高中数学第三章柯西不等式与排序不等式3

2021年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式课后训练新人教A版选修1．如果实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a，b为常数，那么mx＋ny的最大值为( )．A． B．C． D．2．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为( )．A．4 B．2 C．1 D．3．设a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为__________．4．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为__________，此时b＝__________.5．设a＋b＝1，则a2＋b2≥__________.6．已知a＞b＞c，求证：.7．设a，b，c＞0，且a cos2θ＋b sin2θ＜c.求证：.8．已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：.参考答案1.答案：B解析：由柯西不等式，得(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab；当，时，.2.答案：A解析：222211⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝＋＋，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．3.答案：解析：∵a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，∴a·b＝x－2z. 由柯西不等式，得[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2.当且仅当存在实数，使b＝k a时等号成立．∴5×16≥(x－2z)2，∴|x－2z|≤.∴≤x－2z≤，即≤a ·b ≤.∴a ·b 的最大值为.4. 答案：－18 (4，－2，－4)解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a ||b |， ∴|a ·b |≤18，当且仅当存在实数k ，使a ＝k b 时，等号成立． ∴－18≤a ·b ≤18.∴a ·b 的最小值为－18，此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)．5. 答案：解析：(12＋12)(a 2＋b 2)≥(a ×1＋b ×1)2＝1，∴a 2＋b 2≥，当且仅当a ＝b ＝时，等号成立．6. 证明：＝[(a －b )＋(b －c )]2222]＝24≥＝，即a －b ＝b －c 时，等号成立．∴原不等式成立．7. 证明：由柯西不等式及题设，得2cos sin )θθθθ2222))](cos sin )θθθθ≤＋＋＝a cos 2θ＋b sin 2θ＜c.sin sin θθθθ，即a ＝b 时，等号成立．∴.8. 证明：(a 1b 1＋a 2b 2)2222]＝2≥＝(a 1＋a 2)2，当且仅当，即b 1＝b 2时，等号成立．∴原不等式成立．9. 证明：设，n ＝(cos θ，sin θ)． 则||cos sin cos sin a b a b θθθθ＋＝＋ ＝|m·n |≤|m ||n |，∴.。

3.1 柯西不等式与排序不等式重点：柯西不等式与排序不等式的简单应用一.柯西不等式1.柯西不等式的向量形式设有向量α，β ，根据向量数量积的定义，我们有：|||cos |||||||||βαθβαβα⋅=⋅⋅≥⋅.即有： ||||||βαβα⋅≥⋅,等号当且仅当βα ,同向或反向时成立（βα,共线时成立）.因此我们有如下的定理：（柯西不等式的向量形式）定理1.设βα,为平面上的两个向量，则：||||||βαβα ⋅≥⋅，等号当且仅当βα,共线时成立.2.柯西不等式的代数形式（柯西不等式）设有向量),(b a =α ，),(d c =β ，将坐标代入：||||||βαβα⋅≥⋅， 即有：||2222bd ac dc b a +≥+⋅+.即有：22222)()()(bd ac d c b a +≥++. 等号当且仅当（βα,共线时）db c a =时成立.因此，我们有下面的定理：（二维柯西不等式） 定理2. 设d c b a ,,,均为实数，则: 22222)()()(bd ac d c b a +≥++，等号当且仅当时dbc a =成立.如果向量),,(111c b a =α，),,(222c b a =β，代入：||||||βαβα⋅≥⋅， 即有：||212121222222212121c c b b a a c b a c b a ++≥++⋅++.即有：2222222)()()(c c b b a a c b a c b a ++≥++++.等号当且仅当（βα,共线时）212121c cb b a a ==时成立.因此，我们又有下面的定理：（三维柯西不等式）定理3. 设222111,,,,,c b a c b a 均为实数，则：2212121222222212121)()()(c c b b a a c b a c b a ++≥++++ 等号当且仅当212121c cb b a a ==时成立.这里定理1称为柯西不等式的向量形式，定理2、定理3则称为二维、三维柯西不等式的代数形式。

——教学资料参考参考范本——高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第3节排序不等式创新应用教学案新人教A版选修4_5______年______月______日____________________部门[核心必知]1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3)时，等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋…＋anbn)2，当且仅当bi ＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．[问题思考]1．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成ai·bi(i＝1，2，3，…，n)，可以吗？提示：不可以，ai·bi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致．2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1，2，3，…，n)，可以吗？提示：不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．设a，b，c为正数，且不全相等．求证：＋＋>.[精讲详析] 本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解答本题需要构造两组数据，，；，，，然后利用柯西不等式解决．构造两组数，，c＋a；，，，则由柯西不等式得(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋c)≥9，于是＋＋≥.由柯西不等式知，①中有等号成立⇔＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.因题设，a，b，c不全相等，故①中等号不成立，于是＋＋>.——————————————————柯西不等式的结构特征可以记为(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2，其中ai，bi∈R＋(i＝1，2，…，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．1．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b ＋b2c ＋c2a ()a＋b＋c＝·[()2＋()2＋()2]≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2＝(a ＋b ＋c)2，即(a ＋b ＋c)≥(a＋b ＋c)2， 又a ，b ，c∈R＋， ∴a ＋b ＋c>0，∴＋＋≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立。

一二维形式的柯西不等式基础巩固1已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则()A.ab≤12B.aa≥12C.a2+b2≥2D.a2+b2≤3(12+12)(a2+b2)≥(a+b)2=4, ∴a2+b2≥2.故选C.2已知4a +9a=2,a,a>0,则a+a的最小值是()A.252B.254C.52D.54a+9a=2,得x+y=[(√a)2+(√a)2][(√a)2+(√a)2]2≥12(√a·√a+√a·√a)2=12(2+3)2=252,当且仅当√a√a=√a·√a即x=5,y=152时,等号成立.3已知x+y=1,则2x2+3y2的最小值是()A.56B.65C.2536D.3625x2+3y2=[(√2a)2+(√3a)2][(√3)2+(√2)2]×15≥15(√6a+√6a)2=65(a+a)2=65,当且仅当2x=3y,即x=35,a=25时,等号成立.4函数y=2√2-a+√2a-3的最大值是()A.3B.32C.√3D.42=(2×√2-a+√2×√a-32) 2≤[22+(√2)2][(√2-a)2+(√a-32) 2 ]=6×12=3,当且仅当2√a-32=√2·√2-a,即x=53时,等号成立.故y的最大值为√3.5已知x>0,y>0,且xy=1,则(1+1a )(1+1a)的最小值为()A.4B.2C.1D.141+1a )(1+1a)=[12+(1√a)2][12+(1√a)2]≥(1×1+√a√a )2=(1√aa)2=22=4,当且仅当x=y=1时,等号成立.6设x,y∈R+,则(x+y)·(3a +2a)的最小值是.+2√67已知a,b∈R+,且a+b=1,则12a +1a的最小值是.a,b∈R+,且a+b=1,所以12a +1a=(12a+1a)(a+a),由柯西不等式得(12a+1a)(a+a)≥(√12a ·√a+√1a·√a)2=(√22+1)2=32+√2,当且仅当a2a=aa,a+a=1时,等号成立,此时a=√2−1,a=2−√2.√28函数y=3sin x+2√2(1+cos2a)的最大值是.3sin x+2√2(1+cos2a )=3sin x+4√cos 2a ≤√(32+42)(sin 2a +cos 2a )=5, 当且仅当3|cos x|=4sin x 时,等号成立.9已知a 2+b 2=1,x 2+y 2=1,求证:|ax+by|≤1.,得|ax+by|≤√a 2+a 2·√a 2+a 2=1,当且仅当ay=bx 时,等号成立.10已知a>b>c ,求证:1a -a +1a -a ≥4a -a .(a-c )(1a -a+1a -a)≥4.又a-c=(a-b )+(b-c ),利用柯西不等式证明即可.a-c )(1a -a +1a -a )=[(a-b )+(b-c )](1a -a +1a -a )=[(√a -a )2+(√a -a )2][(√1a -a )2+(√1a -a )2]≥(√a -a √1a -a+√a -a √1a -a)2=4,当且仅当√a -a ·√1a -a =√a -a ·√1a -a , 即a-b=b-c 时,等号成立.故原不等式成立.实力提升1已知2x 2+y 2=1,则2x+y 的最大值是( ) A .√2B .2C .√3D .3x+y =√2×√2a +1×a≤√(√2)2+12×√(√2a )2+a 2=√3×√2a 2+a 2=√3, 当且仅当√2a =√2a ,即x=y =√33时,等号成立. 故2x+y 的最大值是√3.2若x 2+y 2=8,则2x+y 的最大值为( )A.8B.4C.2√10D.5(x2+y2)·(4+1)≥(2x+y)2,∴(2x+y)2≤8×5=40,当且仅当x=2y时,等号成立,即(2x+y)max=2√10.3若a+b=1,则(a+1a )2+(a+1a)2的最小值为()A.1B.2C.252D.72a+1a )2+(a+1a)2=a2+2+1a2+a2+2+1a2.∵a+b=1,∴a2+b2=12(a2+a2)·(1+1)≥12(a+a)2=12.又1a2+1a2≥2aa≥8(a+a)2=8,以上两个不等式都是当且仅当a=b=12时,等号成立,∴(a+1a)2+(a+1a )2≥12+2+2+8=252,当且仅当a=b=12时,等号成立.4已知正数a,b满意a+b=2,则√a+√a+1的最大值为() A.√3B.√2+1C.√6D.√3+1a,b满意a+b=2,则a+b+1=3,则(1·√a+1·√a+1)2≤(12+12)[(√a)2+(√a+1)2]=6.故√a+√a+1≤√6,故选C.5设xy>0,则(a2+4a2)(a2+1a2)的最小值为.=[a2+(2a )2][(1a)2+a2]≥(a·1a +2a·a)2=9,当且仅当xy=√2时,等号成立.故所求最小值为9.6设实数x,y满意3x2+2y2≤6,则2x+y的最大值为.(2x+y )2≤[(√3a )2+(√2a )2]·[(√3)2+(√22]=(3x 2+2y 2)·(43+12)≤6×116=11,当且仅当3x=4y ,即x =√11a =√11,等号成立.因此2x+y 的最大值为√11. √117函数f (x )=√a 2-8a +20−√a 2-6a +10的最大值为 .(x )=√a 2-8a +20−√a 2-6a +10=√(a -4)2+22−√(a -3)2+1 =√[(a -3)-1]2+[1-(-1)]2−√(a -3)2+12≤√12+(-1)2=√2, 当且仅当x=2时,等号成立. √28已知θ为锐角,a ,b>0,求证:(a+b )2≤a 2cos 2a +a 2sin 2a .m =(acos a ,asin a ),n =(cos θ,sin θ), 则|a+b|=|acos a ·cos a +asin a ·sin a |=|m ·n | ≤|m ||n |=√(a cos a )2+(a sin a)2·√1=√a 2cos 2a +a 2sin 2a,当且仅当a=k cos 2θ,b=k sin 2θ,k ∈R 时,等号成立. 故(a+b )2≤a 2cos 2a +a 2sin 2a . ★9在半径为R 的圆内,求周长最大的内接长方形.解:如图,设内接长方形ABCD 的长为x ,则宽为√4a 2-a 2,于是长方形ABCD 的周长l=2(x +√4a 2-a 2)=2(1×a +1×√4a 2-a 2). 由柯西不等式得l ≤2[x 2+(√4a 2-a 2)2]12(12+12)12=2√2·2R=4√2a ,当且仅当a 1=√4a 2-a 21,即x =√2a 时,等号成立.此时,√4a 2-a 2=√4a 2-(√2a )2=√2a ,即长方形ABCD 为正方形.故周长最大的内接长方形为正方形,其周长为4√2a .。

一二维形式的柯西不等式课后篇巩固探究1.若a2+b2=2,则a+b的最大值为()A.1B. 2C.2D.4解析由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,即(a+b)2≤4,所以-2≤a+b≤2(当且仅当a=1,b=1或a=-1,b=-1时,等号成立),即a+b的最大值为2.答案C492.已知=2,x,y>0,则x+y的最小值是()푥+푦25255A. B. C. D.524249解析由푥+=2,푦[( 푥)2+( 푦)2][(可得x+y=222푥)+(23푦)]21231252(푥·푥+푦·푦)≥=(2+3)2=.223215当且仅当푥·푦=푦·,即x=5,y=时等号成立.푥2答案A3.已知3x+2y=1,则当x2+y2取最小值时,实数x,y的值为()3푥=13,푥=A.{13B.{2푦=푦=213,31311 푥 = 푥 = 6,C.{4D.{1푦 = 푦=1 4,1 61 1 1 1 푥 푦 解析因为 x 2+y 2= (x 2+y 2)(32+22)≥ (3x+2y )2= ,所以当 x 2+y 2有最小值 ,当且仅当3 = 时,131313132푥 = 푦 =等号成立,得{313,2 13.答案 A4.函数 y= 푥 -5+2 6 -푥的最大值是( ) A. 3B. 5C.3D.5解析根据柯西不等式,知 y=1× 푥 -5+2× 266 -푥 ≤12 + 22 ×( 푥 -5)2 +( 6 -푥)2 =5 6 -푥 푥 -5 ,当且仅当 =2 ,即 x=5时,等号成立. 答案 B1 5.已知 m 2+n 2= ,则 2m+2n 的最大值为( )43 6A.B.C. 6D.6221解析由柯西不等式可得(m 2+n 2)[(2)2+22]≥( 2m+2n )2,即 ×6≥( 2m+2n )2,则 2m+2n ≤46 6,故 2m+2n 的最大值为 .22答案 B 6.导学号 26394051若长方形 ABCD 是半径为 R 的圆的内接长方形,则长方形ABCD 周长的最大值为( )A.2RB.2 2RC.4RD.4 2R2解析如图,设圆内接长方形 ABCD 的长为 x ,则宽为 4푅2 - 푥2,于是 ABCD 的周长 l=2(x+4푅2 - 푥2 4푅2 - 푥2)=2(1×x+1×).11由柯西不等式得 l ≤2[x 2+( 4푅2- 푥2)2] (12+12 =2×2R×=4 R ,当且仅当 x ·1=2 )2224푅2 - 푥22·1,即 x=R 时,等号成立.此时 4푅2 - 푥2 = 4푅2 - ( 2푅)2 = 2R ,即四边形 ABCD 为正方形,故周长为最大的 内接长方形是正方形,其周长为 4 2R. 答案 D7.若 3x+4y=2,则 x 2+y 2的最小值为 . 解析由柯西不等式(x 2+y 2)(32+42)≥(3x+4y )2,得 25(x 2+y 2)≥4,4푥푦25(当且仅当4时,等号成立) 所以x 2+y 2≥.3 =63푥 + 4푦 = 2, 푥 =25,解方程组{得{푥 푦3 = 4,푦 =825.684因此,当 x= ,y=时,x 2+y 2取得最小值,最小值为 .2525254答案25푏푑8.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P= 푎푏+푐푑,Q= 푚푎+푛푐푚+,则P与Q的大小关系푛是.解析P= 푎푚×푏푚+푛푐×푑푛3≤ ( 푎푚)2 + ( 푛푐)2 ×( 2 푏 푚) + ( 2푑푛)푏 푑 푑 푏= 푎푚 + 푛푐=Q 当且仅当时,等号成立 ).푛(푎푚· 푛=푛푐· 푚 +푚答案 P ≤Q9.已知 a ,b ,m ,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2,则(am+bn )(bm+an )的最小值为 . 解析由柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd )2,可得(am+bn )(bm+an )≥( 푎푚· 푎푛 + 푏푚· 푏푛)2=mn (a+b )2=2,即(am+bn )(bm+an )的最小值为 2. 答案 210.函数 y= 푥 -4 + 25 -5푥的最大值为 . 解析∵y= 푥 -4 + 25 -5푥,∴y=1× 푥 -4 + 5 × 5 - 푥25≤ (1 + 5)(푥 -4 + 5 -푥)= 6(当且仅当,即 x= 时等号成立5 -푥 = 5· 푥 - 46).答案 611 11.已知 a ,b ∈R +,且 a+b=1,则2푎 + 的最小值是 .푏1 1 1 1푏(푏)解析因为 a ,b ∈R +,且 a+b=1,所以2푎 + =(a+b )· 2푎 + ,由柯西不等式得(a+b )1(2푎 +1푏)≥ ( 푎·1 2푎+ 푏·21 푏)= ( 222+ 1)= 3 푎푏2 +2,当且仅当,且 a+b=1,即 a=-푏=22푎1 1 31,b=2- 2时,取最小值 .2푎 + 2 + 2푏3答案2+212.已知a,b,c为正数,且满足a cos2θ+b sin2θ<c,求证푎cos2θ+푏sin2θ<푐.证明由柯西不等式得푎cos2θ+푏sin2θ4≤ ( 푎cos 휃)2 + ( 푏sin 휃)2· cos 2휃 + sin 2휃= ( 푎cos 휃)2 + ( 푏sin 휃)2 = 푎cos 2휃 + 푏sin 2휃 < 푐,故不等式成立.푎2푏213.设 a ,b ∈R +,且 a+b=2.求证2 -푎 +≥2.2 - 푏证明由柯西不等式,有푎2 [(2-a )+(2-b )](2 -푎 +푏22 -푏)=[( 2 -푎)2+(2 -푏)2][( 2푎2 -푎)+ ( 2푏2 -푏) ]≥( 2 -푎 × 푎 2 -푎+ 2 -푏 ×2푏2 -푏)=(a+b )2=4.푎2 则2 -푎 + 푏2 2 -푏 ≥ 4(2 -푎)+ (2 -푏)푏 2 -푎 푎 2 - 푏=2(当且仅当时,等号成立).=2 -푏2 - 푎故原不等式成立.1 114.已知 x 2+y 2=2,且|x|≠|y|,求 + 的最小值.(푥 + 푦)2(푥 -푦)2푢 + 푣 푢 - 푣解令 u=x+y ,v=x-y ,则 x=,y=.22∵x 2+y 2=2,∴(u+v )2+(u-v )2=8, ∴u 2+v 2=4.11由柯西不等式,得(푣2)(u 2+v 2)≥4,+푢21 1当且仅当u2=v2=2,即x=±2,y=0,或x=0,y=±2时, 的最小值是1.+(푥+푦)2(푥-푦)2515.导学号26394053求函数y=푥2-2푥+3+푥2-6푥+14的最小值.解y=(푥-1)2+2+(3-푥)2+5,根据柯西不等式,有y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2 [(푥-1)2+2][(3-푥)2+5]≥(x-1)2+2+(3-x)2+5+2[(x-1)(3-x)+10]=[(x-1)+(3-x)]2+( 2+5)2=11+2 10.32+5当且仅当5(x-1)=2(3-x),即x=时,等号成立.2+5此时y min=11+210=( 10+1)2=10+1.6。

三排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋a n b n为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：b3c3＋c3a3＋a3b3≥a＋b＋c.分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．∵a≥b>0，∴1a ≤1b.又c>0，从而1bc ≥1 ca.同理1ca≥1ab，从而1bc≥1ca≥1ab.又由于顺序和不小于乱序和，故可得a5 b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3＝b2c3＋c2a3＋a2b3⎝⎛⎭⎪⎫∵a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3≥c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin β·cos β＋sin γcos γ＝12(sin2α＋sin 2β＋sin 2γ)．2．设x ≥1，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n. 证明：∵x ≥1，∴1≤x ≤x 2≤…≤x n.由排序原理，得12＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n.①又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n的一个排列， 由排序原理，得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，得x ＋x 3＋…＋x2n －1＋x n≥(n ＋1)x n.②将①②相加，得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n.在△ABC 中，试证：3≤a ＋b ＋c.可构造△ABC 的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明． 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ≥aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a1c1＋a2c2＋…＋ancn ≥n .证明：不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a1≥1a2≥…≥1an. 因为1c1，1c2，…，1cn 是1a1，1a2，…，1an 的一个排列，由排序原理，得a 1·1a1＋a 2·1a2＋…＋a n ·1an ≤a 1·1c1＋a 2·1c2＋…＋a n ·1cn ，即a1c1＋a2c2＋…＋an cn≥n .4．设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列， 求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a1a2＋a2a3＋…＋an －1an.证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c1>1c2>…>1cn －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a1a2＋a2a3＋…＋an －1an ≥b1c1＋b2c2＋…＋bn －1cn －1≥12＋23＋…＋n －1n . ∴原不等式成立．课时跟踪检测(十一)1．有一有序数组，其顺序和为A ，反序和为B ，乱序和为C ，则它们的大小关系为( ) A ．A ≥B ≥C B ．A ≥C ≥B C ．A ≤B ≤CD ．A ≤C ≤B解析：选B 由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A ≥C ≥B .2．若A ＝x 21＋x 2＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：选C 序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n } 的一个排列．由排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 2＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ， 则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ＝R＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2. 4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________元．( )A ．76B ．20C ．84D ．96解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28. 答案：32 286．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s 、4 s 、3 s 、7 s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：417．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．解析：不妨设a ≥b >0，则A ≥B >0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB≥aB＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )． 答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b ) 8．设a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c ≤a4＋b4＋c4abc .证明：由题意不妨设a ≥b ≥c >0.由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，ab ≥ac ≥bc . 根据排序原理，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 3c ＋b 3a ＋c 3b .① 又由不等式的性质，知a 3≥b 3≥c 3，且a ≥b ≥c .再根据排序不等式，得a 3c ＋b 3a ＋c 3b ≤a 4＋b 4＋c 4.②由①②及不等式的传递性，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 4＋b 4＋c 4.两边同除以abc 得证原不等式成立．9．设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值．解：不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b .由排序不等式，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b， 以上两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32， 即当且仅当a ＝b ＝c 时， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 的最小值为32.10．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x2＋y22z ＋y2＋z22x ＋z2＋x22y. 证明：由于不等式关于x ，y ，z 对称， 不妨设0<x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x ，由排序原理：反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y， x 2·1x＋y 2·1y＋z 2·1z≤x 2·1y＋y 2·1z＋z 2·1x，将上面两式相加，得2(x ＋y ＋z )≤x2＋y2z ＋y2＋z2x ＋z2＋x2y ，于是x ＋y ＋z ≤x2＋y22z ＋y2＋z22x ＋z2＋x22y.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验(陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤3＋4－t＋t＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t)max ＝4.1122n n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，形式简洁、美观，对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证：1a2＋1b2＋1c2＋1d2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.由柯西不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＋1c2＋1d2⎝ ⎛ 1b2＋1c2＋⎭⎪⎫1d2＋1a2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da 2， 于是1a2＋1b2＋1c2＋1d2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d 1a⇔b a ＝c b ＝d c ＝ad ⇔a ＝b ＝c ＝d .又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立． 即1a2＋1b2＋1c2＋1d2>1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简便．设a ，b ，c 为实数，求证：a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.由对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab .由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a12ab ＋b12bc ＋c12ca ＝a11b ＋b11c ＋c11a .① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c，再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11a ＋b11b ＋c11c ≤a11b ＋b11c ＋c11a .② 由①②得a12bc ＋b12ca ＋c12ab≥a 10＋b 10＋c 10.理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．已知5a 2＋3b 2＝158，求a 2＋2ab ＋b 2的最大值．解：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ≥⎝⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，当且仅当5a ＝3b ，即a ＝38，b ＝58时，等号成立．∴815×(5a 2＋3b 2)≥a 2＋2ab ＋b 2. ∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1. ∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1.已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2nx1的最小值．不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x1≥1x2≥…≥1xn>0，且0<x 21≤x 2≤…≤x 2n . ∵1x2，1x3，…，1xn ，1x1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1xn 的一个排列， 根据排序不等式，得F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2nx1≥x 21·1x1＋x 2·1x2＋…＋x 2n ·1xn＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＝Pn 时，等号成立．即F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2n x1的最小值为P .。

第三讲柯西不等式与排序不等式学习目标：1、认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义，掌握它们之间的关系．2、认识柯西不等式的一般形式，理解它的几何意义，能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值.3、了解排序不等式，会利用排序不等式证明有关的问题并掌握一些简单应用．重点：柯西不等式及排序不等式的应用.难点：利用柯西不等式求最值和排序不等式证明不等式学习策略：这部分内容是新增内容，是数学竞赛中的热点考点，随着数学素养的提高，高考可能会涉及。

学习时掌握好二维形式的柯西不等式的数组特点，理解好有序的数组的构造方法。

知识要点梳理一：柯西不等式1.二维形式的柯西不等式：（1）向量形式：设是两个向量，则（当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立）。

（2）代数形式：①若a、b、c、d都是实数，则（当且仅当ad=bc时，等号成立）②若a、b、c、d都是正实数，则（当且仅当ad=bc时，等号成立）③若a、b、c、d都是实数，则（当且仅当ad=bc时，等号成立）注意：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；（3）三角形式：设，则。

2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。

3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。

二：排序不等式（又称排序原理）设为两组实数，是的任一排列，称为这两个实数组的顺序积之和简称顺序和；称为这两个实数组的反序积之和简称反序和或逆序和；称为这两个实数组的乱序积之和简称乱序和；则≤≤即：反序和≤乱序和≤顺序和．当且仅当时，反序和等于顺序和。

注意：学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大．反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列．方法指导（1）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。

三排序不等式课后篇巩固探究A组1.顺序和S、反序和S'、乱序和S″的大小关系是()A.S≤S'≤S″B.S≥S'≥S″C.S≥S″≥S'D.S≤S″≤S'.2.设x,y,z均为正数,P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则P与Q的大小关系是()A.P≥QB.P>QC.P≤QD.P<Qx≥y≥z>0,则x2≥y2≥z2,则由排序不等式可得顺序和为P,乱序和为Q,则P≥Q.3.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是()A.ax+cy+bzB.bx+ay+czC.bx+cy+azD.ax+by+cza<b<c,x<y<z,由排序不等式得反序和≤乱序和≤顺序和,得顺序和ax+by+cz最大.故选D.4.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中最大的是()A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1,a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)>0,∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.且a1b1+a2b2>>a1b2+a2b1.又1=a1+a2≥2,∴a1a2≤.∵0<a1<a2,∴a1a2<.同理b1b2<,∴a1a2+b1b2<.∴a1b1+a2b2>>a1a2+b1b2,∴a1b1+a2b2最大.5.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)()A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.因为ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.6.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是.2+22+32+42=30,最小值为反序和1×4+2×3+3×2+4×1=20.1+2a2+3a3+4a4的最大值为顺序和17.如图所示,在矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,若阴影部分的面积为S1,空白部分的面积之和为S2,则S1与S2的大小关系是.,S1=a1b1+a2b2,而S2=a1b2+a2b1,根据顺序和≥反序和,得S1≥S2.S21≥8.若a,b,c为正数,求证a3+b3+c3≥3abc.a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0,由排序不等式,得a3+b3≥a2b+ab2,c3+b3≥c2b+cb2,a3+c3≥a2c+ac2,三式相加,得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).因为a2+b2≥2ab,c2+b2≥2cb,a2+c2≥2ac,所以2(a3+b3+c3)≥6abc,即a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).9.设a,b均为正数,求证.a≥b>0,则a2≥b2>0,>0,由不等式性质,得>0.则由排序不等式,可得,即.10.设a,b,c都是正数,求证a+b+c≤.a≥b≥c>0.由不等式的性质,知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.根据排序原理,得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.①又由不等式的性质,知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.再根据排序原理,得a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.②由①②及不等式的传递性,得a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.两边同除以abc,得a+b+c≤(当且仅当a=b=c时,等号成立).B组1.设a,b,c>0,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是()A.M≥0B.M≤0C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关D.不能确定a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4,则a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥a·c4+b·a4+c·b4.又a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc,∴a4b+b4c+c4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca≥a3bc+b3ac+c3ab.∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.∴M≥0.2.若0<α<β<γ<,F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ),则()A.F>0B.F≥0C.F≤0D.F<00<α<β<γ<,所以0<sin α<sin β<sin γ,0<cos γ<cos β<cos α,由排序不等式可知,sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α>sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ, 而F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ)=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ)>0.3.导学号26394057车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min、8 min、6 min、10 min、5 min,每台机床停产1 min损失5元,经合理安排损失最少为()A.420元B.400元C.450元D.570元1台到第5台的修复时间依次为t1,t2,t3,t4,t5,若按照从第1台到第5台的顺序修复,则修复第一台需要t1分钟,则停产总时间为5t1,修复第2台需要t2分钟,则停产总时间为4t2,…,修复第5台需要t5分钟,则停产总时间为t5,因此修复5台机床一共需要停产的时间为5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值.由排序不等式可知,当t1<t2<t3<t4<t5时,5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值,最小值为5×4+4×5+3×6+2×8+10=84分钟,故损失最小为84×5=420元.4.导学号26394058在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边依次为a,b,c,试比较的大小关系.a≥b≥c,则有A≥B≥C.由排序不等式,可得aA+bB+cC≥aA+bC+cB,aA+bB+cC≥aB+bA+cC,aA+bB+cC≥aC+bB+cA.将以上三个式子两边分别相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)π.所以.5.导学号26394059设x>0,求证1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)x n.x≥1时,因为1≤x≤x2≤…≤x n,所以由排序原理得1·1+x·x+x2·x2+…+x n·x n≥1·x n+x·x n-1+…+·x+x n·1,即1+x2+x4+…+≥(n+1)x n.①又x,x2,…,x n,1为序列1,x,x2,…,x n的一个排列,所以1·x+x·x2+…+x n-1x n+x n·1≥1·x n+x·x n-1+…+x n-1·x+x n·1,因此x+x3+…++x n≥(n+1)x n, ②①+②,得1+x+x2+…+≥(2n+1)x n.③当0<x<1时,1>x≥x2≥…≥x n,①②仍成立,故③也成立.综上,原不等式成立.。

一般形式的柯西不等式课时提升作业一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2016·珠海高二检测)已知a,b,c,x,y,z为正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则= ( )A. B. C. D.【解析】选C.由已知得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,结合柯西不等式,知===,所以=.2.已知x,y,z是非负实数,若9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值是( ) A.9 B.10 C.14 D.15【解析】选A.因为(3x+6y+5z)2≤[12+()2+()2]·[(3x)2+(2y)2+(z)2]=9(9x2+12y2+5z2)=81,所以3x+6y+5z≤9.当且仅当x=,y=,z=1时,等号成立.故u=3x+6y+5z的最大值为9.3.已知a2+b2+c2=1,若a+b+c≤|x+1|对任意实数a,b,c恒成立,则实数x的取值范围是( )A.x≥1或x≤-3B.-3≤x≤1C.x≥-1或x≤3D.-1≤x≤3【解题指南】根据题目中的a2+b2+c2=1和a+b+c≤|x+1|的结构形式,可以联想使用柯西不等式.【解析】选A.由柯西不等式得:(a2+b2+c2)(1+1+2)≥(a+b+c)2,所以a+b+c≤2,又因为a+b+c≤|x+1|,所以|x+1|≥2,解之得x≥1或x≤-3.二、填空题(每小题4分,共8分)4.已知x,y,z∈R,且2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为______.【解析】因为[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](4+4+1)所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9.答案:95.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是________.【解析】(a+b+c)=[()2+()2+()2]≥=(2+3+6)2=121.当且仅当==时等号成立.答案:121三、解答题6.(10分)(2016·深圳高二检测)已知定义在R上的函数f(x)=+的最小值为a,又正数p,q,r满足p+q+r=a.求证p2+q2+r2≥3.【证明】因为f(x)=+≥=3,即函数f(x)=+的最小值a=3.所以p+q+r=3.由柯西不等式得(p2+q2+r2)(1+1+1)≥(p+q+r)2=9,于是p2+q2+r2≥3.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是( )A. B. C.6 D.3【解析】选B.由柯西不等式,得(12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2]即x2+y2+(1-x-y)2≥.当且仅当x=y=1-x-y.即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值.【补偿训练】(2015·珠海高二检测)已知++…+=1,++…+=1,则a1x1+a2x2+…+a n x n的最大值是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选A.因为(a1x1+a2x2+…+a n x n)2≤(++…+)×(++…+)=1×1.当且仅当==…=时,等号成立.所以a1x1+a2x2+…+a n x n的最大值为1.2.(2016·长沙高二检测)已知α为锐角,则的最小值为( ) A.3-2 B.3+2C-1 D.+1【解析】选B.≥,当且仅当sinα=cosα时等号成立,此时==3+2.即的最小值为3+2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.方程2+=的解为________.【解题指南】利用柯西不等式等号成立的条件构建方程求解.【解析】由柯西不等式,得(2+)2=≤[22+()2]=6×=15,即2+≤.当且仅当=,即x=-时,等号成立.故原方程的根是x=-.答案:x=-4.(2016·西安高二检测)边长为a,b,c的三角形ABC,其面积为,外接圆半径为1,若s=++,t=++,则s与t的大小关系是________.【解析】由已知得absinC=,=2R=2.所以abc=1,所以++=ab+bc+ca,由柯西不等式得(ab+bc+ca)≥(++)2,所以≥(++)2.即++≥++.当且仅当a=b=c=1时等号成立.答案:s≤t三、解答题5.(10分)(2016·石家庄高二检测)设a1>a2>…>a n>a n+1,求证:++…++>0. 【证明】为了运用柯西不等式,我们将a1-a n+1写成a1-a n+1=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(a n-a n+1),于是[(a1-a2)+(a2-a3)+…+(a n-a n+1)]·≥n2>1.即(a1-a n+1)·(++…+)>1,所以++…+>,故++…++>0.。

第一课时二维形式的柯西不等式（一）教课要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式 .教课重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教课难点：理解几何意义.教课过程：一、复习准备：1.发问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：a bab(a0,b0) 及几种变式. 22. 练习：已知 a、 b、 c、 d 为实数，求证(a2b2 )(c2 d 2 ) ( ac bd ) 2证法：（比较法） ( a2b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2= .= (ad bc)20二、讲解新课：1.教课柯西不等式：①提出定理 1：若 a、 b、c、 d 为实数，则(a2b2 )(c2d2 )(ac bd )2.→ 即二维形式的柯西不等式→ 什么时候取等号？② 议论：二维形式的柯西不等式的其余证明方法？证法二：（综合法） (a2b2 )(c2 d 2 ) a2 c2a2 d 2b2c 2b2 d2( ac bd) 2( ad bc) 2( ac bd) 2.（重点：睁开→配方）证法三：（向量法）设向量（ a,b）,(c, d) ，与之间的夹角为， 0。

依据向量内积的定义，我们有：cos ，因此cos ，cos1，因此，由于因此 a2b2c2 d 2| ac | | bd |证法四：（函数法）设 f ( x)(a2b2 ) x22(ac bd )x c2 d 2，则f ( x)( ax c)2(bx d )2≥0恒建立.∴[ 2(ac bd)] 24(a2b2 )(c 2d2 ) ≤0，即 (a2b2 )(c2 d 2 )( ac bd ) 2③ 议论：二维形式的柯西不等式的一些变式？变式：a2b2c2 d 2| ac bd | 或a2b2c2 d 2| ac | | bd |或 a2b2c2 d 2ac bd .④ 提出定理2：设,是两个向量，则 || |||| .即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→ 议论：什么时候等号建立？（是零向量，或许,共线）⑤练习：已知 a、 b、 c、 d 为实数，求证a2b2c2d2(a c) 2(b d ) 2.证法：（剖析法）平方→ 应用柯西不等式→ 议论：其几何意义？（结构三角形）2. 教课三角不等式：①出示定理 3：设x1, y1,x2, y2R，则x12y12x22y22( x1x2 )2( y1 y2 ) 2.剖析其几何意义→ 如何利用柯西不等式证明→变式：若 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3R ，则联合以上几何意义，可获得如何的三角不等式？3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、稳固练习：1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式第二课时二维形式的柯西不等式（二）教课要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，领会运用经典不等式的一般方法——发现详细问题与经典不等式之间的关系，经过适合变形，依照经典不等式获得不等关系.教课重点：利用二维柯西不等式解决问题.教课难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教课过程：一、复习准备：1. 发问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案： (a2b2 )(c2 d 2 ) ( ac bd) 2； x12y12x22y22( x1 x2 ) 2( y1 y2 )22.议论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3.如何利用二维柯西不等式求函数yx 12 x 的最大值?重点：利用变式| ac bd |a2b2c2 d 2.二、讲解新课：1.教课最大（小）值：①出示例 1：求函数y3x 1102x 的最大值？剖析：如何变形？→ 结构柯西不等式的形式→ 板演→变式： y3x1102 x→推行： y a bx c d e fx,( a,b,c,d ,e, f R )②练习：已知 3x 2 y1，求 x2y2的最小值.解答重点：（凑配法） x2y21( x2y2 )(3222 )1(3x2y)21.131313议论：其余方法（数形联合法）2.教课不等式的证明：① 出示例2：若x, y R ， x y 2 ，求证：11 2 .x y剖析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对照→ 结构）重点：111( x y)(11 )1[(x ) 2(y )2 ][(1)2(1)2]x y2x y2x y 议论：其余证法（利用基本不等式）②练习：已知 a 、 b R ，求证： (a b)( 11)4.a b3. 练习：①已知 x, y, a,ba b1 ，则xy的最小值 . R ，且yx重点： x y( a b)(x y).→ 其余证法x y②若 x, y, z R ，且 x y z 1 ，求 x2y2z2的最小值.（重点：利用三维柯西不等式）变式：若 x, y, z R ，且 x y z 1 ，求 x yz 的最大值.4. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、结构等技巧.第三课时一般形式的柯西不等式教课要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教课重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用.教课难点：理解证明中的函数思想.教课过程：一、复习准备：1.练习：2.发问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案： (a2b2 )(c2 d 2 ) ( ac bd) 2； (a2b2c2 )(d 2e2 f 2 ) (ad be cf ) 2二、讲解新课：1.教课一般形式的柯西不等式：①发问：由平面向量的柯西不等式|| | ||| ，假如获得空间向量的柯西不等式及代数形式？②猜想： n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设 a1 , a2 ,, a n ,b1 ,b2 ,,b n R ，则( a12a22a n2 )(b12b22b n 2 )( a1b1a2 b2a n b n )2议论：什么时候取等号？（当且仅当a1a2a n时取等号，假定b i0 ）b1b2b n联想：设 B a1b1a2 b2a n b n，A a12a22a n2，C b12 b22b n2，则有 B2AC 0，可联想到一些什么？③ 议论：如何结构二次函数证明n 维形式的柯西不等式？（注意分类）重点：令（f x）（ a12a22a n2 ) x22(a1b1a2 b2a n b n )x( b12b22b n2 )，则f ( x) (a1 x b1 )2(a2 x b2 ) 2+（ a n x b n ) 20 .又 a12a22a n20 ，进而联合二次函数的图像可知，2(a1 b1a2 b2a n b n )24(a12a22a n 2 )(b12b22b n2) ≤0即有要证明的结论建立. （注意：剖析什么时候等号建立.）2221( a1 a22.（议论如何证明）④ 变式：a1a2a n a n )n2.教课柯西不等式的应用：①出示例 1：已知3x 2 y z 1 ，求 x2y2z2的最小值.剖析：如何变形后结构柯西不等式？→ 板演→ 变式：②练习：若 x, y, z R，且1111，求 x y z的最小值 .x y z232 a >b> c，求证：11.③ 出示例：若b a 4a b c c重点： (a c)(11)[( a b)( b c)](11) (1 1)24a b b c a b b c3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号建立的条件；依据结构特色结构证明.第四课时 3.3 排序不等式教课要求：认识排序不等式的基本形式，会运用排序不等式剖析解决一些简单问题，领会运用经典不等式的一般方法 .教课重点：应用排序不等式证明不等式.教课难点：排序不等式的证明思路.教课过程：一、复习准备：1.发问：前方所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2.举例：谈谈两类经典不等式的应用实例.二、讲解新课：1.教课排序不等式：（ 1）引入：若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min ，25 min 和 30 min ，每台电脑耽搁 1 min ，网吧就会损失0.05 元。

三排序不等式1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念阅读教材P41～P42“探究”以上部分，完成下列问题．设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋a n b n 为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1称为反序和．教材整理2 排序不等式阅读教材P42～P44，完成下列问题．设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b2＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)1bc ≥1ca ≥1ab；(2)a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c2. 【精彩点拨】 由于题目条件中已明确a ≥b ≥c ，故可以直接构造两个数组． 【自主解答】 (1)∵a ≥b >0，于是1a ≤1b.又c >0，∴1c >0，从而1bc ≥1ca ，同理，∵b ≥c >0，于是1b ≤1c， ∴a >0，∴1a >0，于是得1ca ≥1ab，从而1bc ≥1ca ≥1ab.(2)由(1)知1bc ≥1ca ≥1ab>0且a ≥b ≥c >0，∴1b 2c2≥1c 2a2≥1a 2b2，a 2≥b 2≥c 2.由排序不等式，顺序和≥乱序和得a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥b 2b 2c 2＋c 2c 2a 2＋a 2a 2b 2＝1c 2＋1a 2＋1b 2＝1a 2＋1b 2＋1c 2， 故a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c2.利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．[再练一题]1．本例题中条件不变，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c3.【证明】 ∵a ≥b ≥c ≥0， ∴a 5≥b 5≥c 5，1c ≥1b ≥1a＞0.∴1bc ≥1ac ≥1ba，∴1b 3c3≥1a 3c3≥1b 3a3，由顺序和≥乱序和得a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥b 5b 3c 3＋c 5a 3c 3＋a 5b 3a 3 ＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b3， ∴a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c3.设a ，b ，c 为正数，求证：2c ＋2a ＋2b ≤bc ＋ca ＋ab.【精彩点拨】 (1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a ，b ，c 的大小顺序．解答本题时不妨先设定a ≤b ≤c ，再利用排序不等式加以证明．【自主解答】 不妨设0<a ≤b ≤c ，则a 3≤b 3≤c 3， 0<1bc ≤1ca ≤1ab，由排序原理：乱序和≤顺序和，得a 3·1ca ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ，a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab. 将上面两式相加得a 2＋b 2c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab ， 将不等式两边除以2，得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．[再练一题]2．设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：【导学号：32750056】a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 【证明】 不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则a 21≤a 22≤…≤a 2n ，1a 1≥1a 2≥…≥1a n.由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ，即 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .设A ，B ，C 表示△ABC 的三个内角，a ，b ，c 表示其对边，求aA ＋bB ＋cCa ＋b ＋c的最小值(A ，B ，C 用弧度制表示)．【精彩点拨】 不妨设a ≥b ≥c ＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解． 【自主解答】 不妨设a ≥b ≥c ， 则A ≥B ≥C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC ，将以上三式相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )·(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )， 当且仅当A ＝B ＝C ＝π3时，等号成立．∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3，即aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c 的最小值为π3.1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．[再练一题]3．已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝1，求t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x的最小值．【解】 不妨设x ≥y ≥z >0，则x 2≥y 2≥z 2，1z ≥1y ≥1x.由排序不等式，乱序和≥反序和．x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z＝x ＋y ＋z .又x ＋y ＋z ＝1，x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥1，当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立．故t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x的最小值为1.min 和30min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？【精彩点拨】 这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t 1 min 时，三台电脑等候维修的总时间为3t 1 min ，依此类推，等候的总时间为3t 1＋2t 2＋t 3 min ，求其最小值即可．【自主解答】 设t 1，t 2，t 3为25,30,45的任一排列， 由排序原理知3t 1＋2t 2＋t 3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)， 所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．1．首先理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．2．三台电脑的维修时间3t 1＋2t 2＋t 3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．[再练一题]4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4 min,8 min,6 min,10 min,5 min ，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？【解】 根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．即按注满时间为4 min,5 min,6 min,8 min,10 min 依次等水，等待的总时间最少．[构建·体系]排序不等式—⎪⎪⎪—反序和、乱序和、顺序和—排序原理—排序原理的应用1．已知x ≥y ，M ＝x 4＋y 4，N ＝x 3y ＋y 3x ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND.M ≤N【解析】 由排序不等式，知M ≥N . 【答案】 B2．设a ，b ，c 为正数，P ＝a 3＋b 3＋c 3，Q ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ≥Q C ．P <QD.P ≤Q【解析】 不妨设a ≥b ≥c >0，则a 2≥b 2≥c 2>0， 由排序不等式得：a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a . ∴P ≥Q . 【答案】 B3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________.【导学号：32750057】【解析】 由排序不等式，顺序和最大，反序和最小，∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28. 【答案】 32 284．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．【解析】 取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19.所以最少花费为19元，最多花费为25元． 【答案】 19 255．设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn2.【证明】 ∵12＜22＜32＜…＜n 2， ∴112＞122＞…＞1n2. 设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 由小到大的一个排列，即c 1＜c 2＜c 3＜…＜c n ， 根据排序原理中，反序和≤乱序和， 得c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2，而c 1，c 2，…，c n 分别大于或等于1,2，…，n ，∴c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≥1＋222＋332＋…＋n n2＝1＋12＋ (1)，∴1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋…＋a nn2.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评（十一） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ≥b >0，P ＝a 3＋b 3，Q ＝a 2b ＋ab 2，则P 与Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q 【解析】 ∵a ≥b >0，∴a 2≥b 2>0. 因此a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2(排序不等式)， 则P ≥Q . 【答案】 B2．设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，b 1≤b 2≤b 3≤…≤b n 为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为( )A ．反序和≥乱序和≥顺序和B ．反序和＝乱序和＝顺序和C ．反序和≤乱序和≤顺序和D ．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定 【答案】 C3．设正实数a 1，a 2，a 3的任一排列为a ′1，a ′2，a ′3，则a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D.12【解析】 设a 1≥a 2≥a 3＞0，则1a 3≥1a 2≥1a 1＞0，由乱序和不小于反序和知，a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3≥a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＝3， ∴a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3的最小值为3，故选A. 【答案】 A4．若A ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ＞B B ．A ＜BC ．A ≥BD.A ≤B【解析】 依序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n }的一个排列．依排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 22＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.故选C.【答案】 C5．已知a ，b ，c 为正实数，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是( ) A ．大于零 B ．大于等于零 C ．小于零D.小于等于零【解析】 设a ≥b ≥c >0，所以a 3≥b 3≥c 3，根据排序原理，得a 3×a ＋b 3×b ＋c 3×c ≥a 3b ＋b 3c ＋c 3a .又知ab ≥ac ≥bc ，a 2≥b 2≥c 2，所以a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab ， ∴a 4＋b 4＋c 4≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab ，即a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )≥0. 【答案】 B 二、填空题6．若a ，b ，c ∈R ＋，则bc a ＋ca b ＋abc________a ＋b ＋c . 【解析】 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则bc ≤ca ≤ab ，1a ≤1b ≤1c， ∴bc a ＋ca b ＋ab c ≥ac c ＋ab a ＋bcb＝a ＋b ＋c .【答案】 ≥7．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.【解析】 等候的最短时间为：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)． 【答案】 418．设a 1，a 2，a 3为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2的最小值为________. 【导学号：32750058】【解析】 不妨设a 3>a 1>a 2>0，则1a 3<1a 1<1a 2，所以a 1a 2<a 2a 3<a 3a 1. 设乱序和S ＝a 1a 3a 3＋a 1a 2a 1＋a 3a 2a 2＝a 1＋a 2＋a 3＝1， 顺序和S ′＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2. 由排序不等式得a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3＝1， 所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2的最小值为1. 【答案】 1 三、解答题9．设a ，b ，c 大于0，求证： (1)a 3＋b 3≥ab (a ＋b )；(2)1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc ≤1abc.【证明】 (1)不妨设a ≥b ≥c >0， 则a 2≥b 2≥c 2>0，∴a 3＋b 3＝a 2·a ＋b 2·b ≥a 2b ＋b 2a ， ∴a 3＋b 3≥ab (a ＋b )．(2)由(1)知，同理b 3＋c 3≥bc (b ＋c )，c 3＋a 3≥ac (c ＋a )， 所以1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc≤1ab a ＋b ＋abc ＋1bc b ＋c ＋abc＋1aca ＋c ＋abc＝1a ＋b ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca＝1a ＋b ＋c ·c ＋a ＋b abc ＝1abc.故原不等式得证．10．已知a ，b ，c 都是正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值．【解】 由对称性，不妨设0＜c ≤b ≤a ，则有a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ＞0，所以0＜1a ＋b ≤1a ＋c≤1b ＋c. 由排序不等式得ab ＋c ＋ba ＋c ＋ca ＋b≥aa ＋c ＋ba ＋b ＋cb ＋c，①a b ＋c ＋ba ＋c ＋ca ＋b ≥ca ＋c ＋aa ＋b ＋bb ＋c.②由①②知2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≥3，∴a b ＋c ＋b a ＋c ＋ca ＋b ≥32.当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.[能力提升]1．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( ) A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤Q D.不能确定【解析】 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A )≥R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )]＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝a ＋b ＋c 2＝P . 【答案】 C2．已知a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c 为正数，则1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b 的最小值是________． 【解析】 不妨设a ≥b ≥c ，∴1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b ， ∴ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b，① a b ＋c ＋bc ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b，② ①＋②得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32， ∴1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ≥92. 【答案】 923．在Rt△ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________.【导学号：32750059】【解析】 不妨设a ≥b ＞0，则A ≥B ＞0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )，∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )． 【答案】 aA ＋bB ≥π4(a ＋b ) 4．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．【证明】 ∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.根据排序不等式得：乱序和>反序和．∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 故原不等式得证．。