25.9 弧长与扇形面积 课件1(沪科版九年级下册)

如图：在△AOC中，∠AOC=900，∠C=150，以O为 圆心，AO为半径的圆交AC于B点，若OA=6， 求弧AB的长。
C
B
O
A
由组成圆心角的 两条半径和圆心角所对的 弧所围成的图形叫扇形．
A
B
O
n°
o
（1）半径为R的圆,面积是多少？ S=πR2 （2）圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？
O
180
9
例1、制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直 长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度 L(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB 的长
l 10090050015（7m0m）
180
因此所要求的展直长度 L 270 1057 20 9 （m7m）0 答：管道的展直长度为2970mm．
A
B
O
O
l nR
180
S扇形
nR2
360
比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
S扇形
1 2
lR
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，
则这个扇形的面积S扇形=_ 4 .
3
2、已知扇形面积为 1 ，圆心角为60°，
则这个扇形的半径R=3___2 _．
3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为
则阴影部分面积等于 。
C
B
O
A
（3）1°圆心角所对扇形面积是多少？
S扇形
nR2
360
若设⊙O半径为R， n°的
圆心角所对的扇形面积为S，
则
nR2
S扇形 360
A
O
B
1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 2:25:32 PM 3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 4、智力教育就是要扩大人的求知范围 5、最有价值的知识是关于方法的知识。 6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/152021/10/15October 15, 2021 8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/152021/10/152021/10/152021/10/15

有水部分的面积 = S扇- S△
0
A
D
B
C
解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D， 交弧AB于点C. ∵OC=0.6，DC=0.3 ∴OD=OC—DC=0.3
在Rt△OAD中，OA=0.6，利用勾股定理可得：AD=0.3√3
在Rt△ OAD中，∵OD=1/2OA ∴∠ OAD=30° ∴∠A OD=60°， ∠ AOB=120°
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/302021/7/302021/7/307/30/2021 7:22:46 AM
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/302021/7/302021/7/30Jul-2130-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/302021/7/302021/7/30Friday, July 30, 2021
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/302021/7/302021/7/302021/7/30
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021

例2 如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m,其中水面 高0.3 m.求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位). 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
沪科版九年级数学下册：弧长与扇形 面积ppt 课件
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，
垂足为D，交AB于点C，连接AC.
有水部分的面积：
S =S扇形OAB - SΔOAB
120π 0.62 1 AB • OD
360
2
0.12π 1 0.6 3 0.3 2
0.22(m2 )
沪科版九年级数学下册：弧长与扇形 面积ppt 课件
A
D
B
C
沪科版九年级数学下册：弧长与扇形 面积ppt 课件
随堂演练
1. 120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆
北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5 000
希腊里(1 希腊里≈158.5 m). 当太阳光线在塞伊尼直
射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离
α
直射方向的角为α.实际测得α是7.2°，
A
由此估算出了地球的周长，你能 进行计算吗？
S O
沪科版九年级数学下册：弧长与扇形 面积ppt 课件
解：∵太阳光线可看作平行的，∴圆心角∠AOS=α=7.2°. 设地球的周长为C，则
的半径是( C )
A．3
B．4
C．9
D．18
沪科版九年级数学下册：弧长与扇形 面积ppt 课件
沪科版九年级数学下册：弧长与扇形 面积ppt 课件
2. AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°， AB＝4，则B⌒C的长为( B )
A. 10 π
3
B. 10 π

A
B
O
巩固训练
例2 扇形AOB的半径为12cm，∠AOB=120°，求 AB的长（结果精确到0.1cm）和扇形AOB的面积 （结果精确到0.1cm2）
活学活用
1.解答下列各题：
（1）已知扇形的圆心角为150°，它的面积为 240π，求弧长；
（2）已知扇形的弧长为20π，面积为240π， 求扇形的圆心角；
重要概念 扇形概念
一条弧和经过这条弧的端点的 两条半径组成的图形叫做扇形
思考：弧长与什么有关？扇形的面积与什么有关？
探索发现
扇形的面积
扇形面积S
R2
360
n
n R2
360
R2
360
1°
弧长l =
2 R n
360
n R
180
1°的圆心角所对的弧长
2 R
360
归纳整理
圆的周长 CS扇形 2 RR2
弧长及扇形的面积
想一想？？
A
某传送带的一个转动轮的半径是10cm, （1）转动轮转动一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ （2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ （3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
知识 工具
圆的周长和圆的面积
A R O
圆周长 C 2 R d 圆的面积 S R 2
圆与外接圆组成的圆环的面积。
O B
O
A
C
B
应用举例
2.如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆的三等 分点，求图中阴影部分的面积。
C
D
O
B
应用举例
3.已知：半径为R的⊙O的面积恰好被它的同心圆所平分； 求：所成的圆环夹于小圆的两条平行切线间部分的面积。

O
第13页
巩固练习：
1.钟表轴心到分针针端长为5cm,那么经过40分钟,分 针针端转过弧长是( )
A. 10 cm
3
B. 20 cm
3
C. 25 cm
3
D. 50 cm
3
• 2.已知半径2cm扇形，其弧长为 4 ，则这个
扇形面积是_______．
3
第14页
课堂小结： 经过本节课学习你有何收获？
1、熟练记住弧长公式； 2、熟练记住扇形面积公式； 3、熟练利用公式计算。
第15页
布置作业：
课堂作业： 必做题：书本56页 课后练习1、2. 选做题：书本56页习题25.9第4题, 课外作业： 书本57页习题25.9第5,6,8
第16页
第17页
在赛伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射
方向角为a,他实际测得a是7.2度，由此估算出了地球周长，你
能计算吗？
解：因为太阳光线可看作平行，所以圆心角∠AOS=a=7.2度
设地球周长（即⊙O周长）为C,则
C
￣⌒
＝
AS
360
￣
7.2
⌒
∴C=50 AS =50×5000
a
A S
=250000≈39625(km) 答：过南北极地球周长约为39625km。
（3）1°圆心角所对弧长是多少？C 2 R R
360 180
若设⊙O半径为R， n°圆心角所正确弧长
为 C ，则 C n R
180 A
B
（4）140°圆心角所对
弧长是多少？
n°
C 140 R 7 R
180
9
O
第7页
思索2:

A.6 cm
B.12 cm
C.24 cm
D.28 cm
5.若一个扇形的面积是12πcm2,圆心角是60°,则此扇形的半径是 6 2 cm.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
6.如图,正方形ABCD的边长为2 cm,以点B为圆心、AB长为半径作弧AC, 则图中阴影部分的面积( A )
A.(4-π) cm2 C.(2π-4) cm2
当堂检测
课堂总结
1.弧长计算公式是什么？
l n R
180
2.扇形的面积计算公式是什么？
S扇形
n R 2
360
或 S 1 Rl 2
3.注意：较复杂的图形的面积的计算可把它分解成几个特殊图形的面积的和
或差进行计算.
B.2π
C.3π
D.6π
2.已知扇形的弧长为2π,圆心角为60°,则它的半径为 6 .
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
3.一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是( C )
A.2π
B.4π
C.12π
D.24π
4.若扇形的弧长为20πcm,面积为240π cm2,那么扇形的半径是( C )
那么： 在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的
扇形面积的计算公式为
S扇形
n R 2
360
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
活动3：探究弧长与扇形面积的关系 比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式,你能用弧长来表示扇形的面积吗?
l n R
180
S扇形
n R 2
360

n°的圆心角所对的扇形面积公式：S扇形 =
nπ R 2 1 lR 360 2
上海科学技术出版社 九年级 | 下册
归 纳
要点诠释： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积
1 是圆面积的 360 ，即
1 πR 2 πR 360 180
；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半 径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个 量；
圆锥的侧面积S扇=
nπ l 2 π rl 360
，
圆锥的全面积S全=S侧+S扇=πRl+πR2=πr（l+r）。
上海科学技术出版社 九年级 | 下册
归 纳
要点诠释： 扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆 的周长； 因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积 是由侧面积和底面圆的面积组成的。
课后小结
本节课学到了什么？请同学们叙述本节的概念和结论。
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：l
nπ R 180
(弧是圆的一部分)
上海科学技术出版社 九年级 | 下册
归 纳
要点诠释： (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是 圆周长的
1 ，即 360
1 πR 2 πR ； 360 180
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单
上海科学技术出版社 九年级 | 下册
归 纳
要点诠释： (3)扇形面积公式S扇形= 1 lR，可根据题目条件灵活选择使用， 2 它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：S扇形
nπ R 2 1 nπ R 1 R lR 360 2 180 2

电磁学
在电磁学中，弧长和扇形面积可以用 于计算带电粒子在磁场中运动的轨迹 长度和角度，进而研究电磁场的变化 。

在日常生活中的应用
建筑学
在建筑学中，弧长和扇形面积可以用 于计算各种形状的建筑物的表面积、 体积等参数，进而进行建筑设计、施 工和预算等工作。
艺术
在艺术领域中，弧长和扇形面积可以 用于设计各种形状的艺术作品，例如 雕塑、绘画等，使作品更加美观、协 调。
圆心角与弧长的关系
通过弧长公式可以看出，圆心角越大 ，弧长越长。
弧长计算的实例
实例1
一个圆的半径为5cm，圆 心角为60°，求弧长。
实例2
一个圆的半径为8cm，圆 心角为90°，求弧长。
实例3
一个圆的半径为10cm，圆 心角为120°，求弧长。
03
扇形面积的计算方法
扇形面积公式
总结词
扇形面积公式是计算扇形面积的关键公式，它基于圆的面积 和圆心角。
02
弧长的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度 为单位），弧长l可以通过公式 l=rθ计算得出。
扇形面积的定义
扇形面积是指由圆心角和半径确定的 扇形区域的面积，通常用字母"A"表 示。
扇形面积的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度为单 位），扇形面积A可以通过公式 A=(θ/2π)×πr²计算得出。
详细描述
扇形面积公式为 (S = frac{1}{2} r^2 (θ))，其中 (S) 是扇形面 积，(r) 是半径，(θ) 是圆心角（以弧度为单位）。这个公式 是计算扇形面积的基础，通过它可以将扇形的面积与半径和 圆心角联系起来。
扇形面积公式的应用
总结词

180 360
对的弧长是圆周长的
45 360
n (4) 圆心角是n°，占整个周角的 ，因此它所对 360 n 的弧长是圆周长的 360
知识要点
弧长公式
n n R C1 g2 R 360 180
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的 意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. 算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则
4 弧长为 3
典例精析 当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆 时针方向旋转多少度（假设绳索与 滑轮之间没有滑动，取3.14）？
例1 一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径 R =10cm，
解：设半径OA绕轴心O按逆时针方向 旋转的度数为n°，则 n R 15.7， 180 解得 n≈90°. 因此，滑轮旋转的角度约为90°.
的面积S扇=
4 cm 2 3
．
2. 已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形 的面积S扇=
4 3
.
例4 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O 上，AC=CD，∠ACD=120°． （1）求证：CD是⊙O的切线； 证明：连接OC，如图． ∵AC=CD，∠ACD=120°， ∴∠A=∠D=30°． ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠A=30°． ∴∠OCD=180°-∠A-∠D∠ACO=90°． 即OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线．
O
扇形的 面积
1 2 pr 2
1 2 pr 4 1 2 r 8
=
n 360
90 360 45 360
n 360
1 4 1 8
1 2
n r2 360
知识要点 扇形面积公式 半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积

THANKS
弧长和扇形面积的进一步研究
弧长和扇形面积的应用
弧长和扇形面积在几何、物理、工程等领域有广泛的应用，如计 算物体运动轨迹、分析机械运动等。
弧长和扇形面积的性质
弧长和扇形面积具有一些重要的性质，如对称性、可加性等，这些 性质在解决实际问题时具有重要意义。
弧长和扇形面积的拓展
弧长和扇形面积的计算方法可以拓展到其他形状，如椭圆、抛物线 等，这些形状在现实世界中也有广泛的应用。
弧长和扇形面积的概念在日常生活中 也有广泛的应用，如计算圆形物体的 运动轨迹、建筑物的圆弧形结构等。
弧长和扇形面积的计算公式在物理学、 工程学、天文学等领域也有广泛的应 用，是解决实际问题的重要工具之一。
在日常生活和工程设计中，弧长和扇 形面积的计算有助于优化设计方案， 提高效率和质量。
在科学计算中的应用
04 弧长和扇形面积的应用
在几何图形中的应用
弧长和扇形面积是几何学中重要的概念，用于描述和计算各种几何图形，如圆形、 椭圆、抛物线等。
在几何图形中，弧长和扇形面积的计算有助于解决各种问题，如周长、面积、体积等。
弧长和扇形面积的计算公式在几何学中具有广泛的应用，是解决几何问题的关键工 具之一。
在日常生活中的应用
弧长和扇形面积通用 课件
目录
CONTENTS
• 弧长和扇形面积的基本概念 • 弧长的计算方法 • 扇形面积的计算方法 • 弧长和扇形面积的应用 • 弧长和扇形面积的拓展知识
01 弧长和扇形面积的基本概 念
弧长的定义
描述弧长的定义
弧长是指圆弧的长度，通常用字母L表示。在圆中，弧长是连接圆心和圆上任意 一点的线段的长度。弧长的计算公式为：L = θ/360° × 2πr，其中θ是圆心角的 大小，r是圆的半径。

hl r
由勾股定理得：
r2 + h 2 = l 2
填空: 根据下列条件求值（其中r、h、l分别
是圆锥的底面半径、高线、母线长） （1） l = 2，r = 1 则 h =____3___
(2) h = 3, r = 4 则 l =__5_____ (3) l = 10, h = 8 则r =___6____
24.7 弧长与扇形的面积 (第2课时)
请你欣赏
根据你以前的所学，说说你对圆 锥的一些认识。
我们把连接圆锥的顶点和底
面圆上任一点的线段叫做
圆锥的母线。
圆锥的高 S
连接顶点与底面圆的圆心
O的线段叫做圆锥的高
母线 A
Or
思考圆锥的母线和圆 B 锥的高有哪些性质？
如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的 高线长,l表示圆锥的母线长,那么r,h,l之间有 怎样的数量关系呢？
•7、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/10/252021/10/25October 25, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/252021/10/252021/10/252021/10/25
A
·
h1
h2
r
说一说,让大家一起来分享!
思考题：如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，
一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到 过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最 短路线是多少？
A
B
C
l
图 23.3.6
•1、使教育过程成为一种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/252021/10/252021/10/2510/25/2021 5:43:45 PM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/252021/10/252021/10/2510/25/2021

解：3000 2 90 1000 6142mm .
180
答：图中管道的展直长度约为6142mm.
5. 草坪上的自动喷水装置能旋转220°，如果它 的喷射半径是20m，求它能喷灌的草坪的面积.
解：S
220 360
202
2200 9
(m2
).
答：它能喷灌的草坪的面积为
2200 9
πm2.
6.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、 AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD 的长为20cm，求贴纸部分的面积.
在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的扇
形面积计算公式为
S扇形＝
n 360
S圆
＝
n 360
πR2
扇形的面积与扇形所在的圆的半径和弧 所对的圆心角的度数有关系.
弧长与扇形面积的关系
比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式，你能用
弧长来表示扇形的面积吗?
n
n
n
l弧 360 C圆 360 d 180 R
A O
解 设半径OA绕轴心O按逆时针 方向旋转n°，则 l = nπR = 15.7
180
解方程，得 n≈90. 答：旋转的角度约为90°.
扇形
什么是扇形？
如下图，由组成圆心角的两条半径和
圆心角所对的弧围成的图形是扇形.
B
弧 圆心角 O
A
B
扇形 O
A
思考
如何求扇形的面积？
n°
S = πR2
S=？
S扇形
n 360
S圆
n 360
R2
S 1 Rl 2
S R
l
n°
O
练习
1. 已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这 个扇形0

二、预习导学 阅读课本P51～p52页内容，了解本节主要内容．
三、新知探究 ●探究1：探索弧长的计算公 如式图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm. (1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
教学目标 1．探索弧长计算公式及扇形面积计算公式； 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公 式解决问题．
教学重点和难点 重点：弧长及扇形面积计算公式 难点：应用公式解决问题
一、情景导入 在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是 圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积 应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关 系呢？本节课我们将进行探索．
因此，管道的展直长度约为76.8mm.
︵ 例 2：扇形 AOB 的半径为 12cm，∠AOB＝120°，求AB的长 (结果精确到 0.1cm)和扇形 AOB 的面积(结果精确到 0.1cm2)
解析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆 心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就 解决了
【 归 纳 】 在 半 径 为 R 的 圆 中 ，n°的 圆 心 角 所 对 的 弧 长 (arclength)的计算公式为：C1＝n1π8R0
●探究2：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着 一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．
(1)这只狗的最大活动区域有多大？ (2)如果解析：要求阴影部分的面积，需求扇形 COD 的面积与 扇形 AOB 的面积之差．根据扇形面积 S＝12lR，l 已知， 则需要求两个半径 OC 与 OA，因为 OC＝OA＋AC，AC 已知，所以只要能求出 OA 即可