初三第十五讲 概率综合题(教师版)

专题复习 与概率有关的综合题概率既可以应用于生活实际，也可以应用于解决数学问题，如平面图形的性质、数与式的运算等等，解决问题时要注意知识之间的联系．1.有五张形状、大小、质地都相同的卡片，上面分别画有下列图形：①正方形；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是(B ). A.51B.52C.53D.54 2.已知m 为-9，-6，-5，-3，-2，2，3，5，6，9中随机取的一个数，则m 4＞100的概率为(D ). A.51B.13C.21D.53（第3题）3.如图所示，有以下3个条件：①AC=AB ；②AB∥CD；③∠1=∠2.从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是(D ). A.0B.31C.32D.1 4.在x 2□2xy+y 2的空格中，随机填上“+”或“-”或“×”或“÷”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是(B ). A.1B.21C.41D.0 5.在四边形ABCD 中，有以下4个条件：①AB∥CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC.在这4个条件中任选2个作为已知条件，能判定四边形ABCD 是平行四边形的概率是32． 6.任取不等式组⎩⎨⎧>+≤-05203k k k-3≤0，2k+5＞0的一个整数解，则能使关于x 的方程2x+k=-1的解为非负数的概率为31 . 7.有四张正面分别标有数字2，1，-3，-4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将卡片上的数字记为m ，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n ．(1)请画出树状图并写出(m ，n)所有可能的结果．(2)求所选出的m ，n 能使一次函数y=mx+n 的图象经过第二、三、四象限的概率． 【答案】(1)画树状图如下：（m ，n ）有12种等可能的结果：（2，1），（2，-3），（2，-4），（1，2），（1，-3），（1，-4），（-3，2），（-3，1），（-3，-4），（-4，2），（-4，1），（-4，-3）. (2)∵所选出的m ，n 能使一次函数y=mx+n 的图象经过第二、三、四象限的有（-3，-4），（-4，-3），∴P=122=61.8.大课间活动时，有两位同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字-1，0，1的卡片，它们背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，其中一位同学随机抽取一张，将其正面的数字作为p 的值，然后将卡片放回并洗匀，另一位同学再从这三张卡片中随机抽取一张，将其正面的数字作为q 的值，两次结果记为(p ，q)．(1)请你帮他们用树状图或列表法表示(p ，q)所有可能出现的结果．(2)求满足关于x 的方程x 2+px+q=0没有实数根的概率． 【答案】(1)画树状图如下：（p,q ）有9种等可能的结果：(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0), (1,1).(2)方程x 2+px+q=0没有实数根，即Δ=p 2-4q ＜0，满足条件的有：（-1，1），（0，1），（1，1）， ∴P＝93=31.9.在一个不透明的盒子里装有6个分别写有数字-3，-2，-1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同.现从盒子里随机取出一个小球，记下数字a 后不放回，再取出一个记下数字b ，那么点(a ，b)在抛物线y=-x 2+1上的概率是(B ). A.101 B.61C.152D.51（第10题）10.将正方形ABCD 的各边三等分(如图所示)，连结各等分点.现在正方形ABCD 内随机取一点，则这点落在阴影部分的概率是(A ). A.91B.81C.71D.61 11.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0，从-1，2，3三个数中任取一个数，作为方程中b 的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中c 的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是21． 12.若自然数n 使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n 为“连加进位数”.例如，2不是“连加进位数”，因为2+3+4=9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6=15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+53=156产生进位现象.如果从0，1，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是 0.88 ．13.如图所示，甲、乙是两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m ，乙转盘中指针所指区域内的数字为n(若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止)．(1)请用树状图或列表法求出|m+n|＞1的概率． (2)直接写出点(m ，n)落在函数y=-x1图象上的概率．(第13题)所有等可能的结果有12种，其中|m+n|＞1的情况有5种,∴P=12. (2)41.（第14题）14.【葫芦岛】如图所示，一只蚂蚁在正方形ABCD 区域内爬行，点O 是对角线的交点，∠MON=90°，OM ，ON 分别交线段AB ，BC 于M ，N 两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为41. 15.【营口】如图所示，有四张背面完全相同的纸牌A ，B ，C ，D ，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀.（第15题）(1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率.(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜.这个游戏公平吗？请用列表法(或树状图)说明理由(纸牌用A ，B ，C ，D 表示).【答案】(1)共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是43.)＝126=21.∴这个游戏公平.16.如图所示，3×3的方格分为上、中、下三层，第一层有一块黑色方块甲，可在方格A ，B ，C 中移动，第二层有两块固定不动的黑色方块，第三层有一块黑色方块乙，可在方格D ，E ，F 中移动，甲、乙移入方格后，四块黑色方块构成各种拼图.（第16题）(1)若乙固定在E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是32. (2)若甲、乙均可在本层移动.①用树状图或列表法求出黑色方块所构成的拼图是轴对称图形的概率. ②黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是92. 【答案】(1)若乙固定在E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图一共有3种可能，其中有两种情形是轴对称图形，所以若乙固定在E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是32.故答案为32. (2)①画树状图如下：由树状图可知，黑色方块所构成的拼图是轴对称图形的概率为95.②黑色方块所构成的拼图中是中心对称图形的有2种情形，即①甲在B 处，乙在F 处，②甲在C 处，乙在E 处，所以黑色方块所构成的拼图是中心对称图形的概率是92.故答案为92.。

事件的可能性及概率--巩固练习【巩固练习】一、选择题1.（2016•常德）下列说法正确的是（）A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上2. 下列事件中，属于必然事件的是（）A．抛掷一枚1元硬币落地后，有国徽的一面向上B．打开电视任选一频道，正在播放襄阳新闻C．到一条线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上D．某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖3.下列说法正确的是( )A.可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生B.可能性很小的事件在一次试验中一定发生C.可能性很小的事件在一次试验中有可能发生D.不可能事件在一次试验中也可能发生4. 在不透明的袋中装有除颜色外，其余均相同的红球和黑球各一个，从中摸出一个球恰为红球的概率与一枚均匀硬币抛起后落地时正面朝上的概率的大小关系是( )A．摸出红球的概率大于硬币正面朝上的概率B．摸出红球的概率小于硬币正面朝上的概率C．相等D．不能确定5.（2015春•兴化市校级期末）在有25名男生和24名女生的班级中，随机抽签确定一名学生代表，则下列说法正确的是（）A．男、女生做代表的可能性一样大B．男生做代表的可能性较大C．女生做代表的可能性较大D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定6. 下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等.四位同学各自发表了下述见解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在 6号扇形；丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在 6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大.其中，你认为正确的见解有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二. 填空题7.不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其它都相同，从中任意摸出一个球，则摸出___________球的可能性最大．8. 判断下列事件的类型：(必然事件，不确定事件，不可能事件)(1)掷骰子试验，出现的点数不大于6．_____________(2)抽签试验中，抽到的序号大于0．_____________(3)抽签试验中，抽到的序号是0．____________(4)掷骰子试验，出现的点数是7．_____________(5)任意抛掷一枚硬币，“正面向上”．_____________(6)在上午八点拨打查号台114，“线路能接通”．__________(7)度量五边形外角和，结果是720度．________________9. 夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀，则在这次中考中他的数学成绩 ____________（填“可能”，“不可能”，“必然”）是优秀．10.（2016春•衡阳县校级期末）一个口袋里装有只有颜色不同的红球和蓝球，已知红球30个，蓝球20个．闭上眼睛从口袋里拿出一个球是蓝球的可能性是．11.（2015•铜仁市）小明掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，得到的点数为奇数的概率是．12. 下面4个说法中，正确的个数为_______．(1)“从袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大．(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50%”．(3)小李说“这次考试我得90分以上的概率是200%”．(4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小．三.解答题13.在一批同一型号的零件中，混有3件次品，从这批零件中随意抽取一件检验，若抽取出的是正品的可能性为0.97，试问这批零件中有多少件正品.14.（2015春•雅安期末）如图是小明和小颖共同设计的自由转动的十等分转盘，上面写有10个有理数．（1）求转得正数的概率．（2）求转得偶数的概率．（3）求转得绝对值小于6的数的概率．15.一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．(1)求摸出1个球是白球的概率；(2)现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求n的值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.【解析】A、袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球的概率是，故本选项错误；B、天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的概率会下雨，故本选项错误；C、某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，故本选项错误；D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确．故选D．2．【答案】C.【解析】C选项是一性质定理，所以是正确的.3．【答案】C.【解析】可能性再小的事件也可能发生，只是概率要小而已.4．【答案】C.【解析】两种情况的概率均为50%.5．【答案】B.【解析】∵某班有25名男生和24名女生，∴用抽签方式确定一名学生代表，男生当选的可能性为=，女生当选的可能性为=，∴男生当选的可能性大于女生当选的可能性．故选B．6．【答案】A.【解析】只有丙是正确的，指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率都是50%.二、填空题7.【答案】蓝.【解析】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可.8．【答案】必然事件；必然事件；不可能事件；不可能事件；不确定事件；不确定事件；不可能事件.9.【答案】可能.【解析】夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀，则在这次中考中他的数学成绩不能确定，是随机事件．10.【答案】40%.【解析】闭上眼睛从口袋里拿出一个球是蓝球的可能性是．11.【答案】.12.【答案】0.【解析】(1)中即使概率是99%，很大了，但是仍然有不是红球的可能，所以错误；(2) 因为有三个球，机会相等，所以概率应该是13；(3) 概率的取值范围是．(4) 应该是取出一只红球的可能性不存在．三. 解答题13.【解析】解：抽取的是次品的可能性为：1-0.97=0.03，这批零件的总数为：3 0.03=100（件），正品数为：100-3=97（件）.14.【解析】解：（1）P（转得正数）==；（2）P（转得偶数）==；（3）P（转得绝对值小于6的数）==．15.【解析】解：(1)；(2)由题意得，∴经检验，n＝4是所列方程的根，且符合题意．。

专题四：概率综合 金牌数学专题系列第一部分：知识点回顾第二部分：练习题部分1、在军训结束的汇报演出中,某同学在一次射击中,射中10环, 9环, 8环的概率分别是0.25, 0.29，0.20；那么这名 同学⑴射中十环或九环的概率是多少? ⑵不够8环概率是多少?⑶如果射击100次,估测一下射中九环包含九环以上的次数。

2、已知一只口袋中放有x 只白球和y 只红球，这两种球除颜色以外没有任何区别，袋中的球已经搅匀，蒙上眼睛从袋中取一只球，取出白球的概率是34。

（1）试写出y 与x 的函数关系式；（2）当x=3时，第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表法，求两次摸到都是白球的概率。

生活中的随机事件 随机事件发生的可能性大小可能性的计算概率的应理论计算只涉及一步的概率计算设计多步的概率计算 列举法树状图法列表法 实验估算实验预估法 面积法3、有A 、B 两个黑布袋，A 布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3， B 布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A 布袋中随机取出―个小球，用m 表示取出的球上标有的数字，再从B 布袋中随机取出一个小球，用n 表示取出的球上标有的数字． (1)若用(m ，n)表示小明取球时m 与n 的对应值，请画出树状图并写出(m ，n)的所有取值； (2)求关于x 的一元二次方程2102x mx n -+=有实数根的概率．4、袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球，（1）先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球，① 求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率； ② 求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；（2）先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果.5、如图，甲为四等分数字转盘，乙为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘， 当转盘停止转动后（若指针指在边界处则重转），两个转盘指针指向数字之 和不超过4的概率是 ；6、（2014自贡10分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：组别 成绩x 分 频数（人数）第1组 25≤x＜30 4 第2组 30≤x＜35 8 第3组 35≤x＜40 16第4组 40≤x＜45 a第5组45≤x＜5010请结合图表完成下列各题： （1）求表中a 的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？ （4）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率．7、如图，三个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．小强和小亮用转盘A 和转盘B 做一个转盘游戏：同时转动两个转盘，如果转盘A 转出了红色，转盘B 转出了蓝色，或者转盘A 转出了蓝色，转盘B 转出了红色，则红色和蓝色在一起配成了紫色，这种情况下小强获胜；如果两个转盘转出的颜色相同，则小亮获胜；在其他情况下，小强和小亮不分胜负．（1）利用画树状图或列表的方法表示此游戏所有可能出现的结果； （2）小强说，此游戏不公平．请你说明理由；（3）请你在转盘C 的空白处，涂上适当颜色，使得用转盘C 替换转盘B 后，使游戏对小强和小亮是公平的（只需在空白处填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由）．8、为了加强食品安全管理，有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用油共抽取18瓶进行检测，检测结果分成“优秀”、“合格”、“不合格”三个等级，数据处理后制成以下折线统计图和扇形统计图。

第十五讲 概率刘书妹** 随机事件与概率基础盘点1.在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件. 在一定条件下，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件.在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，也称为不确定事件. 必然事件和不可能事件统称为确定性事件.2.事件A 发生的概率P （A ）的取值范围是0≤P （A ）≤1，特别地，当A 为必然事件时，P （A ）=1；当A 为不可能事件时，P （A ）=0.3.一般地，如果在一次试验中有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率P(A)=m n. 4.利用列表格或画树状图，我们可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率.考点呈现考点1 事件的判断例1 （2015·沈阳）下列事件为必然事件的是（ ） A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B.明天会下雨C.抛出的篮球会下落D.任意买一张电影票，座位号是2的倍数解析：由生活常识知A 、B 、D 三项为随机事件，C 项为必然事件，故选C. 考点2 简单的概率计算例2（2015·河北）将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差2的概率是（ ）A.21 B.31 C.51 D.61 解析：向上一面的点数共有6种等可能的结果，分别是1，2，3，4，5，6；与点数3相差2的结果有两种，分别是1，5；因此概率为26=13.故选B.评注：当随机事件只需一个步骤完成或只涉及一个因素时，可以直接列举出所有等可能的结果，从中找出某事件可能发生的结果数，再利用概率计算公式求解.考点3 几何概型概率的计算例3（2015·铁岭）一只蚂蚁在如图1所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停留在阴影部分的概率为（ ）A.13B.12C.34D.23解析：由正方形的中心对称性，知阴影部分的面积=正方形面积的12，所以蚂蚁停留在阴影部分的概率为12，故选B.评注：解此类题的一般思路为将面积进行转化，化不规则的面积为规则面积，再利用几何概型计算公式“()A P A 事件可能结果组成的图形面积所有可能结果组成的图形面积”进行计算.考点4 用列表法或画树状图计算概率例4（2015·玉林）现有三张反面朝上的扑克牌：红桃2、红桃3、黑桃x （1≤x ≤13，且x 为奇数或偶数）．把牌洗匀后第一次抽一张，记好花色和数字后将牌放回，重新洗匀第二次再抽取一张．图1（1）求两次抽得相同花色的概率；（2）当甲选择x为奇数，乙选择x为偶数时，他们两次抽得数字和是奇数的可能性大小一样吗？请说明理由．（提示：三张扑克牌可以分别简记为红2、红3、黑x）解析：（1）列表如下：红2 红3 黑x红2 红2，红2红2，红3红2，黑x红3 红3，红2红3，红3红3，黑x黑x 黑x，红2黑x，红3黑x，黑x共有9种等可能的结果，其中两次抽得相同花色的结果有5种，所以P（两次抽得相同花色）=59.（2）甲乙两次抽得数字和是奇数的可能性一样大．用列表法说明：甲：x为奇数红2 红3黑x红2偶数奇数奇数红3奇数偶数偶数黑x奇数偶数偶数乙：x为偶数红2红3黑x红2偶数奇数偶数红3奇数偶数奇数黑x偶数奇数偶数由上表，可得甲乙两次抽得数字和是奇数的可能性一样大，均为49．评注：此题为两步试验概率题，需先画树状图或列表格列举出所有等可能的结果数，再利用概率计算公式求解.例5（2015·黄冈）在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“通过”（用√表示）或“淘汰”（用×表示）的评定结果.节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级．（1）请用树状图列举出选手A获得三位评委评定的各种可能的结果；（2）求选手A晋级的概率．解析：（1）画树状图如下：由树状图，可知选手A 一共可以获得8种等可能的结果．（2）由（1）可知，评委给出选手A 所有可能的结果共有8种，其中选手A“晋级”的结果有4种，故P （A 晋级）=48=12． 评注：此题为三步试验概率题，只能通过画树状图列举出所有等可能的结果数，再利用概率计算公式求解.考点5 概率与统计综合题例6（2015·阜新）为了培养学生的阅读习惯，某校开展了“读好书，助成长”系列活动，并准备购置一批图书，购书前对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图2所示.根据统计图所提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查共抽查了 名学生，两幅统计图中的m= ，n= ； （2）已知该校共有960名学生，请估计该校喜欢阅读A 类图书的学生约有多少人；（3）学校要举办读书知识竞赛，七年（1）班要在班级优胜者2男1女中随机选送2人参赛，求选送的两名参赛同学为1男l 女的概率是多少.解析：（1）这次调查共抽查的学生人数为42÷35%=120. m=120－42－18－12=48.18120×100%=15%，所以n=15. 故分别填120，48，15. （2）960×35%=336（人）.调查问卷你最喜欢阅读的图书类型是（ ） A.文学名著 B.名人传记 C.科学技术 D.其他 （注：每人只选一项）n %40%35%B A DC 人数图书类型m181242DCBA6040200图2（3）将2名男生分别记作“男1”“男2”，列表如下：男1 男2 女男1 （男1，男2）（男1，女）男2 （男2，男1）（男2，女）女（女，男1）（女，男2）共有6种等可能的结果，其中选送的2名参赛同学是1男1女的结果有4种：（男1，女）（男2，女）（女，男1）（女，男2），所以P（1男1女）=46=23.考点6 概率与代数、几何的综合例7（2015·巴彦淖尔）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y.（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y=6x的图象上的概率；（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y＜6x的概率．解析：（1）列表如下：小兰小田1 2 3 41 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4 （1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（2）由（1）知，点（x，y）共有16种等可能的结果，其中落在反比例函数y=6x的图象上的结果有（2，3），（3，2），共2种，所以P（落在反比例函数y=6x的图象上）=21=168.（3）满足y＜6x的结果有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（3，1），（4，1），共8种，所以P（y＜6x）=81=162.误区点拨1.不识“或”字真面目例1有一个正六面体，6个面上分别写有1～6这6个整数，投掷这个正六面体一次，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率是 .错解：填13或13.剖析：错解不理解“或”字在此问题中的意义. 投掷这个正六面体一次，所有等可能发生的结果共有6种，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的结果有4种，因此概率为46=23.正解：填23.2.搞不清“放回”与“不放回”例2 一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有数字1，2，3，4．小林从布袋中随机摸取两个乒乓球，求取得的两个乒乓球的数字之积为奇数的概率．错解：列表如下：1 2 3 4共有16种等可能的结果，其中两个乒乓球上的数字之积为奇数的结果有4种，所以P （数字之积为奇数）=416=14. 剖析：小林从布袋中随机摸取两个乒乓球相当于两步试验中的“不放回”问题，错解认为是“放回”问题，导致错误.正解：列表如下：1 2 3 4 1 （1，2）（1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3）（2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）共有12种等可能的结果，其中两个乒乓球上的数字之积为奇数的结果有2种，所以P （数字之积为奇数）=212=16． 跟踪训练1.（2015·龙岩）下列事件中，属于随机事件的是（ ） A.63的值比8大B.购买一张彩票，中奖C.地球自转的同时也在绕日公转D.袋中只有5个黄球，摸出一个球是白球2. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为13，则a 等于（ ）** B.2 C.3 D.43.（2015·株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a 和b ，那么点（a ，b ）在函数y=12x图象上的概率是（ ）A.12 B.13C.14D.16 4.（2015·湖州）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（ ）A ．49B ．13C ．16D ．195.（2015·荆门）在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球(记作为第一次传球)，则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（ ）A.12B.14C.38D.586.（2015·深圳）从1，2，3这三个数中，任意抽取两个不同．．数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是 ．7.（2015·贵阳）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖，若直角三角1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 第7题图形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是．8.（2015·常州）甲、乙、丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．9. 随着社会经济的发展，汽车逐渐走入平常百姓家.某数学兴趣小组抽取了我市某单位部分职工进行调查，对职工购车情况分4类（A：车价在40万元以上；B：车价在20～40万元；C：车价在20万元以下；D：暂时不购车）进行了统计，并将统计结果绘制成条形统计图和扇形统计图.请结合图中信息解答下列问题：（1）调查样本人数为__________，样本中B类人数百分比是__________，其所在扇形统计图中的圆心角度数为__________；（2）把条形统计图补充完整；（3）该单位甲、乙两个科室中未购车人数分别为2人和3人，现从这5个人中选2人去参观车展，用列表或画树状图的方法，求选出的2人来自不同科室的概率．** 频率与概率基础盘点对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的规稳定性，这个固定数就是这个随机事件发生的概率. 因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.考点呈现考点1 频率与概率的关系例1（2015·巴中）下列说法正确的是（）A.“打开电视，正在播放新闻节目”是必然事件B.“抛一枚硬币，正面朝上的概率为12”表示每抛两次就有一次正面朝上C.“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为16”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在16附近D.为了解某种节能灯的使用寿命，选择全面调查解析：A项中的事件为随机事件，该项错误；B项，“抛一枚硬币，正面朝上”是随机事件，不能得出确定性结论，该项错误；C项，由频率与概率的意义知该项正确；D项中的调查具有破坏性，不适合全面调查，该项错误.综上，选C.考点2 用频率估计概率第9题图例2 （2015·本溪）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）**个 B.20个 C.25个 D.30个解析：由频率估计概率，知从盒子中摸到黄球的概率约为0.2，则盒子中红球的个数为440.2=16（个）.故选A.评注：根据频率与概率的关系，我们可以用试验次数较大时的频率估计概率，从而借助概率计算公式估计物体的数目.例3（2015·扬州）色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表：抽取的体检表数（n）50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000色盲患者的频数（m） 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138色盲患者的频率（m/n）** ** ** ** ** ** ** ** ** **根据上表，估计在男性中男性患色盲的概率为 .（结果精确到0.01）解析：观察表格，知随着试验次数的增加，频率越来越稳定于0.07，由此可估计男性患色盲的概率约为0.07.评注：对于生活中的随机事件，或一些较为复杂的随机事件，无法用理论方法计算概率时，一般通过大量的重复试验或模拟试验，利用频率估计概率.误区点拨例在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球若干个，（1）班做摸球试验，每位同学将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程.下表是试验中的一组统计数据：摸球的次数（n）100 200 300 500 800 1000 3000摸到白球的次数（m）65 124 178 302 481 599 1803摸到白球的频率（mn）** ** ** ** ** ** **试估计摸到白球的概率是多少.错解：（0.65+0.62+0.593+0.604+0.601+0.599+0.601）÷7≈0.61，所以估计摸到白球的概率约是0.61.剖析：观察表中数据可以发现，随着摸球次数的增加，摸到白球的频率越来越接近0.6，所以可以估计摸到白球的概率约是0.6. 错解对频率、概率的关系理解不透，误认为平均数更准确，导致错误.正解：0.6.跟踪训练1.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）A．频率就是概率B．频率与试验次数无关C．概率是随机的，与频率无关D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率2.下列说法正确的是（）A.“明天降雨的可能性是80%”表示明天有80%的时间降雨B.“抛一枚硬币正面朝上的可能性是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上C.“彩票中奖的可能性是1%”表示买100张彩票一定会中奖D.“抛一枚正方体骰子，朝上的数为奇数的可能性大小是0.5”，表示如果这骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出现朝上的数为奇数3. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌，抽到的花色是红桃C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是44.（2015·兰州）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：摸球试验次数100100050001000050000100000摸出黑球次数4648725065008 2499650007根据列表，可以估计出n的值是．5.（2015·广州）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少.第3题图参考答案** 随机事件与概率1. B2. A3. D4. D5. B6.137.158.（1）13．（2）共有6种等可能的结果，分别为：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，其中甲比乙先出场的结果有3种，所以P(甲比乙先出场)=36=12.9. 解：（1）50，20%，72°（2）略.（3）列表如下（①、②表示甲科室人员，1、2、3表示乙科室人员，“√”表示来自同一科室，“○”表示来自不同科室）：①② 1 2 3①√○○○②√○○○1 ○○√√2 ○○√√3 ○○√√共有20种等可能的结果，其中来自不同科室的结果有12种，所以P（2人来自不同科室）=1220=35．** 频率与概率1. D2. D3. D4. 105.（1）14.（2）12.（3）16．。

北师大版九年级数学上册第三章《概率》专题练习一.知识梳理(一)事件的分类：1. 频率二频数/总数，频率随着试验的不同而不同，它是一个不确定数。

2. 事件发生的——大小叫做概率。

事件的概率是一个确定的常数。

3. 事件的分类：确定事件和随机事件。

确定事件包括必然事件和不可能事件4. 必然事件的概率为1;不可能事件的概率为0;随机事件的概率位于0--1之间。

(二)概率的计算：当事件发生的结果具有有限性和等可能性时：(1) 一步试验或几何图形，利用概率的定义直接计算(2) 两步试验，且结果较少，用树状图和列表格求概率都可以；(3) 两步试验，但每步结果较多，适合用列表法求概率；(4) 三步或三步以上，适合用画树状图求概率。

(5) 用画树状图或列表法求概率时应注意：要清楚所以结果有哪些？要清楚我们关注的是哪些结果？(三)用频率估计概率概率和频率的关系：通过试验获得事件发生的频率，而大量重复试验时的频率会稳定在概率的附近，所以可以用大量试验的频率估计概率；同时也可以利用概率预测事件发生的频率。

二.简单概率计算一步试验：1. 十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，亮绿灯的概率是________________2. 一个不透明的袋子中放入除颜色外均相同的2个白球和6个红球，从中任意抽取一个球，抽到红球的概率是________________ 3. 在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其他无任何差别，搅匀后随机从中摸出一个求恰好是黄球的概率是】，则放入口袋中的黄球总数是n= _____________________3两步试验：仔细区分：(1)放回；(2)不放回4. 在一个不透明的袋子中，有2个白球和2个红球，它们只有颜色不同，从袋子中随机摸出一个球记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到白球的概率为_________5. 某校安排了3辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王和小菲都可以从这三辆车中任意选取1辆搭乘，则小王和小菲同车的概率是_______6. 某校决定从2名男生和3名女生中选出2名同学作为兰州国际马拉松赛的志愿者，则选出1男1女的概率是 ___________7. 袋子中放着型号，大小完全相同的红，白，黑三种颜色的衣服，红色2件，黑色1件，白色1件，小明随意从袋中取出2件衣服，则取出的是1红1白的概率是 ________三步试验：8. 随机安排甲乙丙3人在3天节日中值班，每人值班一天，则按“乙，甲，丙”的先后顺序值班的概率是____________三：概率与其他知识的综合9. 在x2口2xy 口y2的“口”中分别填上“ +”或“-”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是__________A.1B. 3C.丄D.丄4 2 410. 已知a,b可以取-2 , -1,1,2中的任意一个值(a z b),则直线y=ax+b的图像不经过第四象限的概率是____________11. 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-2,1,4，随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为p,再随机摸出另一个小球其数字记为q,则满足关于X的方程x2px q 0有实数根的概率是 _ _12. 如图，一个质地均匀的正四面体的四个面上依次标有数字-2,0 ,1,2，连续抛掷两次，朝下一面的数字分别为a,b,将其作为M点横，纵坐标，则点M(a,b)落在以A (-2,0 ) , B (2,0 ) , C (0,2 )为顶点的三角形内(包括边界)的概率是_______________________________________ 标的数字不同外其他都相同，若从袋子中随机摸出两个球，则这两个球上的数字之和为负数的概率是 _____________________ 14.在盒子里放有3张分别写有整式a+1,a+2,2的卡片，从中随机抽出2张卡片，把2张卡片上的整式分别作为分子和分母，贝惟组成分式的概率是—15. 有四根木棒，长度分别为2,3,4,5，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是——16. 小明和小亮用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏，游戏规则是：分别转动两个转盘，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，则可以配成紫色，此时小明的1分，否则小亮的1分.用树状图或列表求出小明获胜的概率；(2)这游戏对双方公平吗？请说明理由.若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平?17. 端午节前，小明爸爸去超市购买了大小，形状，重量等相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒子中，此时从盒中随机取出火腿13. 一个不透明的袋子中有3个分别标有3,1 , -2的球，这些球除了所粽子的概率为1;妈妈从盒中取出火腿粽子3只、豆沙粽子7只送给爷3爷和奶奶后，这时随机取出火腿粽子的概率为2 .（1）请你用所学知5识计算：爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若小明一次从盒内剩余粽子中任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用列表法或树状图计算）四.样本估计总体18. 一个口袋中有红球24个和绿球若干个，从口袋中随机摸出一个球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，实验200次，其中有125次摸到绿球，由此估计口袋中共有球 __________ 个。

概率初步一、有关概念1•必然事件和不可能事件：在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件.相反地，有些事件必然不会发工，这样的事件称为不可能事件.必然事件与不可能事件统称为确定性事件.2.随机事件：在-定条件下，可能发牛•也可能不发牛的事件，称为随机事件.随机事件属于不确定性事件，即事先无法确定.注意：定义中“在一定条件下”说明当条件改变时，事件发生的可能性也会相应地发生改变。

练习1：下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？说明理由。

(1)篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中；(2)掷一次六面体骰子，向上的-而是6点；(3)度量三角形的内角和,结果是360°；(4)放学回家路上在每一个路口都遇上绿灯；(5)将豆油滴在水中，豆油浮在水面上；(6)今晚打开电视发现在播广告；二、随机事件发生的可能性：一般地，随机事件发牛的可能性是有人小的，不同的随机事件发牛的可能性的大小有可能不同。

验证概念举例：袋了中冇4个彩球和2个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同。

在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球。

1•这个球是彩色述是白色？2撲出彩球和摸出白球的可能性一样大吗？怎样來描述一个随机事件的可能性的人小呢？三、概率概率：一般地，对于一个随机事件A,我们把刻画其发生町能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率, 记为P (A)o在人量重复试验中，如果事件A发生的频率巴会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做n事件A的概率。

一般地，如果在一次试验中，有“种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的加种结果,那么事件A发生的概率P (A)=—n由0SWn可以推出OWP(A)W1特别地：当A为必然事件时，P(A) =1当A为不可能事件时，P(A) =0事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反Z,事件发生的町能性越小，它的概率越接近()•抛掷硬币试验试验者抛掷次数n正面频数m正面频率m/n 棣莫弗 2 04810610.518布丰 4 040 2 0480.5069费勒10 000 4 9790.4979皮尔逊12 ()0() 6 0190.5016皮尔逊24 000120120.5005可以发现，.正而向上的频率在().5附近波动。

概率知识网络概率结构简图画龙点晴概念必然事件: 在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件.不可能事件: 在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件.随机事件: 在一定条件下有可能发生也有可能不发生的事件叫随机事件.说明: 在概率论中所研究的事件都是随机事件. 为方便, 将必然事件和不可能事件也当做随机事件作为两种特例.[活用实例][例1] 给出四个命题: (1)当R x ∈时, 1cos sin ≤+x x 是必然事件; (2) 当R x ∈时, 1cos sin ≤+x x 是不可能事件; (3) 当R x ∈时, 2cos sin <+x x 是随机事件;(4) 当R x ∈时, 2cos sin <+x x 是必然事件, 其中正确的的命题的个数是( )[题解] ∴-∈+=+].2,2[)4sin(2cos sin πx x x 1cos sin ≤+x x 是随机事件,2cos sin <+x x 是必然事件, 即只有(4)是正确的的例题, 故选B.[例2] 在180件产品中,有172件合格品, 8件次品, 且有下列事件: (1)从这180件产品中, 任取9件, 全部合格.(2) 从这180件产品中, 任取9件, 全部不合格.(3) 从这180件产品中, 任取9件, 不全部合格.(4) 从这180件产品中, 任取9件, 其中不合格产品的件数小于0, 其中是随机事件的是( )[题解](2)(4)是不可能事件, (1)(3)是随机事件, 故选B.随机事件的频率：事件A 发生的次数m 与试验总次数n 的比值，它随着试验的次数的变化而变化的，它具有一定的稳定性，即总在某个常数p 附近摆动，且随着试验次数增多，这种摆幅越来越小。

随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率n m总是接近于某个常数p ，在它附近摆动，这个常数叫做事件A 的概率。

由此可见，频率的近似值是概率；概率可以看作频率在理论上的期望值。

湘教版九年级数学下册练习：小专题(九) 与概率有关的计算1．(2021·常德)甲、乙、丙三个同窗站成一排停止毕业合影纪念，请用列表法或树状图列出一切能够的情形，并求出甲、乙两人相邻的概率是多少？解：用树状图剖析如下：∴一共有6种等能够状况，甲、乙两人恰恰相邻有4种状况．∴甲、乙两人相邻的概率是46＝23. 2．(2021·江西)往年某市为创评〝全国文明城市〞称号，周末团市委组织志愿者停止宣传活动．班主任梁教员决议从4名女班干部(小悦、小惠、小艳和小倩)中经过抽签的方式确定2名女生去参与．抽签规那么：将4名女班干部姓名区分写在4张完全相反的卡片正面，把四张卡片反面朝上，洗匀后放在桌面上，梁教员先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．(1)该班男生〝小刚被抽中〞是不能够事情，〝小悦被抽中〞是随机事情(填〝不能够〞或〝肯定〞或〝随机〞)；第一次抽取卡片〝小悦被抽中〞的概率为14； (2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签一切能够的结果，并求出〝小惠被抽中〞的概率． 解：树状图如下．共12种能够，〝小惠被抽中〞的概率是612＝12. 3．有四张反面完全相反的纸牌A ，B ，C ，D ，其正面区分画有四个不同的几何图形(如图)，小华将这4张纸牌反面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．(1)用树状图(或列表)的方法表示两次摸牌一切能够出现的结果(纸牌可用A ，B ，C ，D 表示)；(2)求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率． 解：(1)画树状图如下：那么共有16种等能够的结果．(2)∵既是中心对称图形又是轴对称图形的只要B ，C ，∴既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种状况．∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为416＝14. 4．在一个不透明的盒子中放有四张卡片，每张卡片上写有一个实数，区分为3，－2，5，5－2.(卡片除了实数不同外，其他均相反)．(1)从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上实数是在理数的概率；(2)先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；再从剩余的卡片中再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数．请你用列表法或树状图法求出两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．解：(1)从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是在理数的概率是24＝12. (2)画树状图如下：由树状图可知，共有12种等能够结果，其中两数的差为有理数的有4种，∴两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为412＝13. 5．(2021·日照)假定n 是一个两位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，那么称n 为〝两位递增数〞(如13，35，56等)．在某次数学兴趣活动中，每位参与者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的一切的〝两位递增数〞中随机抽取1个数，且只能抽取一次．(1)写出一切个位数字是5的〝两位递增数〞；(2)请用列表法或树状图法，求抽取的〝两位递增数〞的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．解：(1)依据题意得一切个位数字是5的〝两位递增数〞是15，25，35，45.(2)画树状图为：共有15种等能够的结果，其中个位数字与十位数字之积能被10整除的结果有3种，所以个位数字与十位数字之积能被10整除的概率为315＝15. 6．有A ，B 两个黑布袋，A 布袋中有两个完全相反的小球，区分标有数字1和2.B 布袋中有三个完全相反的小球，区分标有数字－1，－2和－3.小明从A 布袋中随机取出一个小球，记载其标有的数字为x ，再从B 布袋中随机取出一个小球，记载其标有的数字为y ，这样就确定点Q 的一个坐标为(x ，y)．(1)用列表或画树状图的方法写出点Q 的一切能够坐标；(2)求点Q 落在直线y ＝－x －1上的概率．解：(1)列表得：那么共有6种等能够状况． (2)∵点Q 落在直线y ＝－x －1上的状况有2种，∴P(点Q 在直线y ＝－x －1上)＝26＝13. 7．(2021·盐城)为了编撰祖国的优秀传统文明，某校组织了一次〝诗词大会〞，小明和小丽同时参与，其中，有一道必答题是：从如下图的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为〝山重水复疑无路〞．(1)小明回答该效果时，对第二个字是选〝重〞还是选〝穷〞难以选择，假定随机选择其中一个，那么小明回答正确的概率是12； (2)小丽回答该效果时，对第二个字是选〝重〞还是选〝穷〞、第四个字是选〝富〞还是选〝复〞都难以选择，假定区分随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．解：画树状图得：由树状图可知共有4种等能够结果，其中正确的有1种，所以小丽回答正确的概率为14.。