小学五年级奥数(上)第十五讲-数学竞赛题选讲(下)

第十五讲综合题选讲小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：①逻辑关系较复杂的问题；②数与形相结合的问题；③较复杂的应用题；④较灵活的组合、搭配问题；⑤与“最多”、“最少”有关的问题。

解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件，设计解题程序上下功夫。

例1 一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？分析对于1、2、3、4、5、6、7、8这些数中两两之和，有下列情形：有4种形成9的和：1+8=2+7=3+6=4+5；有3种形成8的和：1+7=2+6=3+5；有3种形成10的和：2+8=3+7=4+6；有3种形成7的和：1+6=2+5=3+4；有3种形成11的和：3+8=4+7=5+6；有2种形成6的和：1+5=2+4；有2种形成5的和：1+4=2+3；有2种形成12的和：4+8=5+7；有2种形成13的和：5+8=6+7；此外还有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15各一种。

首先指出棱的中点处不可能仅出现3种数，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15中的数，如果只用其中3个数（标在棱的中点处），那么这三个数不能写成共12种不同形式的（取自于1、2、…、8之中的两数）和，而正方体棱数有12个。

再说明，棱的中点处不可能只标有4种不同数值，为证明这一点，可以分下列情况说明。

如果在12条棱上有3个“7”、3个“8”、3个“10”、3个“11”，那么在正方体顶点处要出现4次“6”进行运算.这是不可能.因为每个顶点处的数只参加3次加法运算。

如果在12条棱上有3个“9”，此外，必定还有7、8、10、11中的某三个数字（各三次），那么棱上数之和只能是（9+7+8+10）×3=102，（9+8+10+11）×3=114，（9+7+10+11）×3=111，（9+7+8+11）×3=105。

第十五讲数学竞赛试题选讲例1 计算： 1+2+22+23+…+29+210分析这是首项系数是2的等比数列求和问题，可采用“错位相减法”求解．解：设S=1+2+22+23+…+29+210（1）用2乘以上式的两边可得2S=2+22+23+…=210+211（2）用（2）式减去（1）式的两边，得S=（2+22+2 3+…+2 10+2 11）-（1+2+2 2+2 3+…+2 9+2 10）=2 11-1=2048-1=2047．例2 计算：1×0.5+3×（0.5）2+5×（0.5）3+7×（0.5）4+…+17×（0.5）9+19×（0.5）10分析这个和式中的每一项都是两个数的乘积，把各乘积的前一个数依次排在一起构成一个公差为2的等差数列，把各乘积的后一个数依次排在一起构成一个公比是0.5的等比数列，这种数列通常称为混合数列，它的求和方法也采用“错位相减法”．解：设S=1×0.5+3×(0.5)2+5×(0.5)3+…+17×(0.5)9+19×(0.5)10（1）用2乘以上式的两边可得2S＝1+3×0.5+5×（0.5）2+7×（0.5）3+…+17×（0.5）8+19×（0.5）9（2）用（2）式减去（1）式的两边，得S=1+2×0.5+2×(0.5)2+2×(0.5)3＋…+2×(0.5)8+2×(0.5)9-19×(0.5)10=1+1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8-19×（0.5）10再设 A=1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8（3）用2乘以（3）式的两边可得：2A=2+1+0.5+…+（0.5）7（4）用（4）式减去（3）式两边，得A=2-（0.5）8=2-0.00390625=1.99609375于是，有：S=1+1.99609375-19×（0.5）10=2.99609375-19×0.0009765625=2.99609375-0.0185546875=2.9775390625．例3 计算：11×12×13+12×13×14+13×14×15+…+100×101×102解：利用裂项法，有11×12×13=（11×12×13×14-10×11×12×13）÷4，12×13×14=（12×13×14×15-11×12×13×14）÷4，13×14×15=（13×14×15×16-12×13×14×15）÷4，…100×101×102=（100×101×102×103-99×100×101×102）÷4，把这90个等式相加，得原式=（100×101×102×103-10×11×12×13）÷4=25×101×102×103-10×11×3×13=26527650-4290=26523360．例4 规定 a*b=a b（其中 a、 b都是自然数），分别计算（5*3）*2和5*（3*2）．解：由5*3=5 3=125125*2=125 2=15625，即有（5*3）*2=15625又由3*2=3 2=9，5*9=5 9=1953125即有5*（3*2）=1953125．说明：规定新的代数运算是一类以近世代数为基础的新题型，近年来多次出现于国内外的数学竞赛题中．解这类问题的关键在于牢记新运算的定义，在计算时严格遵照规定的法则代入数值，遇到括号要优先运算．值得注意的是，有些规定的新运算未必满足交换律或结合律．譬如，本例实质上是乘方运算，由计算结果可知（5*3）*2≠5*（3*2）这就是说，本例规定的运算不满足结合律．又如，运算a△b=3×a-b÷2就不满足交换律，事实上1△2=1×3-2÷2=3-l=2，2△l=2×3-1÷2=6-0.5-5.5，即1△2≠2△1．并且=（a×b+a+b）×c+（a×b+a+b）+c=a×b×c+a×c+b×c+a×b+a+b+c，=a×（b×c+b+c）+a+（b×c+b+c）=a×b×c+a×b+a×c+a+b×c+b+c，从而有=5+7=12，因此例5 互为反序①的两个自然数之积是92565，求这两个互为反序的自然数．注释：①例如1204与4021是互为反序的自然数，而120与21不是互为反序的数．解：①这两个自然数必是三位数．首先，这两个自然数不能是小于100的数，因为小于100的两个最大的反序数是99和99，而99×99＜92565．其次，这两个自然数也不能大于998，因为大于998的两个最小的反序数是999与999，而999×999＞92565．由于a×c的个位数字是5，可以推得：a×c=1×5或3×5或5×5或7×5或9×5；而当a×c≥3×5时有即这是不合题意的．因此，我们可以断定：a×c=1×5，不妨设 a=1， c=5.又由于b是0，1，2，…，9之一，经检验，只有b=6符合题意，这时有165×561=92565．答：所求的两个互为反序的自然数是165和561．如果a≠4，b≠3，c≠2且d≠1，那么满足上述条件的四位数一共有多少个？分析分类、枚举、筛选是解决这类组合计数问题的基本思路．解：依题意，因为a≠4，所以分三类讨论：①首位数字a=1时，百位数字b可取2或4，于是可以画出如下“树形图”①：注释：①树形图是图论中常用的一种分类的直观表示方法．再考虑十位数字c的限制条件，可以画出如下树形图：最后考虑个位数字d的限制条件，可以画出如下树形图：②首位数字a=2时，百位数字b可取1或4，于是画出如下树形图：再考虑十位数字c的限制条件，可以画出如下树形图：最后考虑个位数字d的限制条件，可以画出如下树形图：③首位数字a=3时，类似①、②可以画出如下树形图：说明。

第十五讲综合题选讲小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：①逻辑关系较复杂的问题；②数与形相结合的问题；③较复杂的应用题；④较灵活的组合、搭配问题；⑤与“最多”、“最少”有关的问题。

解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件，设计解题程序上下功夫。

例1 一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？分析对于1、2、3、4、5、6、7、8 这些数中两两之和，有下列情形：有 4 种形成9 的和：1+8=2+7=3+6=4+5；有 3 种形成8 的和：1+7=2+6=3+5；有 3 种形成10 的和：2+8=3+7=4+6；有 3 种形成7 的和：1+6=2+5=3+4；有 3 种形成11 的和：3+8=4+7=5+6；有 2 种形成 6 的和：1+5=2+4；有 2 种形成 5 的和：1+4=2+3；有 2 种形成12 的和：4+8=5+7；有 2 种形成13 的和：5+8=6+7；此外还有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15 各一种。

首先指出棱的中点处不可能仅出现3种数，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15 中的数，如果只用其中3 个数（标在棱的中点处)，那么这三个数不能写成共12种不同形式的(取自于1、2、…、8 之中的两数)和，而正方体棱数有12 个。

再说明，棱的中点处不可能只标有4种不同数值，为证明这一点，可以分下列情况说明。

如果在12 条棱上有3个“7”、3个“8”、3个“10”、3个“11”，那么在正方体顶点处要出现4次“6”进行运算.这是不可能.因为每个顶点处的数只参加 3 次加法运算。

如果在12 条棱上有3个“9”，此外，必定还有7、8、10、11 中的某三个数字(各三次)，那么棱上数之和只能是(9+7+8+1C JX 3=102,(9+8+10+11)X 3=114,(9+7+10+11)X 3=111,( 9+7+8+11)X 3=105。

第十五讲综合题选讲小学数学比赛综合题，主要包含以下几个方面：①逻辑关系较复杂的问题；②数与形相联合的问题；③较复杂的应用题；④较灵巧的组合、搭配问题；⑤与“最多”、“最少”相关的问题。

解答小学数学比赛的综合题，第一要能娴熟、正确解答相关的基此题，同时要仔细读题，正确理解题意，在剖析题目条件，设计解题程序上下功夫。

例 1 一个正方体的八个极点处罚别标上 1、2、3、4、5、6、7、8. 再把各棱两头上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？剖析关于 1、2、3、4、5、6、7、8 这些数中两两之和，有以下情况：有 4 种形成 9 的和： 1+8=2+7=3+6=4+5；有 3 种形成 8 的和： 1+7=2+6=3+5；有 3 种形成 10 的和： 2+8=3+7=4+6；有 3 种形成 7 的和： 1+6=2+5=3+4；有 3 种形成 11 的和： 3+8=4+7=5+6；有 2 种形成 6 的和： 1+5=2+4；有 2 种形成 5 的和： 1+4=2+3；有 2 种形成 12 的和： 4+8=5+7；有 2 种形成 13 的和： 5+8=6+7；别的有 1+2=3，1+3=4， 6+8=14，7+8=15 各一种。

第一指出棱的中点不行能出 3 种数，原因是： 3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、 14、15 中的数，假如只用此中 3 个数（在棱的中点），那么三个数不可以写成共 12 种不一样形式的（取自于 1、2、⋯、 8 之中的两数）和，而正方体棱数有 12 个。

再明，棱的中点不行能只有 4 种不一样数，明一点，能够分以下状况明。

假如在 12 条棱上有 3 个“7”、3 个“ 8”、3 个“10”、3 个“11”，那么在正方体点要出 4 次“ 6” 行运算 . 是不行能 . 因每个点的数只参加 3 次加法运算。

假如在 12 条棱上有 3 个“ 9”，别的，必然有 7、 8、 10、11 中的某三个数字（各三次），那么棱上数之和只好是（9+7+8+10）× 3=102，（9+8+10+11）× 3=114，（9+7+10+11）× 3=111，（9+7+8+11）× 3=105。

五年级上册奥数第十五讲综合题选讲_通用版(例题含答案）第十五讲综合题选讲小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：①逻辑关系较复杂的问题；②数与形相结合的问题；③较复杂的应用题；④较灵活的组合、搭配问题；⑤与“最多”、“最少”有关的问题。

解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件，设计解题程序上下功夫。

例1 一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？分析对于1、2、3、4、5、6、7、8这些数中两两之和，有下列情形：有4种形成9的和：1+8=2+7=3+6=4+5；有3种形成8的和：1+7=2+6=3+5；有3种形成10的和：2+8=3+7=4+6；有3种形成7的和：1+6=2+5=3+4；有3种形成11的和：3+8=4+7=5+6；有2种形成6的和：1+5=2+4；有2种形成5的和：1+4=2+3；有2种形成12的和：4+8=5+7；有2种形成13的和：5+8=6+7；此外还有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15各一种。

例2 一组互不相同的自然数，其中最小的是1，最大的是25，除去1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于另外两个数之和.在满足要求的所有可能的数组中，寻找出使得组内各数之和最大及最小的数组，并求这组数之和的最大值、最小值。

分析很自然猜想并容易验证数组1，2，3，…，24，25符合题目要求，显然这个数组的和是最大的，这个最大的和是1+2+3+…+24+25=325。

困难在于搜寻最小的数组。

把数组中的数由小到大排起来，容易看出：1后边的数一定是2；2后边可以是3，也可以是4；3后边可能是4、5、6；4后边可能是5、6、8.把它们列出来就是1，2，3，4， (25)1，2，3，5， (25)1，2，3，6， (25)1，2，4，5， (25)1，2，4，6， (25)1，2，4，8， (25)25是奇数，它只能是另外两个数之和，容易验证在上述数列的“…”处不能只加入一个数，也就是说，在上述六种数列的每个“…”中，至少要再加入两个数.而且，还推知后加入的数中至少有两个数，这两个数的和不小于25.理由是，如果后加入的任意两个数之和都小于25，那么就不可能得到最后的25这个数。