2012年考研数学一全真模拟题以及解析,2012年考研数学模拟试卷

答案 一、选择题（1）A （2）C （3）D （4）C （5）C （6）C （7）A （8）C 二、填空题（9）2sec 2 （10）2(0)xy cxex -=≠ （11）310x y z -++=（12）π （13）211213212223213233a a a a a A a a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（14）37p =三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设101x <<，1n x +=nn x ∞→l i m 存在，并求其值证明：由11n x +==<知{}n x 有界， 又由()222122(1)0n n n n n n n x x x x x x x +-=--=->知{}n x 单调递增故{}n x 收敛，即nn x ∞→lim 存在设lim n n x l→∞=，1n x +=l =，解之得0l =或1l =，又{}nx 单调递增，故0l =不合题意，舍去，因此lim 1n n x →∞=（16）（本题满分10分）设()v u f ,具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vf uf，()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2221,,y x xy f y x g ，求2222y g x g ∂∂+∂∂解：xyu =，()2221yxv -=v fxuf yxg∂∂+∂∂=∂∂，v f yuf xyg∂∂-∂∂=∂∂xv f xvf xu f yxg∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂=∂∂22x v vf xu u v f xv f xv v u f xu uf xu f ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂222222;故：v f vf xvu f xyuf yxg∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222，vf vf yvu f xyuf xyg∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂2222222222所以：()()22222222222222yx vf yx uf yx yg xg+=∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂（17）（本题满分10分）设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a b <<，证明：存在ξ,(),a b η∈，使得()()''2ffabηξη=证明：由题设()f x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在(),a b ξ∈，使()()()'f b f a fb aξ-=-.又()f x ，1x 在[],a b 上满足柯西中值定理的条件，故存在(),a b η∈，使()()()'2111f b f a fb aηη-=--.合并上两式可得()()''2ffabηξη=.（18）（本题满分10分）2()xf x pe x x-=+- ，若对于一切的0x >，恒有()1f x ≥，问常数p 最小应取什么值？ 解：由2()1,(0)xf x pex x x -=+-≥>，得21xpex x -≥-++令212(),()1xf x pe f x x x -==-++由2m ax 215()()24f x f ==，知12115()24f pe -=≥，得1254p e ≥所以1()xf x pe-=在(0,)+∞上是是单调递减的设12(),()f x f x 相切于点20000(,)(,1)x x pex x x -=-++又12(),()21xf x pe f x x -''=-=-+所以1020()()f x f x ''=，即021x pex --=-+，联立2001x pex x -=-++，可得01x =，或02x =-（舍去）01x =时，可得p e =所以p 的最小值为e（19）（本题满分10分）将2()2arctan ln(1)1f x x x x =-++展成x 的幂极数解：2222()2arctan 2arctan 11x x f x x xx x '=+-=++222()2(1)1n nn f x xx ∞=''==-+∑，(1,1)x ∈-221(1)()()(0)()2(1)221nx x nnn n n f x f x f f t dt t dt xn ∞∞+==-'''''=-==-=+∑∑⎰⎰，(1,1)x ∈-而2122(1)(1)()1()(0)()2221(21)(22)nnx x n n n n f x f x f f t dt tdt xn n n ∞∞++==--'-=-===+++∑∑⎰⎰，(1,1)x ∈-故有22201(1)(1)()1212(21)(22)2(21)n nn nn n f x xxn n n n ∞∞+==--=+=+++-∑∑，(1,1)x ∈-当1x =±时，级数21(1)22(21)nnn xn n ∞=--∑绝对收敛知21(1)()122(21)nnn f x xn n ∞=-=+-∑，[1,1]x ∈-（20）（本题满分10分）设()ij m nA a ⨯=，12(,,,)Tn y y y y = ，12(,,,)Tn b b b b = ，12(,,,)T n x x x x = ，证明：方程组Ay b=有解的充分必要条件是方程组01TTA x b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭无解（其中0是1n ⨯矩阵） 【证明】：必要性：设方程组Ay b=有解，则对满足0T A x =的向量0x，00TTTb x y A x =00Ty ==，从而有00T T A x b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可见方程组01T TA x b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭无解 充分性：设方程组01T TA x b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭无解，则线性方程组的增广矩阵的秩 011TT T T A A r r bb ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭另一方面，()()0011()11TT TTA r r A r Ar A b⎛⎫≤+=+=+ ⎪⎝⎭，所以有1()1T TA r r A b ⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭。

2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题及答案一、选择题：共8小题，每题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上。

1、曲线221x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。

解：（C ）：22211lim lim 1111x x x x x x x→∞→∞++==--，可得有一条水平渐近线1y =；222112lim 1lim 1x x x x x x →→+==∞--，可得有一条铅直渐近线1x =；22111(1)1lim lim lim 1(1)(1)12x x x x x x x x x x x x →-→-→-++===--+-，可得1x =-不是铅直渐近线，故答案为（C ）。

2、设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)y =（ ） （A ）1(1)(1)!n n ---；（B ）(1)(1)!n n --；（C ）1(1)!n n --；（D ）(1)!n n -。

解：（A ）：(0)(11)(12)(1)0y n =---= ；则22000()(0)(1)(2)()(2)()'(0)lim lim lim0x x nx x nx x x x y x y e e e n x e e n y x x x→→→------===- 1(12)(1)(1)(1)!n n n -=--=-- 。

故答案为（A ）。

3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ ）（A ）若极限(,)(0,0)(,)lim ||||x y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（B ）若极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)(,)lim||||x y f x y x y →+存在；（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 曲线221x xy x +=-渐进线的条数（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3【考点分析】：曲线的渐近线条数。

【求解过程】：C⏹ 方法一：利用函数图像的平移，将已知的函数的渐近线条数转化为简单的基本函数的渐进线条数。

由于22(1)111(1)(1)11x x x x x y x x x x x ++====+--+--， 可知，221x x y x +=- 的图像是由1y x=的图像向由右平移一个单位，再向上平移一个单位所得。

由于图像平移并不改变其渐进线的条数。

1y x=有两条渐进线，其中一条为水平渐近线0y =，一条为垂直渐近线0x =。

所以221x xy x +=-也有两条渐近线，选择C 。

【相关补充】：函数平移口诀：上加下减，左加右减。

例如，把函数()y f x =依次做以下四次的平移：（1）向上平移1个单位，（2）向下平移2个单位（3）向左平移1个单位（4）向右平移2个单位。

则新函数的解析式为(12)12(1)1y f x f x =+-+-=--。

⏹ 方法二：直接求解函数的渐近线。

因为 22lim 1,1x x xx →∞+=- 所以1y = 为水平渐进线。

又由于有水平渐进线，所以一定不存在同一趋向下的斜渐进线。

又因为221lim ,1x x xx →+=∞-所以1x =为垂直渐进线。

综上所述，221x xy x +=-也有两条渐近线，选择C 。

【相关补充】：斜渐进线的求解步骤：1) 考察是否有lim ()x f x →±∞=∞？若是，则转2）2) 考察是否有()limx f x a x→±∞=（常数）？，若是，则转3） 3) 是否有lim[()]x f x ax b →±∞-=存在？若是，则()y f x =有斜渐进线y ax b =+，上述任何一个步骤中，若否，则无斜渐进线。

2012年考研（数学一）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．曲线渐近线的条数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C2．设函数f(x)＝(ex－1)(e2x－2)…(enx－n)，其中n为正整数，则fˊ(0)＝( )．A．(－1)n－1(n－1)!B．(－1)n(n－1)!C．(－1)n－1n!D．(－1)nn!正确答案：A3．如果函数f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是( )．A．&nbspB．&nbspC．&nbspD．&nbsp正确答案：B4．设(k＝1，2，3)，则有( )．A．I1＜I2＜13B．I3＜I2＜I1C．I2＜I3＜I1D．I2＜I1＜I3正确答案：D5．设，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )．A．α1，α2，α3B．α1，α2，α4C．α1，α3，α4D．α2，α3，α4正确答案：C6．设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q－1AQ＝( )．A．&nbspB．&nbspC．&nbspD．&nbsp正确答案：B7．设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P｜x＜y｜＝( )．A．1／5B．1／3C．2／5D．4／5正确答案：A8．将长度为1 m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )．A．1B．1／2C．﹣1／2D．﹣1正确答案：D填空题9．若函数f(x)满足方程f〞(x)＋fˊ(x)－2f(x)＝0及fˊ(x)＋f(x)＝2ex，则f(x)＝__________．正确答案：齐次方程f〞(x)＋fˊ(x)－2f(x)＝0的特征方程为r2＋r－2＝0，得特征根为r1＝1，r2＝－2，则有通解f(x)＝c1ex＋c2e－2x，代人方程fˊ(x)＋f(x)＝2ex得2c1ex－c2e－2x＝2ex，则c1＝1，c2＝0．因此f(x)＝ex．10．正确答案：根据题意，令t＝x－1，则本题用到奇函数在对称区间上积为零的结论．11．正确答案：根据题意，令将点(2，1，1)代入，上式＝(1，1，1)．12．设∑＝｛(x，y，z)｜x＋y＋z＝1，x≥0，y≥0，z≥0｝，则y2dx＝________．正确答案：其中D为∑投影在xOy平面上的区域，D＝｛(x，y)｜x≥0，y ≥0，x＋y≤1｝13．设X为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E－XXT的秩为_________．正确答案：根据题意设X＝(1，0，0)T，14．设A、B、C是随机事件，A与C互不相容，P(AB)＝1／2，P（C）＝1／3，则P(AB｜C￣)＝________．正确答案：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。