(课件1)24.4弧长和扇形面积

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24.4弧长及扇形面积(第1课时)课件

r
例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14）解:因为n＝60°，r＝10厘米，所以扇形面积为
nr 2 60 3.14 10 2 S ≈52.33(平方厘米)； 360 360
扇形的周长为
l nr 60 3.14 10 2r 20 180 180
90 图 23.3.2 360
图 23.3.2
45 360 n 360
图 23.3.2
n r 2 360
图 23.3.2
结论：
如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆半径是r，那么扇形面积计算公式为
Q l n° r O
扇形面积S
n 2 s r 360 nr r 1
180
lr 2 2
D
有水部分的面积 = S扇+ S△
A
E
B
0
0.24 0.09 3
C
4、如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为个平方单位．

一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
n 1 2 s r 或s lr 360 2
n nr 50 l 2r = 3 cm 360 180
50 答：此圆弧的长度为 cm 3
例2制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度 L(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB
180
的长
L 100 900 500 1570（mm）
3
2
3
cm

弧长和扇形面积ppt

如何利用几何图形求弧长和扇形面积
对于简单的几何图形，如直角三角形、正方形、矩形等，可以通过已知的边长或直接测量得到弧长和扇形面积。
对于复杂的几何图形，可以利用相交弦定理、切割线定理等几何定理来求解。也可以使用三角函数和代数方法进行求解。
06
总结
本课程的主要内容和重点
弧长和扇形面积的概念及公式应用计算方法和技巧，包括公式推导和例题解析
通过学习和应用这些概念，学生可以更好地理解和掌握平面图形和立体图形的计算方法，为进一步学习几何学和其他数学分支打下坚实的基础
THANKS
课程目标和意义
1
掌握弧长和扇形面积的基本概念和计算方法，理解其几何意义和物理应用。
2
通过解决实际问题，培养学生的数学思维能力和几何直观感，提高学生的数学素养。
3
为学习更高级的数学和物理课程打下坚实的基础。02弧长Fra bibliotek弧长的定义
弧长是圆弧上任意两点间的长度。
圆心角所对的弧长称为弧长。
弧长的计算公式
弧长和扇形面积在几何中可以相互转化，从而方便计算和证明几何问题。
扇形面积在几何中可以表示平面图形面积，如圆的面积、球冠面积等。
05
案例分析
如何计算弧长和扇形面积
弧长公式
$弧长 = 圆周率 \times 直径 \times 角度 / 360$。
扇形面积公式
$扇形面积 = 圆心角度数 / 360 \times 圆的面积$。
弧长和扇形面积在几何学和实际生活中的应用涉及的数学知识点和思维方法
学习弧长和扇形面积的意义和实际应用
弧长和扇形面积是几何学中非常重要的概念，是研究平面图形和立体图形的基础

弧长和扇形面积(时)课件

单位圆
在单位圆上选择一段弧，并计算该弧所对应的中心角。
三角函数
利用三角函数的知识，将中心角转换为弧度制，并与半径相乘得到弧长。
03
CATALOGUE
扇形面积的计算方法
扇形面积公式
总结词
扇形面积公式是计算扇形面积的关键公式，它基于圆的面积和圆心角。
详细描述
扇形面积公式为 (S = frac{1}{2} r^2 theta)，其中 (S) 是扇形面积，(r) 是半径，(theta) 是圆心角（以弧度为单位）。这个公式是计算扇形面积的基础，通过它可以将扇形面积与圆的半径和圆心角联系起来。
弧长公式的应用
1 2
计算特定圆心角下的弧长
已知圆心角和半径，使用弧长公式计算弧长。
比较不同圆心角下的弧长
通过改变圆心角的大小，比较不同圆心角下的弧长。
3
分析弧长与圆心角的关系
通过观察弧长与圆心角的变化趋势，理解弧长与圆心角之间的线性关系。
弧长公式的推导
01
02
03
基础概念
了解弧长的定义和相关的几何概念，如圆心角、半径等。
扇形面积 = (弧长 / 2π) × 半径。
弧长 = 2π × (扇形面积 / 半径 )。
02
CATALOGUE
弧长的计算方法
弧长公式
弧长公式
弧长 = 圆心角（弧度） × 半径
圆心角（弧度）的测量
使用角度计或弧度计测量圆心角的大小，注意要将角度转换为弧度。
半径的测量
使用测量工具测量圆的半径，确保测量准确。
扇形面积公式的应用
总结词
扇形面积公式的应用广泛，可以用于解决各种与扇形有关的问题。

人教版九年级数学上册课件：24.4弧长和扇形面积(共19张PPT)

－
1353π6×0 152＝375π(cm2)．
9
能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中，图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
10
12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径．核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个量．知识点 2 扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
2
知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径．【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角分积析，：即先可用求形扇出形阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面

【课件】24.4弧长和扇形面积

∴AF＝ AB2＋BF2＝ 22＋12＝ 5.由平行四边形的性质，△FEC≌
△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S 阴影＝S 扇形 BAC＋S△ABF＋S△FGC－S 扇形 FAG
＝90×3π60×22＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90×π
×（ 360
5）2＝52－π4
16．(2014·昆明)如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使∠A＝2∠1，E 是 BC 上的一点，以 BE 为直径的⊙O 经过点 D.
(1)求证：AC 是⊙O 的切线； (2)若∠A＝60°，⊙O 的半径为 2，求阴影部分的面积．(结果
保留根号和π)
解：(1)连接 OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠BDO，∴∠DOC＝2 ∠1＝∠A.在 Rt△ABC 中，∠A＋∠C＝90°，即∠DOC＋∠C＝90 °，∴∠ODC＝90°，即 OD⊥DC，∴AC 为圆 O 的切线
3．已知扇形的圆心角为 45°，弧长等于π2 ，则该扇形的半径是 ___2__．
4．(2014·兰州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30
°，AB＝2.将△ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60°得△A′B′C，则点
B 转过的路径长为(B )
π A. 3
3π B. 3
2π C. 3
∠FAB＝90°.∵线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90°得线段 FG，∴∠
AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC
∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形 EFGC 是平行四
边形，∴EF∥CG
(2)∵AB＝2，E 是 AB 的中点，∴FB＝BE＝12AB＝12×2＝1，

人教版九年级数学上册《弧长和扇形面积》圆PPT课件(第1课时)

（2）弧长单位和半径单位一致.
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
弧长公式
：
l=
π
180
1.在半径为24 cm的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 4π cm，
60°的圆心角所对的弧长为 8π cm，120°的圆心角所对的弧
长为
16π cm.
2.半径为6 cm的圆中，75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm；
D．80°
，扇形OAB的面积为15π，则
(
巩固新知
π，半径是6，那么此扇形的
AB 所对的圆心角是（ B ）
课堂小结
布置作业
A．120°
B．72°
C．36°
D．60°
创设情境
随堂练习
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水
探究新知
面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
线，垂足为D，交
于点C，连接
O●
巩固新知
课堂小结
布置作业
AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
A
D
C
B
创设情境
典型例题
【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，
探究新知
圆心角
有关，
创设情境
典型例题
【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，
探究新知
再下料，试计算图所示管道的展直长度L (结果取整数) .
A

弧长和扇形面积-课件

180
9
例1：
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，
求此圆弧的长度。
解： l n R 60 • 50 = 50 (cm)
180 180
3
答：此圆弧的长度为 50 cm
3
例2制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长
度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单
位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB 的长
它的圆心角的度数
3
为1_2_0_°．
例4：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
有水部分的面积 = S扇- S△
0
A
D
B
C
0.12 0.09 3 ≈ 0.22m2
练习：1.如图、水平放置的圆柱形排水管道的
截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截
面上有水部分的面积。(结果保留 )
D
有水部分的面积 = S扇+ S△
A
E
B
0
0.24 0.09 3
C
做一做： 1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则
这个扇形的面积为___4____.
3
2、已知扇形的圆心角为300，面积为3 cm2 ，则这个扇形的半径R=_6_c__m．
3
25 cm D.
3
50 cm
3
.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开始至 B2结束所走过的路径长度__l___4___.
3
B1
B●
B
B2
B1
F'

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解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，
垂足为D，交弧AB于点C.
∵OC=0.6，DC=0.3 ∴OD=OC-DC=0.6-0.3=0.3
在Rt△ OAD中，∵OD=0.5OA ∴∠ OAD=30°
∴∠AOD=60°， ∠ AOB=120°
在Rt△OAD中，OA=0.6，利用勾股定理可得：
AD OA2 OD2 0.62 0.32 0.3 3
有水部分的面积为= S扇形OAB SOAB
0
0.6
D
A
0.3 C
120 0.62 1 AB OD
360 2
B 0.12 1 0.6
2
3 0.3
0.22
做一做：
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则
这个扇形的面积为___4____.
3a2
a2 3a2 a2
S阴影 =S ABC 3S扇形
4
3 12
4
4
l
nR
180
n R2
S扇形 360
S 扇形
1 lR 2
1.扇形的弧长和面积大小与哪些因素有关？
（1）与圆心角的大小有关
（2）与半径的长短有关
2. 扇形面积公式与弧长公式的区别：
l弧＝
n 360
C圆
S扇形＝
n 360
S圆
2、已知半径为2的扇形，面积为 4 ，则它的圆心角的度数
3
为_12_0_°．
加深拓展
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
提示：要求的面积，可
以通过哪些图形面积的
0
和或差求得
A
D
B
C
弓形的面积 = S扇- S⊿
为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积．
2
解：连接AD，则
AD BC 垂足为D
根据勾股定理，得
AD
AB2 BD2
a2
a 2
2
3a . 2
S ABC 1 BC AD 1 a 3a 3a2 .
2
22 4
S扇形BDF
=
1 12
a2
.
A
F E
B
DC
又知，S扇形BDF=S扇形CDE=S扇形AEF,
l 100900 500 1570mm.
180
因此所要求的展直长度
L 2 700 1570 2970mm.如来自图，由组成圆心角的两条半径和圆心角
所对的弧围成的图形是扇形。
B
B
弧圆圆心心角角
A
扇形
O A
如果圆的半径为R，则圆的面积为 R 2，
l°的圆心角对应的扇形面积为 R2 ，
360
得： R 180l n
R 180l 18012 8.5m. n 813.14
答：这段圆弧的半径R为8.5m.
颗粒归仓
1.弧长公式：
l nR 180
2.扇形面积公式： S扇形
nR 2 360
1 lR
2
注意： (1)两个公式的联系和区别；
(2)两个公式的逆向应用。
a
2.如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、 C 为圆心，以
4. n°的圆心角呢？
半径为R圆的周长为 C 2R
可以看作是360°圆心角所对的弧长
O· 1°
n°
1°的圆心角所对弧长是 1 2R
R
360
n°的圆心角所对的弧长 l 1 2R n nR
360
180
你能根据算出本节开头的弧长吗？
A
700mm
B
100°R=900mm
700mm
C
D
由上面的弧长公式，可得 AB 的长
3
2、已知扇形的圆心角为300，面积为
3
cm
2
，
则这个扇形的半径R=_6_c__m．
3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为 20 cm ，
则扇形的面积为_2_4__0___c_m__2．
练习
1.有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R （精确到0.1m）.
解：由弧长公式： l nR 180
制造弯形管道时，经常要先按中心线计算 “展直长度”（图中虚线成的长度），再下料，这就涉及到计算弧长的问题．
A
700mm
R=900mm B
100°
700mm
C
D
如何求 AB 长？
1. 你还记得圆周长的计算公式吗？ 2. 圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？
3. 1°的圆心角所对弧长是多少？
n°的圆心角对应的扇形面积为 n R2 nR2 360 360
那么：在半径为R 的圆中,n°的圆心角
所对的扇形面积的计算公式为
S扇形
nR 2
360
A
B
O
O
l nR
180
S扇形
nR 2
360
比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
S扇形
1 lR 2
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积， S扇=__34__．

(课件1)24.4弧长和扇形面积

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