也谈几个精彩的平方和不等式

1.所以(x +y )2=3M 2-1≥0,M ≥23.对xy =M2-1,应用上述公式,得M2-1=3M 8-14-(x -y 2)2,所以(x -y 2)2=6-M8≥0,M ≤6.综上,可得23≤M ≤6.7　用于证明不等式已知a,b,c 是实数,且a +b +c =0,abc =1,求证:a,b,c 三个数中必有一个大于23.证明　由abc =1,得a,b,c 中必有一个大于0设c >0,则a +b =-c ,a b =1c,应用上述公式,得ab =c24-(a -b2)2,即1c =c24-(a -b2)2,所以(a -b2)2=c24-1c =c 3-44c≥0.因为c >0, 所以c 3≥4,c ≥34=3328>3278=32.8　用于证明几何不等式例8　如右图,过正方形ABCD 的顶点任作一条直线与边A B 、AD 的延长线分别相交于E 、F .求证:AE +AF ≥4AB.证明　设正方形ABCD 的边长为a,A E 、A F 的长分别为x 、y .因为R t △FD C ∽R t △FAE,所以DC AE =FDFA,即a x=y -a y.整理,得xy -a (x +y )=0.由上述公式,得a (x +y)=(x +y2)2-(x -y2)2.而x +y >0,(x -y )2≥0,所以x +y -4a ≥0,即AE +A F ≥4AB.也谈平方运算的简便方法山东莱阳市府前中学 265200 应时珊 读了《中学数学杂志》2008年第2期《简便算平方》与《一种两位数平方运算新概念》两文,受到不少启发,现谈几点补充意见,供大家参考.11《一种两位数平方运算新概念》一文介绍的方法,实际上是乘法公式(10a +b )2=100a 2+b 2+2ab 的灵活应用,但在介绍具体步骤时将它复杂化了.以742为例,742=(7×10)2+42+2×7×4,计算时只需要三步:(1)702+42=4916不存在进位问题;(2)20×7×4=560.3.4916+560=5476,即742=5476.整个计算过程只有第三步需要进位,用心算即可完成.而该文的“运算新定则”及“实例讲析”都提出要逐位确定该位数字与进位数,是把简单过程复杂化了.21用乘法公式还可以得出其他简便算法,用心算即可迅速求出平方数.下面介绍一种.先要求记热1—25的平方,再用以下两个公式:2.1　(50±a )2=2500±100a +a2=100(25±a )+a 2=100(50±a -25)+a 2.如底数是50+a,a 称为余数,底数是50-a,a 称为补数.计算时只要把底数减去25,再乘以,加上即可如=(5)×+=+56=56472=(47-25)×100+32=2200+9=2209.2.2　(100±a )2=10000±200a +a2=100(100±2a )+a2=100(100±a ±a )+a 2.计算时只要把底数加上余数或减去补数后乘上100,再加上余数或补数的平方即可.如962=(96-4)×100+42=9200+16=92161132=(113+13)×100+132=12600+169=12769.31《简便算平方》一文介绍的办法,实际上将计算过程合并以简化步骤.如372=7×7+7×30+30×7+30×30=30(30+7+7)+7×7=44×30+7×7=1320+49=1369,在计算时只要四步:37+7=44,44×30=1320,7×7=49,1320+49=1369.这种方法可用于十位数相同,个位数不同的两数相乘.如37×32可分步计算:37+2=39,39×30=1170,2×7=14,1170+14=1184,即37×32=1184.特殊的如十位数相同,个位数之和为10,可采用下面算法:十位数乘以“十位数加1”,然后乘以100,再加上个位数的积如×=××+×=56+6=566作者简介应时珊,男,3年月生,中学高级教师63　Z H ONGXU ESH U X U EZ H A Z H I 中学数学杂志　2008年第4期100a 2.74274-21002424900747..727878100280011.:1941.。

平方和定理平方和定理是代数中的基本公式之一，是解决数学中各种问题的重要工具，尤其在元几何学和代数学中应用十分广泛。

该公式表述为：对于任何整数a和b，都有a^2 + b^2 = c^2，其中c为正整数，也叫斜边长。

平方和定理起源于古希腊时期，由毕达哥拉斯发现，因此也被称为毕氏定理。

这个定理是证明欧几里得几何中很多三角形原理的基础。

不仅如此，该公式也有很多实际应用。

例如在物理学中，用于计算三维空间中的点的距离。

平方和公式的推导可以有多种方法，比较有竞技精神的方案是尽可能地简化两个整数a和b，同时满足a^2 + b^2 = c^2。

一种古老的方法是暴力穷举，将所有能够组成勾股数的三元组枚举出来。

然而，这种方法非常耗时。

幸运地是，还有更简洁的方法。

建立在勾股数的几何解释之上，我们可以假设一个边长为a，b，c 的直角三角形，概念如下图所示：通过三角形相似的关系和勾股定理，可以得出：(a/c)^2 + (b/c)^2 = 1移项即可得到：a^2 + b^2 = c^2这就是平方和定理的几何解释。

除了几何解释之外，也有代数推导的方法。

例如，可以利用差平方代换(a-b)^2或(a+b)^2，不过会比较繁琐。

在应用方面，平方和定理在几何学和代数学中应用广泛。

最常见的例子是求直角三角形的斜边长度。

直角三角形的斜边就是平方和定理中的c，当a和b分别为三角形的两条直角边长时，即可求出斜边的长度。

还可以利用平方和定理，来证明某些数是素数，或者用于建立复杂的数学模型，甚至用于解决计算机编程中的一些复杂问题。

总之，平方和定理是解决众多数学和物理问题的一个重要工具，无论在理论上还是在应用上，都具有重要的意义和作用，因此学习和掌握平方和定理对于提高数学思维和应用能力非常重要。

常见的不等式问题解题思路作者：蒋邕平来源：《中学教学参考·语英版》2012年第09期不等式是高考数学的热点之一.由于不等式的证明难度大，灵活性强，技巧要求很高，常常使它成为数学高考中的高档试题.而且，不论是几何、数论、函数等许多问题，都与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是证明）尤为重要.虽然不等式证明没有固定的模式，因题而异，灵活多变，技巧性强，但它也有一些基本的常用方法.要熟练掌握证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始，善于分析题目的特征，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口.以下谈谈常见的不等式题型的解法与技巧一、重要不等式1.平均值不等式设，，…，是n个正实数，记，，，分别称，，，为这n个正数的调和平均、几何平均、算术平均数、平方平均．那么恒有不等式等号成立当且仅当2.柯西不等式对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即，等式当且仅当时成立本不等式称为柯西不等式3.排序不等式设有两组实数，和，满足，则-，其中，是实数组，…，的一个排列，等式当且仅当或时成立，即倒序和≤乱序和≤正序和4.三角不等式设，为任意复数，则-二、解题技巧1.比较法（作差法或比差法）比较实数a和b的大小，作差——变形——判断（正号、负号、零）；变形时常用配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式法等.在a,b 均为正数时，也可借助ab＞1或ab＜1来判断：作商——变形——判断（大于1或小于1）【例1】设a＞b＞0，求证：＞证明：因为a＞b＞0，所以ab＞1,a-b＞0.而-＞1，故＞2.分析法（逆推法）从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆【例2】求证：5+7＞证明：要证5+7＞1+15，即证12+235＞16+215，即35＞2+15，35＞19+415，415＜16，15＜4，15＜16，由此逆推即得5+7＞3.综合法证明时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法【例3】n≥2，且n∈N，求证：1+12+13+…+1n＞n(nn+1-证明：因为1+12+13+…+1n+n=(1+1)+(12+1)+(13+1)+…+(1n+1)=2+32+43+…+n+1n＞n•n2•32•43•…•n+1n=n•n n+1.所以1+12+13+…+1n＞n(nn+1-4.放缩法在证题中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”要得当，不要过头.常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法【例4】求证：12•34•56• (999910000)证明：令p=12•34•56•…•999910000，则＜---1=110001＜110000.所以p＜5.反证法先假设结论不真，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性【例5】在面积是1的△ABC中,P是BC上任意一点,PE∥AB交AC于E，PF∥CA交AB于F，证明:△BPF、△PCE和四边形PEAF中，至少有一个的面积不小于证明：（反证法）若不然，令BPBC=x，＜＜x＜23，(1-＜＜x＜1，--(1-＜＞23或x＜13，无解，故命题真6.排序法利用排序不等式来证明【例6】在△ABC中，试证：＜证明：不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.由排序不等式，得，aA+bB+cC≥bA+cB+aC,以上三式相加，得，得①又由0＜b+c-a,0＜a+b-c,0＜a+c-b有0＜--c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C)----2(aA+bB+cC)，得aA+bB+cCa+b+c＜②由①、②得原不等式成立7.函数法通过变换，把某些问题归纳为求函数（含导函数）的极值，达到解题目的【例7】设x∈R，求证：-证明：---当时，f(x)取最大值218；当-1时，f(x)取最小值－故-8.代换法在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化【例8】已知a＞0,b＞0,0＜x＜1,求证：-证明：令，1-，则左边在实际解题中还有许多方法的，如判别式法、构造法、数形结合法、分解法等等.这些方法往往相互结合、互相包含，有时会把几种方法巧妙结合起来才能解题巩固练习：．设n∈＞1,求证：＞-2．若a＞0,b＞0,且a+2b=6,求的最大值3．若a+2b=12,求的最小值4．已知x-y=1(x＞1),求的最小值5．求u(x,y)=x+2y的最值6.设三个正实数a,b,c满足＞求证： a,b,c一定是某三角形的三边长7.设x,y,z∈求证8.设x,y,z∈且x+2y+3z=36,求1x+2y +3z的最小值．9．若a>0,b>0，则．。

23个经典的不等式专题1. 证明： (2)221111+223n+++<；2. 若：33a b 2+=，求证：a b 2+≤ ；3. 若：n N +∈，求证：...111112n 1n 22n≤+++<++； 4. 若：,a b 0>，且ab a b 3=++，求：a b +的取值范围 ； 5. 若：,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：a b c1a 1b 1c+>+++ ； 6. 当n 2≥时，求证：...22211111112n 1n 23n-<+++<-+ ； 7. 若x R ∈，求y =的值域 ； 8.求函数cos y 2θθ=-的最大值和最小值 ；9. 若,,a b c 0>，求证：2229a b b c c a a b c++>+++++ ； 10.若,,a b c R ∈，且222a b c 25++=，试求：a 2b 2c -+的取值范围； 11.若,,a b c R ∈，且2a b 2c 6--=，求222a b c ++的最小值；12.若,,a b c R ∈，且()()()222a 1b 2c 311654-+-++=，求a b c ++的最大值和最小值； 13.若,,a b c 0>，,,x y z 0>，且满足222a b c 25++=，222x y z 36++=，ax by cz 30++=，求：a b cx y z++++的值；14.求证：n2k 1153k=<∑； 15.当n 2≥时，求证：()n 1213n<+<；16.求证：...()......()1131351352n 12242462462n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-++++<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅； 17.求证：)...)2111<+++< ；18.已知：x 0>,求证：ln()x1x x 1x<+<+ ；19.已知：n N +∈，求证：...ln()...111111n 123n 12n+++<+<++++ ； 20.已知：n 2≥，求证：()n 2n n 1>- ； 21.已知：n N +∈，求证：...n 111n123212++++>- ； 22.设：...n S =+，求证：()()2n n n 12S n 1+<<+ ； 23.已知：n N +∈，求证： (111)12n 1n 23n 1<+++<+++ .23个经典的不等式专题解析1. 证明： (2)221111+223n+++< ；[证明] ⑴ 放缩法()nnnn22k 1k 2k 2k 2111111111112k k 1k 1k n k k ====⎡⎤⎛⎫=+<+=+-=+-< ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑. 从第二项开始放缩后，进行裂项求和. 此法称为“放缩法”.⑵ 积分法构建函数：()1f x 2x =，则()f x 在x R +∈区间为单调递减函数.于是：()nnnn22211k 1k 2111111111dx 1122x n 1n kk x===+<+=-=--=-<∑∑⎰ 从第二项开始用积分，当函数是减函数时，积分项大于求和项时，积分限为[1,]n ； 积分项小于求和项时，积分限为[2,1]n +. 此法称为“积分法”.⑶ 加强版 求证： (2)221117412n +++<[证明] 放缩法...+ (2)222222111111112n12131n 1+++<+++--- (111111)11221213131n 1n 1⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111122131n n 1⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎣⎦111122131⎛⎫<++ ⎪--⎝⎭ 11371112244⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭2. 若：33a b 2+=，求证：a b 2+≤ [证明] ⑴ 公式法()()()3322a b a b a b ab ab a b +=++-≥+，即：()ab a b 2+≤则：()3ab a b 6+≤，()33a b 3ab a b 8+++≤，即：()3a b 8+≤，即：a b 2+≤. 立方和公式以及均值不等式配合. 此法称为立方和的“公式法”.⑵ 琴生不等式构建函数：()3f x x =，则在在x R +∈区间为单调递增函数，且是下凸函数. 对于此类函数，琴生不等式表述为：函数值得平均值不小于平均值的函数值. 即：()()...()...()f x f x f x x x x 12n 12nf nn++++++≥对于本题：()()()f a f b a b f 22++≥ 即：333a b a b 22++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即：333a b a b 21222++⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，即：a b 12+≤，即：a b 2+≤ 琴生不等式可秒此题. 此法称为“琴生不等式”.⑶ 权方和不等式若（a 0>，b 0>，m 0>或m 1<-）则：(...)...(...)m 1m 1m 1n 1n 1m m m 1n 1n a a a a b b b b +++++++≥++ 已知：33a b 2+=331+=33333a b 2()++≥=即：33a b 12()+≥，即：a b 2+≤. 此法称为“权方和不等式”.⑷ 幂均不等式由于幂均函数...()1r r r r12nr a a a M a n ⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭随r 单调递增而得到幂均不等式： ()()13M a M a ≤，即：1333a b a b 22⎛⎫++≤⎪ ⎪⎝⎭即：==113333a b a b 21222⎛⎫++⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即：a b 2+≤. 此法称为“幂均不等式”.3. 若：n N +∈，求证：...111112n 1n 22n≤+++<++ [解析] ⑴ 放缩法由：n n n k n +≥+> ,,...(),k 12n =得：1112n n k n≤<+ ， 则：nn nk 1k 1k 11112n n k n===≤<+∑∑∑， 即： ...n 111n 2n n 1n 2n n n ≤+++<+++ 故： (1111)12n 1n 22n≤+++<++ . 从一开始就放缩，然后求和. 此法称为“放缩法”. ⑵ 性质法本题也可以采用不等式性质证明.所证不等式中的任何一项如第k 项，均满足1112n n k n≤<+，当有n 项累加时， 不等式两个边界项乘以n 倍，则不等式依然成立. 即：大于最小值得n 倍，小于最大值的n 倍.另外，...111n 1n 22n+++++的最大值是ln ....20693147≈，本题有些松. 4.若：,a b 0>，且ab a b 3=++，求：a b +的取值范围 ； [解析] ⑴ 解析法()()()222a b a b 2ab 4ab 4a b 34a b 12+=++≥=++=++，令：t a b =+，则上式为：2t 4t 120--≥，即： ()()t 6t 20-+≥ 故：t 6≥或t 2≤-（舍）.本题采用了均值不等式和二次不等式. ⑵ 基本不等式由ab a b 3=++得：ab a b 14--+=，即：()()a 1b 14--=. 两正数之积为定值时，两数相等时其和最小.故：当()()a 1b 12-=-=时，()()a 1b 1-+-为最小值. 即：()()a 1b 1224-+-≥+=，即：a b 6+≥. ⑶ 拉格朗日乘数法拉格朗日函数为：(,)()L a b a b ab a b 3λ=++--- 当拉氏函数取极值时，()L 1b 10a λ∂=+-=∂；()L 1a 10bλ∂=+-=∂ 即：11b 1a 1λ=-=---，即：b a = 则(,)L a b 取极值时，b a =，代入ab a b 3=++得：2a 2a 3=+ 即：2a 2a 30--=，即：()()a 3a 10-+=，即：a 3= 故：(,)L a b 取极值时，b a 3==，则：a b 6+=由于当a 2=时，代入ab a b 3=++得：2b b 5=+，即：b 5= 此时，a b 2576+=+=>. 则a b 6+=为最小值，故：a b 6+≥. 此法称为“拉格朗日乘数法” 5. 若：,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：a b c 1a 1b 1c+>+++ [证明] ⑴ 单调性法构造函数()xf x 1x=+，则在x 0>时，()f x 为单调递增函数. 所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：a b c +> 那么，对于增函数有：()()f a b f c +>，即：a b c1a b 1c+>+++ ①由放缩法得：a a 1a 1ab >+++，b b1b 1a b>+++由上式及①式得：a b a b a b c1a 1b 1a b 1a b 1a b 1c++>+=>+++++++++. 构造函数，利用函数单调性，此法称为“单调性法”.对于两边之和大于第三边的式子，其实是“设限法”或“设界法”. 6. 当n 2≥时，求证： (222111111)12n 1n 23n-<+++<-+ [证明] ⑴ 放缩法当n 2≥时，n 1n n 1-<<+，都扩大n 倍得：()()2n n 1n n n 1-<<+，取倒数得：()()2111n n 1n n 1n >>-+，裂项：211111n 1n n n 1n ->>--+，求和：()()n n n2k 2k 2k 211111k 1k k k 1k ===->>--+∑∑∑， 即： (222111111)1n 2n 123n->+++>-+ . 先放缩，裂项求和，再放缩. 此法为“放缩法”. ⑵ 积分法构建函数：()21f x x =，则()f x 在x R +∈区间为单调递减函数.由面积关系得到：ABDE AGDE AEFC S S S >>()11k k 1dx f k dx k 1k 22x x +>>⎰⎰- 即：2k k 1111x x k k 1k+->>-- 即：21111111k kkk k->>--+本式实际上是放缩法得到的基本不等式，同前面裂项式. 后面的证法同⑴. 此法称为“积分法” ⑶ 加强版由第1题的求证：...2221117114n n 112n +++<--+可得：...2211314n 2n++<-故加强版为：当n 2≥时，求证：...22211111312n 14n 23n-<+++<-+. 7. 若x R ∈，求y =的值域 [解析] ⑴ 向量法y ==设：1m x 22(,=+，1n x 22(,=-， 则：m x ⎛= n x ⎛=- m n 10(,)-=代入向量不等式：m n m n -≤-得：y m n m n 1=-≤-=，故：1y 1-≤≤. 当且仅当m n //时，不等式的等号成立. 因为m 与n 不平行，故：1y 1-<<. 这回用绝对值不等式.此法称为“向量法”.⑵ 极值法求函数y =的极值，从而得到不等式. 极值时导数为0：'y 0==则：x =±∞，故函数y =的极值出现在x =±∞. 函数为奇函数，故我们仅讨论正半轴就可以了，即在[,)x0∈+∞.y ==22===lim m x y 1→+∞==由于是奇函数，故在(,)x 0∈-∞，y ===lim (m x y 1→-∞==-故：(,)y 11∈-. 此法称为“极值法”. 8、求函数y = ；[解析] ⑴ 斜率法将函数稍作变形为：M Ny == ，设点(,)M M M x y ，点(,)N N N x y ，则(,)M 20，(cos ,sin )N θθ-，而点N 在单位圆上，k y 就是一条直线的斜率，是过点M 和圆上点N 直N 点. 斜率k y 的范围为：[tan ,tan ]oo3030-即：[k y 33∈-而y 是k yk y =，故：1y 1-≤≤ . 即：y 的最大值是1，最小值是1-.原本要计算一番，这用分析法，免计算了. 此法称为“斜率法”. ⑵ 辅助角法先变形：y =cos cos 2y y y θθθθ-==+；利用辅助角公式得：))2y θθθϕ=+=+；sin()θϕ=+，即：sin()11θϕ-≤=+≤；即：224y 13y ≤+，即：224y 3y ≤+，即：2y 1≤，即：1y 1-≤≤如果要计算，需要用到辅助角公式. 此法称为“辅助角法”. 9. 若,,a b c 0>，求证：2229a b b c c a a b c++>+++++ [证明]⑴ 柯西不等式 由柯西不等式：()()()2111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤++⋅+++++≥ ⎪⎣⎦+++⎝⎭ 即：()()21112a b c 39a b b c c a ⎛⎫⎡⎤++⋅++≥= ⎪⎣⎦+++⎝⎭即：()2229a b b c c a a b c ⎛⎫++≥ ⎪+++++⎝⎭ 此法称为“柯西不等式”. ⑵ 排序不等式首先将不等式变形：a b c a b c a b c 9a b b c c a 2++++++++≥+++； 即：c a b 93a b b c c a 2+++≥+++，即：c a b 3a b b c c a 2++≥+++. 由于对称性，不妨设：a b c ≥≥，则：a b a c b c +≥+≥+； 即：111b c a c a b≥≥+++. 由排序不等式得： 正序和a b c a b cb c a c a b a c a b b c++≥++++++++乱序和； 正序和a b c a b cb c a c a b a b b c a c++≥++++++++乱序和；上两式相加得：a b c a b b c a c23b c a c a b a b b c a c +++⎛⎫++≥++= ⎪++++++⎝⎭即：c a b 3a b b c c a 2++≥+++ 证毕. 此法称为“排序不等式”. ⑶ 权方和不等式权方和不等式：若（a 0>，b 0>，m 0>或m 1<-）则：(...)...(...)m 1m 1m 1n 1n 1m m m 1n 1n a a a a b b b b +++++++≥++采用权方和不等式得：222222a b b c c a a b b c c a ++=++++++++9a b c ≥==++ 此法称为“权方和不等式”.10.若a b c R ,,∈，且222a b c 25++=，试求：a 2b 2c -+的取值范围. [解析] ⑴ 向量不等式设：m 122(,,)=-，n a b c (,,)=则：2m 13==，2n a 5=+==m n 122a b c a 2b 2c (,,)(,,)⋅=-⋅=-+m n 3515⋅=⨯=代入向量不等式m n m n ⋅≤得：a 2b 2c 15-+≤ 即：15a 2b 2c 15-≤-+≤ 此法称为“向量不等式” ⑵ 柯西不等式由柯西不等式得：()()()2222222122a b c a 2b 2c ⎡⎤+-+++≥-+⎢⎥⎣⎦即：()2925a 2b 2c ⨯≥-+，故：a 2b 2c 15-+≤ 所以：15a 2b 2c 15-≤-+≤此法称为“柯西不等式”.⑶ 拉格朗日乘数法 构建拉格朗日函数：2221L a b c a 2b 2c a b c 25(,,)()λ=-++++-由函数在极值点的导数为0得： L 2a 10a λ∂=+=∂，则：2a λ=-，即：a 2λ=-； L 2b 20a λ∂=-+=∂，则：b λ=，即：b λ=； L 2b 20a λ∂=+=∂，则：c λ=-，即：c λ=-. 代入222a b c 25++=得：229=54λ，即：103λ=± 极值点为：5a 23λ=-=，10b 3λ==±，10c 3λ=-= 则：y a 2b 2c 15m=-+=，即：15a 2b 2c 15-≤-+≤ 此法称为“拉格朗日乘数法”，简称“拉氏乘数法”. ⑷ 权方和不等式由权方和不等式：2222222222a 2b 2c a 2b 2c a 2b 2c 5= a b c 1441443()()()()()--+-+++=++≥=++ 即：()2925a 2b 2c ⨯≥-+，即: 15a 2b 2c 15-≤-+≤ 其中，2222a 2b 2c a 2b 2c 144144()()()()--+++≥++ 就是“权方和不等式”，也称“柯西-苏瓦茨不等式(推论)”.11.若a b c R ,,∈，且2a b 2c 6--=，求222a b c ++的最小值.[解析]⑴ 向量不等式设：m 212(,,)=--，n a b c (,,)=，则：2222m 2129()()=+-+-=；2222n a b c =++；m n 2a b 2c ⋅=--；代入向量不等式m n m n ≥⋅得：()()22229a b c 2a b 2c 36++≥--= 即：222a b c 4++≥，故：222a b c ++最小值为4.此法称为“向量法”.⑵ 柯西不等式由柯西不等式：2222222212a b c 2a b 2c [()()]()()+-+-++≥-- 即：222222222a b 2c 6a b c 49212()()[()()]--++≥==+-+- 故：222a b c ++最小值为4.此法称为“柯西不等式”.⑶ 拉格朗日乘数法构建拉氏函数：222L a b c a b c 2a b 2c 6(,,)()λ=+++---在极值点的导数为0，即：L 2a 20aλ∂=+=∂，即：a λ=-； L 2b 0bλ∂=-=∂，即：2b λ=； L 2c 20cλ∂=-=∂，即：c λ=. 代入2a b 2c 6--=得：43λ=-则：4a 3=，2b 3=-，4c 3=- 故：22222242436a b c 43339⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥+-+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求极值时，要判断是极大值还是极小值，只需用赋值法代一下，就像第4(3)题. 本题222a b c ++最小值为4.此法称为“拉格朗日乘数法”.⑷ 权方和不等式由权方和不等式得：222222222a b 2c 2a b 2c 6a b c 44144149()()()()--+++=++≥==++即：222a b c 4++≥，故：222a b c ++最小值为4.此法称为“权方和不等式”.12.若a b c R ,,∈，且222a 1b 2c 311654()()()-+-++=，求a b c ++的最大值和最小值. [解析]⑴ 柯西不等式由柯西不等式：()()()2222222a 1c 342a 1b 2c 342⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎢⎥⎡⎤++++≥-+++- ⎪ ⎪⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 即：()2251a b c 2⨯≥++-；故：5a b c 25()-≤++-≤.于是：()3a b c 7-≤++≤.此法称为“柯西不等式”.⑵ 三角换元法 有人说：222a 1b 2c 311654()()()-+-++=是一个椭球面，没错. 它是一个不等轴的椭球. 它的三个半轴长分别为：A 4=，B =C 2=设：x a 1=-，y b 2=+，z c 3=-，则这个椭球的方程为：222222x y z 1A B C ++= ①现在来求a b c ++的最大值和最小值.采用三角换元法：令：x A sin cos θϕ=，y B sin sin θϕ=，z C cos θ=代入方程①检验，可知它满足方程.采用辅助角公式化简：f x y z A B C sin cos sin sin cos θϕθϕθ=++=++42sin cos sin cos θϕθϕθ=++2)cos θϕϕθ=++2)sin cos αϕθθ=++]θθ=+)θφ=+故：f x y z=++的峰值是：当21sin()αϕ+=时，mf5===即：5x y z5-≤++≤而x y z a1b2c3a b c2++=-+++-=++-，故：5a b c25-≤++-≤，即：3a b c7-≤++≤.此法称为“三角换元法”.⑶拉格朗日乘数法设拉格朗日函数为：222a1b2c3L a b c a b c11654()()()(,,)λ⎡⎤-+-=+++++-⎢⎥⎣⎦当拉式函数取极值时，有：La∂=∂，Lb∂=∂，Lc∂=∂. 则：L a110a8λ∂-=+⋅=∂，即：8a1λ=--或8a1λ-=-；L2b210b5()λ∂+=+⋅=∂，即：52b2()λ=-+或5b22λ+=-；L c310c2λ∂-=+⋅=∂，即：2c3λ=--或2c3λ-=-.则：5a1b2c38216542():():()::::-+-==设：a116k-=，则：b25k+=，c34k-=代入222a1b2c311654()()()-+-++=得：22216k5k4k1++=即：225k1=，即：5k1=±于是：a1b2c316k5k4k25k()()()-+++-=++=即：a b c55k25252[,]++=⨯+∈-++即：a b c37[,]++∈-拉格朗日乘数法求出的是极值，即a b c++的极小值是3-、极大值是7.这就是“拉格朗日乘数法”.⑷ 权方和不等式由权方和不等式得：2222a 1b 2c 3a 1b 2c 3116541654()()()()-+--+++-=++≥++ 即：22a b c 215()++-≤，即：22a b c 25()++-≤ 故：5a b c 25()-≤++-≤，即：3a b c 7-≤++≤.此法就是“权方和不等式”.13.若a b c 0,,>，x y z 0,,>，且满足222a b c 25++=，222x y z 36++=，ax by cz 30++=，求：a b c x y z++++的值. [解析]⑴ 柯西不等式由柯西不等式：()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++≥++ 当柯西不等式中等号成立时，有：a b c x y z λ===， 即：a x λ=，b y λ=，c z λ=，0λ>本题，将222a b c 25++=，222x y z 36++=，ax by cz 30++=代入得：2253630⨯≥，正是等号成立.则：2222222a b c x y z ()λ++=++； 即：2222222a b c 2536x y z λ++==++，即：56λ= 故：a b c a b c 5x y z x y z 6λ++=====++ . 此法称为“柯西不等式”.14.求证：n 2k 1153k =<∑. [证明]⑴ 放缩法n n n 222k 1k 2k 211411k k 4k ====+=+∑∑∑ n n 2k 2k 24111122k 12k 14k 1==⎛⎫<+=+- ⎪-+-⎝⎭∑∑ 1115121232n 133⎛⎫=+⨯-<+⨯= ⎪+⎝⎭注意变形为不等式的方法，虽然仍是“放缩法”.⑵ 积分法 构建函数：21f x x ()=，则f x ()在x R +∈区间为单调递减函数. n n n 222k 1k 3k 311151144k k k ====++=+∑∑∑n n 2335151511dx 44x 4n 3x ⎛⎫≤+=-=-- ⎪⎝⎭⎰ 5115119543n 43123=+-<+=< 此法称为“积分法”.15.当n 2≥时，求证：n 1213n()<+<. [证明]⑴ 放缩法由二项式定理得：nn k 12n n n n n k 2n k 0111111C 1C C C n n n n n ...=⎛⎫+=⋅=+⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭∑; 采用放缩法：当n 2≥时，12n 1n n n n 2n 11111C C C 1C 2n n n n...+⋅+⋅++⋅≥+⋅= 即：n112n ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ ① 由二项式定理并采用放缩法得：n n k n k k 11111C n n =⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭∑nk k 1n 11k n k n !!()!==+⋅-∑n k k 11n 1k n k n !!()!==+-∑ n k 11n n 1n 2n k 11k n n n n ()()()...!=---+⎡⎤=+⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦∑ n n n k 1k 2k 21111112k k k !!!===<+=++=+∑∑∑nn k 2k 211122k k 1k 1k ()==⎛⎫<+=+- ⎪--⎝⎭∑∑1213n=+-< ② 本题由二项式中，分子由从n 开始的k 个递减数连乘，分母由k 个n 连乘，得到的分数必定小于1. 于是得到：n 113n()+<. 此法为“放缩法”.⑵ 伯努利不等式由伯努利不等式得：n1111n 2n n ⎛⎫+≥+⋅= ⎪⎝⎭. ①式得证.⑶ 单调性法本题也可以利用函数的基本性质证明. 构建函数：x 1f x 1x ()⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则在x 1≥时，函数为单调递增函数. 故：在x 2≥时，1f x f 1112()()()≥=+=利用指数不等式： x 1x e +< 则：()11y y y x 1f x 11y e e 3x ()()⎛⎫=+=+<=< ⎪⎝⎭. ②式得证.由于指数不等式也可以由函数单调性得到，故此法称为“单调性法”.16.求证：1131352n 12242462n ...()......()⋅⋅⋅⋅⋅-+++<⋅⋅⋅⋅⋅[证明] ⑴ 裂项相消法由放缩法得：()()222n 2n 12n 12n 1()()>-=-+ 故：2n 12n 2n 2n 1-<+ ① 令：n 132n 1S 242n ()...()-=⋅⋅⋅， n 242n T 352n 1()...()=⋅⋅⋅+ 由①得：n n S T < ② 即：2n n n 132n 1242n 1S S T 242n 352n 12n 1()()......()()⎡⎤⎡⎤-<⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故：n S< ③由><<，代入③式得：n S <④ 因为12n 1131352n 1S S S =2242462n ...().........()⋅⋅⋅⋅⋅-++++++⋅⋅⋅⋅⋅所以待证式为：12n S S S ...+++< ⑤将④式代入12n S S S ...+++中采用裂项相消法得：n12n k 1S S S 1...=+++<=<∑⑤式得证.本题的关键在于把根式或其他式子换成两个相邻的根式差， 然后利用求和来消去中间部分，只剩两头.此法称为“裂项相消法”，只不过更另类一些.17.求证：2111)...)<+++<.[证明]⑴ 裂项相消法由放缩法得：<即：2>= ① 由①式进行多项求和并采用“裂项相消法”得： 则：1++2...>++21)= ②由放缩法得：()()()2222228n 18n118n 8n 2->--=-即：()28n 1-> ③==代入③式得：28n 1->令：x 2n =，则上式可写为：22x 1->即：x x 1x x 11()()++--即：21>1>1>< ④ 由④式进行多项求和并采用“裂项相消法”得： 1++...<++1)< ⑤由②⑤，本题得证.本题还是采用级数求和的放缩法. 此法称“裂项相消法”. ⑵ 积分法设函数f x ()=，函数为递减函数.函数图象如图.其中，k x k 1=>，k 1x k 1-=-，k 1x k 1+=+则：k y =k 1y -=，k 1y +=于是，由面积关系得：kk 1k k dx dx +->>⎰⎰即：((k k 1k 1k +->>当k 1>时，上式即：22>>故：n k 12121))=+>>即：n k 211)=<<故：n k 21)=<.积分法可证明②式. 对⑤式，积分法松一些.18.已知：x 0>,求证：x 1x x 1x ln()<+<+. [证明](1) 单调性法构造函数：f x x 1x ()ln()=-+，则：f 00()=. 当x 0>时，函数的导数为：1f x 101x '()=->+， 即当x 0>时，函数f x ()为增函数. 即：f x f 00()()>=； 故：f x x 1x 0()ln()=-+>，即：ln()1x x +< ① 当x 0=时，1x x ln()+=. 构造函数：x g x 1x 1x ()ln()=+-+，则：g 00()=.当x 0>时，其导数为：()()2211x xg x 01x 1x 1x 1x '()⎡⎤⎢⎥=--=>++⎢⎥++⎣⎦.即当x 0>时，函数g x ()为增函数. 即：g x g 00()()>=； 故：x g x 1x 01x ()ln()=+->+，即：ln()x1x 1x<++ ② 当x 0=时，x1x 1xln()=++. 由①和②，本题证毕.本题采用构造函数法，利用函数单调性来证题. 当x 0≥时，x1x x 1xln()≤+≤+. 这是重要的不等式，简称为“对数不等式”. 此法称为“单调性法”. 19.已知：n N +∈，求证：111111n 123n 12n...ln()...+++<+<++++. [证明] ⑴ 积分法构造函数：1f x x()=，在函数图象上分别取三点A B C ,, 即：1A k k (,),1B k 1k 1(,)--,1C k 1k 1(,)++ 我们来看一下这几个图形的面积关系：AEFC AEFH AEDG AEDB S S S S <=<即：k 1kkk 111dx f k 1dx xx ()+-⋅<⋅<⋅⎰⎰即：k 1kkk 1x f k x ln ()ln +-<<即：1k 1k k k 1kln()ln ln ln()+-<<-- 左边不等式1k 1k kln()ln +-<求和： nnk 1k 1111k 1k 1k2n (ln()ln )...==+-<=+++∑∑即：ln() (11)n 112n+<+++ ① 右边不等式1k k 1kln ln()<--求和： ...ln()n 1k 21111n 1k 23n 1+==+++<++∑ ② 由①和②，本题证毕. 本题采用构造函数、利用函数的面积积分来证题. 此法称为“积分法”.20.已知：n 2≥，求证：n 2n n 1()>-. [证明] ⑴ 极值法A> 由于2211n n 1n n n 42()()-<-+=- 所以只要证明n 212n 2()>-即可.即：n 22122n 12()>-，即：n 2222n 1()+>- 即：n 2222n 1()ln ln()+>- 即：2n 22n 12ln ln ln()+>- ① B> 构建函数：2f x x 22x 12ln ()ln ln()=+-- ② 其中：x 2≥ 导函数：22f x 22x 1ln '()=-- ③ 我们求②式得最小值. C> 首先边界： 当x 2=时，2f 2222212ln ()ln ln()=⋅+-⋅-223430ln ln ln ln =-=-> ④ 当x =+∞时，2f x x 22x 12ln ()ln ln()=+--x 2222x 1ln ln ln()=+--x x 2222222x 12x 1lnln +⋅==-- 由于x 2x 2x 2222x x x 1222222x 12x 12(ln )limlim lim +++→+∞→+∞→+∞===+∞-- 所以x 2x 222x x 2202x 12x 1lim lnln lim ++→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==+∞> ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤ D> 由函数取极值时的导数为0得：0022f x 022x 1ln '()=-=- 即：042x 12ln -= ⑥ 即：042x 22ln ln +=⑦ E> 将⑥⑦代入②得到极值点得函数值0002f x x 22x 12ln ()ln ln()=+-- 242422222ln ln ln ln ln ln +⎛⎫⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭422424ln ln ln ln(ln )+=+-+ []1424244424ln ln ln ln(ln )=++-+ 4143224ln ln(ln )⎡⎤=-+⎣⎦ 4341e 224ln ln ln(ln )⎡⎤=-+⎣⎦ 443341e 2e 2422(ln )ln ln ln ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ ⑧ 由于e 22718069318841ln ...≈⨯>而34216818e 2.ln =≈< 所以：034e 2f x 02ln ()ln=> ⑨F> 由函数的极值和边界值都大于0得：f x 0()>即： 2f x x 22x 102ln ()ln ln()=+--> 则：2n 22n 12ln ln ln()+>- ①式得证.本题采用放缩法得①式，采用极值法得⑨式. ⑵ 二项式定理由二项式定理的：nnnkn k 0211C ()==+=∑ ① 其中：knn C k n k !!()!=-当k 1n 1[,]∈-时，k nn C n k n k !!()!=≥- ②在k 1n 1[,]∈-范围，共有n 1()-项。

不等式的经典公式和经典例题讲解-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1不等式的证明规律及重要公式总结证明方法高考数学百大经典例题——不等式性质概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a cb d +>+（若,a bcd ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或>4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。

如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。

算术—平方平均不等式的证明算术平方平均不等式是一种重要的算术定理，它利用了平方和不等式的性质，提出了一种平方平均不等式，也就是平方和的平均数大于等于它的和的平均数的结论。

这个定理有着深远的意义，它被用来证明平方的和的性质，也在科学研究和实际应用中发挥着重要作用。

本文将对这一定理进行前提分析和推理，以证明它的正确性。

首先，我们从数学的定义出发来看待平方平均不等式。

平方平均不等式，也称平方和平均不等式，是指：如果X1，X2……Xn是一组正数，那么：X1 + X2 + + Xn (X1 + X2 + + Xn)/n注：X1，X2，…，Xn表示自然数以上是平方平均不等式的定义。

下面，我们来分析它的证明过程。

一、原理及其证明：1、证明时，我们可以分别用不同的等式证明：（1）X1 + X2 + + Xn (X1 + X2 + ... + Xn)/n（2）X1(X1 + X2 + ... + Xn) + X2(X1 + X2 + ... + Xn) + + Xn(X1 + X2 + ... + Xn) (X1 + X2 + ... + Xn)解：（1）由于X1，X2，…，Xn都是正数，显然X1 + X2 + + Xn (X1 + X2 + ... + Xn)/n成立；（2）X1(X1 + X2 + ... + Xn) + X2(X1 + X2 + ... + Xn) + + Xn(X1 + X2 + ... + Xn)= X1 + X1X2 + X1X3 + ... + X1Xn + X2 + X2X3 + ... + X2Xn+ X3 + ... + Xn令Y=X1 + X2 + ... + Xn；则Y = (X1 + X2 + ... + Xn)将以上各式代入原式，有：X1 + X1Y + X2 + X1X2 + X2Y + X3 + X2X3 + X3Y + + Xn + X(n1)Xn + XnY Y由Y = (X1 + X2 + ... + Xn)，故：X1 + X2 + + Xn (X1 + X2 + ... + Xn)成立；二、结论：由上述分析可知，平方平均不等式的证明是有效的，也即X1 + X2 + ... + Xn (X1 + X2 + ... + Xn)/n成立。

由一个条件等式到若干不等式的演变邹守文 安徽省南陵县春谷中学 241300在研究分式问题时，遇到这样一道初中“北京数学科普日”攻擂题： 已知()()()()()()5132a b b c c a a b b c c a ---=+++，求a b c a b b c c a +++++的值.本题已知和所求之间有一定的距离，难以直接建立有效的联系，但经过思考我们发现1111,1,1222a a b b b c c c a a b a b b c b c c a c a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭这样就可以把所求转化为关于,,a b b c c aa b b c c a---+++的关系式，为了减少式子的结构，可以设,,a b b c c ap q r a b b c c a---===+++，又 ()()()()()()()()()8111111abcp q r p q r a b b c c a +++==----+++即()()()()()()111111p q r p q r +++=---，化简得0p q r pqr +++=. 由已知()()()()()()5132a b b c c a a b b c c a ---=+++，得5132pqr =，所以5132p q r ++=-.所以111111222a b c a b b c c a a b b c c a a b b c c a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3131315391222222132264a b b c c a p q r a b b c c a ---⎛⎫⎛⎫=+++=+++=+⨯-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 由解题过程可以得到： 命题1设,,a b b c c ap q r a b b c c a---===+++，则0p q r pqr +++=. 推论1()()()()()()0a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++=++++++推论2设,,a b c 是不同的实数, 则 1.a b b c b c c a c a a ba b b c b c c a c a a b++++++⋅+⋅+⋅=------- 证明：设,,a b b c c ap q r a b b c c a ---===+++，则推论2等价于1111pq qr rp++=- .0.p q r pqr p q r pqr ⇔++=-⇔+++=由等式发展到不等式，有定理1设,,a b c 是不同的实数, 0,m n +≠则有22222ma nb mb nc mc na m n a b b c c a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭证明：设,,a b b c c a p q r a b b c c a ---===+++，则1111,2a a b a b p a b p⎛⎫+=+= ⎪--⎝⎭等等，又 ()()()111222m n a n a b ma nb a a b m n n m n m nm n n a b a b a b a b p p p -++⎛⎫++-+-==-⋅+⋅=++=⋅+ ⎪----⎝⎭ 同理可得另两式，于是222ma nb mb nc mc na a b b c c a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭222111222222m n m n m n m n m n m n p q r ⎛⎫⎛⎫+-+-+-⎛⎫=⋅++⋅++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222221*********m n m n m n p q r p q r ⎛⎫⎛⎫+--⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222211111111123222m n m n m n p q r pq qr rp p q r ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--⎛⎫⎛⎫=++-++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦222222111111232222m n m n m n m n p q r p q r ⎛⎫⎛⎫++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222222111111552224m n m n m n mn p q r p q r ⎛⎫⎛⎫+-+-⎛⎫=⋅++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22221115524m n m n mn m n p q r m n m n ⎛⎫-+--⎛⎫=++++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22222552.4m n mn m n m n m n +--⎛⎫≥-=+ ⎪+⎝⎭在定理1中取1,m n λλ=+=-，则得到 推论3设,,a b c 是三个不同的实数，λ是实数，则2222221a b c a b b c c a λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭推论3是文[1]的定理1.在推论3中取0λ=，有2221a b c a b b c c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭对上式令,,a b cx y z b c a===，可以得到第49届IMO 第2题： 设实数,,x y z 都不等于1，满足1xyz =，求证：()()()2222221111x y z x y z ++≥---如果令,,b c ax y z a b c===，可以得到第49届IMO 第2题的姊妹不等式： ()()()2221111111x y z ++≥---在推论3中取1λ=可以得到2004年泰国数学奥林匹克：设,,a b c 是不同的实数，求证：222222 5.a b b c c a a b b c c a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭在推论3中取12λ=-可以得到： 设,,a b c 是不同的实数，则有2222a b b c c a a b b c c a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭在定理1中取1,1m n λλ=+=-，则得到 推论4设,,a b c 是不同的实数，λ是实数，则22222(1)a b b c c a a b b c c a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭推论4是文[1]定理2.在推论4中取0λ=，得到文[1]推论5：设,,a b c 是不同的实数，λ是实数，则2222a b b c c a a b b c c a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭对命题1由类比的方法，还可以获得命题2设,,a b cx y z b c c a a b===---，则1xy yz zx ++=-. 证明：因为()()()()()()111111a b c b c a c a bx y z x y z b c c a a b+-+-+-+++=⋅⋅=------ 所以1xy yz zx ++=-.定理2设,,a b c 是不同的实数，λ是实数，则有()222221a b c b c c a a b λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭证明：设,,a b c x y z b c c a a b===---，则1xy yz zx ++=-.所以222a b c b c c a a b λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()222222223x y z x y z x y z λλλλλ=+++++=++++++ ()()()22223x y z xy yz zx x y z λλ=++-++++++()()2222221x y z λλλ=+++++≥+在定理2中取0λ=，有若,,a b c 是互不相同的实数，则有2222.a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭定理3设,,a b c 是不同的实数，k 是实数，则222225a b b c c a b c c a a b λλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥-+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 证明：令,,a b b c c ax y z b c c a a b---===---，则 ()()()1,1111, 3.xyz x y z xy yz zx x y z =+++=-∴+++++=-所以222a b b c c a b c c a a b λλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()222222223x y z x y z x y z λλλλλ+++++=++++++()()()22223x y z xy yz zx x y z λλ=++-++++++()()()222623x y z x y z x y z λλ=++++++++++()()()22213x y z x y z λλ=+++++++()22212525x y z λλλλλ=+++++-+≥-+当0λ=时得到文[2]定理1：推论5设,,a b c 是不同的实数，则2225.a b b c c a b c c a a b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭当1λ=得到：推论6设,,a b c 是不同的实数，则2225.a c b a c b b c c a a b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭参考文献：[1]安振平、邹守文.也谈几个精彩的平方和不等式[J].中学数学，2008，12. [2]宋庆.几个精彩的平方和不等式[J].中学数学，2008，9. [3] 第49届IMO 试题解答[J].中等数学，2008，9.。

再谈几个精彩的平方和不等式
黎金传
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2010(000)005
【摘要】@@ 文[2]对文[1]中的几个精彩的平方和不等式做进一步深化,得出了三个定理,本文将它们统一推广为:rn定理若z,y,z,α,β,γ为实数,且
yz+zx+xy+α=β(x+y+z),则有(x+λ)2+(y+λ)2+(z+λ)2≥2λ(2)+2βλ+2α-β(2).【总页数】1页(P18)
【作者】黎金传
【作者单位】江西省上饶县中学,334100
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一个精彩平方和不等式的推广 [J], 田富德
2.两个精彩平方和不等式的加权推广 [J], 田富德
3.几个平方和不等式的统一推广 [J], 邱小明
4.关于两组实数平方和的算术根之和的两个不等式 [J], 刘锐;
5.利用平方和方法证明不等式赛题 [J], 张丽玉
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初中几何基本定理证明
1、平方和公式: a b
(a+b)2=a2+b2+2ab
b
a b
大正方形面积=(a+b)2=a2+b2+ab+ab= a2+b2+2ab
2、平方差公式a2-b2=(a-b)(a+b)
3、矩形中,对角线与其中的一条边成30°(或者是60°)
会出现两个等边三角形
两个底角为30°顶角为120°
的三角形
4、定理：如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

5、勾股定理: a2+b2=c2
6、证明题
一、如果要证明某两条边相等,一般情况下两条边不能直接做比较。

(1)两条边放入一个图形中: 如果放入四边形,要证的两条边一般为
四边形的对边或对角线,对边时只需证
明四边形是平行四边形;对角线时证明
四边形是矩形。

如果放入三角形,只要证明三角形是等边三
角形或者是以要证两边为腰的等腰三角形
(2)两条边放入两个图形(一般为这种情况或两条边离得较远)
一般放入三角形,只需证明两个三角形全等,这种题会在矩形内做出一些
线,证全等过程中要充分用到矩形两条对边平行,
内错角、对顶角、两角互余等
7、给定四边形(多为矩形)周长,求某一图形(多为三角形)周长。

答案一般为四边形周长的一半。

思路:把要求周长的图形各边”平铺”在四边形上。

8、面积转化法(已知AB、BC,AC可由勾股定理求得)
1/2*AB*BC=1/2*AC*BD
BD
B C。

也谈基本不等式组的几何证法在数学中，基本不等式组是指由一系列基本不等式构成的一组不等式。

基本不等式组在解决数学问题中起着重要的作用，它们能够帮助我们推导出更复杂的不等式，并且可以应用于几何证明中。

不等式是数学中常见的一种关系，它描述了两个数之间的大小关系。

而基本不等式组则是由一系列基本不等式组成的，它们的特点是简洁明了，易于理解和应用。

在几何证明中，基本不等式组可以用来证明两个几何量之间的大小关系。

例如，在证明两个三角形的面积大小关系时，常常会用到基本不等式组。

基本不等式组的几何证法主要有以下几种：1. 直观法：通过直观地观察几何图形，我们可以得出一些基本不等式的结论。

例如，在证明一个三角形的面积大于另一个三角形时，我们可以通过观察两个三角形的形状和大小关系来得出结论。

2. 基本几何定理法：几何中有一些基本的定理和公式，它们可以帮助我们推导出一些基本不等式的结论。

例如，在证明一个三角形的面积大于另一个三角形时，我们可以利用三角形面积公式和三角形的高度来推导出结论。

3. 分割法：将一个几何图形分割成若干个简单的几何形状，然后分别对每个几何形状应用基本不等式，最后将结果合并得到最终的结论。

这种方法常用于证明复杂的不等式关系。

4. 几何变换法：通过对几何图形进行一系列的几何变换，可以将一个不等式转化成另一个等价的不等式。

这种方法常用于证明一些特殊的不等式，可以简化证明的过程。

基本不等式组的几何证法可以帮助我们在解决几何问题中得到更准确和简洁的结果。

通过合理运用这些证法，我们可以更好地理解和应用基本不等式组，提高解题的效率和准确性。

总结起来，基本不等式组的几何证法是数学中一种重要的证明方法，它通过直观法、基本几何定理法、分割法和几何变换法等方式，帮助我们推导出几何图形中的不等式关系。

这些证法在解决几何问题中起着重要的作用，可以帮助我们得到更准确和简洁的结果。

通过学习和应用这些证法，我们可以提高解题的效率和准确性，进一步拓展数学的应用领域。

“平方凑定值”用不等式求解的应用题解析实际应用问题常常目标函数化归用不等式求最值.不等式求最值须满足“一正数、二定值、三取等号条件”缺一不可.为满足定值和取等号条件常常“平方凑定值”.例1若矩形ABCD 的两个顶点A,B 在x 轴上，C 、D 在函数y=-2(x-1)2+4(0≤x ≤2)的图象上，求矩形面积的最大值.简析：注重图象的对称性，巧妙设点目标函数化归为“平方凑定值”解决.由矩形的对称性知，A 、B 关于x=1对称,可设A(1-t ，0),B(1+t,0),则C(1+t,f(1+t)),D(1-t,f(1-t)) 0≤t ≤1).于是,矩形面积S=(1+t-1+t)f(1+t)=4t(2-t 2),由于整体自变量次数为一次和二次，为凑和为定值需平方，则S 2=8(2t 2)(2-t 2)(2-t2)≤8334⎪⎭⎫ ⎝⎛,当且仅当t=36时取等号.故当t=36时,矩形面积最大值为966.例2 （96高考）求母线长为1的圆锥体积最大时的侧面展开图的圆心角的度数. 简析1：目标函数“平方凑定值”借助取等号条件解决.r 、h 为圆锥底面半径和高.易知,v=32h r π,r 2+h 2=1.为“凑定值需平方”，222222(18h r r v π=）182π≤232⎪⎭⎫ ⎝⎛当且仅当r 2=2h 2.即r=36时，体积最大.此时，侧面展开圆心角为362π. 简析2：引入母线下底面所成角，用“平方关系凑定值”，借助取等号条件解决.设α为母线与底面所成角，则,sin cos v ααπ=231用“平方关系凑定值” ()3222223218218⎪⎭⎫ ⎝⎛π≤αααπ=sin cos coc v ,当且仅当cos 36=α时取等号.故体积最大时，侧面展开圆心角为362π.例3 母线长为L,体积为定值的圆锥,求侧面展开面积最小时高与底面半径的比值. 简析：若2222,,3h r L rh s h r v +===ππ,降元意识代入繁杂，不易求出最值. 若引入角参数，平方凑定值，借助不等式取等号条件可解.设母线与下底面所成角为α，则v=3/3L π·cos 2αsin α,s=L π2cos α,目标意识消参化为三角最值.L 6=,cos ,sin cos 93633242απααL s v =代入有，s 3=ααπ223sin cos 9v ,s 要最小，化归为m=cos αα2sin 最大，为用同角平方关系需平方.m 2=1/2·(2cos 2α)sin 2αsin 2α≤1/2·(2/3)3,当且仅当tg α=2=h/r 时，m 2最大.即s 最小.故侧面展开图面积最小时，高与底面半径的比为2：1.注：引入角参数的简化功能，整体代入及“平方”“立方”凑定值的技巧，注重问题解决中的“目标意识”的指导作用.例4抛物线型拱桥设水面宽18米时，拱顶离水面的距离为8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF ，求矩形面积S 的临界值M,即当S ≤M 时,适当调整矩形的长和宽船能通过拱桥，而当S>M 时，无论怎样调整矩形的长和宽，船都不能通过拱桥. 简析：构建圆锥曲线方程模型，目标函数法，“平方凑定值”用不等式解决.设抛物线方程为 y=ax 2(a<0)且抛物线过（9，-8）待定系数可得，2818x y -=. E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-8182x ,x (0<x<9),|CD|=2x,|DE|=|8—8x 2/81|,S=|CD||DE|=()8181168188222x x x x -•=-，非负数为凑定值需平方，则()()22222281818116x x x S --=≤3072(当且仅当 x=33时取等号).此时,矩形面积S 临界值M 的最大值为 323.。