基础题．15.【答案】12【解析】解：由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为Q 在直线OP 上，且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ //OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以λ1λ2=1323=12， 故答案为：12．由向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系，再由向量的运算性质可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系，再由向量的共线的性质可得所求的比值．本题考查平面向量的基本定理即向量共线的性质，属于基础题．16.【答案】[−2,0)【解析】解：当x <−12时，f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，则f(x)∈[−1,+∞)； 当x ≥−12时，则2x +3∈[2,+∞)，f(x)=log a (2x +3)， 因为函数f(x)的值域为R ，所以0<a <1且f(−12)=log a 2≥−1， 又f(12)=log a 4=2log a 2，所以−2≤log a 2<0，即−2≤f(12)<0， 所以f(12)的取值范围是[−2,0)．故答案为：[−2,0)．先求出x <−12时，f(x)的取值范围，利用f(x)的值域为R ，从而确定0<a <1且f(−12)=log a 2≥−1，然后再利用对数的运算求解f(12)的取值范围即可．本题考查了分段函数的应用，对数的运算以及二次函数性质的应用，对于分段函数问题，一般会运用分类讨论或数形结合法进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由图可知，函数f(x)图象过点(0,√32)，故cosφ=√32， 由于0<φ<π2，所以φ=π6， 所以f(x)=cos(πx +π6)，令πx +π6=kπ(k ∈Z)，则x =k −16(k ∈Z)，令k =1，得x =56， 由图可知，(0,√32)与(x 0,√32)关于直线x =56对称，所以0+x 02=56，解得x 0=53．(2)g(x)=f(x)+f(x +13)=cos(πx +π6)+cos[π(x +13)+π6] =cos(πx +π6)+cos(πx +π2)=cos(πx +π6)−sinπx =cosπxcos π6−sinπxsin π6−sinπx =−32sinπx +√32cosπx =√3sin(πx +5π6)，由−12≤x ≤13得−π2≤πx ≤π3，π3≤πx +5π6≤7π6，所以g(x)的最大值为√3sin π2=√3，最小值为√3sin 7π6=−√32．【解析】(1)由图象过点(0,√32)，即可求得φ，从而可得f(x)的解析式，求出f(x)的对称轴x =56，由图可知(0,√32)与(x 0,√32)关于直线x =56对称，从而可求得x 0；(2)利用三角恒等变换化简g(x)，由正弦函数的性质即可求得g(x)在区间[−12,13]上的最值．本题主要考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查三角函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解；(1)根据题意，a 1=1，a 2=2，a 3=2，a 4=4，a 5=4，a 6=8，所以当n =2k −1(k ∈N +)时，a n =a 2k−1=2k−1=2n−12；当n =2k(k ∈N +)时，a n =a 2k =2k =2n2，所以{a n }的通项公式为a n ={2n−12,n 为奇数2n2,n 为偶数；所以S 30=a 1+a 2++a 30=(1+2+22+⋯+214)+(2+22+⋯+215)=215−1+2×215−2=3×215−3；(2)由(1)可知log 4a 2n =log 42n =log 222n =n 2，同理可得log 4a 2n+2=n+12，所以b n =1log4a 2n ⋅log 4a 2n+2=4n(n+1)=4(1n −1n+1)，所以T n =4(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=4(1−1n+1)=4nn+1．【解析】(1)根据题意，分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论即可求出{a n }的通项公式并利用分组求和法求出S 30； (2)由(1)可知b n =1log 4a 2n ⋅log 4a 2n+2=4n(n+1)=4(1n −1n+1)，从而利用裂项相消求和法即可求出T n ．本题考查等比数列的通项公式，裂项相消求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)∵DC//AB ，AB =BC ，∴∠ACD =∠CAB =∠ACB ．在△ACD 中，记DC =AC =t ，由余弦定理得： cos∠ACD =DC 2+AC 2−AD 22DC⋅AC=2t 2−12t 2，在△ACB 中，cos∠ACB =AC 2+BC 2−AB 22AC⋅BC=t2，由2t 2−12t 2=t2，得：t 3−2t 2+1=0，即(t −1)(t 2−t −1)=0，解得t =1，或t =1±√52，∵t =1与梯形矛盾，舍去，又t >0， ∴t =1+√52，即DC =1+√52．(2)如图示：由(1)知∠CAD=∠ADC=∠BCD=2∠ACD．故5∠ACD=180°，∠ACD=∠ACB=36°，故∠DPC=3∠ACB=108°．在△DPC中，由余弦定理得DC2=DP2+CP2−2DP⋅CPcos∠DPC，即t2=DP2+CP2−2DP⋅CPcos108°=(DP+CP)2−2DP⋅CP(1+cos108°)=(DP+CP)2−4DP⋅CPcos254°∵4DP⋅CP≤(DP+CP)2，(当且仅当DP=CP时，等号成立．)∴t2≥(DP+CP)2(1−cos254°)=(DP+CP)2sin254°=(DP+CP)2cos236°=(DP+CP)2⋅t24，∴(DP+CP)2≤4，DP+CP≤2．故当DP=CP=1时，DP+CP取得最大值2．【解析】(1)记DC=AC=t，由余弦定理及cos∠ACD=cos∠ACB，可得关于t的方程，解得t的值，即可得解DC的值；(2)由(1)可求∠DPC=3∠ACB=108°.在△DPC中，由余弦定理得t2=(DP+CP)2−4DP⋅CPcos254°，利用基本不等式可求DP+CP的最大值．本题主要考查了余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意得，d(v)=d0+d1+d2+d3，∴d(v)=10+0.8v+0.2v+v220k =10+v+v220k，当k=1时，d(v)=10+v+v220，则t(v)=10v +v20+1≥2√10v⋅v20+1=√2+1≈2.4(秒)(当且仅当v=10√2时等号成立)．即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2.4秒；(2)要求对任意k∈[1,2]，d(v)<50恒成立，即对任意k∈[1,2]，10+v+v220k <50，即120k<40v2−1v恒成立．由k∈[1,2]，得120k ∈[140,120]，∴120<40v2−1v，即v2+20v−800<0，解得−40<v<20．∴0<v<20．而20×36001000=72(千米/小时)．即汽车的行驶速度应限制在72千米/小时以下．【解析】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，考查恒成立问题的求解方法及分式不等式的解法，是较综合的题．(1)由题意得到d(v)=10+v+v220k，取k=1后，再由基本不等式求最值；(2)对任意k∈[1,2]，d(v)<50恒成立，即对任意k∈[1,2]，120k <40v2−1v恒成立，由k的范围求得120k的最大值，转化为关于v的不等式求解v的范围，即可得到汽车的行驶速度的限制范围．21.【答案】解：(1)由“杨辉三角”的定义可知：a1=1，n≥2时，a n−a n−1=n，所以有a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=n+(n−1)+⋯+2+1=n(n+1)2故a n=n(n+1)2．(2)数列{b n}满足b1+12b2+13b3+⋯+1nb n=n2+n，①当n≥2时，b1+12b2+13b3+⋯+1n−1b n−1=(n−1)2+(n−1)，②①−②得：1nb n=2n，故：b n=2n2，数列{c n}满足：c n=2n+1b n b n+1=2n+14n2(n+1)2=14[1n2−1(n+1)2]，则：T n =14[1−(12)2+(12)2−(13)2+⋯+1n 2−1(n+1)2]=14(1−1(n+1)2)， 由于T n <nn+1λ(n ∈N ∗)恒成立， 故：14(1−1(n+1)2)<nn+1λ， 整理得：λ>n+24n+4，因为y =n+24n+4=14(1+1n+1)在n ∈N ∗上单调递减， 故当n =1时，(2n+14n+4)max =38， 所以λ>38．【解析】(1)直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式；(2)利用裂项相消法在数列求和中的应用和函数的单调性的应用求出参数的范围． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，函数的单调性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)f′(x)=e 1−x −xe 1−x +3(2a−1)2x 2−1，所以f′(1)=1−1+3(2a−1)2−1=12，解得a =1，f(x)=xe 1−x +12x 3−x ，f(1)=12，曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −12=12(x −1)， 即x −2y =0．(2)不等式f(x)≥xlnx −12x 3+a 恒成立， 即xe 1−x +2a−12x 3−x ≥xlnx −12x 3+a ，整理得xe 1−x −xlnx +ax 3−a −x ≥0，由于x ≥1，所以有e 1−x −lnx +ax 2−ax −1≥0， 设F(x)=e 1−x −lnx +ax 2−ax −1(x ≥1)， 因为F(1)=0，F′(x)=−e 1−x −1x +2ax +a x 2(x ≥1)，F′(1)=3a −2，①若3a−2≥0，即a≥23时F″(x)=e1−x+1x2+2a(1−1x3)>0，(x≥1)所以F′(x)在区间[1,+∞)上单调递增，所以F′(x)≥F′(1)=3a−2>0，所以F(x)在区间[1,+∞)上单调递增，F(x)≥F(1)=0恒成立，所以f(x)≥xlnx−12x3+a恒成立，②若3a−2<0，即a<23时，若a≤0时，F′(x)=−e1−x−1x +2ax+ax2=−(e1−x+1x)+a(2x+1x2)<0，(x≥1)，所以F(x)在区间[1,+∞)上单调递减，F(x)≤F(1)=0恒成立，f(x)≥xlnx−12x3+a不成立，若0<a<23时，F′(1)=3a−2<0，F′(1a)=a3−a+2−e1−1a=a3+(1−a)+(1−e1−1a)，因为e1−1a<1−32=e−12<e0=1，所以F′(1a)>0，又F″(x)=e1−x+1x2+2a(1−1x3)>0，(x≥1)，所以F′(x)在[1,+∞)上单调递增，所以，由零点存在性定理知，F′(x)在(1,1a)存在唯一零点，设为x0，当x∈(1,x0)时，F′(x)<0，此时F(x)<F(1)=0，所以f(x)≥xlnx−12x3+a不成立，综上，a的取值范围是[23,+∞)．【解析】(1)求导得f′(x)=e1−x−xe1−x+3(2a−1)2x2−1，由导数的几何意义可得k切=f′(1)=12，解得a，再计算f(1)，则y−f(1)=k切(x−1)，即可得出答案．(2)不等式f(x)≥xlnx−12x3+a恒成立，即xe1−x−xlnx+ax3−a−x≥0，由于x≥1，不等式可转化为e1−x−lnx+ax2−ax −1≥0，设F(x)=e1−x−lnx+ax2−ax−1(x≥1)，只需F(x)min≥0，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。

12021届山东省日照一中高三11月统考考前模拟数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知全集U =R ，函数y =ln (1−x )的定义域为M ，集合N ={x |x 2−x <0}，则下列结论正确的是A ．M ∩N =NB ．M ∩(∁U N )=∅C ．M ∪N =UD ．M ⊆(∁U N ) 2．若tanα=2，则sinα−4cosα5sinα+2cosα的值为A ．16B ．−16C ．12D ．−123．下列命题中错误的是A ．命题“若x =y ，则sinx =siny ”的逆否命题是真命题B ．命题“∃x 0∈(0,+∞),lnx 0=x 0−1”的否定是“∀x ∈(0,+∞),lnx ≠x −1”C ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题D ．∃x 0>0,使“a x 0>b x 0”是“a >b >0”的必要不充分条件 4．设x ，y 满足约束条件{x +3y ≤3,x −y ≥1,y ≥0, 则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．35．知a =17116，b =log 16√17，c =log 17√16，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >b >a6．若将函数f(x)=sin (2x +π3)的图象向左平移φ (φ>0)个单位，所得图象关于原点对称，则φ最小时，tan φ=A ．−√33B ．√33C ．−√3D ．√37．已知函数f (x )的定义域为R ，f (0)=1，对任意x ∈R 都有f (x +1)=f (x )+2，则1f (0)f (1)+1f (1)f (2)+⋯⋯1f (9)f (10)=A ．109 B ．1021 C ．910 D ．11218．设函数f(x)=e x +e −x −1x 2+1，则使得f(2x)>f(x +1)成立的x 的取值范围是 A ．(−∞,1) B ．(1,+∞) C ．(−13,1) D ．(−∞,−13)∪(1,+∞) 9．平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0,y 0)在单位圆O 上，设∠xOP =α，若α∈(π3,5π6)，且sin(α+π6)=35，则x 0的值为A ．3−4√310B ．3+4√310C ．4√3−310D ．−4√3−31010．已知函数f (x )＝e x －(x ＋1)2(e 为2.718 28…)，则f (x )的大致图象是 A ．B ．C ．D ．11．在ΔABC 中，点D 是AC 上一点，且AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =4AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，P 为BD 上一点，向量AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC⃑⃑⃑⃑⃑ (λ>0,μ>0)，则4λ+1μ的最小值为 A ．16 B ．8 C ．4 D ．212．设函数f(x)={|2x+1−1|,x ≤14−x,x >1,若互不相等的实数p,q,r 满足f(p)=f(q)=f(r),则2p +2q +2r 的取值范围是A ．(8,16)B ．(9,17)C ．(9,16)D ．(172,352)二、填空题13．函数y =a x−2+3的图象恒过定点P ,点P 在幂函数f(x)的图象上,则f(3)=____________ 14．已知向量a ,b ⃑ 满足|a |=5，|a −b ⃑ |=6，|a +b ⃑ |=4，则向量b ⃑ 在向量a 上的投影为_________；15．观察下列各式：55=3125,56=15625,57=78125,⋯则52011的末四位数字为________.此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号16．若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=e x的切线，则b=___________．三、解答题17．已知a,b,c分别为ΔABC三个内角A,B,C的对边,2b⋅cosA=a⋅cosC+c⋅cosA（1）求角A的大小；（2）若ΔABC的周长为8，外接圆半径为√3，求ΔABC的面积.18．已知m>0，命题p:函数f(x)=log m(2−mx)在[0,1]上单调递减，命题q:不等式x+|x−m|>1的解集为R，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．19．设向量a=(coswx−sinwx,−1),b⃑=(2sinwx,−1)，其中w>0，x∈R，已知函数f(x)= a⋅b⃑的最小正周期为4π.(1)求f(x)的对称中心；(2)若sinx0是关于t的方程2t2−t−1=0的根，且x0∈(−π2,π2)，求f(x0)的值.20．数列{a n}满足a1=1，a n+1⋅a n+2n a n+1=2n+1a n(n∈N+)(1)证明：数列{2na n}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；(2)设b n=(2n−1)(n+1)a n，求数列{b n}的前n项和S n21．为了保护环境,某工厂在政府部门的支持下,进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品,经测算,该处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：y={125x3+640,x∈[10,30),x2+40x+1600,x∈[30,50].,且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品．（2）当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少．22．已知函数()()()221lnf x x m x x m R=-++∈.（1）当12m=-时，若函数()()()1lng x f x a x=+-恰有一个零点，求a的取值范围；（2）当1x>时，()()21f x m x<-恒成立，求m的取值范围.22019届山东省日照一中高三11月统考考前模拟数学（文）试题数学答案参考答案1．A【解析】【分析】求函数定义域得集合M，N后，再判断．【详解】由题意M={x|x<1}，N={x|0<x<1}，∴M∩N=N．故选A．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．2．B【解析】【分析】将sinα−4cosα5sinα+2cosα分子分母同时除以cosα，将式子转化为只含有tanα的式子，再代值求解.【详解】tanα=2,则将式子分子分母同时除以cosα，可得sinα−4cosα5sinα+2cosα=tanx−45tanx+2=2−410+2=−16.选B.【点睛】本题考查三角函数中的化简求值问题，利用同角三角函数的关系，将所求式子中的正弦、余弦转化为正切，是本题化简求值的关键.3．C【解析】【分析】由原命题与逆否命题真假性相同判断A，由特称命题的否定形式判断B,由复合命题的真假判断C，由充分性必要性条件判断D.【详解】A.“若x=y，则sinx=siny”为真命题，则其逆否命题为真命题，A正确.B.特称命题的否定需要将存在量词变为全称量词，再否定其结论，故B正确.C. p∨q为真命题，包含p，q有一个为真一个为假和p，q均为真，p∧q为真则需要两者均为真，故若p∨q为真命题，p∧q不一定为真.C错.D.若a>b>0，∃x0>0，使a x0>b x0成立，反之不一定成立.故D正确。

某某省日照第一中学2021届高三数学第二次联合考试试题〔含解析〕考生注意：1.答题前，考生务必将自己的某某、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试完毕，将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 集合{}025A x x =<+<，{}24B x x =≤，如此AB =〔〕A. ()2,3B. [)2,3C. ()2,2-D. (]2,2- 【答案】D 【解析】 【分析】转化条件为{}23A x x =-<<、{}22B x x =-≤≤，再由交集的定义即可得解.【详解】因为{}{}02523A x x x x =<+<=-<<，{}{}2422B x x x x =≤=-≤≤，所以{}(]222,2A B x x ⋂=-<≤=- 应当选：D.2. “13a <<〞是“lg lg3a <〞的〔〕 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】【分析】根据13a <<与lg lg3a <的互相推出情况确定出属于何种条件. 【详解】当13a <<时，lg lg3a <成立，所以充分性满足， 由lg lg3a <，得到0<<3a ，所以必要性不满足， 因此，“13a <<〞是“lg lg3a <〞的充分不必要条件. 应当选：A.【点睛】结论点睛：此题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规如此判断： 〔1〕假如p 是q 的必要不充分条件，如此q 对应集合是p 对应集合的真子集； 〔2〕假如p 是q 的充分不必要条件，如此p 对应集合是q 对应集合的真子集； 〔3〕假如p 是q 的充分必要条件，如此p 对应集合与q 对应集合相等；〔4〕假如p 是q 的既不充分也不必要条件，如此p 对应集合与q 对应集合互不包含.3. 在复平面内，复数21(1)i i +-对应的点位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数为a bi +的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案. 【详解】211(1)(1)22i i i ii i i i+++==---⋅111222i i -+==-+ ∴对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限应当选：B.【点睛】此题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法与其几何意义，属于根底题.4. 定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()10f -=，假如()3log 8a f =-，()2b f =-，232c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如此a ，b ，c 的大小关系是〔〕A. c a b <<B. a b c <<C. a c b <<D. c b a << 【答案】A 【解析】 【分析】易得2321>，321log 8log 42->->-=-，由()f x 定义在R 上的奇函数且在(),0-∞上单调递减，可得a ，b ，c 的大小关系.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减且()10f -=， 所以()10f =，且()f x 在()0,∞+上单调递减又2321>，所以()23210c f f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，而321log 8log 42->->-=-，()()()3log 8102f f f >>---=，所以0b a >>，所以c a b <<. 应当选:A.【点睛】此题主要考查函数单调性与奇偶性的性质与应用，考查学生分析问题与解决问题的能力、计算能力，属于根底题.5. 为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进展消毒工作，药物释放过程中，室内空气中的含药量y 〔3/mg m 〕与时间t 〔h 〕成正比〔102t <<〕；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为1()4t ay -=〔a 为常数，12t ≥〕，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5〔3/mg m 〕以下时，学生方可进教室，如此学校应安排工作人员至少提前( )分钟进展消毒工作A. 30B. 40C. 60D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】计算函数解析式，取()1211()42t f t -==，计算得到答案.【详解】根据图像：函数过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭，故()1212,0211(),42t x t y f t t -⎧<<⎪⎪==⎨⎪≥⎪⎩， 当12t ≥时，取()1211()42t f t -==，解得1t =小时60=分钟.应当选：C .【点睛】此题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 6. 角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，角α的终边绕原点逆时针旋转2π后经过点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，如此sin α=〔〕 A35B. 35C. 45-D. 45【答案】B【解析】 【分析】先根据三角函数定义得cos()2πα+，再根据诱导公式求sin α.【详解】根据题意得22335cos()2534()()55πα-+==--+所以3sin cos()25παα=-+=， 应当选：B【点睛】此题考查三角函数定义以与诱导公式，考查根本分析求解能力，属根底题. 7. 如图，一个正五角星薄片〔其对称轴与水面垂直〕匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面局部的图形面积为()()()00S t S =，如此导函数()y S t ='的图像大致〔 〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】【详解】最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C ； 总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B ； 考察A. D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A. 应当选A.8. 函数()f x 在定义域上是单调函数，且()20202021xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，当()sin g x x x kx =-在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调一样时，实数k 的取值X围是〔〕A. (],1-∞-B. (-C. (,-∞D.⎤+∞⎦【答案】C 【解析】 【分析】由条件可求出()20201xf x =+，然后可得()sing x x x kx =-在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，即可得2cos 3x k π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，然后求出左边的最小值即可. 【详解】函数()f x 在定义域上是单调函数，且()20202021xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，()2020x f x ∴-为定值，设()2020x f x t -=，如此()2021f t =，且()2020t f t t -=，20212020t t ∴-=，解之得1t =，()20201xf x ∴=+，()f x 在R 上的单调递增，()sin 2sin 3g x x x kx x kx π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，()2cos 3g x x k π⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭'，()sin g x x x kx =-在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调性一样，()2cos 03g x x k π⎛⎫∴=--≥ ⎪⎝⎭'在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，2cos 3x k π⎛⎫∴-≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，5636x πππ∴-≤-≤，cos 123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，2cos 23x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，k ∴≤应当选：C【点睛】易错点睛：假如()f x 在[],a b 上单调递增，如此()0f x '≥，假如()f x 在[],a b 上单调递减，如此()0f x '≤，容易把等号漏掉.二、多项选择题.在每一小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.9. 在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，如下说法正确的有〔〕A. 所有项的二项式系数和为64B. 所有项的系数和为0C. 常数项为20D. 二项式系数最大的项为第3项 【答案】AB 【解析】 【分析】由二项式系数为2n 可判断A ；令1x =可判断B ；由二项式定理以与二项式系数的性质可判断CD.【详解】解：A . 所有项的二项式系数和为6264=，故A 正确，B .令1x =得所有项的系数和为()6110-=，故B 正确，C .常数项为3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故C 错误， D .展开式有7项，二项式系数最大为第4项，故D 错误.应当选：AB.10. 设函数()ln 21ln 21f x x x =+--，如此()f x 〔〕 A. 是偶函数B. 是奇函数 C. 在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D. 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减【答案】BCD 【解析】 【分析】求出x 的取值X 围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数t ＝|2121x x +-| 的单调性，由复合函数的单调性得答案． 【详解】解：由210210x x +≠⎧⎨-≠⎩，得x 12≠±．又f 〔﹣x 〕＝ln |﹣2x +1|﹣ln |﹣2x ﹣1|＝﹣〔ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|〕＝﹣f 〔x 〕， ∴f 〔x 〕为奇函数；由f 〔x 〕＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|＝|21|21lnln |||21|21x x x x ++=--，∵2121221212121x x x x x +-+==+---＝2112()2x +-＝1112x +-． 可得内层函数t ＝|2121x x +-| 的图象如图，在〔﹣∞，12-〕上单调递减，在〔12-，12〕上单调递增，在〔12，+∞〕上单调递减． 又对数式y ＝lnt 是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f 〔x 〕在〔﹣∞，﹣12〕上单调递减． 应当选：BCD ．【点睛】此题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查复合函数单调性的求法，是中档题． 方法点睛：复合函数单调性〔1〕先求内层函数的单调性； 〔2〕判断外层函数的单调性；〔3〕依据同增异减的原如此，判断整体函数的单调性.11. 在正方体1111ABCD A BC D -中，点M 在线段1BC 上运动，如此〔〕 A. 直线1BD ⊥平面11A B CD B. 三棱锥11M AC D -的体积为定值C. 异面直线AM 与1A D 所成角的取值X 围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 直线1C M 与平面11AC D 6【答案】BD 【解析】 【分析】在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，得出矛盾，在B 中，由B 1C ∥平面A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AM 与A 1D 所成角的取值X 用是[]6090︒︒，；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线C 1M 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值．【详解】A 错，如图，连接11B D ，11AC ，由正方体可得1111AC B D ⊥，且1BB ⊥平面1111D C B A ，如此111BB AC ⊥，1111BB B D B ⋂= 所以11AC ⊥平面11BD B ，故111AC BD ⊥；同理，连接1AD ，易证得11A D BD ⊥，如此1BD ⊥平面11AC D ， 假如直线1BD ⊥平面11A B CD ，如此平面11//A B CD 平面11AC D 这与平面11A B CD 与平面11ACD 相交矛盾，所以A 错； B 正确，1111M A C D C A MD V V --=，因为点M 在线段1BC 上运动，所以1112A DM S A D AB =⋅△， 面积为定值，且1C 到平面11A MD 的距离即为1C 到平面11A B CD 的距离，也为定值，故体积为定值；C 错，由11//AD B C ,当点M 与线段1BC 的端点重合时，AM 与1A D 所成角为60°；设1BC 的中点为0M ,当点M 由1BC 的端点向中点0M 运动时，0AMM ∠为异面直线AM 与1A D 所成角在在1ACB 中,1AC AB =，所以01AM B C ⊥ 在0AMM 中，0AM 不变，0MM 000tan AM AMM MM ∠=逐渐增大， 当点M 与0M 重合时，异面直线AM 与1A D 所成角为90︒ 所以异面直线AM 与1A D 所成角的取值X 围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,所以C 不正确. D 正确，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，如此()()()110,0,0,1,0,1,0,1,1D A C ，(),1,M a a ()()111,0,1,0,1,1,DA DC ==()1,0,1C M a a =-由前面可得，1BD ⊥平面11AC D ，所以()111BD =--，,1为平面11AC D 的一个法向量 ∴直线C 1M 与平面11AC D 所成角的正弦值为θ：()11112221111sin cos 31113222C M BD C M BD C M BD a a a θ⋅=⋅===⋅⨯+-⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭ 当12a =时，sin θ有最大值63所以直线C 1M 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为63，故D 正确． 应当选：BD ．【点睛】关键点睛：此题考查线面垂直的判断，异面直线所成角以与线面角，解答此题的关键是设1BC 的中点为0M ,当点M 由1BC 的端点向中点0M 运动时，0AMM ∠为异面直线AM 与1A D 所成角，分析其变化情况，利用向量的方程得到()111122211sin cos 31113222C M BD C M BD C M BD a a a θ⋅=⋅===⋅⨯+-⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭，从而得到最值，属于中档题.12. 在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，如此〔〕A. 0AC BD ⋅=B. 0OA OE ⋅=C. 34OA OB OC ++= D. ED 在BA 方向上的正射影的数量为712【答案】BCD 【解析】 【分析】根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以与正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到BC A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项.【详解】由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅，||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =， 同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.如图建立坐标系，3A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，136D ⎛ ⎝⎭，解得3O ⎛ ⎝⎭， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；132,,,223AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，AC BD ⋅=121=023236⨯--≠，故A 错误； 324OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确；16ED ⎛= ⎝⎭，1,22BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 应当选：BCD.【点睛】如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b⋅进展求解.三、填空题13. 中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等，有3名中学生计划去图书馆阅读这四种古典数学著作(这四种著作每种各一本)，要求每人至少阅读一种古典数学著作，每种古典数学著作只有一人阅读，如此不同的阅读方案的总数有________种．(请用数字作答) 【答案】36 【解析】 【分析】根据题意，分2步进展分析：先将4本著作分为3组，再将分好的三组全排列，分配给3人，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进展分析： ①将4本著作分为3组，有246C =种分法，②将分好的三组全排列，分配给3人，有336A =种情况， 如此有6636⨯=种不同的阅读方案,故答案为：36.【点睛】此题考查排列与组合，先分组后排列，属于根底题. 14.()20,0x y xy x y +=>>，如此2x y +的最小值为______.【答案】9 【解析】【分析】整理()20,0x y xy x y +=>>，得211x y+=，"1"的巧用，再用根本不等式. 【详解】由2x y xy +=得：211x y+=；()212222225529x y x yx y x y x y y x y x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭,〔当且仅当22x yy x =，即3x y ==时取等号〕， 2x y ∴+的最小值为9.故答案为:9【点睛】注意点点睛:用根本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等〞， “一正〞所指字母或式必须为正值；“二定〞求最小值积为定值，求最大值和为定值； “三相等〞取最值时相应变量值可取.A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且3AB CD ==2BC =，利用X 衡的结论可得球O 的外表积为______.【答案】1010【解析】由BC CD ⊥，得到BCD △的外接圆的圆心1O 为BD 的中点，再由AB ⊥底面BCD ，由截面圆的性质得到球O 的球心为侧棱AD 的中点求解. 【详解】如下列图：因为BC CD ⊥，所以7BD =BCD △的外接圆的圆心1O 为BD 的中点， 又AB ⊥底面BCD ，由截面圆的性质得： 球O 的球心为侧棱AD 的中点， 从而球O 的直径为10AD = 利用X 衡的结论可得25168π=，如此10π= 所以球O 的外表积为2104101010ππ==⎝⎭故答案为：101016. 函数()231f x x x =++，()xg x e =，假如关于x 的不等式()()f x mg x <的解集中恰好有一个整数，如此实数m 的取值X 围是______.【答案】(2,e e ⎤--⎦【分析】变量别离，构造函数，求导确定极值，画图数形结合.【详解】()()f x mg x <，如此()()f x m g x <，设()()()231x f x x x h x g x e ++==， 如此()22x x x h x e --+'=，令()220xx x h x e+-'=-=，所以2x =-或1x =， ()h x 在(),2x ∈-∞-上递减，在()2,1x ∈-上递增，在()1,x ∈+∞上递减，2x =-取极小值，()22h e -=-，在1x =取极大值()51h e=， ()1h e -=-，作图，0x >时，()0h x >，()01h =，()33h e -=，由图知()y h x =在y m =下方图象中只有一个整数点，()()21y h m h =-<≤-，2e m e -<≤-故答案为: (2,e e ⎤--⎦【点睛】方法点睛：含参数恒成立求参数值或X 围：变量别离；②构造新函数；③对新函数求导，确定其极值最值. 四、解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在①sin sin sin c C A b B =+，3B π=，②3cos 5A =，5cos 5C =两个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .假如3a =，______，求ABC 的面积S .【答案】选①：92. 【解析】 【分析】选①根据sin sin sin c C A b B =+，由正弦定理得22c a b =+，再结合3a =，3B π=，利用余弦定理求得c ，代入公式1sin 2S ac B =求解；选②根据3cos 5A =，cos 5C =，由两角和的正弦公式求得sin B ，然后由正弦定理求得b ,代入公式in 12s S ab C =求解. 【详解】选①sin sin sin c C A b B =+，∴由正弦定理得22c a b =+.3a =，223b c ∴=-.又60B =，2293b c c ∴=+-，4c ∴=，1sin 2S ac B ∴==选②3cos 5A =，cos 5C =，且两角均为三角形内角，4sin 5A ∴=，sin 5C = ()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C ∴=+=+，4355=+=由正弦定理得3sin 54sin 25a Bb A===，119sin 322252S ab C ∴==⨯⨯=. 【点睛】方法点睛：有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的根本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．18. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2n S n n n N *=+∈.数列{}n b 为等比数列，且11a +，41a +分别为数列{}n b 第一项和第二项.〔1〕求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； 〔2〕假如数列111n n n n c a a b +=+，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：113244n T ≤<. 【答案】〔1〕()2n a n n N *=∈；3nn b =()n N *∈；〔2〕证明见解析.【解析】 【分析】〔1〕由2n S n n =+，利用数列通项和前n 项和的关系 11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，进而利用“1,b q 〞法求得n b .〔2〕由〔1〕得到1111413n n c n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，再利用裂项相消法和等比数列前n 项和公式求解.【详解】〔1〕由题意，数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+，当1n =时，12a =，当2n ≥时12n n n a S S n -=-=， 当1n =时也满足上式所以数列{}n a 的通项公式为()2n a n n N *=∈.设数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，因为11a +，41a +分别为数列{}n b 第一项和第二项，所以114211319a b a b b q +==⎧⎨+===⎩，13b ∴=，3q =，3n n b ∴=，n *∈N .〔2〕因为111n n n nc a a b +=+， 所以()()111111112223413413n n n nc n n n n n n ⎛⎫=+=+=-+ ⎪+++⎝⎭，所以：11133111111114223113nnT n n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=-+-+-+ ⎪+⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，1111114123nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因为10n n n T T c --=>， 所以{}n T 是单调递增数列， 所以113244n T ≤<. 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾假如干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，如此这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，如此称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解 19. 函数1()ln(1)x f x x x a，其中实数1a ≠-.〔1〕假如2a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； 〔2〕假如()f x 在1x =处取得极值，试讨论()f x 的单调性.【答案】〔1〕7420x y --=.〔2〕()f x 在区间(]1,1-，[7,)+∞上是增函数，在区间[1,3)，(3,7]上是减函数.【解析】试题分析：〔1〕求出函数的导数与在点()0f 处的值，然后求出在该点的切线方程；〔2〕根据函数的导数与极值的关系求出a 的值，然后根据函数的导数与单调性的关系讨论函数的单调性.试题解析：〔1〕()()()()22111111x a x a f x x x x a x a +--+=+=+++'++ 当1a =时，()()22117001402f +'+==++，而()102f =-， 因此曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()17024y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即7420x y --=.〔2〕1a ≠-，由〔1〕知()10f '=，即11012a +=+，解得3a =-.此时()()1ln 13x f x x x -=++-，其定义域为()()1,33,-⋃+∞， 且()()()()()()2217211331x x f x x x x x ---==--'+++，由()0f x '=得11x =，27x =. 当11x -<<或7x >时，()0f x '>；当17x <<且3x ≠时，()0f x '<， 综上，()f x 在区间(]1,1-，[)7,+∞上是增函数，在区间[)1,3，(]3,7上是减函数. 点睛：此题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为函数在该点处切线的斜率，函数的导数与单调性和极值的关系，函数在某点处取得极值即在该点处导数为0，由()0f x '>，得函数单调递增，()0f x '<得函数单调递减.20. 如下列图，ABC 中，2B π∠=，四棱锥A BCDE '-是由ABC 沿其中位线DE 翻折而成，其中'∠A EB 为锐角，2PC PA '=.〔1〕证明：//A E '平面PBD ；〔2〕假如4AB BC ==，二面角C A D E '--的大小为56π，求四棱锥A BCDE '-的体积. 【答案】〔1〕证明见解析；〔286. 【解析】 【分析】〔1〕连接CE 交BD 与点F ，连接PF ，证明//A E PF '，即可根据线面平行的判定定理，证明结论成立；〔2〕以B 为原点，EB 为x 轴的正方向，BC 为y 轴的正方向，竖直方向为z 轴建立空间直角坐标系，记A '在底面的投影为A ''，且设A E x ''=，分别求出平面A DE 和ACD '的法向量，根据向量夹角公式由题中条件，求出x ，再由棱锥的体积公式，即可求出结果. 【详解】〔1〕连接CE 交BD 与点F ，连接PF .因为翻折前，DE 为ABC 的中位线，所以//DE BC ，且12DE BC =，翻折后，平行关系不变，因此FDE FBC ∠=∠，FED FCB ∠=∠，DFE BFC ∠=∠， 所以BCF DEF ~△△，所以2CF BCEF DE==， 2PC PA ='，//A E PF ∴'.又PF ⊂平面PBD ，A E '⊄平面PBD .//A E '∴平面PBD .〔2〕因为ABC 中，2B π∠=，沿中位线DE 翻折，垂直关系不变，即EB BC ⊥，因此，以B 为原点，EB 为x 轴的正方向，BC 为y 轴的正方向，竖直方向为z 轴建立空间直角坐标系.记A '在底面的投影为A ''，且设A E x ''=.如此(A x -'，()0,4,0C ，()2,2,0D -，()2,0,0E -，所以(EA x ='，(0,2,0)ED =，(2,4,A C x =-'，()2,2,0DC =，设平面A DE 的一个法向量为(),,m a b c =，如此00EA m ED m '⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020xa b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，不妨令c x =-，如此a 0b =，所以()4m x =--；设平面ACD '的一个法向量为()111,,n a b c =，如此00A C n DC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩'，即()1111240220x a b c a b ⎧⎪-+-=⎨+=⎪⎩，不妨令214b x =-，如此214a x =--，12c x =+，即()224,4,2n x x x =---+ 如此2224253cos ,cos624412412m n x x m n m nx x x x π⋅--+<>=====⨯-++-++， 化简得，274200x x +-=，如此()()27100x x +-=，如此107x =，或2x =-〔舍〕， 即107A E ''=，如此22221046277A A A E A E ⎛⎫''''''=-=-= ⎪⎝⎭， 又四边形BCDE 的面积为()()11242622S DE BC BE =+⋅=⨯+⨯=， 故11468663377A BCDE V S A A '-'''=⨯⨯=⨯⨯=.【点睛】方法点睛： 立体几何体中空间角的求法：〔1〕定义法：根据空间角〔异面直线所成角、线面角、二面角〕的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；〔2〕空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角〔两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角〕的余弦值，来求空间角即可.21. 图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧ACB 的中点，渠宽AB 为2米．〔1〕当渠中水深CD 为0．4米时，求水面的宽度；〔2〕假如把这条水渠改挖〔不准填土〕成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，如此当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？ 【答案】〔1〕宽1．6米．〔223【解析】 【详解】 【分析】试题分析：〔1〕此题实际上为求对应半圆上点的坐标：先建立直角坐标系，求出半圆弧ACB所在曲线方程：221(11,0)x y x y +=-≤≤≤．再根据水深CD 确定对应点纵坐标，代入圆方程求得横坐标，从而确定水面的宽度；〔2〕为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，因此问题转化为求圆的切线：设切点 (cos ,sin )(0)2P θθθπ-<<，如此切线EF 的方程为 cos sin 1x θy θ+=．从而可根据切线方程与两直线y ＝-1和y ＝0得交点坐标，求出对应等腰梯形的面积2sin cos S θθ+=，再根据导数求其最小值试题解析：〔1〕以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立如下列图的直角坐标系xOy ，因为AB ＝2米，所以半圆的半径为1米，如此半圆的方程为221(11,0)x y x y +=-≤≤≤．因为水深CD ＝0.4米，所以OD ＝0.6米，在Rt △ODM 中，22210.60.8DM OM OD =-=-=〔米〕． 所以MN ＝2DM ＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米．〔2〕为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为(cos ,sin )(0)2P θθθπ-<<是圆弧BC 上的一点，过P 作半圆的切线得如下列图的直角梯形OCFE ，得切线EF 的方程为 cos sin 1x θy θ+=． 令y ＝0，得1(,0)cos E θ，令y ＝-1，得 1sin (,1)cos F θθ+-． 设直角梯形OCFE 的面积为S ，如此11sin 2sin ()()1cos cos cos S CF OE OC θθθθθ++=+⋅=+⨯=〔 02θπ-<<〕． 22cos cos (2sin )(sin )12sin cos cos S θθθθθθθ-+-+'==，令 0S '=，解得 6πθ=-， 当26θππ-<<-时，0S '<，函数单调递减； 当06θπ-<<时，0S '>，函数单调递增．所以6πθ=-时，面积S 取得最小值，最小值为3此时1sin()36cos()6CF π+-==π- 23考点：圆方程，圆的切线，利用导数求最值 22. 设函数()1=xg x ax-，()ln h x x =，()0, 2.718a e >≈. 〔1〕设()()22r x xh x =-，求()r x 的最小值；〔2〕设()()()f x g x h x =+，假如()f x 在[)1,+∞上为增函数，某某数a 的取值X 围； 〔3〕求证：n N ∈，2n ≥时，21ni ie n=∑<. 【答案】〔1〕1ln 22+；〔2〕[)1,+∞；〔3〕证明见解析.【解析】 【分析】〔1〕()22ln r x x x =-，0x >，求导得()241x r x x='-，令()0r x '=，得12x =，得()r x 的单调性，进而得最小值；〔2〕()1ln x f x x ax -=+，由题意得()2'10x a f x x-=≥在[)1,+∞恒成立，参变别离得1a x≥在[)1,+∞上恒成立，求解即可； 〔3〕由〔2〕知1a =时，()1ln xf x x x -=+在[)1,+∞上为增函数，令1n x n =-，如此()11n f f n ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，化简得()1ln ln 1n n n -->，依次累加得1111ln 234n n>++++，不等式的两边取e 的次方即可.【详解】〔1〕函数()ln h x x =，()22ln r x x x ∴=-，0x >.()241x r x x∴='-，令()0r x '=，解得12x =，或12x =〔舍〕， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0r x '<，()r x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0r x '>()r x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；()r x ∴在12x =处取得最小值，()2min 11112ln ln 22222r r x ⎛⎫⎛⎫==⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 〔2〕()1ln x f x x ax-=+，1≥x ，()21x a f x x -∴='，()f x 在[)1,+∞上为增函数， ()210x a f x x-∴=≥'在[)1,+∞上恒成立，即1a x≥在[)1,+∞上恒成立，101x <≤，1a ∴≥，a ∴的取值X 围是[)1,+∞.〔3〕证明：由〔2〕知1a =时，()1ln xf x x x-=+在[)1,+∞上为增函数， ∴令1n x n =-，其中n N ∈，2n ≥，如此1x >，如此()(1)1n f x f f n ⎛⎫=> ⎪-⎝⎭， 即111ln ln 0111nn n n n n n n n --+=-+>---，即()1ln ln 1n n n -->， 1ln 2ln12∴->，1ln 3ln 23->，1ln 4ln 34->，，()1ln ln 1n n n-->， ∴累加得1111ln 234n n>++++，1111ln 234n n n e e +++∴=>.即：21n i i e n =∑<. 【点睛】关键点点睛：证明题时采用〔2〕的结论，得()1ln ln 1n n n-->，依次累加得1111ln 234n n>++++，再不等式的两边取e 的次方化简.。