四色地图问题的解决

彻底解决“四色问题”地图“四色问题”（又称“四色猜想”）最早由英国大学生法兰西斯?古特里（Francis Guthrie）于1852年在绘制地图时发现，他却找不出科学肯定的证明就去请教他在伦敦大学读书的哥哥费特里克?古特里（Frederick Guthrie）。

兄弟俩搞了好些日子还是证明不了，就由哥哥去向伦敦大学的老师、当时非常著名的数学家奥古斯都?德?摩根（Augustus de morgan）请教，摩根教授当时也证明不了，就至函他在三一学院的好友――著名数学家威廉?哈密尔顿（William Rowan Hamilton），希望他能帮助证明。

可哈密尔顿对这个问题研究了十三年，到死也没能给出证明。

自从1879年至今全世界不断有人提出证明了“四色问题”，可是都叫人难以信服，不断又被别人否定，至今这个“四色问题”仍与“哥德巴赫猜想”及“费马最后定律”一起被全世界公认为数学史上最著名的三大难题。

本人2004年夏天刚接触到“拓扑学”，试着用“拓扑学”的方法去分析“四色问题”，只化半小时左右时间就证明了“四色问题”。

我写的《关于“四色问题”的证明》（以下简称《证明》，可在电脑中文搜索栏打入“四色问题”或作者姓名“焦永溢”查看）2004年底在许多数学网站上刊登出来后，看了的人很多认为非常正确；但也有一部分不明白的人认为证明了“相互间有连线的点不多于四个”并不是证明了“四色问题”，他们认为四点相互间有连线只是平面图上的局部现象，不能代表整个平面图，还提出比如中间一个点周围五个点的图形并没有四个点之间相互有连线却也要四种颜色。

可我在这里要再强调一下：《证明》中三个定理概括讲就是“三点必闭，四点必围，五点必断”，并没有说一定要四点相互间有连线才需四色，证明“四色问题”关键在于“五色必断”。

《证明》中分析了第五点E落在封闭图形ABC以内及以外的情况，也提到了第五点若落在连线上必定会隔断这条连线，只是没有把隔断的情况用图画出来，其实一画出来也是与另两种情况一样：三点包围一点，另一点又被小的封闭图形所包围。

四色定理教案教案标题：四色定理教案教学目标：1. 理解四色定理的概念和背后的原理。

2. 学会使用这个定理来解决地图着色问题。

3. 培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力。

教学准备：1. 地图着色问题的例题和练习题。

2. 活动性质的地图印刷样本，以供学生实践运用四色定理。

3. 幻灯片或其他教学工具，用于展示和解释四色定理的概念及其应用。

教学过程：引入：1. 利用一个有趣的地图着色问题作为引入，例如给学生看一张地图，要求他们用尽可能少的颜色对其进行着色。

概念解释：2. 在介绍地图着色问题后，简要解释四色定理的概念和背景，即任意一个地图都可以用不超过四种颜色进行着色，且相邻区域颜色不同。

案例分析：3. 结合具体的地图示例，解析四色定理的应用。

引导学生注意四色定理的约束条件和应用方法。

四色定理的证明：4. 简要介绍四色定理的证明，强调其复杂性和重要性。

鼓励学生思考和提问，激发他们探索数学真理的兴趣。

实践应用：5. 分发活动性质的地图印刷样本给学生，并要求他们运用四色定理为地图着色。

这一部分可以在小组活动或课堂讨论的形式下进行，以增加学生之间的合作和交流。

巩固与评价：6. 布置练习题，让学生通过解决更多的地图着色问题来巩固和应用所学的知识。

7. 展示学生的解题过程和答案，进行集体讨论和评价。

重点关注学生的逻辑推理和解决问题的能力。

拓展活动：8. 鼓励学生独立研究其他图论问题，如平面图、欧拉公式等，并尝试应用相应的定理解决这些问题。

教学反思：教师可以对整个教学过程进行回顾和反思，总结学生的学习成果和不足，以进一步调整教学策略和提升教学效果。

关于世界三大数学难题之四色问题的解决方法四色问题本质上等价于一个二维平面内n个随机分布的点（n可以无穷大）中，最多有几个点，其中任意一点都可以与其他所有点直接（即:两点之间的直线上没有其他点）连线（注:其中的所有点或者所有的两个直接相连点要用不同颜色标记，如果两点之间的直线上有其他点，那么这两点就可以用同一种颜色来标记，从而不在本问题考察范围之内），这个系统最多有几个点的问题（这代表着最少用几种颜色）！我们非常直观的可以发现:最少可以由三个点构成一个三角形的形式，来实现三个点都两两直接连接，而且还可以发现这三个点有且只有构成一个三角形的形式才能实现两两直接连接！如果还有多于三个的点可以实现两两直接连接，很显然就必须在这个三角形的基础上来继续增加。

这时我们可以把三角形的三条边延伸，从而把三角形所处的二维平面分割成几个部分。

1:三条边所构成的直线上除了三个顶点之外如果有任意一点，都会导致一条线上有三个点，从而让其中两点无法直接连线，故而三条边所构成的直线上不会再出现除了三个顶点之外的任意点，可以与三个顶点都两两直接连线。

2:由一条边和另外两条边的延伸线所构成的三个凸行区域内，其中的任意一点与三个顶点连线，必然要与其中的一条边相交，从而让这条连线上的这个点与这个顶点无法直接连线。

故而，在这三个区域同样不存在可以与三个顶点两两直接连接的点。

3:由其中的任意两条边的延伸线所构成的三个夹角区域内，可以非常容易的证明每个区域有且只有一个点，可以使所有点都两两直接连接，而且这三个点不可以同时存在，只能有一个点存在。

如果有两个以上点同时存在，就会在两两直接连接时，出现至少一条相交线。

综上，我们就会发现在三角形外部有且只有一个点，可以与三个顶点相互两两直接连接。

4:三角形内部同样可以非常容易证明，有且只有一个点可以与三个顶点相互两两直接连接。

因为再多一个点与三个顶点连线，三条连线中就会必然有一条与顶点的连线与第一个内部点与三个顶点的连线中的一条线相交，从而让第二个内部点与这个顶点无法直接连接！故而内部有且只有一个点可与三个顶点直接相连！这样综上在三角形的内部，外部各有一个点，可以与三个顶点两两直接连接，但内部点与外部点不可以同时存在，因为这两个点无法直接连接。

四色问题的彻底解决——文中的辩证唯物主义思想摘要】本文宗旨在于使“四色问题”的证明更公理化、系统化、严密化和科学化。

并把证明上升到辩论唯物主义即马克思主义的辩证法哲学的高度，因为唯物辩证法是辩证法思想发展的高级形态。

(我们在证明时用到了，对立统一即矛盾规律，量变到质变的规律和否定之否定规律)同时为了说明问题也深入到现象与本质的关系，因果关系，必然与偶然的关系以及时空观等一系列的基本范畴。

我们更要指出在研究“四色问题”的界的探讨时的一个逼近序列就是以我们中华民族的汉字“田”字为基本单位而加倍展开的没有哪个国家或民族的文字中有“田”字。

这就说明中华民族的文明中早就蕴藏着“四色问题”的基本原理，只不过也吸收了别个国家的文明发扬而光大之。

【关健词】“四色问题”“五色问题”，贯穿曲线，欧拉(Euler)公式Four-color solvethe problem - the text of dialectical thinkingHu Hanlin【Abstract】This article aims to make “four-color problem” proved to be more axiomatic, systematic, rigorous and scientific. And rose to the debate proved that the Marxist materialist dialectics of philosophy and the high, because the development of dialectical materialism is a dialectics of senior form of thinking. (We use certificates,and the unity of opposites or contradictions in the law of quantitative change to qualitative change in the law and the law of negation of negation) To illustrate the problem at the same time into the relationship between the phenomenon and essence, a causal relationship, the relationship between the inevitable and accidental, as well as Space and Time a series of basic areas such as.We also want to point out that in “four-color problem” of the co mmunity an approximation sequence at the time of the Chinese nation is the characters “Tian” and the word for the basic unit of the vote to redouble Which country or nation in the Text “field”word. This shows that the civilization of the Chinese nation has long been hidden in a “four-color problem” of the basic principles, but also absorbed in other civilized countries have made Yang of the China Everbright.【Key words】“four-color problem”; “colored problem”; throughout the curve; Euler (Euler) equation多元一次不定方程，多元一次齐次不定方程，非负整数解，容斥原理、匹配原理，藕合问题、错位问题。

轰动全球的四色问题1、“四色猜想”的由来1852年，刚从大学毕业的学生弗南西斯·葛斯里，在对英国地图着色的时候，发现一个很有趣的现象。

对无论多么复杂的地图，只消用四种色调就足以将相邻区域分开。

弗南西斯感到这绝不是一个偶然现象，其中说不定隐藏着某种深刻的科学道理哩。

他把自己的想法告诉胞兄弗德雷克·葛斯里，请他解决。

后者是著名数学家德·摩根教授的学生。

他对弟弟提出的问题很感兴趣，并敏锐地感到，这个地图着色问题很可能是个数学问题，于是准备给出数学证明。

尽管他绞尽脑汁，却百思不得其解。

当年10月23日，弗德雷克第一次用数学的形式作为“四色定理”请求德·摩根给以证明。

摩根教授对自己的学生所提出的定理有着浓厚的兴趣，当即写信将这事告诉了他在三一学院时的学友、著名数学家和物理学家哈密尔顿爵士: “我的一个学生今天要我为他提供一个充分的理由，来说明一件我自己还无法判明究竟是对的还是错的事实。

他说，如果画一张图，图上任意分成许多部分，凡是有共同边界线的两部分要涂上不同的颜色。

那么，大概需要四种颜色，而不需要更多的颜色就可以了。

请问：难道不能够构造出一个需要五种或者更多种颜色的图么？图1摩根教授期望这位智慧超人的超复数的缔造者能够给出答案。

哈密尔顿爵士根本没有想到，一个学生提出的这样一个简简单单的问题，居然会如此意想不到的困难。

他经过长达13年的冥思苦索，直到1865年逝世为止，对此染色定理，始终一筹莫展，毫无结果。

哈氏死后13年，1878年6月13日，一位当时很有名望的数学家凯莱，在数学年会上宣读他曾在伦敦数学会会刊上发表过的一篇文章时，将上述问题归纳为“四色猜想”。

并在 1879年英国皇家地理会创办的第一期会刊上，再次提及这个“猜想”，征求对这一“猜想”的正确解答。

川凯莱的文章和讲话，引起了很大的反响，吸引了一大批很有才华的有志之士去探索这一难题的奥秘。

值得一提的是，在这群有志之士中，有的人并不是以数学为专业的，而仅仅是对“四色猜想”着了迷而改攻数学的。

地图四色问题《人民日报》发表了一篇中国著名科学家钱学森所撰写的文章：《现代科学技术》。

这是一篇出色的文稿，对于了解中国科学技术现代化会往什么方向前进，该文作了不少的披露。

数学爱好者都会注意到钱学森在文章中所提的一件事：“去年数学界哄动一时的一件事，是用电子计算机证明了数学上的四色定理。

画地图要求相邻两国不用同一色，一幅地图只需要四种颜色。

要证明这个定理很难，数学家经过上百年的努力，证明不了。

去年美国数学家用电子计算机证明了。

他们看到这个问题要证明并不是不可能，而是证明的步骤、程序很复杂，人一辈子的时间也证不完。

他们把程序编好，交给高速的电子计算机去干。

高速电子计算机也用了一千多个小时才证出来。

美国数学家认为，他们的主要贡献不是在证明了四色定理，而在运用电子计算机完成了这件人没有能够完成的事。

”“地图四色问题”在钱学森的文章里已经清楚地解释了。

你大概会很惊奇，这甚至连懂得拿起彩笔涂鸦的小孩都会发觉到的问题，确是一个数学问题吗？是的，这是一个数学上著名的难题，许多大数学家曾经尝试想去解决它而不成功，可是这个问题看来又是那么容易明白，好像谁都可以很快解决它似的。

我在这里要介绍这个问题的来源，以及美国数学家解决它的经过。

害怕数学的读者不必顾虑，我的解释都很浅白，相信你是会看懂的。

问题的来源在1852年，英国有一个年青人叫法兰西斯·古特里，他在画英国地图涂颜色时发现：如果相邻两国用不同颜色涂上，地图只需要四种颜色就够了。

他把这发现告诉他念数学的哥哥费特里，并且画了一个图给他看。

这个图最少要四种颜色，才能把相邻的两部分分辨，颜色的数目再不能减少。

他的哥哥相信弟弟的发现是对的，但是却不能用数学方法加以证明，也解释不出其中的道理。

这年10月23日，费特里拿这个问题向伦敦大学的数学教授奥古斯都·德·摩根请教。

德·摩根是当时英国著名的数学家，他也不能马上解释。

他于当天写一封信给在三一学院的好朋友威廉·哈密尔顿。

中国地图四色染色问题一、问题描述将中国地图用四种不同的颜色红、蓝、绿、黄来染色，要求相邻的省份染色不同，有多少种不同的方案？二、问题分析本文将中国地图的34个省、直辖市、自治区、以及特别行政区转化为图论中的图模型。

其中每个省、市、自治区、特别行政区用图中的一个结点表示，两个结点间联通仅当两个板块接壤。

则问题转化为图论中的染色问题。

由于海南、台湾省不与其它任何省份相邻，所以如果除海南、台湾外如果有n种染色方法，那么加上海南和台湾省后，有4*4*n种染色方法。

下面考虑除海南和台湾后的32个结点的染色方法。

三、中国地图染色方法采用分开海南和台湾省的分析方法，一方面的原因是除海南和台湾后的32个结点，可以组成一个联通图，因为海南省和台湾省不和任何其它省份邻接。

另一方面，我们建立一个联通图模型后，染色问题可以用深度优先遍历算法DFS，或者广度优先遍历算法BFS来解决，由于该方法的时间复杂度较高，属于暴力法，少考虑两个省份可以减少计算机处理此问题的时间。

本文采用DFS算法来解决这个染色问题。

3.1 DFS算法简介DFS算法是图的一种图的深度遍历算法，即按照往深的地方遍历一个图，若到一个分支的尽头，则原路返回到最近一个未被遍历的结点，继续深度遍历。

DFS遍历的具体步骤可为下：1）标记图中所有结点为“未访问”标记。

2）输出起始结点，并标记为“访问”标记3）起始结点入栈4）若栈为空，程序结束；若栈不为空，取栈顶元素，若该元素存在未被访问的邻接顶点，则输出一个邻接顶点，并置为“访问”状态，入栈；否则，该元素退出栈顶。

3.2 染色问题中的DFS算法设计我们先对任一结点染色，然后用DFS从该结点出发，遍历该图，遍历的下一结点颜色染为与之相邻的结点不同的颜色即可。

如果该结点无法染色则回到上一个结点重新染色，直到所有的结点都被染色即可。

最后统计染色种数。

染色问题的算法伪代码可以描述如下：color_DFS(当前染色结点):for i in 所有颜色{ while j的已染色邻接点if 结点j相邻接点被染成i颜色标记并breakif 未被标记{当前结点染为i色if 当前结点为最后一个结点endelsecolor_DFS(next)｝}3.3 数据结构设计为了实现DFS染色算法，我们需要设计相应的数据结构。

地图四色问题地图四色猜想，和哥德巴赫（Gold Bach）猜想,费马（Pierre de Fermat）大定理一起被称作三大著名数学难题。

1852年,F.格思里(Francis Guthrie 1831-1899)和他哥哥弗雷德里克同在伦敦上学。

他写信给哥哥,说他发现每张地图上的国家总能用四种颜色来着色,而使邻国的颜色都不相同。

这里邻国的意思是指有共同的边界线而不是只在一些点处接触。

而且国家是指连通在一起的区域。

.格思里问弗雷德里克，有没有数学方法证明这个四色猜想正确与否。

当时，弗雷德里克还在伦敦大学的学院中，弟兄两都在听德摩根的课，德摩根是当时主要的数学家之一。

弗雷德里克不能回答弟弟的问题，就去请教德摩根，但德摩根也找不出任何方法，于是他就写信去请教当时图论界的权威－－哈密顿。

事实上，1852年10月23日, 德摩根在致哈密顿的一封信中提供了有关四色定理来源的最原始记载。

他在信中简述了自己对证明四色定理的设想和感受。

他在信中说：“我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚了了的事实。

他说如果任意划分一个图形并给各部分着上颜色，使任何具有公共边界的部分颜色不同，那么需要且仅需要四种颜色就够了。

下图是需要四种颜色的例子（图２）。

现在的问题是是否会出现需要五种或更多种颜色的情形。

就我目前的理解，若四个不定分割的区域两两具有公共边界线，则其中三个必包围第四个而使其不与任何第五个区域相毗邻。

这事实若能成立，那么用四种颜色即可为任何可能的地图着色，使除了在个别公共点外同种颜色不会相邻。

画出三个两两具有公共边界的区域ABC，那么除非包围其中一个区域，似乎不可能再画出第四个区域与其他三个区域的每一个都有公共边界了（图2）。

但要证明这一点却很棘手，我也不能确定问题复杂的程度一对此您的意见如何呢？并且此事如果当真，难道从未有人注意过吗？我的学生说这是在给一幅英国地图着色时提出的猜测。

我越想越觉得这是显然的事情。

四色问题与邻接矩阵1. 引言四色问题是图论中的一个经典问题，它要求给定一个地图，如何用最少的颜色对地图上的每个区域进行着色，使得任意相邻的区域颜色不同。

这个问题最早由英国数学家弗朗西斯·戈斯特提出，并在1852年被正式命名为“四色问题”。

邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它将图中的顶点和边分别表示为矩阵的行和列，并使用0和1来表示是否存在边。

在解决四色问题时，邻接矩阵可以帮助我们理清地图上各个区域之间的关系，从而找到最少的颜色方案。

本文将详细介绍四色问题以及如何使用邻接矩阵解决该问题。

首先，我们将介绍四色问题的背景和相关概念；然后，我们将介绍邻接矩阵的基本概念和构造方法；最后，我们将结合实例演示如何使用邻接矩阵解决四色问题。

2. 四色问题2.1 背景四色问题是一个关于地图着色的问题，它最早由英国数学家弗朗西斯·戈斯特提出。

该问题的背景是，给定一个地图，如何用最少的颜色对地图上的每个区域进行着色，使得任意相邻的区域颜色不同。

2.2 相关概念在讨论四色问题之前，我们需要了解一些相关概念：•地图：地图是一个由若干个区域组成的平面图形。

每个区域代表一个特定的地理区域，如国家、省份或城市等。

•着色：着色是对地图上的每个区域分配一种颜色。

在四色问题中，我们希望用尽可能少的颜色对地图进行着色。

•相邻：两个区域被称为相邻区域，如果它们在地图上有公共边界，并且没有其他区域将它们分隔开。

2.3 四色猜想根据经验观察，人们普遍认为任何一个平面地图都可以使用四种颜色进行着色。

这就是著名的“四色猜想”，即任何平面地图都可以用四种颜色进行合理的着色。

然而，在数学上证明这个猜想并不容易。

直到1976年，美国数学家肯尼思·阿普尔和沃尔夫冈·哈肯提出了一种新的证明方法，他们使用了计算机来验证大量的特殊情况，并最终证明了四色猜想的正确性。

3. 邻接矩阵3.1 基本概念邻接矩阵是一种表示图的方法，它使用一个二维矩阵来表示图中各个顶点之间的关系。