人教新课标版数学高二人教A选修4-5教案 第12课时 几个著名的不等式之二 排序不等式

1.1.2 基本不等式一、教学目标1．了解两个正数的算术平均数与几何平均数．2．理解定理1和定理2(基本不等式)．3．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．二、课时安排1课时三、教学重点理解定理1和定理2(基本不等式)．四、教学难点掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．五、教学过程（一）导入新课已知lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y的最小值为______． 【解析】 ∵lg x ＋lg y ＝2，∴x ＞0，y ＞0，lg(xy )＝2，∴xy ＝102，∴1x ＋1y ≥21xy ＝15，当且仅当x ＝y ＝10时，等号成立． 【答案】 15（二）讲授新课教材整理1 两个定理及算数平均与几何平均1．两个定理2.如果a ，b 都是正数，我们称为a ，b 的算术平均，为a ，b 的几何平均．教材整理2 利用基本不等式求最值已知x ，y 为正数，x ＋y ＝S ，xy ＝P ，则(1)如果P 是，那么当且仅当时，S 取得最小值；(2)如果S 是，那么当且仅当x ＝y 时，P 取得最大值.（三）重难点精讲题型一、利用基本不等式证明不等式例1已知a ，b ，c 都是正数，求证：a2b ＋b2c ＋c2a≥a ＋b ＋c . 【精彩点拨】 观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．【自主解答】 ∵a >0，b >0，c >0，∴a2b ＋b ≥2 a2b·b ＝2a ， 同理：b2c ＋c ≥2b ，c2a＋a ≥2c . 三式相加得： a2b ＋b2c ＋c2a＋(b ＋c ＋a )≥2(a ＋b ＋c )， ∴a2b ＋b2c ＋c2a≥a ＋b ＋c . 规律总结：1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明．2．当且仅当a ＝b ＝c 时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．[再练一题]1．已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 【证明】 ∵x ，y ，z 都是正数，∴x yz ＋y zx ＝1z ⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥2z. 同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 题型二、利用基本不等式求最值例2设x ，y ，z 均是正数，x －2y ＋3z ＝0，则y2xz的最小值为________． 【精彩点拨】 由条件表示y ，代入到y2xz中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件．【自主解答】 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，∴y2xz ＝x2＋9z2＋6xz 4xz ＝14⎝⎛⎭⎫x z ＋9z x ＋6 ≥14⎝⎛⎭⎫2x z ·9z x ＋6＝3. 当且仅当x ＝y ＝3z 时，y2xz取得最小值3. 【答案】 3规律总结：1．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y ，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题．2．使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立，即“一正、二定、三相等”．在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败的关键．[再练一题]2．已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，试求x ＋y 的最小值. 【解】 ∵x >0，y >0，且1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝y x ＋9x y ＋10≥2y x ·9x y ＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y，即y ＝3x 时等号成立． 又1x ＋9y＝1，∴当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 题型三、基本不等式的实际应用例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？【精彩点拨】 (1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．利用基本不等式求最值．【自主解答】 (1)由题意可设3－x ＝k t ＋1(k ＞0)， 将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，年生产成本为32x ＋3＝32×⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3. 当销售x 万件时，年销售收入为150%×⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，得年利润y ＝－t2＋98t ＋352t ＋1(t ≥0)． (2)y ＝－t2＋98t ＋352t ＋1＝50－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42， ∴当促销费定在7万元时，年利润最大．规律总结： 设出变量――→建立数学模型――→定义域利用均值不等式求最值――――→“＝”成立的条件结论[再练一题]3．如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60 m 2，问当a ，b 各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)?【解】 法一 设流出的水中杂质的质量分数为y ，由题意y ＝k ab，其中k 为比例系数(k >0)．根据题意，得 2×2b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)，∴b ＝30－a 2＋a(由a >0，b >0，可得a <30)．∴y ＝k ab ＝k 30a －a22＋a. 令t ＝a ＋2，则a ＝t －2.从而30a －a22＋a＝30(t －2)－(t －2)2t ＝34t －t2－64t ＝34－⎝⎛⎭⎫t ＋64t ， ∴y ＝k ab ≥k 34－2 t·64t＝k 18. 当且仅当t ＝64t ，即a ＋2＝64a ＋2时，取“＝”，∴a ＝6. 由a ＝6，可得b ＝3.综上所述：当a ＝6 m ，b ＝3 m 时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．法二 设流出的水中杂质的质量分数为y ，依题意y ＝k ab，其中k 为比例系数(k >0)．要求y 的最小值必须先求出ab 的最大值．依题设4b ＋2ab ＋2a ＝60，即ab ＋a ＋2b ＝30(a >0，b >0)．∵a ＋2b ≥22ab(当且仅当a ＝2b 时取“＝”)，∴ab ＋22ab ≤30，可解得0<ab ≤18.由a ＝2b 及ab ＋a ＋2b ＝30，可得a ＝6，b ＝3，即a ＝6，b ＝3时，ab 取得最大值，从而y 的值最小．题型四、基本不等式的理解与判定例4命题：①任意x >0，lg x ＋1lg x ≥2；②任意x ∈R ，a x ＋1ax ≥2；③任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x ＋1tan x≥2；④任意x ∈R ，sin x ＋1sin x≥2. 其中真命题有()A ．③B ．③④C ．②③D.①②③④【精彩点拨】 按基本不等式成立的条件进行判定．【自主解答】 在①④中，lg x ∈R ，sin x ∈[－1,1]，不能确定lg x >0与sin x >0.因此①④是假命题；在②中，a x >0，a x ＋1ax ≥2ax·1ax＝2，当且仅当x ＝0时，取等号，则②是真命题； 在③中，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，tan x >0，有tan x ＋1tan x ≥2，且x ＝π4时取等号，∴③是真命题． 【答案】 C规律总结：1．本题主要涉及基本不等式成立的条件及取等号的条件．在定理1和定理2中，“a ＝b ”是等号成立的充要条件．但两个定理有区别又有联系：(1)a ＋b 2≥ab 是a 2＋b 2≥2ab 的特例，但二者适用范围不同，前者要求a ，b 均为正数，后者只要求a ，b ∈R ；(2)a ，b 大于0是a ＋b 2≥ab 的充分不必要条件；a ，b 为实数是a 2＋b 2≥2ab 的充要条件．2．当b ≥a >0时，有变形不等式a ≤2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a2＋b22≤b . [再练一题]4．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是()A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 【解析】 A 选项中，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，则排除A ；当a <0，b <0时，a ＋b <0<2ab ，1a ＋1b <0<2ab，则排除B ，C 选项；D 选项中，由ab >0，则b a >0，a b >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，当且仅当a ＝b 时取“＝”，所以选D. 【答案】 D（四）归纳小结基本不等式—⎪⎪⎪⎪ —定理的理解—证明不等式—求最值—实际应用（五）随堂检测1．下列结论中不正确的是()A ．a ＞0时，a ＋1a ≥2B.b a ＋a b≥2 C ．a 2＋b 2≥2ab D.a 2＋b 2≥(a ＋b )22 【解析】 选项A ，C 显然正确；选项D 中，2(a 2＋b 2)－(a ＋b )2＝a 2＋b 2－2ab ≥0，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22成立；而选项B 中，b a ＋a b≥2不成立，因为若ab ＜0，则不满足不等式成立的条件． 【答案】 B 2．下列各式中，最小值等于2的是()A.x y ＋y xB.x2＋5x2＋4C ．tan θ＋1tan θD.2x ＋2－x【解析】 ∵2x ＞0,2－x ＞0，∴2x ＋2－x ≥22x·2－x ＝2，当且仅当2x ＝2－x ，即x ＝0时，等号成立．故选D.【答案】 D3．已知5x ＋3y＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是() A ．15B ．6C ．60D.1【解析】 ∵5x ＋3y ≥215xy(当且仅当x ＝10，y ＝6时，取等号)， ∴215xy ≤1，∴xy ≥60，故xy 的最小值为60.【答案】 C六、板书设计1.1.2基本不等式 教材整理1 两个定理及算数平均与几何平均1．两个定理2.算术平均与几何平均例1： 例2： 例3： 例4： 学生板演练习 七、作业布置同步练习：1.1.2基本不等式八、教学反思。

1.2.2 绝对值不等式的解法一、教学目标1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .3．能利用绝对值不等式解决实际问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法． 四、教学难点会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .五、教学过程 （一）导入新课解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R )．【解】 若2m －1≤0，即m ≤12，则|2x －1|＜2m －1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m －1＞0，即m ＞12，则－(2m －1)＜2x －1＜2m －1，所以1－m ＜x ＜m . 综上所述：当m ≤12时，原不等式的解集为∅，当m ＞12时，原不等式的解集为{x |1－m ＜x ＜m }．（二）讲授新课教材整理1 绝对值不等式|x |<a 与|x |>a 的解集教材整理2 |ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 1．|ax ＋b |≤c ⇔ .2．|ax ＋b |≥c ⇔ .教材整理3 |x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 1．利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图象求解． （三）重难点精讲题型一、|ax ＋b|≤c 与|ax ＋b|≥c 型不等式的解法 例1求解下列不等式．(1)|3x －1|≤6；(2)3≤|x －2|＜4；(3)|5x －x 2|＜6.【精彩点拨】 关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式． 【自主解答】 (1)因为|3x －1|≤6⇔－6≤3x －1≤6， 即－5≤3x ≤7，从而得－53≤x ≤73，所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53≤x ≤73. (2)∵3≤|x －2|＜4，∴3≤x －2＜4或－4＜x －2≤－3，即5≤x ＜6或－2＜x ≤－1. 所以原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}． (3)法一 由|5x －x 2|＜6，得|x 2－5x |＜6. ∴－6＜x 2－5x ＜6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－5x －6＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －3)＞0，(x －6)(x ＋1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2或x ＞3，－1＜x ＜6. ∴－1＜x ＜2或3＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}． 法二 作函数y ＝x 2－5x 的图象，如图所示．|x 2－5x |＜6表示函数图象中直线y ＝－6和直线y ＝6之间相应部分的自变量的集合．解方程x 2－5x ＝6，得x 1＝－1，x 2＝6.解方程x 2－5x ＝－6，得x ′1＝2，x ′2＝3.即得到不等式的解集是{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}． 规律总结：1．形如a ＜|f (x )|＜b (b ＞a ＞0)型不等式的简单解法是利用等价转化法，即a ＜|f (x )|＜b (0＜a ＜b )⇔a ＜f (x )＜b 或－b ＜f (x )＜－a .2．形如|f (x )|＜a ，|f (x )|＞a (a ∈R )型不等式的简单解法是等价命题法，即 (1)当a ＞0时，|f (x )|＜a ⇔－a ＜f (x )＜a . |f (x )|＞a ⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a . (2)当a ＝0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔|f (x )|≠0.(3)当a ＜0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔f (x )有意义． [再练一题] 1．解不等式： (1)3＜|x ＋2|≤4； (2)|5x －x 2|≥6.【解】 (1)∵3＜|x ＋2|≤4，∴3＜x ＋2≤4或－4≤x ＋2＜－3，即1＜x ≤2或－6≤x ＜－5，所以原不等式的解集为{x |1＜x ≤2或－6≤x ＜－5}．(2)∵|5x －x 2|≥6，∴5x －x 2≥6或5x －x 2≤－6，由5x －x 2≥6，即x 2－5x ＋6≤0，∴2≤x ≤3， 由5x －x 2≤－6，即x 2－5x －6≥0，∴x ≥6或x ≤－1， 所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或2≤x ≤3或x ≥6}． 题型二、含参数的绝对值不等式的综合问题 例2已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【精彩点拨】 解f (x )≤3，由集合相等，求a →求y ＝f (x )＋f (x ＋5)的最小值，确定m 的取值范围【自主解答】 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一 由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|， 于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5. 因此g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 知实数m 的取值范围是(－∞，5]． 法二 当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 恒成立， 则实数m 的取值范围是(－∞，5]． 规律总结：1．第(2)问求解的关键是转化为求f (x )＋f (x ＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．[再练一题]2．关于x 的不等式lg(|x ＋3|－|x －7|)<m . (1)当m ＝1时，解此不等式；(2)设函数f (x )＝lg(|x ＋3|－|x －7|)，当m 为何值时，f (x )<m 恒成立？【解】 (1)当m ＝1时，原不等式可变为0<|x ＋3|－|x －7|<10，可得其解集为{x |2<x <7}． (2)设t ＝|x ＋3|－|x －7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0<t ≤10， 因y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数， 则lg t ≤1，当t ＝10，x ≥7时，lg t ＝1， 故只需m >1即可，即m >1时，f (x )<m 恒成立． 题型三、含两个绝对值的不等式的解法例3 (1)解不等式|x ＋2|＞|x －1|；(2)解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．【自主解答】 (1)|x ＋2|＞|x －1|，可化为(x ＋2)2－(x －1)2＞0，即6x ＋3＞0，解得x ＞－12，∴|x ＋2|＞|x －1|的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞－12. (2)如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .所以－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离和为3，B 1对应数轴上的x ， 所以x －1＋x －(－1)＝3. 所以x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 规律总结：|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．[再练一题]3．已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)解不等式f (x )>2. 【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，12－2x ，4<x ≤8，－4，x >8.函数的图象如图所示．(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2. 由－2x ＋12＝2，得x ＝5， 根据函数f (x )的图象可知， 原不等式的解集为 (－∞，5)． （四）归纳小结绝对值不等式的解法—⎪⎪⎪⎪—绝对值的几何意义—|ax ＋b |≤c 与|ax ＋b |≥c 型不等式—含两个绝对值的不等式的解法—含参数的绝对值不等式问题（五）随堂检测1．不等式|x |·(1－2x )>0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，12 【解析】 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 【答案】 B2．不等式|x 2－2|＜2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－1,0)∪(0,1) D.(－2,0)∪(0,2)【解析】 由|x 2－2|＜2，得－2＜x 2－2＜2，即0＜x 2＜4，所以－2＜x ＜0或0＜x ＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】 D3．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________.【解析】|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，且x ＋2≠0. ∴x ≤－32且x ≠－2.【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－32且x ≠－2六、板书设计七、作业布置同步练习1.2.2：绝对值不等式的解法八、教学反思。

选修4-5 不等式选讲（1）内容：含绝对值的不等式、根式不等式一、含绝对值的不等式1、解不等式（1）213+<-x x ； （2）x x ->-213。

2、解不等式（1）512≥-+-x x ； （2）.0312>+--+x x3、（1）已知 2,2cb yc a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+（2）已知.6,4ay a x << 求证：a y x <-32。

练习1：解下列不等式： （1） 2132≤-x ； （2） 1743<+<x ； （3）321>+++x x练习2：已知 .3,3,3s c C s b B s a A <-<-<- 求证：（1）s c b a C B A <++-++)()(； （2）.)()s c b a C B A <-+--+二、含根式的不等式 1、解不等式 （1）0343>---x x ； （2）x x x 34232->-+-； （3）24622+<+-x x x2、解不等式（1）解不等式1112-+>+x x ； （2）655332->-+-x x x练习：解不等式（1）33333++<++-x x x x ； （2）112>+--x x选修4-5 不等式选讲（2）内容：不等式证明方法（综合法、分析法、反证法、放缩法）例1、（1）设b a ≠，求证：)(2322b a b b a +>+。

（2）若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++练习（1）b a ,都是正数。

求证：.2≥+abb a .（2）设0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+（3）证明：ca bc ab c b a ++≥++222。

（4）.)())((22222bd ac d c b a +≥++例2、（1）设233=+b a ，求证2a b +≤；（2）设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21.练习：（1）设0 < a , b , c < 1，求证：(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于41（2）若x , y > 0，且x + y >2，则x y +1和yx+1中至少有一个小于2。

课题：第13课时几个有名的不等式之二：排序不等式目的要求：要点难点：教课过程：一、引入：1、问题：若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min ， 25 min 和30 min ，每台电脑耽搁 1 min，网吧就会损失 0.05 元。

在只好逐台维修的条件下，按怎么样的次序维修，才能使经济损失降到最小？剖析：二、排序不等式：1、基本观点：一般地，设有两组数：a1≤ a2≤ a3， b1≤ b2≤ b3，我们观察这两组数两两对应之积的和，利用摆列组合的知识，我们知道共有 6 个不一样的和数，它们是：对应关系和备注（a1， a2， a3）同序和S1a1b1a2 b2a3b3（ b1， b2， b3）（ a1， a2， a3）乱序和S2a1 b1a2b3a3 b2（ b1， b3， b2）（ a1， a2， a3）乱序和S3a1b2a2b1a3 b3（ b2， b1， b3）（ a1， a2， a3）乱序和S4a1 b2a2b3a3 b1（b2， b3， b1）（ a1， a2， a3）乱序和S5a1b3a2b1a3 b2（ b3， b1， b2）（ a1， a2， a3）反序和S6a1 b3a2b2a3b1（b3， b2， b1）依据上边的猜想，在这 6 个不一样的和数中，应有结论：同序和 a1b1a2 b2a3b3最大，反序和a1b3a2b2a3b1最小。

2、引例的：关系和注（1，2，3）a1b1a2b2a3 b3220S1（25， 30，45）同序和（1，2，3）a1 b1a2b3a3b2205S2（25， 45，30）乱序和（1，2，3）a1b2a2b1a3b3215S3（30， 25，45）乱序和（1，2，3）a1b2a2b3a3 b1195S4（30， 45，25）乱序和（1，2，3）a1 b3a2b1a3 b2185S5（45， 25，30）乱序和（1，2，3）a1b3a2b2a3 b1180S6（45， 30，25）反序和3、似的：5 个人各拿一只水桶到水接水，假如水注4 分， 8 分，6 分， 10 分， 5 分。

1.2.2 绝对值不等式的解法学习目标1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b|≤c ；|ax ＋b|≥c ；|x －a|＋|x －b|≥c ；|x －a|＋|x －b|≤c. 3．能利用绝对值不等式解决实际问题． 一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究探究1．|x |以及|x －a |±|x －b |表示的几何意义是什么？探究2．如何解|x －a |＜|x －b |、|x －a |＞|x －b |(a ≠b )型的不等式的解集？探究3 怎样解|x －a |＋|x －b |≤c 和|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式？【例1】 解下列不等式： (1)|x －1|≤2； (2)|2x －1|<2－3x ； (3)3≤|x －2|<4； (4)|x ＋2|>|x －1|；(5)⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x .【变式训练1】解下列不等式：(1)|3－2x|－4≥0；(2)2<|3x－1|<3；(3)|x2－1|>3；(4)(1＋x)(1－|x|)>0；(5)|2x－1|<x.【例2】解不等式|x＋3|＋|x－3|>8.【变式训练2】解不等式|3x－2|＋|x－1|>3.【例3】设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．【变式训练3】解不等式|2x＋3|<a＋1(a∈R)．参考答案探究1【提示】 |x |的几何意义是数轴上表示数x 的点到原点O 的距离；|x －a |±|x －b |的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数a ，b 的点的距离之和(差)． 探究2【提示】 可通过两边平方去绝对值符号的方法求解． 探究3【提示】 求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：(1)(几何法)利用绝对值的几何意义求解．只要找到使|x －a |＋|x －b |＝c 成立的x 值，依据“大于取两边，小于取中间”的法则写出不等式的解集即可．(2)(分段讨论法)分段讨论去掉绝对值符号，以a ，b 为分界点，将实数集分为三个区间，在每个区间上x －a ，x －b 的符号都是确定的，从而去掉绝对值符号．(3)(图象法)联系函数图象，通过分析函数值的取值范围得到不等式的解集． 【例1】【解】 (1)∵|x －1|≤2⇔－2≤x －1≤2⇔－1≤x ≤3， ∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)原不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<2－3x ，2x －1>3x －2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <35，x <1⇒x <35.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <35.(3)3≤|x －2|<4⇔3≤x －2<4或－4<x －2≤－3. 即5≤x <6或－2<x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2<x ≤－1或5≤x <6}．(4)|x ＋2|>|x －1|⇔(x ＋2)2>(x －1)2⇔x 2＋4x ＋4>x 2－2x ＋1⇔6x >－3，即x >－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－12.(5)方法1：分类讨论求解． (ⅰ)当2x <0时，即x <0.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12≥0对任意x ∈R 恒成立，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x 恒成立． ∴x <0是原不等式的解． (ⅱ)当2x ＝0时，即x ＝0.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－12＝12>0，∴x ＝0是原不等式的解．(ⅲ)当2x >0时，即x >0.⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x ⇔x 2－12>2x 或x 2－12<－2x . 由x 2－12>2x ，得x <2－62或x >2＋62.由x 2－12<－2x ，得－2－62<x <－2＋62.综合x >0知，x >2＋62或0<x <－2＋62是原不等式的解．综上所述，原不等式的解集是{x |x <0}∪{x |x ＝0}∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x >2＋62∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |0<x <－2＋62， 即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <－1＋62或x >1＋62. 方法2：直接去绝对值求解．⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x ⇔x 2－12>2x 或x 2－12<－2x ，即2x 2－4x －1>0或2x 2＋4x －1<0. 由2x 2－4x －1>0，得x <1－62或x >1＋62. 由2x 2＋4x －1<0，得－1－62<x <－1＋62. 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <－1＋62或x >1＋62. 【变式训练1】解 (1)|3－2x |－4≥0⇔|2x －3|≥4⇔2x －3≥4或2x －3≤－4⇔2x ≥7或2x ≤－1⇔x ≥72或x ≤－12.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥72.(2)2<|3x －1|<3⇔2<3x －1<3或－3<3x －1<－2⇔3<3x <4或－2<3x <－1 ⇔1<x <43或－23<x <－13.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <－13或1<x <43. (3)|x 2－1|>3⇔x 2－1>3或x 2－1<－3 ⇔x 2>4或x 2<－2(无解)⇔|x |>2⇔x >2或x <－2.所以原不等式的解集为{x |x <－2或x >2}．(4)(1＋x )(1－|x |)>0⇔0(1)(1)0x x x ≥⎧⎨+->⎩或(1)(1)0x x x <⎧⎨++>⎩⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，－1<x <1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ≠－1⇔0≤x <1，或x <0，且x ≠－1⇔x <1，且x ≠－1.所以原不等式的解集为{x |x <1，且x ≠－1}．(5)|2x －1|<x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<x ，2x －1>－x⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >13⇔13<x <1. 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <1. 【例2】 解不等式|x ＋3|＋|x －3|>8. 【解】 解法一：当x ≤－3时， 原不等式可化为－(x ＋3)－x ＋3>8， 即x <－4，此时，不等式的解为x <－4. 当－3<x <3时，原不等式可化为x ＋3－x ＋3>8，此时不等式无解．当x ≥3时，原不等式可化为x ＋3＋x －3>8，即x >4.此时不等式的解为x >4.综上所述，原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．解法二：如下图，设数轴上与－3,3对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点之间的距离为6，因此区间[－3,3]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧存在一点A 1，使得A 1到A ，B 的距离之和为8，即|A 1A |＋|A 1B |＝8，设点A 1对应的数为x ，则有－3－x ＋3－x ＝8，∴x＝－4.同理，设点B 的右侧存在一点B 1，使|B 1B |＋|B 1A |＝8，设点B 1对应的数为x ，则有x －(－3)＋x －3＝8，∴x ＝4.从数轴上可以看到，A 1与B 1之间的点到A 、B 的距离之和都小于8，而点A 1的左侧或点B 1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都大于8.所以不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)． 解法三：原不等式可转化为|x ＋3|＋|x －3|－8>0，构造函数y ＝|x ＋3|＋|x －3|－8， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －8 x ≤－3，－2 －3<x <3，2x －8 x ≥3.作出函数的图象(如图)．函数的零点是－4,4.由图象可知，当x <－4或x >4时，y >0，即|x ＋3|＋|x －3|－8>0. 所以原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)． 【变式训练2】 解不等式|3x －2|＋|x －1|>3.解 (1)当x ≤23时，原不等式化为2－3x ＋1－x >3，即3－4x >3，∴x <0.∴不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤23，|3x －2|＋|x －1|>3的解集为{x |x <0}．(2)当23<x <1时，原不等式化为3x －2＋1－x >3，即2x >4，∴x >2.又∵23<x <1，∴x ∈∅.(3)当x ≥1时，原不等式化为3x －2＋x －1>3，即4x >6，∴x >32.∴不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，|3x －2|＋|x －1|>3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32.由(1)、(2)、(3)知，原不等式解集为{x |x <0或x >32}．【例3】 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0，将此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.【变式训练3】 解不等式|2x ＋3|<a ＋1(a ∈R)． 解 因为a ∈R ，故分以下两种情况讨论：(1)当a ＋1≤0，即a ≤－1时，原不等式无解，即不等式的解集为∅. (2)当a ＋1>0，即a >－1时，原不等式可变为－a －1<2x ＋3<a ＋1.所以－a ＋42<x <a －22.综上可知，当a >－1时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋42，a －22；当a ≤－1时，原不等式的解集为∅.。

1.4 课时4 含绝对值不等式的解法一、教学目标 （一）核心素养充分运用观察、类比、猜想、分析证明数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想. （二）学习目标1.理解并掌握a x <和a x >型不等式的解法。

2.充分运用观察、类比、猜想、分析证明数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想.3.能解常见的含绝对值不等式。

（三）学习重点 含绝对值不等式的解法 （四）学习难点理解并运用含绝对值不等式的解法 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第15页至第19页，填空：||1x <⇔ ，||1x >⇔ ；分别有怎样的几何意义？（2）想一想：解含绝对值不等式的最基本的思想方法是什么？ 【答案】零点分段法，对绝对值进行讨论. 2．预习自测（1）代数式|+2|x 的几何意义是表示 . 【知识点】绝对值的几何意义 【数学思想】数形结合思想【解题过程】代数式|+2|x 的几何意义是表示数轴上的一点到-2所对应的点的距离 【思路点拨】注意绝对值的几何意义【答案】数轴上的一点到-2所对应的点的距离． （2）不等式||2x ≤的解集是（ ）A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2][2,)-∞-+∞D ．[2,2]-【知识点】绝对值的几何意义 【数学思想】数形结合思想【解题过程】||2x ≤表示数轴上的一点到0所对应的点的距离不大于2，所以22x -≤≤ 【思路点拨】注意绝对值的几何意义 【答案】D ．（3）不等式|4||6|2x x -+-≥的解集为（ ） A ．(,4]-∞ B ．[6,)+∞ C ．R D ．(,4]6,)-∞+∞【知识点】绝对值三角不等式【解题过程】|4||6||(4)6|2y x x x x =-+-≥---=（），所以不等式恒成立. 【思路点拨】注意绝对值三角不等式的应用 【答案】C (二)课堂设计 1.知识回顾（1）绝对值的意义。

1.1.2 基本不等式学习目标1.了解两个正数的算术平均与几何平均．2．理解定理1和定理2.3．掌握利用基本不等式求一些函数的最值及解决实际的应用问题.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究探究1 函数f (x )＝x ＋1x的最小值是2吗？探究2 在基本不等式a ＋b 2≥ab 中，为什么要求a >0，b >0?探究3 利用a ＋b 2≥ab 求最值的条件是怎样的？探究4 你能给出基本不等式的几何解释吗？名师点拨1.常用基本不等式(1)(a －b )2≥0⇔a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)．(2)均值不等式a ＋b 2≥ab(a ，b ∈R ＋)． 这两个不等式都是在a ＝b 时，等号成立．而(1)只要求a ，b ∈R ，而公式(2)条件加强了，要求a >0，b >0.注意区别．(3)利用基本不等式还可以得到以下不等式：a ＋1a≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)． 当ab >0时，b a ＋a b≥2(当且仅当a ＝b 时取等号)． a 2＋b 2≥a ＋b 22≥2ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时，等号成立)．2．均值不等式的应用应用均值不等式中等号成立的条件，可以求最值．(1)x ，y ∈R ＋，且xy ＝m (m 为定值)，那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2m ；(2)x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝n (n 为定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值n24. 在应用均值不等式求最值时，应强调“一正、二定、三相等”．否则会得出错误的结果.例1 已知a ，b ，c 为正实数，求证：(1)（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc ≥8；(2)a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .变式练习1．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a ＋b ＋c )．例2 已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．变式练习2．求函数f (x )＝－2x2＋x －3x (x ＞0)的最大值及此时x 的值．例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．仓库底面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？变式练习3．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．参考答案探究1【提示】 函数f (x )＝x ＋1x的最小值不是2. 当x >0时，f (x )＝x ＋1x≥2 x·1x＝2； (当且仅当x ＝1时取等号) 当x <0时，f (x )＝x ＋1x＝－1()x x ⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦≤－2. (当且仅当x ＝－1时取等号)显然f (x )无最小值，也无最大值.探究2【提示】 对于不等式a ＋b 2≥ab ，如果a ，b 中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a ，b 都为负数时，不等式不成立；当a ，b 中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义．探究3【提示】 利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．探究4【提示】 如图，以a ＋b 为直径的圆中，DC ＝ab ，且DC ⊥AB .因为CD 为圆的半弦，OD 为圆的半径，长为a ＋b 2，根据半弦长不大于半径，得不等式ab ≤a ＋b 2.显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．因此，基本不等式的几何意义是圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高．例1 [精讲详析] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可．(1)∵a ，b ，c 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，c ＋a ≥2ca ＞0，由上面三式相乘可得(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8ab ·bc ·ca ＝8abc .即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc ≥8.(2)∵a ，b ，c 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，由上面三式相加可得(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥2ab ＋2bc ＋2ca .即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .变式练习1．证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2.又a ，b ，c ∈R ＋，∴a2＋b2≥22|a ＋b |＝22(a ＋b )． 同理：b2＋c2≥22(b ＋c )， c2＋a2≥22(a ＋c )．三式相加， 得a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a ＋b ＋c )．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号.例2 [精讲详析] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．∵x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.变式练习2．解：f (x )＝1－⎝⎛⎭⎫2x ＋3x . 因为x ＞0，所以2x ＋3x≥26， 得－(2x ＋3x)≤－26，因此f (x )≤1－26， 当且仅当2x ＝3x ，即x 2＝32时， 式子中的等号成立．由于x ＞0，因而x ＝62时，等号成立． 因此f (x )max ＝1－26，此时x ＝62. 例3 [精讲详析] 本题考查基本不等式的应用，解答此题需要设出铁栅和砖墙的长，然后根据投资费用列出关系式，借助基本不等式即可解决．设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有S ＝xy ，由题意，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200， 由基本不等式，得3 200≥240x·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0. ∵S ＋16＞0， ∴S －10≤0，从而S ≤100.因此S 的最大允许值是100 m 2，取得此最大值的条件是40x ＝90y ，而xy ＝100，由此求得x ＝15，即铁栅的长应是15 m.变式练习3．解：(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝9x （x ＋1）＋900x ＋1 800×6＝900x ＋9x ＋10 809≥2 900x·9x ＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x， (2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉．平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.9 ＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35)， 令f (x )＝x ＋100x(x ≥35)，x 2＞x 1≥35， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x1＋100x1－⎝⎛⎭⎫x2＋100x2 ＝（x2－x1）（100－x1x2）x1x2.∵x 2＞x 1≥35，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，100－x 1x 2＜0,∴f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)，即f (x )＝x ＋100x当x ≥35时为增函数，∴当x ＝35时，f (x )有最小值，此时y 2≈10 069.7＜10 989.∴该厂应接受此优惠条件．。

第一讲 不等式和绝对值不等式课题：第01课时 不等式的基本性质 教学目标：1．理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。

2．掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。

教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。

教学难点：灵活应用不等式的基本性质。

教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可。

怎么证呢? 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

第二讲 柯西不等式一、 内容及其解析本节课要学习的内容是柯西不等式的内容及应用，其关键是柯西不等式的应用。

学生已经掌握了一些形式优美而且具有重要应用价值的不等式（称为经典不等式），柯西不等式就是这样的不等式，通过本讲的学习，可以让学生领略这些不等式的数学意义、几何背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养。

学习的重点是柯西不等式的内容及应用，解决重点的关键是认识柯西不等式的内容，并能将相关式子转化成柯西不等式的结构形式。

二、目标及其解析目标定位：1.理解掌握柯西不等式的内容与意义；2.会用柯西不等式证明不等式关系，求相关函数的最值。

目标解析：目标定位1就是指掌握不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+的结构特征与几何意义、向量意义。

目标定位2就是指能将要证不等式转化为柯西不等式的结构，从而能用柯西不等式证明不等式和求函数的最值。

三、教学过程设计问题1.什么是二维形式的柯西不等式？ 设计意图：让学生通过类比方法理解二维形式的柯西不等式的内容与意义，并能利用它证明不等式式、求函数的最值。

师生活动：1.探究：222(,)a b ab a b +≥为实数是我们非常熟悉的不等式，它反映了两个实数的平方和与乘积的大小关系。

现在考虑乘积2222()()(,,,)a b c d a b c d ++为实数，它涉及到4个实数，并且形式上也和平方和有关。

你能类比222(,)a b ab a b +≥为实数的推导过程，研究一下关于它的不等关系吗？2.总结：二维形式的柯西不等式是： 22222()()()a b c d ac bd ≥+++（a,b,c,d 都是实数，当且仅当ad=bc 时，等号成立）3.二维形式的柯西不等式的几何意义是什么？设(,),(,)OM a b ON c d ==，则由OM ON OM ON ⋅≥⋅可得： 2222a b c c dd a b +++≥； 即 22222()()()a b c d ac bd ≥+++ 4.推论：（12222a bc cd d a b +++≥；（22222a b c c d d a b +++≥5.应用：例1.已知,a b 为实数，证明4422332()()()a b a b a b ++≥+ 例2.求函数()51102f x x x =-+-的最大值。

所以，（a －b ）2≥0 即a 2＋b 2≥2ab 由上面的结论，我们又可得到定理2（基本不等式）：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b2≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab∴a＋b ≥2ab ，即a ＋b 2 ≥ab显然，当且仅当a ＝b 时，a ＋b2＝ab说明：1）我们称a ＋b2为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数.3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）几何意义. 二、例题讲解：例1 已知x ，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ；（2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14 S 2证明：因为x ，y 都是正数，所以 x ＋y2≥xy（1）积xy 为定值P 时，有x ＋y2≥P ∴x ＋y ≥2P上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .（2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14 S2上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14S 2.说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数； ⅲ）等号成立条件必须存在。

例2 ：已知a 、b 、c 、d 都是正数，求证：（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明：由a 、b 、c 、d 都是正数，得ab ＋cd2≥ab ·cd ＞0，ac ＋bd2≥ac ·bd ＞0，已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，________，三者缺一不可。

1.1.2 基本不等式学习目标1.了解两个正数的算术平均与几何平均．2．理解定理1和定理2.3．掌握利用基本不等式求一些函数的最值及解决实际的应用问题.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究探究1 函数f (x )＝x ＋1x的最小值是2吗？探究2 在基本不等式a ＋b 2≥ab 中，为什么要求a >0，b >0?探究3 利用a ＋b 2≥ab 求最值的条件是怎样的？探究4 你能给出基本不等式的几何解释吗？名师点拨1.常用基本不等式(1)(a －b )2≥0⇔a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)．(2)均值不等式a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)． 这两个不等式都是在a ＝b 时，等号成立．而(1)只要求a ，b ∈R ，而公式(2)条件加强了，要求a >0，b >0.注意区别．(3)利用基本不等式还可以得到以下不等式：a ＋1a≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)． 当ab >0时，b a ＋a b≥2(当且仅当a ＝b 时取等号)．a 2＋b 2≥a ＋b 22≥2ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时，等号成立)．2．均值不等式的应用应用均值不等式中等号成立的条件，可以求最值．(1)x ，y ∈R ＋，且xy ＝m (m 为定值)，那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2m ；(2)x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝n (n 为定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值n 24. 在应用均值不等式求最值时，应强调“一正、二定、三相等”．否则会得出错误的结果. 例1 已知a ，b ，c 为正实数，求证：(1)（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc≥8； (2)a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .变式练习1．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．例2 已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．变式练习2．求函数f (x )＝－2x 2＋x －3x(x ＞0)的最大值及此时x 的值．例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．仓库底面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？变式练习3．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．参考答案探究1【提示】 函数f (x )＝x ＋1x的最小值不是2. 当x >0时，f (x )＝x ＋1x≥2 x ·1x＝2； (当且仅当x ＝1时取等号) 当x <0时，f (x )＝x ＋1x ＝－1()x x ⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦≤－2. (当且仅当x ＝－1时取等号)显然f (x )无最小值，也无最大值.探究2【提示】 对于不等式a ＋b 2≥ab ，如果a ，b 中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a ，b 都为负数时，不等式不成立；当a ，b 中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义．探究3【提示】 利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．探究4【提示】 如图，以a ＋b 为直径的圆中，DC ＝ab ，且DC ⊥AB .因为CD 为圆的半弦，OD 为圆的半径，长为a ＋b 2，根据半弦长不大于半径，得不等式ab ≤a ＋b 2.显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．因此，基本不等式的几何意义是圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高．例1 [精讲详析] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可．(1)∵a ，b ，c 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，c ＋a ≥2ca ＞0，由上面三式相乘可得(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8ab ·bc ·ca ＝8abc .即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc≥8. (2)∵a ，b ，c 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，由上面三式相加可得(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥2ab ＋2bc ＋2ca .即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .变式练习1．证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2.又a ，b ，c ∈R ＋，∴a 2＋b 2≥22|a ＋b |＝22(a ＋b )． 同理：b 2＋c 2≥22(b ＋c )， c 2＋a 2≥22(a ＋c )．三式相加， 得 a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号.例2 [精讲详析] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．∵x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.变式练习2．解：f (x )＝1－⎝⎛⎭⎫2x ＋3x . 因为x ＞0，所以2x ＋3x≥26，得－(2x ＋3x)≤－26，因此f (x )≤1－26， 当且仅当2x ＝3x ，即x 2＝32时， 式子中的等号成立．由于x ＞0，因而x ＝62时，等号成立． 因此f (x )max ＝1－26，此时x ＝62. 例3 [精讲详析] 本题考查基本不等式的应用，解答此题需要设出铁栅和砖墙的长，然后根据投资费用列出关系式，借助基本不等式即可解决．设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有S ＝xy ，由题意，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200， 由基本不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160， 即(S ＋16)(S －10)≤0.∵S ＋16＞0，∴S －10≤0，从而S ≤100.因此S 的最大允许值是100 m 2，取得此最大值的条件是40x ＝90y ，而xy ＝100，由此求得x ＝15，即铁栅的长应是15 m.变式练习3．解：(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝9x （x ＋1）＋900x ＋1 800×6＝900x＋9x ＋10 809≥2 900x·9x ＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x， (2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉．平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.9 ＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35)， 令f (x )＝x ＋100x(x ≥35)，x 2＞x 1≥35， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋100x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋100x 2 ＝（x 2－x 1）（100－x 1x 2）x 1x 2. ∵x 2＞x 1≥35，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，100－x 1x 2＜0, ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)，即f (x )＝x ＋100x当x ≥35时为增函数，∴当x ＝35时，f (x )有最小值，此时y 2≈10 069.7＜10 989. ∴该厂应接受此优惠条件．。

选修4_5 不等式选讲课 题： 第12课时 几个著名的不等式之二：排序不等式 一、引入：1、问题：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min ，25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元。

在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？分析：二、排序不等式：1、基本概念：一般地，设有两组数：1a ≤2a ≤3a ，1b ≤2b ≤3b ，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：同序和332211b a b a b a ++最大，反序和132231b a b a b a ++最小。

2、对引例的验证：3、类似的问题：5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。

那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？分析：4、排序不等式的一般情形：一般地，设有两组实数：1a ，2a ，3a ，…，n a 与1b ，2b ，3b ，…，n b ，且它们满足：1a ≤2a ≤3a ≤…≤n a ，1b ≤2b ≤3b ≤…≤n b ，若1c ，2c ，3c ，…，n c 是1b ，2b ，3b ，…，n b 的任意一个排列，则和数nn c a c a c a +++Λ2211在1a ，2a ，3a ，…，n a 与1b ，2b ，3b ，…，n b 同序时最大，反序时最小，即：112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n +++≥+++≥+++-ΛΛΛ，等号当且仅当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21时成立。

分析：用逐步调整法三、典型例题：例1、已知c b a ,,为正数，求证：abc cb a ac c b b a ≥++++222222。

课 题： 第13课时 几个著名的不等式之二：排序不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：1、问题：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min ，25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元。

在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？分析：二、排序不等式：1、基本概念：一般地，设有两组数：1a ≤2a ≤3a ，1b ≤2b ≤3b ，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：对 应 关 系 和 备 注 （1a ，2a ，3a ） （1b ，2b ，3b ）3322111b a b a b a S ++=同序和（1a ，2a ，3a ） （1b ，3b ，2b ）2332112b a b a b a S ++=乱序和（1a ，2a ，3a ） （2b ，1b ， 3b ）3312213b a b a b a S ++=乱序和（1a ，2a ，3a ） （2b ， 3b ，1b ）1332214b a b a b a S ++=乱序和（1a ，2a ，3a ） （3b ，1b ，2b ）2312315b a b a b a S ++=乱序和（1a ，2a ，3a ） （3b ，2b ， 1b ）1322316b a b a b a S ++=反序和根据上面的猜想，在这6个不同的和数中，应有结论：同序和332211b a b a b a ++最大，反序和132231b a b a b a ++最小。

2、对引例的验证：对 应 关 系 和备 注 （1，2，3） （25，30，45） 2203322111=++=b a b a b a S 同序和 （1，2，3） （25，45，30） 2052332112=++=b a b a b a S 乱序和 （1，2，3） （30，25，45） 2153312213=++=b a b a b a S 乱序和 （1，2，3） （30，45，25） 1951332214=++=b a b a b a S 乱序和 （1，2，3） （45，25，30） 1852312315=++=b a b a b a S 乱序和 （1，2，3） （45，30，25）1801322316=++=b a b a b a S反序和3、类似的问题：5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。