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1．1.1集合的含义与表示[读教材·填要点]1．元素与集合(1)元素与集合的定义：一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合中元素的性质：①确定性：即给定的集合，它的元素是确定的．②互异性：即给定集合的元素是互不相同的．③无序性．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素与集合的关系：a是集合A的元素，记作a∈A，a不是集合A的元素，记作a∉A.2．集合的表示方法除了用自然语言表示集合外，还可以用列举法和描述法表示集合．(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．3．常用数集及其记法1．著名数学家能否构成一个集合？提示：不能，没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合．2．一个集合能表示成{s，k，t，k}吗？提示：不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素．3．集合{－5，－8}和{(－5，－8)}是同一集合吗？提示：不是同一集合．集合{－5，－8}中元素有2个，为数．而集合{(－5，－8)}中有一个元素为坐标(－5，－8)．[例1](1)某校2013年在校的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)帅哥；(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点；(5)3的近似值的全体．[自主解答]“高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“帅哥”没有一个明确的标准，不能构成集合；(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(5)不能构成集合．——————————————————判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．————————————————————————————————————————1．下列能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．2013年沈阳全运会比赛的所有项目C．2010年上海世博园中所有漂亮的展馆D．世界上的高楼答案：B[例2]已知集合A＝{a[自主解答]若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2，当a＝0时，A＝{2,1,3}，满足题意．当a＝－2时，A＝{0,1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2(均舍去)．综上可知，a＝0.例2中1∈A改为4∈A，则结果如何？解：若a＋2＝4，则a＝2.∴A＝{4,9,13}满足题意．若(a＋1)2＝4，则a＝1或a＝－3.当a＝1时，A＝{3,4,7}，满足题意．当a＝－3时，A＝{－1,3,4，}满足题意．若a 2＋3a ＋3＝4，则a ＝－3±132，代入后都满足题意，故a 的值为a ＝1，a ＝2，或a ＝－3或a ＝－3±132.——————————————————1.这类问题既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否.初学者解题时易忽略元素的互异性，学习中要高度重视.另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想.2.一个集合中，元素之间没有先后顺序，只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合. ————————————————————————————————————————2．含有两个实数的集合A 可以表示为{a －3,2a －1}，求实数a 的取值范围． 解：∵A ＝{a －3,2a －1}，∴由集合中元素的互异性可得a －3≠2a －1. ∴a ≠－2.∴a 的取值范围为a ≠－2.[例3] (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝5的解集；(2)不等式2x －3>5的解集．[自主解答] (1)集合用描述法表示为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝5}．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1故集合用列举法表示为{(4，－1)}．(2)由2x －3>5可得x >4，所以不等式2x －3>5的解集为{x |x >4，x ∈R }． ——————————————————1．一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围． 2．方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式．————————————————————————————————————————3．有下面六种表示方法①{x ＝－1，y ＝2} ②⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝－1，y ＝2.③{－1,2} ④(－1,2) ⑤{(－1,2)} ⑥{x ，y |x ＝－1，或y ＝2}．其中，能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________(把所有正确答案的序号填在空格上)．解析：[错解] ∵x 3∈A ，故x 3＝0或x 3＝1或x 3＝x ， 若x 3＝0，则x ＝0； 若x 3＝1，则x ＝1； 若x 3＝x ，则x ＝1或x ＝0. 综上所述：所求x 的值为0或1.[错因] 本题错误的原因有两个，一是没有考虑到元素的互异性，解出来的结果没有代入检验，得出了错误结果；二是解x 2＝x 时漏掉了x ＝－1这个答案，也导致了错误的结果．[正解] ∵x 3∈A ， ∴x 3是集合A 中的元素．又∵集合A 中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若x 3＝0，则x ＝0，此时集合A 中有两个元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去； ②若x 3＝1，则x ＝1，此时集合A 中有两个元素1，不符合集合中元素的互异性，舍去；③若x 3＝x ，则x ＝0、x ＝－1或x ＝1，当x ＝0、x ＝1时不符合集合中元素的互异性，都舍去．当x ＝－1时，此时集合A 中有三个元素1,0，－1，符合集合中元素的互异性；综上可知，x ＝－1. 1．有下列各组对象： ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数的全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体； ④正三角形的全体．其中能构成集合的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．答案：A2．下面几个命题中正确命题的个数是( ) ①集合N *中最小的数是1； ②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 最小值是2； ④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，且a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．答案：C3．已知集合M ＝{3，m ＋1}，且4∈M ，则实数m 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：∵4∈M ，∴4＝m ＋1，∴m ＝3. 答案：B4．已知①5∈R ②13∈Q ③0＝{0} ④0∉N⑤π∈Q ⑥－3∈Z .正确的个数为________． 解析：①②⑥是正确的；③④⑤是错误的． 答案：35．用适当的符号填空：已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z }，则有：17______A ；－5______A ；17________B .解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z . 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A .令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ， 所以17∈β. 答案：∈，∉，∈6．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有非负偶数的集合； (5)所有能被3整除的数的集合； (6)方程(x －1)(x －2)＝0的解集； (7)不等式2x －1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}． (2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}． (3){x |x 是梯形}或{梯形}． (4){0,2,4,6,8，…}． (5){x |x ＝3n ，n ∈Z }． (6){1,2}． (7){x |2x －1>5}． 一、选择题1．下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A ．一切很大的数 B ．高中数学的所有难题 C ．美丽的小女孩D ．方程x 2－1＝0的实数根解析：选项A ，B ，C 中的对象都没有明确的判断标准，不满足集合中元素的确定性，故A ，B ，C 中的对象都不能组成集合．答案：D2．下列命题不．正确的有( )①很小的实数可以构成集合；②集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①错的原因是元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，种类不同；③32＝64，⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④该集合还包括坐标轴上的点．答案：D3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8D ．10解析：列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案：D4．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝(0,2)，则集合A *B 的所有元素之和为( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．6解析：依题意，A *B ＝{0,2,4}，其所有元素之和为6. 答案：D 二、填空题5．集合A ＝{(2，－2)，(2,2)}中含有________个元素． 解析：∵(2，－2)，(2,2)是两个点，∴有2个元素． 答案：26.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，a ∈A 且a ∈B ，则a 为________． 解析：∵a ∈A 且a ∈B ，∴a 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y ＝x ＋3的解．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5，∴a 为(2,5)． 答案：(2,5)7．用描述法表示方程x <－x －3的解集为________． 解析：∵x <－x －3， ∴x <－32.∴解集为{x |x <－32}．答案：{x |x <－32}8．{(x ，y )|(x ＋2)2＋|y －3|＝0，x ，y ∈R }＝________.解析：由(x ＋2)2＋|y －3|＝0，又(x ＋2)2≥0，|y －3|≥0，所以(x ＋2)2＝0，|y －3|＝0，所以x ＝－2，y ＝3，所以{(x ，y )|(x ＋2)2＋|y －3|＝0，x ，y ∈R }＝{(－2，3)}．答案：{(－2,3)} 三、解答题9．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1， (1)若－3∈A ，试求实数a 的值． (2)若a ∈A ，试求实数a 的值． 解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1， 则a ＝－1.此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意， 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1. (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1.当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立．当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a ＝1.10．已知集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A . 解：当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0， 所以x ＝2，此时集合A ＝{2}；当k ≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根，需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．1．1.2集合间的基本关系[读教材·填要点]1．子集的概念2.A B(或B A)3.(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．(2)用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集．4．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.[小问题·大思维]1．若A B，则A⊆B且A≠B，对吗？提示：对．∵A B，首先A⊆B，其中B中至少有一个元素不属于A，即A≠B.2．任何集合都有真子集吗？提示：不是，空集∅就没有真子集．3．{0}和∅表示同一集合吗？它们之间有什么关系？提示：{0}和∅不是同一个集合．{0}表示含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，且∅{0}．[例1]写出集合A＝[自主解答]由0个元素构成的子集：∅；由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；由3个元素构成的子集：{1,2,3}．由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．——————————————————1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. ————————————————————————————————————————1．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}．所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.[例2]下列各式正确的是(1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,1,2}；(3)0⊆{0}；(4){1}{x|x≤5}；(5){1,3}{3,4}．[自主解答]∵1<5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}⊆{x|x≤5}．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}{x|x≤5}．∵1∈{1,3}，但1∉{3,4}，∴{1,3}{3,4}．“”是“真包含于”的意思[——————————————————集合间关系的判定的步骤：首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A B；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B A；,最后，下结论：若A⊆B，B⊆A，则A ＝B ；若A ⊆B ，B A ，则A B ；若A B ，B ⊆A ，则B A ；若上述三种情况都不成立，则A B ，B A .[注意] 有时一个集合可以看成另一个集合的元素，如{1}可以看成集合{{1}，1，2，3}中的元素，也可以看成子集，因此{1}∈{{1}，1，2，3}与{1}⊆{{1}，1，2，3}都正确.————————————————————————————————————————2．集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |2x ＋7＞0}，试判断集合M 和N 的关系． 解：M ＝{－3,2}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－72.∵－3>－72，2>－72，∴－3∈N,2∈N .∴M ⊆N . 又0∈N ，但0∉M ，∴M N .[例3] 已知集合A ＝{x |－3m 的取值范围． [自主解答] ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1解得－1≤m <2， 综上得m ≥－1. ——————————————————(1)利用集合之间的关系时，首先要分析、简化每个集合.(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实点表示，不含“＝”用虚点表示.(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的.————————————————————————————————————————3．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，求a 的值． 解：∵A ⊇B ，而a 2－a ＋1∈B ，∴a 2－a ＋1∈A . ∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . 当a 2－a ＋1＝3时，a ＝2或a ＝－1.(1)a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，这时满足条件A ⊇B ； (2)a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，这时也满足条件A ⊇B .当a 2－a ＋1＝a 时，a ＝1，此时A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a ＝1. ∴a 的值为2或－1.[错解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，(1)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(2)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(3)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．所以，a ＝1.[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解决集合关系问题时极易忽略∅，错解中没有考虑集合N 为∅的情况．[正解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，又N ⊆M ，∴N ＝∅，或N ＝{1}，或N ＝{2}，或N ＝{1,2}． (1)当N ＝∅时，方程x 2－2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a <0，即a >1.(2)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(3)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(4)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．综上可知实数a 的取值范围是a ≥1. 1．下列命题中，正确的有( ) ①空集是任何集合的真子集； ②若A B ，B C ，则A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集； ④如果不属于B 的元素也不属于A ，则A ⊆B . A ．①② B ．②③ C ．②④D ．③④解析：①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确．答案：C2．设集合M ＝{x |x >－2}，则下列选项正确的是( ) A ．{0}⊆M B ．{0}∈M C ．∅∈MD ．0⊆M解析：选项B 、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项D 中是元素与集合之间的关系，符号错误． 答案：A3．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( ) A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：选项A 错，应当是B ⊆A .选项B 对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C 错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D 错，应当是D ⊆A .答案：B 4．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}．∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅. 即x 2－x ＋a ＝0有实根． ∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，得a ≤14.答案：a ≤145．若{a,0,1}＝{c ，1b ，－1}，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：∵1b ≠0，∴c ＝0，∴a ＝－1，1b ＝1.∴a ＝－1，b ＝1.答案：－1 1 06．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，求实数m 的值．解：∵B ⊆A ，∴m 2＝－1，或m 2＝2m －1，当m 2＝－1时，显然无实数根；当m 2＝2m －1时，m ＝1.∴实数m ＝1.一、选择题1．已知集合M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}，则它的真子集的个数为( ) A ．12 B ．14 C ．15D ．16解析：∵M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}＝{－2，－1,0,1}共有4个元素，∴它的真子集共有24－1＝15个． 答案：C2．定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{2,4,5}，则A *B 的子集个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由题意知A *B ＝{1,3}， ∴A *B 的子集个数为22＝4个． 答案：D3．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合中为集合M 子集的是( ) A ．P ＝{－3,0,1} B ．Q ＝{－1,0,1,2}C ．R ＝{y |－π<y <－1，y ∈Z }D ．S ＝{x ||x |≤3，x ∈N }解析：先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .答案：D4．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．答案：A 二、填空题5．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是________．解析：∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，a ＋2≥5，∴3≤a ≤4. 答案：3≤a ≤46．设a ，b ∈R ，集合{0，ba，b }＝{1，a ＋b ，a }，则b －a ＝________.解析：由题意可知a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，所以ba ＝－1，则a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2.答案：27．下列关系中正确的是________．①∅∈{0}； ②∅{0}； ③{0,1}⊆{(0,1)}； ④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．解析：∵∅{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确，{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a ，b )}与{(b ，a )}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②.答案：②8．已知集合P ＝{1,2}，那么满足Q ⊆P 的集合的个数是________． 解析：∵P ＝{1,2}，Q ⊆P ，∴集合Q 可以是∅或{1}或{2}或{1,2}． 答案：4 三、解答题9．由“2，a ，b ”三个元素构成的集合与由“2a,2，b 2”三个元素构成的集合是同一个集合，求a ，b 的值． 解：根据集合相等，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.10．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}，若B ⊆A ，求a 的值．解：法一：A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，由B ⊆A 得，B ＝∅，或B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2,3}，由于Δ＝(2a ＋1)2－4a 2－4a ＝1>0，∴B ≠∅，且B 含有两个不同元素．∴B ＝{2,3}，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立， ∴a ＝2.综上所述：a ＝2.法二：A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}＝{x|(x－a)·(x－a－1)＝0}＝{a，a＋1}，∵a≠a＋1，∴当B⊆A时，只有a＝2且a＋1＝3.∴a＝2.1．1.3集合的基本运算第一课时并集与交集[读教材·填要点]1．集合的并集与交集的定义21．若A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，那么A∪B＝{1,2,3,3,4,5}对吗？如何表示A∪B和A∩B?提示：A∪B＝{1,2,3,3,4,5}是不对的，因为不符合元素的互异性；A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3}．2．你认为并集概念中的“或”与我们日常生活中“或”意义一致吗？有什么区别？提示：并集中的“或”与生活中“或”是不一样的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，如“老师让张明或李红去开会”，意思是张明去也可以，李红去也可以，但不包括张明和李红一起去这种情况；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或彼此”．3．若集合A与集合B没有公共元素，能否说集合A与集合B没有关系？提示：当两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有关系，而是A∩B＝∅.[例1] 已知集合A ＝{x |(x ∪B 是( ) A ．{－1,2,3} B ．{－1，－2,3} C ．{1，－2,3}D ．{1，－2，－3}[自主解答] A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}＝{1，－2}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}＝{－2,3}， ∴A ∪B ＝{1，－2}∪{－2,3}＝{－2,1,3}． [答案] C ——————————————————解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn 图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.————————————————————————————————————————1．已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，求A ∩B ，A ∪B .解：∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，把集合A 与B 表示在数轴上，如图． ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0或x ≥52}＝{x |－1＜x ≤0或52≤x ≤3}；A ∪B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0或x ≥52}＝R .[例2] 已知集合A ＝x 的值． [自主解答] ∵A ∪B ＝{1,3，x }，A ＝{1,3，x }，B ＝{1，x 2}， ∴A ∪B ＝A ，即B ⊆A ， ∴x 2＝3或x 2＝x .①当x 2＝3时，得x ＝±3.若x ＝3，则A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，符合题意； 若x ＝－3，则A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，符合题意． ②当x 2＝x 时，则x ＝0或x ＝1.若x ＝0，则A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，符合题意； 若x ＝1，则A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，不成立，舍去；综上可知，x ＝±3或x ＝0. ——————————————————(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理.(2)对于含有参数的问题要分类讨论，同时要检验，利用好集合中元素的互异性. ————————————————————————————————————————2．已知集合A ＝{4,6}，B ＝{2，m }，A ∪B ＝{2,4,6}，则m 的值为________． 解析：∵A ＝{4,6}，B ＝{2，m }， 而A ∪B ＝{2,4,6}， ∴m ＝4或m ＝6. 答案：4或6(1) 若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值； (2)若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．[巧思] (1)A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B ；(2)∅A ∩B ⇔A ∩B ≠∅. [妙解] 由已知，得B ＝{2,3}，C ＝{2，－4}．(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B .于是2,3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，由根与系数之间的关系知：⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝a 2－19解之得a ＝5.(2)由A ∩B ∅⇒A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，得3∈A,2∉A ，－4∉A . 由3∈A 得32－3a ＋a 2－19＝0， 解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A 矛盾； 当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，符合题意． ∴a ＝－2.1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( ) A ．N ⊆M B ．M ∪N ＝M C ．M ∩N ＝ND ．M ∩N ＝{2}解析：因为－2∉M ，可排除A ；M ∪N ＝{－2,1,2,3,4}，可排除B ；M ∩N ＝{2}．答案：D2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}解析：注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．答案：A3．设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是()A．k≤3 B．k≥－3C．k>6 D．k≤6解析：因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－k2}，且M∩N≠∅，所以－k2≥－3⇒k≤6.答案：D4．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，则A∩B∩C＝________. 解析：∵A∩B＝{x|x是菱形}∴A∩B∩C＝{x|x是正方形}．答案：{x|x是正方形}5．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由M＝{0,1,2}，知N＝{0,2,4}，M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}6．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a.解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.∵a2＋1≠－3，∴①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，∴a≠0.②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，综上可知a＝－1.一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－1≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x ≥－1} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：结合数轴得A ∪B ＝{x |x ≥－1}． 答案：A2．设集合M ＝{x |－3<x <2}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |1≤x <2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |2≤x ≤3} 解析：∵M ＝{x |－3<x <2}且N ＝{x |1≤x ≤3}， ∴M ∩N ＝{x |1≤x <2}． 答案：A3．设A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }．若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是( ) A ．t <－3 B ．t ≤－3 C ．t >3D ．t ≥3解析：B ＝{y |y ≤t }，结合数轴可知t <－3. 答案：A4．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ＜4D ．2＜m ≤4解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7m ＋1＜2m －1即2＜m ≤4.答案：D 二、填空题5．已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________. 解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2,4,6}． 答案：{1,2,4,6}6．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________. 解析：用数轴表示集合A 、B 如图所示， 由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}， 则m ＝6. 答案：67．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 解析：如图所示，若A ∪B ＝R ，则a ≤1. 答案：a ≤18．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，A ∩B ＝{(2,5)}，则a ＝________，b ＝________. 解析：∵A ∩B ＝{(2,5)}． ∴5＝2a ＋3.∴a ＝1. ∴5＝6＋b .∴b ＝－1. 答案：1 －1 三、解答题9．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴a ＞－4.10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B . 解：解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m －1，得m <2，则B ＝{m |m <2}． 用数轴表示集合A 和B ，如图所示， 则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．第二课时 补集及集合运算综合问题[读教材·填要点]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个集合为全集． (2)符号表示：通常记作U . 2．补集1．已知集合A、∁U A(U为全集)，则A∩(∁U A)与A∪(∁U A)各有什么特点？提示：A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.2．设U为全集，则∁U∅、∁U U、∁U(∁U A)分别表示什么集合？提示：∁U∅＝U，∁U U＝∅.∁U(∁U A)＝A.3．判断∁U(A∩B)＝(∁U A)∩∁U B，∁U(A∪B)＝(∁U A)∪(∁U B)是否正确．提示：不对．结合韦恩图可知∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[例1]设全集U＝{0,1,2,3}U m的值．[自主解答]如图，∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}．∴方程x2＋mx＝0的两根为x1＝0，x2＝3，∴0＋3＝－m.即m＝－3.——————————————————(1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素离散时，可借助V enn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．(2)解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁U A)＝U. ————————————————————————————————————————1．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B.解：借助Venn，如右图所示，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∵∁U B＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}.[例2]设U＝{x∈N|x(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁U B)．[自主解答]∵U＝{x∈N|x<10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4,5,6,9}，∴A∩B＝{1,5,7,8}∩{3,4,5,6,9}＝{5}，A ∪B ＝{1,5,7,8}∪{3,4,5,6,9}＝{1,3,4,5,6,7,8,9}． ∵∁U A ＝{0,2,3,4,6,9}，∁U B ＝{0,1,2,7,8}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{0,2}，(∁U A )∪(∁U B )＝{0,1,2,3,4,6,7,8,9}． ——————————————————1.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求出A ∪B ，再求补集.2.当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.————————————————————————————————————————2．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝( ) A ．∅ B ．{x |x ≤0}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >0，或x ≤－1}解析：∵B ＝{x |x ≤－1}，∴∁U B ＝{x |x >－1}． 又∵A ＝{x |x >0}，∴A ∩(∁U B )＝{x |x >0}． 又∵∁U A ＝{x |x ≤0}． ∴B ∩(∁U A )＝{x |x ≤－1}．∴[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝{x |x >0，或x ≤－1}． 答案：D[例3] 设全集U ＝R ，U a 的取值范围． [自主解答]∁U P ＝{x |x ＜－2或x ＞1}， ∵M ∁U P ，∴分M ＝∅，M ≠∅，两种情况讨论． (1)M ≠∅时，如图可得或⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜2a ＋5，3a ≥1，∴a ≤－72，或13≤a ＜5.(2)M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5. 综上可知，a ≤－72，或a ≥13.——————————————————1.M⊆N，一般分两种情况讨论：①M＝∅，②M≠∅.2.解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法. ————————————————————————————————————————3．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}．(1)若A⊆B，求a的取值范围；(2)若全集U＝R，且A⊆(∁U B)，求a的取值范围．解：∵A＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x≥a}，(1)由A⊆B，结合数轴(如图所示)可知a的范围为a≤－4.(2)∵U＝R，∴∁U B＝{x|x＜a}，要使A⊆∁U B，须a＞－2.动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．[巧思]先将文字语言转化为集合语言，设U为全班学生组成的集合，A、B分别表示喜爱篮球运动的学生组成的集合、喜爱乒乓球运动的学生组成的集合，再利用Venn图可直观得出答案．[妙解]设全集U＝{全班30名学生}，A＝{喜爱篮球运动的学生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn图如图所示．设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x，则(15－x)＋x＋(10－x)＝30－8，解得x＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.[答案]121．设全集为R，A＝{x|x<3，或x>5}，B＝{x|－3<x<3}，则()A．∁R(A∪B)＝R B．A∪(∁R B)＝RC．(∁R A)∪(∁R B)＝R D．A∪B＝R解析：∵∁R A＝{x|3≤x≤5}，∁R B＝{x|x≤－3，或x≥3}，逐个验证知B正确．答案：B2.(2013·临沂一模)已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}解析：图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁U A)∩B＝{－1,2}．答案：A3．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝() A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析：因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．答案：B4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2.答案：－1或25．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________.解析：如图：由数轴可知：∁A B＝{x|0≤x<2，或x＝5}．答案：{x|0≤x<2，或x＝5}6．设全集U＝{x|0<x<10，x∈N}，若A∩B＝{3}，A∩(∁U B)＝{1,5,7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{9}，求集合A，B.解：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由题意画出Venn图，∴A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,6,8}．一、选择题1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝()A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}解析：画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩(∁U B)＝{x|0<x≤1}．答案：B2．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：画出Venn图，如图．∵U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：D3．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足()A．a≥2 B．a>2C．a<2 D．a≤2解析：∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2.答案：A4．设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是()①若A∩B＝∅，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∅；③若A∪B＝∅，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3解析：①如图，(∁S A)∪(∁S B)＝S，正确．②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∁S(A∪B)＝∅，故成立．③若A∪B＝∅，则A＝B＝∅.答案：A二、填空题5．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝________，A∩(∁N B)＝________.解析：因为集合A与集合B都有元素3和9，所以A∩B＝{3,9}，结合Venn图(如图所示)，易得A∩(∁N B)＝{1,5,7}．答案：{3,9}{1,5,7}6．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，则实数m的取值范围是________．解析：∵A＝{x|x≥－m}，∴∁U A＝{x|x<－m}．又∵(∁U A)∩B＝∅，－m≤－2.∴m≥2.答案：m≥27．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.解析：依题意得知，∁U A＝{c，d}，∁U B＝{a}，(∁U A)∪(∁U B)＝{a，c，d}．答案：{a，c，d}8．已知全集U(U≠∅)和集合A、B、D，且A＝∁U B，B＝∁U D，则A与D的关系是________．解析：A＝∁U B＝∁U(∁U D)＝D.答案：A＝D三、解答题9．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A.解：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．可知∁U A＝{x|1＜x≤4}，∁U B＝{x|3＜x≤4，或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B)∩A＝{x|－1≤x≤0}．10．2011年8月世界大学生运动会在深圳举行，大运村的50名志愿者中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？解：设全集U＝{50名志愿者}，A＝{会讲英语的志愿者}，B＝{会讲日语的志愿者}，A∩B＝{既会讲英语又会讲日语的志愿者}，画出Venn图，如图，则由Venn图知，既不会讲英语又不会讲日语的志愿者有50－22－14－6＝8(人)．1．2.1函数的概念[读教材·填要点]1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3.1．从函数的定义看，它的定义域和值域能否为空集？提示：因为定义中的A、B是非空数集，所以函数的定义域和值域都不能为空集．2．所有的数集都能用区间表示吗？提示：区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}就不能用区间表示．3．如何用区间表示下列数集？(1){x|x≥1}；(2){x|2＜x≤3}；(3){x|x＞1且x≠2}．提示：(1)[1，＋∞)(2)(2,3](3)(1,2)∪(2，＋∞)[例1]设M＝{x|0≤x≤2}M到集合N的函数关系的有()A．0个B．1个C．2个D．3个[自主解答][答案] B——————————————————判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A、B是否是非空数集，其次验证对应关系下，集合A中数x 的任意性，集合B中数y的唯一性. ————————————————————————————————————————1．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a≤1时，直线x＝a与函数的图象仅有一个交点，当a>1或a<－1时，直线x＝a与函数的图象没有交点．从而表示y 是x的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)[例2](1)f (x )＝3x ＋2；(2)f (x )＝3－x1－x －1.[自主解答] (1)使根式3x ＋2有意义的实数x 的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23，从而函数f (x )＝3x ＋2的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23.(2)要使3－x1－x －1有意义，只要⎩⎨⎧x －1≥0，3－x ≥0，x ≠2.因此函数f (x )＝3－x1－x －1的定义域为{x |1≤x ≤3且x ≠2}． ——————————————————求函数定义域的方法及注意事项：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．————————————————————————————————————————2．求下列函数的定义域： (1)y ＝(x ＋1)0|x |－x ；(2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x <0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x <0且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，需⎩⎨⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0.解得－32≤x <2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x＋1x 的定义域为⎣⎡⎭⎫－32，0∪(0,2).[例3] (1)f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2； (2)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.[自主解答] (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数．(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数． ——————————————————判断两个函数f (x )和g (x )是否是相等函数的步骤是：①先求函数f (x )和g (x )的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等，如果定义域相同，再执行下一步；②化简函数的解析式，如果化简后的函数解析式相同，那么它们相等，否则它们不相等.————————————————————————————————————————3．下列各组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－2x ＋1 B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 2xC ．f (x )＝x 与g (x )＝3x 3 D ．f (x )＝x 2－4x －2与g (x )＝x ＋2解析：A 选项中，f (x )与g (x )的对应关系不同，它们不表示同一函数；B ，D 选项中，f (x )与g (x )的定义域不同，它们不表示同一函数．答案：C求函数y ＝(x －2)(x ＋1)(x －2)(x ＋3)的定义域．[错解] 要使函数y ＝(x －2)(x ＋1)(x －2)(x ＋3)＝x ＋1x ＋3有意义，则x ≠－3.故所求函数的定义域为{x |x ≠－3}．[错因] 约分扩大了自变量的取值范围．由于同时约去了函数中分子、分母的公因式“x －2”，使原函数变形为y ＝x ＋1x ＋3，从而改变了原函数的自变量x 的取值范围，也就是说，函数y ＝(x －2)(x ＋1)(x －2)(x ＋3)与函数y ＝x ＋1x ＋3不相等． [正解] 要使函数有意义，必须使(x －2)(x ＋3)≠0， 即x －2≠0且x ＋3≠0， 解得x ≠2且x ≠－3，。
