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匈牙利算法示例专题宣讲培训课件

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匈牙利法效率矩阵完美版PPT

匈牙利法效率矩阵完美版PPT

员工
甲
乙
丙
丁
戊
第三节 人力资源的有效配置（3级）
A 第三节 人力资源的有效配置（3级）
匈牙利法：效率矩阵——约减
3
0
4
10
2
匈牙利法：效率矩阵——“盖0”线 最小值ƛ
B 第三节 人力资源的有效配置（3级）
匈牙利法：效率矩阵——“盖0”线 求解
5
13
0
3
4
第三节 人力资源的有效配置（3级）
第三节 人力资源的有效配置（3级）
0
0
4
任 务
C
0
4
6
0
3
D
4
0
3
2
2
E
0
0
8
7
0
16
第三节 人力资源的有效配置（3级）
匈牙利法：效率矩阵——“盖0”线 求解
员工
甲
乙
丙
丁
戊
A
0
0
4
7
2
B
2
13
0
0
4
任 务
C
0
4
6
0
3
D
4
0
3
2
2
E
0
0
8
7
0
17
第三节 人力资源的有效配置（3级）
匈牙利法：效率矩阵——“盖0”线 求解
员工
甲
乙
丙
第三节 人力资源的有效配置（3级）
匈牙利法：效率矩阵——“盖0”线 最小值ƛ
员工
甲
乙
丙
丁
戊
A
0
0
4
7

分配问题指派问题与匈牙利法课件

分配问题指派问题与匈牙利法课件
➢现问：如何确定一个分派工人去工作的方案，使得工人们 完成工作的总时间为最少。
分派方案满足下述两个条件：
• 任一个工人都不能去做两件或两件以上的工作 1.任一件工作都不能同时接受两个及以上的工人去做
分配问题指派问题与匈牙利法课件
标准形式的分配问题
n个人 n件事
每件事必有且只有一个人去做 每个人必做且只做一件事
5 0 2 0 2
2
3
0
0
0
0 10 5 7 2
9
8
0
0
4
0 6 3 6 5
圈0个数4 < n=5
5 0 2 0 2
2
3
0
0
0
0 10 5 7 2
9
8
0
0
4
0 6 3 6 5
分配问题指派问题与匈牙利法课件
⑥找未被直线覆盖的最小数字k；
⑦对矩阵的每行：当该行有直线覆盖时，令ui=0； 当 该 行 无 直 线 覆 盖 时 ， 令 ui=k 。
⑩再次寻找独立零元素
逐列检验
4 8 7 15 12
7 9 17 14 10
6
9
12
8
7
6 7 14 6 10
6
9
12
10
6
0 3 0 11 8
0 0 6 6 2
0
1
2
1
0
0 0 5 0 4
0
2
3
4
0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0
0
0
0
1
0 0 0 1 0
分配问题指派问题与匈牙利法课件
数学模型

4.2-分配问题和匈牙利法

4.2-分配问题和匈牙利法

0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
0 1 0 0 0
0 1 3 2 0
0 3 0 3 6 0 2 0 2 0 0 3 0 2 3 0 4 4 0 6
此问题有多个最优解
匈牙利法

第三种情况
矩阵中所有零元素或被划去,或打上( )号,但打( )号的 零元素个数仍小于n.
整数规划
整数规划的数学模型 设置逻辑变量建立整数规划模型 分配问题与匈牙利法 分支定界法、割平面法 应用举例
§3 分配问题与匈牙利法

分配问题的标准形式及其数学模型

分配问题也称指派问题(assignment problem),在我们现实 生活中,常有各种性质的分配问题.例如：应如何分配若干 项工作给若干个人(或部门)来完成,以达到总体的最佳效果 等等.由于分配问题的多样性,我们有必要定义分配问题的 标准形式.
可用表上作 解:这是一个标准的分配问题.若设0－1变量 业法求解
1 表示学生i翻译语种j xij (i, j 1, 2,3, 4) 0 表示学生i不翻译语种j 则问题的数学模型为
min z 14 x11 9 x12 4 x13 15 x14 11x21 7 x22 9 x23 10 x24 13 x31 6 x32 10 x33 5 x34 17 x41 9 x42 15 x43 13 x44 4 xij 1 i 1, 2,3, 4 j 1 4 s.t. xij 1 j 1, 2,3, 4 i 1 xij 0或1 i, j 1, 2,3, 4
匈牙利法

0 8 11 0 上述例子完成一、二、三步之后如右： 2 3 转向第四步： 0 11

指派问题的匈牙利法ppt

指派问题的匈牙利法ppt
判断就是否为最优解:圈起得零得个数就是否等 于n。
确定调整行与列
在没有圈起得零所在行上打“√”; 在打“√”行中所有零所在得列打“√”; 在打“√”列中含有圈起零得行上打“√”, 反复执行2)与3)两步,直到不能打“√”为止; 用直线划去打“√”得列与不打“√”得行,没有
划去得行构成调整得行,划去得列构成调整列。
调整可行解得方法
在调整行中寻找最小得元素,将它作为调整 量;
将调整行各元素减去调整量,对调整列中各 元素加上调整量。
再次执行“圈零”与“划零”得操作,并循 环以上得步骤,直到圈起得零数等于n为止。
匈牙利法解例3、3
时间矩阵
2 10 3 7
15
4
14
8
13 14 16 11
4
7
13
任务
人员
A
B
C
D
甲
6
7
11
2
乙
4
5
9
8
丙
3
1
10
4
丁
5
9
8
2
求解过程如下:
第一步,变换系数矩阵:
6 7 11 2 2
(cij
)
4 3
5 1
9 10
8 4 4 1
5 9 8 2 2
4 5 9 0 0 1 5 4 2 0 9 3 3 7 6 0
4 5 4 0 0 1 0 4 2 0 4 3 3 7 1 0
0元素,就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中得元素为1, 其余为0,这就得到最优解。找独立0元素,常用得步骤为:
(1)从只有一个0元素得行(列)开始,给这个0元素加圈, 记作◎ 。然后划去◎ 所在列(行)得其它0元素,记作Ø ; 这表示这列所代表得任务已指派完,不必再考虑别人了。

运筹学匈牙利法PPT课件

运筹学匈牙利法PPT课件

（1）人数与工作数不等的处理 当人数>工作数时：假想工作数，使得
与人数能够匹配, 对应的效率设定为0值。
当工作数>人数时：假想人数，使得与 工作数能够匹配, 对应的效率设定为0值。
人数和工作数不等的指派问题
4 8 7 15
12 9 2 14
6 9 12 8
11 7 17 6
6 9 12 10
运筹学匈牙利法
一、0－1 整数规划——枚举法
x1 . x2. x3
( 0. 0. 0 ) ( 0. 0. 1 ) ( 0. 1. 0 ) ( 1. 0. 0 ) ( 0. 1. 1 ) ( 1. 0. 1 ) ( 1. 1. 0 ) ( 1. 1. 1 )
满足约束条件（是∨ 否×） Z 值
(1) (2) (3) (4)
思考：如果将目标 函数变为下式会改 进吗？
max Z 2x2 3x1 5x3
三、指派问题的匈牙利法
指派问题（The Assignment Problem）
1、指派问题的形式表述
给定了一系列所要完成的任务（tasks）以及一系列完成 任务的被指派者（assignees），所需要解决的问题就是 要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务
译日文：
44
min f
cij xij译德文：
i 1 j 1
译俄文：
工作 人 甲 乙 丙 丁 甲：
乙：
译英文 2 10 9
7 丙：
译日文 15 4 译德文 13 14
14 8 丁：
16 11
x21+ x22 + x23 + x24 =1 x31+ x32 + x33 + x34 =1 x41+ x42 + x43 + x44 =1 x11+ x21 + x31 + x41 =1 x12+ x22 + x32 + x42 =1 x13+ x23 + x33 + x43 =1 x14+ x24 + x34 + x44 =1

《运筹学匈牙利法》课件

《运筹学匈牙利法》课件

总结
匈牙利算法的优缺点和适 用范围
匈牙利算法具有较高的精度和效 率，但受数据结构限制，应用对 象有一定局限性。
匈牙利算法的进一步研究 方向
运筹学在日常生活中的重 要性和应用前景
未来可继续深入探究匈牙利算法 和其他优化算法在实际问题中的 应用，完善算法理论和算法应用。
随着科技的不断发展，运筹学在 日常生活中的应用前景越来越广 泛，对提高效率和优化资源分配 具有重要意义。
的权值之和达到最大。
解决方案
匈牙利算法
匈牙利算法是解决二分图匹 配问题最经典的算法之一， 在求解最大权匹配和最小路 径覆盖问题方面都有广泛应 用。
拓展匈牙利算法
拓展匈牙利算法是一种扩展 了匈牙利算法的新算法，可 以有效解决复杂数据结构中 的匹配问题。
Байду номын сангаас
应用案例分析
将匈牙利算法应用于实际问 题的案例分析，深入了解如 何应用该算法求解实际问题， 加深理解和应用。
匈牙利法的目的和意义
匈牙利法可以帮助我们有效解决 二分图匹配问题，例如任务分配、 稳定婚姻问题等。
问题解析
1
最小路径覆盖问题
指在一个有向无环图（DAG）里选出尽
最大权匹配问题
2
可能少的路径，这些路径覆盖了DAG图 上的每个点恰好一次。
是一类用二分图描述的优化问题，给定
一个二分图，找到一个匹配使得匹配边
《运筹学匈牙利法》PPT 课件
运筹学匈牙利法是一种优化算法，用于解决二分图匹配问题。本课件将介绍 匈牙利法的背景、意义、解析以及应用案例分析。
背景介绍
运筹学在实际生活中的应用 匈牙利法的提出背景
运筹学的方法广泛应用于物流、 交通、能源、金融等领域，帮助 优化资源分配，提高效率。

分配问题(指派问题)与匈牙利法(课堂PPT)

分配问题(指派问题)与匈牙利法(课堂PPT)

1
0
0
0
0
整体解题思路总结
34
整体解题思路总结
例题：
单位：小时
人1 人2 人3 人4 人5
工作1 4
8
7 15 12
工作2 7
9 17 14 10
工作3 6
9 12 8
7
工作4 6
7 14 6 10
工作5 6
9 12 10 6
35
例题：
整体解题思路总结
4 8 7 15 12
7 9 17 14 10
0
2
3
4
0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1
0
0
0
0
0 0 0 1 0
0
0
0
0
1
27
分配方案A=7+9+6+6+6=34
⑩再次寻找独立零元素
逐列检验
4 8 7 15 12
7 9 17 14 10
6
9
12
8
7
6 7 14 6 10
6
9
12
10
6
0 3 0 11 8
（1）逐行检验
对只有一个未标记的零元素的行，用记号O将该零元素圈起，然后 将被圈起的零元素所在列的其他未标记的零元素用记号/划去。
重复行检验，直到每一行都没有未被标记的零元素或至少有两个未 被标记的零元素为止。
表示此事已不能由 其他人来做
（此人已不能做其他事）
0 13 7 0
6
0
6
9
表示此人只能做该事
0
4
1
4
3

匈牙利算法 ppt课件

匈牙利算法 ppt课件
第1页
指派问题（分配问题） (Assignment Problem)
例5 有一份中文说明书，需翻译 成英、日、德、俄四种文字，分 别记作E、J、G、R，现有甲、 乙、丙、丁四人，他们将中文说 明书翻译成英、日、德、俄四种 文字所需时间如下，问应该如何 分配工作，使所需总时间最少？
第2页
任务 E
J
98004 06365
第25页
然后划去所在的列的其他0元素， 记作Ø。
50202 23000
10 5 7 2
98004
Ø 6365
第26页
➢从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
52 0 2
23000
10 5 7 2
98004
Ø 6365
第27页
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
➢给只有一个0元素的列（或行）的0 元素加圈，记，然后划去所在的 行（或列）的其他0元素，记作Ø。
➢反复进行上述两步，直到所有的0 元素都被圈出和划掉为止。
第13页
➢若还有没有划圈的0元素，且同行 （或列）的0元素至少有二个，从剩有 0元素最少的行（或列）开始，比较这 行各0元素所在列中0元素的数目，选 择0元素少的那列的0元素加圈，然后 划掉同行同列的其他0元素，可反复进 行，直到所有的0元素都被圈出和划掉 为止。
第4页
引入0-1变量xij=1分配第i人去完 成第j 项任务，xij=0不分配第i人去完
成第j 项任务。
分配问题的数学模型：
Min Z= cijxij
s.t. xij =1 (j=1,2……n) xij =1 (i=1,2……n)
xij 0或1
(i=1,2…..n; j=1,2……n)

数学建模匈牙利算法

数学建模匈牙利算法

数学建模匈牙利算法
（实用版）
目录
一、匈牙利算法简介
二、匈牙利算法的基本原理
三、匈牙利算法的应用实例
四、匈牙利算法的优点与局限性
正文
一、匈牙利算法简介
匈牙利算法（Hungarian algorithm）是一种求解二分图最大匹配问题的经典算法，由匈牙利数学家 Mátyás Klán 首先提出。

该算法主要用于解决一些实际问题，如任务分配、资源调度等，其核心思想是尽可能地将两个顶点之间的距离缩小，从而实现图的最大匹配。

二、匈牙利算法的基本原理
1.匈牙利算法的基本思想是“贪心”，即每一步都选择当前可以得到的最佳匹配。

2.从未匹配的顶点中选择距离最小的两个顶点进行匹配，直到所有顶点都匹配完毕或者再也找不到匹配的顶点为止。

3.如果当前未匹配的顶点数量为奇数，则无法进行匹配，算法结束。

三、匈牙利算法的应用实例
1.任务分配：假设有 n 个任务和 n 个工人，每个工人完成不同任务的效率不同，匈牙利算法可以帮助我们找到最优的任务分配方案，使得总效率最大。

2.资源调度：假设有 m 个资源和 n 个任务，每个任务需要不同数量
的资源，匈牙利算法可以帮助我们找到最优的资源调度方案，使得总资源消耗最小。

四、匈牙利算法的优点与局限性
1.优点：匈牙利算法思路简单，计算效率较高，可以解决实际生活中的许多问题。

2.局限性：匈牙利算法只能解决无向图的最大匹配问题，对于有向图和带权图，需要进行相应的改进。

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xi1 xi2 j ixij xin 1
担一个工作。cij表示第i个人 做第j件事的费用,求总费用
s.tx 1 j x 2 j x ii= j1 ,2, …x n ,n j1
最低的指派方案。
j=1,2, …,n
匈牙利算法示例专题宣讲x i j0 ,1i 1 ,2 , ,n ;j 1 ,2 , ,n 7
径。
３
C
由增广路的定义可以推出下述三个结论：
1）P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后 一条边都不属于M。
４
D
2）P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。
3）M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M 5
E
的增广路径。
F
匈牙利算法示例专题宣讲
5
匈牙利算法
１
A
１
A
１
A
２
B
２
B
２
B
３
C
４
D
３
C
３
C
元素打√号 （3）在已经打√号的列中含◎元素 的行打√； √ （4）重复（2）（3）直到得不出 打√的行列为止 （5）对没有打√的行画一横线， 有打√的列画一纵线，这就覆盖所 有0元素的最少直线数。令这一直 线数为l。若l<n,说明必须再换当
5 ◎0
2
3
◎0 1 0
9
8
Ø0 6
√
前的系数矩阵，才能找到n个独立
9
C 、 D 、 E五项任务，每
个人完成任务所需的工时
乙8
9
6
6
6
各不相同，见表。求应如 何指派人员才能使得所用
丙 7 17 12 14 9
工时最少？
丁 15 14 6
6 10
设有n个工作，要由 n个人 戊 4 10 7 10 9
来承担，每个工作只能由一
miZ n
cijxij
个人承担，且每个人只能承
6
-6
(cij )
7
1
5
17 14
12 6
14 6
9 -7
1
0
-6
4 1 0 7 1 0 9 -4
5 0 2 0 2
2
3
0
0
0
0 10 5 7 2
9
8
0
0
4
0 6 3 6 5
-0 -0 -0 -0 -0
5 0 2 0 2
2
3
0
0
0
0 10 5 7 2
9
8
0
0
4
0 6 3 6 5
A
BC D
E
F {A,B,C,D,E,F}
1
2
3
4
5
{1,2,3,4,5}
匈牙利算法示例专题宣讲
3
二分图匹配
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两 条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。在工作分配的问 题中，我们给出一个可行的分配方案，就是一个匹配。
选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题如果这个匹配是 最优的（可以填补的工作岗位最多），就是最大匹配。
5 ◎0 2 0Ø 2
的0元素，为此转到第四步；若
l=n，而m<n，应回到（2）（4）
另行试探。
匈牙利算法示例专题宣讲
2 0Ø 2
Ø0 0Ø ◎0
5 7 2 √
◎0
0Ø
4
3 6 5 √
12
第四步；在没有被直线覆盖的部分中找出最小元素。 然后在行打√行每个元素减去这一最小元素，而在打√ 列的每个元素都加上这一最小元素，以保证原来0元 素不变。这样得到新系数矩阵。若得到n个独立的0元 素，则已得到最优解，否则回到第三步。
４
D
４
D
5
E
5
E
5
E
F
F
F
(1)找到某一匹配M
(2)找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M’代替M
(3)重复(2)操作直到找不出增广路径匈为牙利止算法示例专题宣讲
6
分配问题及其数学模型
时任
有甲、乙、丙、丁、戊五 人间员 务 A B C D E
位工人被指派去完成A、B 、 甲 12 7
9
7
8
匈牙利算法示例专题宣讲
匈牙利算法的基本原理是基于以下两个定理.
定理1 设C=(Cij)n×n是指派问题的效益矩阵 ，若将C中的任一行（或任一列）减去该行 （或该列）中的最小元素，得到新的效率矩 阵C’，则C’对应的新的指派问题与原指派问 题有相同的最优解.
定理2 效率矩阵C中独立的0元素的最多个数 等于覆盖所有0元素的最少直线数. 当独立零 元素的个数等于矩阵的阶数时就得到最优解.
(2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作◎；然后划去◎ 所在 行的0元素，记作Ø ．
(3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。
5 0 2 0 2
2
3
0
0
0
0 10 5 7 2
9
8
0
0
4
0 6 3 6 5
5 ◎0 2 Ø0 2
2
3
Ø0 Ø0 ◎0
◎0 1 0 5 7 2
9
8
◎0
Ø0
4
Ø0 6 3 6 5 匈牙利算法示例专题宣讲
5 ◎ 2 Ø 2
2
3
Ø Ø ◎
◎ 10 5 7 2
9
8
◎
Ø
4
Ø 6 3 6 5 11
第三步；作最少的直线覆盖所有0元素，以确 定该系数矩阵中能找到最多的独立元素数。
（1）对没有◎的行打√
（2）在已经打√的行中所含有的0
匈牙利算法示例专题宣讲
10
第二步：进行试指派，以寻求最优解。
在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个 独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的 元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，
常用的步骤为：
(1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作◎ 。然后划 去◎ 所在列(行)的其它0元素，记作Ø ；这表示这列所代表的任务已指派完， 不必再考虑别人了。
匈牙利算法示例专题宣讲
二分图
设G=(V,{R})是一个无向图。图的顶点集V可分割为两个互不 相交的子集X和Y（子集内部没有边） ，图任何一条边的两个 端点都分属不同的子集。则称图G为二分图。
用n个顶点X={1,2,3,4,5}表示n个工作，用m个顶点 Y={A,B,C,D,E,F}表示m个工人。
9
匈牙利算法示例专题宣讲
匈牙利法的解题步骤：
(b第ij)一，步使：在变(bi换j)的指各派行问各题列的中系都数出矩现阵0（元c素ij），为即 元素(1)；从（cij）的每行元素都减去该行的最小 (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去
该列的最小元素。
1 2 7 9 7 9 -7
8
9
6
6
A
BC D
E
F
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
5
A
B
C
D
EF12345A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
匈牙5利算法示例专题宣1讲
2
3
4
5
4
匈牙利算法
１
A
增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：若P是图
G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属 ２
B
M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在
P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路