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(2)平行线等分线段定理的推论
①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 平分第三边 . ②经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 平分另一腰 .
(3)平行线分线段成比例定理及其推论
①三条平行线截两条直线,所得的对应线段 成比例 . ②平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线 段 成比例 .
性质、等比性质的运用.
(2)平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据,特 别是在应用推论时,一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边,是否过 一边的中点.
【即时训练】 如图,在△ABC 中,点 D 是 AC 的中点,点 E 是 BD 的中点,AE 交 BC 于点 F,则
BF 的值为 FC
1 EC.又因为 AE=2CE,DG∥EC, 2
所以
AF EF AE AE = = = =4,又 BG=GE,所以 1 FD FG DG EC 2
BF BG GF GE GF 2GF EF 1 3 = = = =2× +1= . EF EF EF EF 4 2
答案:4
3 2
反思归纳 (1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明,首先要观察 平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段及比例式,同时注意合比
2 2 BE= ×14=4(cm). 7 7
4.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若BD∶AD=1∶3,则∠BCD=
.
解析:由射影定理得 CD =AD·BD,又因为 BD∶AD=1∶3,令 BD=x,AD=3x,所以 CD2=AD·BD=3x2,所以 CD= 3 x,在 Rt△CDB 中,tan∠BCD= 所以∠BCD=
3.如图所示,AB∥CD∥EF,AF∩BE=O,若 AO=OD= ( D ) (B)5 cm (C)6 cm (D)4 cm
2 DF,BE=14 cm,则 BO 等于 3
(A)3 cm
解析:因为 CD∥EF,OD=
2 2 DF,所以 OC= CE, 3 3
又因为 AB∥CD,AO=OD,所以 BO=OC, 所以 OB=
AB AC AB AC '' = 时相似;当 = 时不相似; A' B ' A'C ' A' B ' A'C '
③正确,两个三角形相似时,对应边、对应中线、高线、角平分线都成比例;
④正确,如图由相似三角形的定义知∠BAC=∠B′A′C′,∠1=∠2,由直角三 角形相似的判定方法知 Rt△ADI∽Rt△A′D′I′,可知结论正确.
选考部分 第十五篇 几何证明选讲(选修4—1)
第1节 相似三角形的判定及有关性质
最新考纲 1.理解相似三角形的定义与性质,了解 平行线截割定理.
2.会证明并应用直角三角 形射影定理.
知识链条完善
1.平行线截割定理及应用 (1)平行线等分线段定理
把散落的知识连起来
知识梳理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等 ,那么在其他直线上截 得的线段 也相等 .
夯基自测
1.给出下列命题:
①三角形相似不具有传递性;
②两组对应边成比例,一组对应边所对的角相等的两三角形相似; ③两个三角形相似,则对应线段都成比例;
④相似三角形的内切圆的半径之比等于相似比.
其中正确的是( C (A)①② ) (C)③④ (D)①④ (B)Байду номын сангаас③
解析:①错误,三角形相似具有传递性,即△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2, 则△ABC∽△A2B2C2; ②错误,如图,∠B=∠B′,当
2.相似三角形的判定定理与性质定理 (1)相似三角形的判定定理 定理 内容 两角 对应相等,两三角形相似 两边 对应成比例且 夹角 相等,两三角形相似
判定定理1
判定定理2 判定定理3
三边 对应成比例,两三角形相似
(2)相似三角形的性质定理 定理与推论 内容 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线 的比都等于 相似比 . 相似三角形周长的比等于 相似比 性质定理2 推论 . 相似三角形面积的比等于相似比的 平方 . 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接 圆的面积比等于相似比的 平方 .
性质定理1
3.直角三角形相似的判定定理与射影定理
(1)直角三角形相似的判定定理
定理 内容
判定定理1 如果两个直角三角形 有一个锐角 对应相等,那么它们相似
判定定理2
如果两个直角三角形的 两条直角边
们相似
对应成比例,那么它
如果一个直角三角形的 斜边 和一条直角边与另一个三角 判定定理3 形的 斜边 和一条直角边对应 成比例 ,那么这两个直角三 角形相似 (2)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 比例中项 ;两直角 边分别是它们在斜边上射影与斜边的 比例中项 .
3 BD x = = , CD 3x 3
2
π . 6
答案:
π 6
5.已知梯形ABCD的上底AD=8 cm,下底BC=15 cm,在边AB,CD上分别取E,F, 使AE∶EB=DF∶FC=3∶2,则EF= .
解析:连接 AC 交 EF 于 P, 因为 AE∶EB=3∶2, 所以 AE∶AB=3∶5. 所以 EP∶BC=3∶5,因为 BC=15 cm, 所以 EP=9 cm,同理 PF=3.2 cm. 所以 EF=12.2 cm.
2.如图所示,D,E 分别是△ABC 的边 AB,AC 上的点,DE∥BC,且 △ADE 与四边形 DBCE 的面积比是( C (A)
2 3
AD =2,那么 DB
)
(B)
2 5
(C)
4 5
(D)
4 9
解析:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC, 因为
S SADE AD AD 2 4 4 =2,所以 = ,故 ADE = ,所以 = . DB DB 3 SABC 9 S四边形DBCE 5
答案:12.2 cm
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 平行线截割定理及应用
【例 1】 如图△ABC 中,D 为 BC 的中点,E 在 CA 上且 AE=2CE,AD,BE 交于 F,求
AF = FD
,
BF = FE
.
解析:取 BE 的中点 G,连接 DG,在△BCE 中,因为 D,G 分别为 BC,BE 的中点, 所以 DG∥EC,且 DG=
