2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题10.4 推理与证明(测)(原卷版)

课时达标检测(五十）直接证明与间接证明[练基础小题——强化运算能力]1．(2017·南京金陵中学模拟)用反证法证明命题：“若a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd ＞1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的假设为________．解析：用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，则结论“a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的否定是“a ，b ，c ，d 全都为非负数”．答案：a ，b ，c ，d 全都为非负数2．(2018·盐城中学模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac ＜3a ”索的因应是________．解析：b 2－ac ＜3a ⇔b 2－ac ＜3a 2⇔(a ＋c )2－ac ＜3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0⇔－2a 2＋ac ＋c 2＜0⇔2a 2－ac －c 2＞0⇔(a －c )(2a ＋c )＞0⇔(a －c )(a －b )＞0.答案：(a －b )(a －c )＞03．设a ，b ，c 均为正实数，则对于三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a，下列叙述中正确的是________．(填序号)①都大于2；②都小于2；③至少有一个不大于2；④至少有一个不小于2.解析：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案：④4．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：∵a ＝3－2＝13＋2，b ＝6－5＝16＋5，c ＝7－6＝17＋6，且7＋6＞6＋5＞3＋2＞0，∴a ＞b ＞c .答案：a ＞b ＞c[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·南通模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为________．解析：因为a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是单调减函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≤B ≤C .答案：A ≤B ≤C2．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.答案：③3．已知数列{a n }满足：a 1∈N *，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18(n ＝1,2，…)．记集合M ＝{a n |n ∈N *}．若a 1＝6，则集合M ＝________.解析：由题可知，a 2＝2a 1＝12，a 3＝2a 2＝24，a 4＝2a 3－36＝12，a 5＝2a 4＝24，a 6＝2a 5－36＝12，…，所以M ＝{6,12,24}．答案：{6,12,24}4．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b .已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2.∵1＋a 2－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，∴1＋a 2＞a .∴b ＝1＋a 2＞a .∴c ≥b ＞a .答案：c ≥b ＞a5．已知a ，b ∈R ，m ＝6a36a ＋1＋1，n ＝13b 2－b ＋56，则m 与n 的大小关系是________．解析：m ＝6a36a ＋1＋1＝6a62a ＋2＋1＝1626a ＋6－a ≤1262＝112，n ＝13b 2－b ＋56＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋112≥112，所以n ≥m .答案：n ≥m6．(2018·泰州中学模拟)设函数f (x )＝e x＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，则a 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝e x＋x －a 在定义域内是增函数，由f (f (b ))＝b ，猜想f (b )＝b . 反证法：若f (b )＞b ，则f (f (b ))＞f (b )＞b ，与题意不符，若f (b )＜b ，则f (f (b ))＜f (b )＜b ，与题意也不符，故f (b )＝b ，即f (x )＝x 在[0,1]上有解．所以e x ＋x －a ＝x ，a ＝e x －x 2＋x ，令g (x )＝e x －x 2＋x ，g ′(x )＝e x －2x ＋1＝(e x＋1)－2x ， 当x ∈[0,1]时，e x＋1≥2,2x ≤2，所以g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上是增函数， 所以g (0)≤g (x )≤g (1)， 所以1≤g (x )≤e，即1≤a ≤e. 答案：[1，e]7．(2018·苏州模拟)用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________．解析：“至少有n 个”的否定是“最多有n －1个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除．答案：a ，b 中没有一个能被5整除8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1＜c n . 答案：c n ＋1＜c n9．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c ＞0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为________． 解析：不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0，可化为k a ＋1x ＋b ＋1xc ＋1x＜0，故得－1＜1x ＜－13或12＜1x＜1，解得－3＜x ＜－1或1＜x ＜2，故kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为(－3，－1)∪(1,2)． 答案：(－3，－1)∪(1,2)10．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．解析：依题意有f (－1)＞0或f (1)＞0，所以－2p 2＋p ＋1＞0或－2p 2－3p ＋9＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，得－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，故满足条件的p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32二、解答题11．已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.证明：要证12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即证明12(tan x 1＋tan x 2)＞tan x 1＋x 22，只需证明12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2＞tan x 1＋x 22， 只需证明sin (x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2＞sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2).由于x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π)．∴cos x 1cos x 2＞0，sin(x 1＋x 2)＞0,1＋cos(x 1＋x 2)＞0， 故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)＞2cos x 1cos x 2， 即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2＞2cos x 1cos x 2， 即证cos(x 1－x 2)＜1.由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x 1≠x 2知上式显然成立， 因此12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.12．对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足：①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，证明：f (0)＝0；(2)试判断函数f (x )＝2x (x ∈[0,1])，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])，f (x )＝x (x ∈[0,1])是否是理想函数．解：(1)证明：取x 1＝x 2＝0，则x 1＋x 2＝0≤1，∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，∴f(0)≥0.于是f(0)＝0.(2)对于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②，∴f(x)＝2x(x∈[0,1])不是理想函数．对于f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，有f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x21－x22＝2x1x2≥0，即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)．∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数．对于f(x)＝x，x∈[0,1]，显然满足条件①②，对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2x1x2＋x2)＝－2x1x2≤0，即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③.∴f(x)＝x(x∈[0,1])不是理想函数．综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数，f(x)＝2x(x∈[0,1])与f(x)＝x(x∈[0,1])不是理想函数．*)．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

课时达标检测(四十八）算法、复数1.(2018·南京市高三年级学情调研)如图所示的算法流程图，若输出y 的值为12，则输入x 的值为________．解析：此算法程序表示一个分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，log 2(－x )，x ＜0，由f (x )＝12得x ＝－ 2.答案：－ 22．(2018·常州模拟)设复数z 满足(z ＋i)(2＋i)＝5(i 为虚数单位)，则z ＝________. 解析：由(z ＋i)(2＋i)＝5，得z ＋i ＝52＋i，即z ＋i ＝2－i ，所以z ＝2－2i. 答案： 2－2i3．(2018·徐州模拟)已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________. 解析：由z 2＝－4得z ＝±2i，而z 的虚部大于0，所以z ＝2i. 答案：2i4．(2018·连云港模拟)运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为________．解析：本题的算法功能是在累加变量S 初值为1的基础上连续加2四次，所以S ＝9. 答案：95．(2018·扬州调研)如图给出的是计算12＋14＋16＋18＋…＋1100的一个算法流程图，其中判断框内应填入的条件是________．解析：因为该循环体需要运行50次，i 的初始值是1，间隔是1，所以i ＝50时不满足判断框内的条件，而i ＝51时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填入i ＞50(或i ≥51)．答案：i ＞50(i ≥51亦可)6．(2018·宿迁期中)若复数z ＝1＋2i3－i (i 为虚数单位)，则z 的模为________．解析：由z ＝1＋2i 3－i 两边同时取模得|z |＝|1＋2i||3－i|＝510＝22.答案：227．(2018·盐城模拟)若复数z ＝(1＋m i)(2－i)(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为________．解析：因为z ＝(1＋m i)(2－i)＝2＋m ＋(2m －1)i 是纯虚数，所以2＋m ＝0，所以m ＝－2.答案：－28．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝________.解析：∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i.又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝1.∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 2.答案： 29．(2016·江苏高考)如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是________．解析：由a ＝1，b ＝9，知a ＜b ， 所以a ＝1＋4＝5，b ＝9－2＝7，a ＜b . 所以a ＝5＋4＝9，b ＝7－2＝5，满足a ＞b . 所以输出的a ＝9. 答案：910．(2018·南通期中)在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为________．解析：本题算法功能是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋2，x ＜4，5，x ≥4的函数值，因为输出值为26，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋2＝26，x ＜4，解得x ＝－4.答案：－411．(2017·镇江期中)根据如图所示的伪代码，若输出的y 值为2，则输入的x 值为________．解析：本题算法功能是利用条件语句求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ＞0，1－x ，x ≤0的函数值．因为输出的y 值为2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2，x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝2，x ≤0，所以x ＝±1.答案：±112．(2018·泰州中学高三年级学情调研)根据如图的伪代码，输出的结果T 为________．解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件的T ＝1＋3＋5＋7＋…＋19的值，因为T ＝1＋3＋5＋7＋…＋19＝(1＋19)×102＝100，故输出的T 值为100.答案：10013．(2018·淮安期中)根据如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________．解析：本题算法功能是求积，S ＝1×2×5×8×11＝880. 答案：88014．(2018·苏州模拟)执行如图所示的算法流程图，输出的x 值为________．解析：a ＝2，x ＝4，此时y ＝16，判断不满足条件，循环；x ＝5，所以y ＝32，判断不满足条件，再循环；x ＝6，所以y ＝64，再判断满足条件，结束循环，所以此时x ＝6. 答案：6附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

§13.5 复 数考情考向分析 本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算．一般以填空题形式出现，难度为低档．1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．(i 为虚数单位) (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2—→＝OZ 2→－OZ 1→.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编2．[P128复习T6]设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝________.答案 1解析 1＋z ＝i(1－z )，z (1＋i)＝i －1， z ＝i －11＋i ＝－(1－i )22＝i ，∴|z |＝|i|＝1.3．[P123练习T5]在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是________． 答案 －3－4i解析 CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.4．[P111练习T4]若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________． 答案 －1解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.题组三 易错自纠5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 必要不充分解析 ∵复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．6．设i 是虚数单位，若z ＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于第________象限． 答案 二解析 ∵z ＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ>0， ∴θ为第二象限角．7．i 2 011＋i 2 012＋i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＝________. 答案 1解析 原式＝i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＋i ＝1.题型一 复数的概念1．(2017·全国Ⅰ改编)设有下列四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R . 其中的真命题为________． 答案 p 1，p 4解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )， z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b2∈R ，则b ＝0，故z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题；对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题；对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇏a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题；对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0， 故z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．2．(2016·江苏)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 答案 5解析 z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故z 的实部为5.3．如果复数2－b i 1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，则b ＝______.答案 －23解析 由2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b －(b ＋4)i5，得2－2b ＝b ＋4，得b ＝－23.4．已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________. 答案 2i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b >0)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝－4， 因此a ＝0，－b 2＝－4，b ＝±2， 又b >0，∴b ＝2，∴z ＝2i.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．题型二 复数的运算命题点1 复数的乘法运算典例 (1)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝________. 答案 －5解析 ∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)， 又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 则z 2的对应点的坐标为(－2,1)， 即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5. (2)复数i(2－i)＝________. 答案 1＋2i解析 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.(3)(2017·江苏)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． 答案10解析 方法一 ∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2 ＝－1＋3i ，∴|z |＝(－1)2＋32＝10.方法二 |z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10. 命题点2 复数的除法运算典例 (1)(2017·全国Ⅱ改编)3＋i 1＋i ＝________.答案 2－i 解析3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.(2)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝________.答案 i解析 z ＝1＋2i ，z z ＝5，4iz z －1＝i.(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 －1＋i解析 原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.命题点3 复数的综合运算典例 (1)(2013·江苏)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 答案 5解析 z ＝(2－i)2＝3－4i ，|z |＝32＋(－4)2＝5.(2)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________. 答案 1－2i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i. (3)若z ＝4＋3i ，则z |z |＝________.答案 45－35i解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. 思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的． 跟踪训练 (1)(1＋i )3(1－i )2＝________.答案 －1－i解析 方法一 (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )(1＋i )2－2i＝(1＋i )(1＋i 2＋2i )－2i＝－2＋2i －2i ＝1－i i＝－1－i.方法二 (1＋i )3(1－i )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2(1＋i)＝i 2(1＋i)＝－(1＋i)． (2)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________.答案 －1－i解析 由(1－i )2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i.(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017＝________. 答案 22＋⎝⎛⎭⎫22＋1i 解析－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008 ＝i ＋i 1 008·22(1＋i)＝22＋⎝⎛⎭⎫22＋1i.题型三 复数的几何意义典例 (1)(2017·北京改编)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)解析 ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ， 又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1. (2)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，其中i 是虚数单位，且|z －2|＝3，则y x 的最大值为________．答案3解析 ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.结合如图所示的图形，可知⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3.(3)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．跟踪训练 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．。

【最新考纲解读】内容要求备注A B C推理与证明合情推理与演绎推理√对学问的考查要求依次分为了解、理解、把握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列学问的含义有最基本的生疏，并能解决相关的简洁问题.理解：要求对所列学问有较深刻的生疏，并能解决有肯定综合性的问题.把握：要求系统地把握学问的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.直接证明与间接证明√【考点深度剖析】本章学问点可以填空题或解答题的形式进行考查，涉及到分类争辩的思想，着重考查同学的运算力量和规律推理力量，常与函数、数列、不等式结合考查，难度较大.【课前检测训练】【判一判】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不肯定正确，类比推理得到的结论肯定正确．()(2)由平面三角形的性质推想空间四周体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(4)“全部3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m肯定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．()(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．()(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就肯定正确．()(7)综合法是直接证明，分析法是间接证明．()(8)分析法是从要证明的结论动身，逐步查找使结论成立的充要条件．()(9)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．()(10)反证法是指将结论和条件同时否定，推出冲突．()(11)在解决问题时，经常用分析法查找解题的思路与方法，再用综合法呈现解决问题的过程．()(12)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．()1.×2.√3.×4.√5.×6.×7.×8.×9.×10.×11.√12.√【练一练】1．观看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A．28 B．76C．123 D．199答案 C2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的缘由是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误答案 C解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误缘由是推理形式错误．3．已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2，②b＝2，③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝________.答案201解析由于三个关系中只有一个正确，分三种状况争辩：若①正确，则②③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧a≠2，b≠2，c＝0，由于集合{a，b，c}＝{0,1,2}，所以解得a＝b＝1，c＝0，或a＝1，b＝c＝0，或b＝1，a＝c＝0，与互异性冲突；若②正确，则①③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，a ＝2，c ＝0，与互异性冲突；若③正确，则①②不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧ c ≠0，a ＝2，b ≠2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，c ＝1，符合题意，所以100a ＋10b ＋c ＝201.4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线相互平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线相互平行； ②垂直于同一条直线的两条直线相互平行； ③垂直于同一个平面的两个平面相互平行； ④垂直于同一条直线的两个平面相互平行． 则正确的结论是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 答案 D5．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3b 4…b n ＝________________. 答案 b 1b 2b 3b 4…b 17－n (n <17，n ∈N *)6．若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2<bc 2 B ．a 2>ab >b 2 C.1a <1b D .b a >a b 答案 B解析 a 2－ab ＝a (a －b )， ∵a <b <0，∴a －b <0，∴a 2－ab >0， ∴a 2>ab .①又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，②由①②得a 2>ab >b 2.7．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案 A解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故应选A. 8．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 答案 D解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.9．假如a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是__________________． 答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b .10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的外形为________三角形．答案 等边解析 由题意2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B＝π3，又b 2＝ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3，∴△ABC 为等边三角形．【题根精选精析】考点1 合情推理与演绎推理【1-1】(2021·六合模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理 ．【答案】小前提不正确【解析】由于f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.【1-2】【2021年苏州其次次联考】某公司推出了下表所示的QQ 在线等级制度，设等级为n 级需要的天数为(*)n a n N ∈，等级 等级图标 需要天数 等级 等级图标需要天数 1 5 777 2 12 8 96 321 12192 4 32 16 320 5 45 32 1152 660482496则等级为50级需要的天数50a =__________ 【答案】2700【解析】由表格知(523)57(23)(4)2n n n a n n n ++=++++==+，∴5050542700a =⨯=．【1-3】【徐州2021届高三第四次适应性训练】在平面中，△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比AEC BECSAC SBC=.将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为A CDEB CDEV V --＝________．【答案】A CDE ACDB CDE BCDV SV S--=【解析】由已知条件得图（1）中：点E 到边AC 和边BC 的距离相等，因此AEC BECSACSBC=；类比知在图（2）中：点E 到平面ACD 和平面BCD 的距离相等，所以1313ACDA CDEACD B CDEBCDBCDS h V S V SS h--⋅==⋅.【1-4】( 如皋2021届高三上学期期末考试)设函数()(0)2xf x x x =>+，观看： 1()()2xf x f x x ==+， 21()(())34xf x f f x x ==+， 32()(())78xf x f f x x ==+， 43()(())1516xf x f f x x ==+，依据以上事实，由归纳推理可得：当*n N ∈且2x ≥时，1()(())n n f x f f x -==＿＿＿【答案】(21)2nnx x -+【1-5】【启东2021届高三其次次联考】画一条直线，将平面分成两个部分；画两条相交直线，将平面分成四个部分，画三条直线，最多可将平面分成7个部分，……，画n 条直线，最多可将面分成)(n f 个部分，则=)4(f ______． 【答案】11【解析】直接在平面上画4条两两相交的直线，最多把平面分成11部分，即(4)11f =；命题者的意图应当是考查归纳推理，(1)2f =，(2)4(1)2f f ==+，(3)7(2)3f f ==+，所以猜想(4)(3)411f f =+=，，()(1)f n f n n =-+，证明如下，1n -(2)n ≥条直线最多把平面分成(1)f n -个部分，这1n -条直线与第n 条直线相交，第n 条直线上最多有1n -交点，从而第n 条直线被分成n 段，而每一段把它所在的平面部分一分为二，这样()f n 比(1)f n -多n 个，即()(1)f n f n n =-+．【基础学问】1.合情推理(1)定义：依据已有的事实，经过观看、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理．(2)合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类a.数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观看，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的学问，如等差数列、等比数列等；b.形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的分类:类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法a.类比定义：在求解由某种生疏的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；b.类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区分，深化思考两者的转化过程是求解的关键；c.类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，留意学问的迁移．2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理动身，推出某个特殊状况下的结论的推理叫做演绎推理．演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必定为真.(2)模式：三段论①大前提——已知的一般原理；②小前提——所争辩的特殊状况；③结论——依据一般原理，对特殊状况做出的推断． (3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． 【思想方法】1. 归纳推理与类比推理之区分：(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先依据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某共性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质． 2.演绎推理问题的处理方法从思维过程的指始终看，演绎推理是以某一类事物的一般推断为前提，而作出关于该类事物的推断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形，结论则是大前提和小前提的规律结果．3.应用合情推理应留意的问题：(1)在进行归纳推理时，要先依据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．留意：归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．4.归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观看个别状况发觉某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)； ③检验猜想．试验、观看→概括、推广→猜想一般性结论 (2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相像性或全都性；②用一类事物的性质去推想另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)； ③检验猜想．观看、比较→联想、类推→猜想新结论 5.演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个推断：第一个推断称为大前提，它供应了一个一般的原理；其次个推断叫小前提，它指出了一个特殊状况．这两个推断联合起来，提示了一般原理和特殊状况的内在联系，从而产生了第三个推断：结论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．6.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先依据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论,归纳推理所得的结论不肯定牢靠，但它是由特殊到一般，由具体到抽象的认知过程，是发觉一般规律的重要方法．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某共性质，则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则会犯机械类比的错误．演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要接受的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论肯定是正确，肯定要留意推理过程的正确性与完备性.【温馨提示】这两个题都是推理的应用，在进行归纳推理时，要先依据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论.在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质.归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性.考点2：直接证明与间接证明【2-1】否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为．【答案】a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【解析】∵a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数．【2-2】分析法是从要证明的结论动身，逐步寻求使结论成立的条件．【答案】充分【2-3】设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是．【答案】③【解析】①中若a＝34，b＝12，则a＋b>1，故①不能；②中若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能；③能，④中若a＝b＝－2，则a2＋b2>2，故④不能；⑤中若a＝b＝－2，则ab>1，故⑤不能．∴只有③能，选C. 【2-4】下列表述：①综合法是执因导果法；②分析法是间接证法；③分析法是执果索因法；④反证法是直接证法．正确的语句是__ __ ．【答案】①③【2-5】分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证2b ac-3a”索的因应是．【答案】(a－b)(a－c)>02b ac-3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.【基础学问】1．直接证明(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最终推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件动身，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(2)分析法：从要证明的结论动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式：要证明命题Q为真，只需要证明命题1P为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题P为真，而已知P为真，故命题Q必为真框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.2．间接证明反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A 是正确的，即反证法就是通过否定命题的结论而导出冲突来达到确定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法.【思想方法】1. 明晰三种证题的一般规律(1)综合法证题的一般规律：用综合法证明命题时，必需首先找到正确的动身点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推动，从而由已知逐步推出结论．(2)分析法证题的一般规律：分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必需从结论动身，倒着分析，查找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．(3)反证法证题的一般规律：反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是规律中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A.即在同一争辩过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种状况消灭．2.综合法证题的思路：3.分析法证题的技巧：(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步查找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺当获解的关键．(2)证明较简单的问题时，可以接受两头凑的方法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．4.反证法证明问题的一般步骤:(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此动身经过正确的推理，导出冲突——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实冲突或自相冲突；(推导冲突)(3)立论：由于推理正确，所以产生冲突的缘由在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而确定了原命题成立．(命题成立)留意：可能消灭冲突四种状况：①与题设冲突；②与反设冲突；③与公理、定理冲突④在证明过程中，推出自相冲突的结论.5.反证法是一种重要的间接证明方法，适用反证法证明的题型有：(1)易导出与已知冲突的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)至少至多型命题；(5)一些基本定理；(6)必定性命题等.【温馨提示】：(1)合情推理是从已知的结论推想未知的结论，发觉与猜想的结论都要经过进一步严格证明．在进行归纳推理时，要先依据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论.在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质.(2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，留意推理过程的严密性，书写格式的规范性．【易错问题大揭秘】失误与防范]1．合情推理是从已知的结论推想未知的结论，发觉与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，留意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．4．用分析法证明时，要留意书写格式的规范性，经常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论．5．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，假如没有用假设命题推理而推出冲突结果，其推理过程是错误的．。

课时跟踪检测（四十六） 算法初步一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则lg 1 000⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝________.解析：如图是选择结构流程图，a ＝lg 1 000＝3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，所以a <b ，所以输出b －1a ＝4－13＝1.答案：12．根据如图所示的伪代码，若输入的x 值为－1，则输出的y 值为________．解析：由伪代码得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ＞0，1－x ，x ≤0，当x ＝－1时，y ＝2，故输出结果为2.答案：23．运行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．i ←0S ←0Doi ←i ＋2S ←S ＋i 2Until i ≥6End Do Print S解析：i ＝2时，S ＝4；i ＝4时，S ＝20；i ＝6时，S ＝56，这时退出循环体，输出S ＝56.答案：564．(2018·苏锡常镇一模)据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出S的值为________．解析：执行程序，可得输入x的值为1，S＝1，不满足条件S＞5；x＝2，S＝5，不满足条件S＞5；x＝3，S＝14，满足条件S＞5，退出循环，故输出S的值为14.答案：145．某算法流程图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a＝______.解析：经过第一次循环得到：x＝2a＋1，n＝2；因为2≤3，所以继续循环得到：x＝2(2a ＋1)＋1＝4a＋3，n＝3；因为3≤3，所以继续循环得到：x＝2(4a＋3)＋1＝8a＋7，n＝4，因为4≤3不成立，所以输出x，即8a＋7＝31，得a＝3.答案：36．(2018·镇江调研)如图伪代码中，输入15,18，则伪代码执行的结果是________．Read a，bIf a<b Thent←aa←bb←tEnd IfPrint a，b解析：a＝15，b＝18，因为15＜18，所以t＝15，a＝18，b＝15；因为18＜15不成立，所以输出18,15.答案：18,15二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·淮安高三期中)如图是一个算法流程图，则输出i的值为________．解析：由流程图的循环体执行程序如下：第一次循环S＝400，i＝1；第二次循环S＝800，i＝2；第三次循环S＝1 200，i＝3；第四次循环S＝1 600，循环结束，输出i的值为3.答案：32．执行如图所示的流程图，输出的x值为________．解析：首先a＝2是固定的值．列表如下：x 45 6y 163264y>10x＋3N N Y在循环结束时，输出x＝6.答案：63．根据如图所示的伪代码，则输出S的值为________．S ←0I ←1While I ≤5 I ←I ＋1 S ←S ＋I End While Print S解析：第一次I ＝1，满足条件I ≤5，I ＝1＋1＝2，S ＝0＋2＝2； 第二次I ＝2，满足条件I ≤5，I ＝2＋1＝3，S ＝2＋3＝5； 第三次I ＝3，满足条件I ≤5，I ＝3＋1＝4，S ＝5＋4＝9； 第四次I ＝4，满足条件I ≤5，I ＝4＋1＝5，S ＝9＋5＝14； 第五次I ＝5，满足条件I ≤5，I ＝5＋1＝6，S ＝14＋6＝20； 第六次I ＝6，不满足条件I ≤5，循环终止，输出S ＝20. 答案：204．阅读如图所示的算法流程图，运行相应的程序，则输出的结果为________．解析：列表如下：x 1 1 2 3 y 1 2 3 5 z2358在循环结束时，x ＝3，y ＝5，所以y x ＝53.答案：535．如果执行如图所示的流程图，那么输出的S ＝________.解析：这个程序是计算－2＋0＋2＋4＋…＋100的算法，由等差数列求和公式可知：结果为－2＋100×522＝2 548.答案：2 5486．(2018·徐州测试)执行如图所示的流程图，则输出x的值为________．解析：第一次循环：x＝20＝1，k＝1；第二次循环：x＝21＝2，k＝2；第三次循环：x＝22＝4，k＝3；第四次循环：x＝24＝16，k＝4；第五次循环：x＝log216＝4，k＝5，跳出循环，输出x的值为4.答案：47．执行如图所示的流程图，已知集合A＝{x|流程图中输出的x的值}，集合B＝{y|流程图中输出的y的值}，全集U＝Z.当x＝－1时，(∁U A)∩B＝________________.解析：当x ＝－1时，输出y ＝－3，x ＝0； 当x ＝0时，输出y ＝－1，x ＝1； 当x ＝1时，输出y ＝1，x ＝2； 当x ＝2时，输出y ＝3，x ＝3； 当x ＝3时，输出y ＝5，x ＝4； 当x ＝4时，输出y ＝7，x ＝5； 当x ＝5时，输出y ＝9，x ＝6， 当x ＝6时，因为6>5，所以终止循环．此时A ＝{0,1,2,3,4,5,6}，B ＝{－3，－1,1,3,5,7,9}， 所以(∁U A )∩B ＝{－3，－1,7,9}． 答案：{－3，－1,7,9}8．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是________．解析：该流程图运行2 019次，所以输出的S ＝cos π3＋cos 2π3＋cos π＋…＋cos2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＝336cos π3＋cos 2π3＋cos π＋…＋cos 6π3＋cos π3＋cos 2π3＋cos π＝－1.答案：－19．执行如图所示的流程图，则输出的S 值为________([x ]表示不超过x 的最大整数)．解析：n＝1，S＝1，n＝1不满足判断框中的条件；n＝2，S＝2，n＝2不满足判断框中的条件；n＝3，S＝3，n＝3不满足判断框中的条件；n＝4，S＝5，n＝4不满足判断框中的条件；n＝5，S＝7，n＝5满足判断框中的条件，所以输出的结果为7.答案：710．如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为________．解析：第一次循环，当x＝2时，y＝3，|y－x|＝1<4不满足条件；第二次循环，x＝3，y＝7，|y－x|≥4满足条件，所以输出y的值为7.答案：7附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

（江苏专版）高考数学一轮复习第十章算法、复数、推理与证明课时达标检测（四十九）合情推理与演绎推理课时达标检测(四十九）合情推理与演绎推理[练基础小题——强化运算能力]1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于________推理．解析：(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理．答案：类比，归纳2．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于________错而导致结论错． 解析：y ＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误． 答案：大前提3．(2018·如东高级中学模拟)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________.解析：由已知得函数的导函数为奇函数，故g (－x )＝－g (x )． 答案：－g (x )4．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.答案：n (n ＋1)25．在平面几何中：△ABC 中∠C 的角平分线CE 分AB 所成线段的比为 AC BC ＝AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A ­BCD 中(如图)，DEC 平分二面角A ­CD ­B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是_____________________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD. 答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．已知圆：x 2＋y 2＝r 2上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，类比以上结论有：双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为________________．解析：设圆上任一点为(x 0，y 0)，把圆的方程中的x 2，y 2替换为x 0x ，y 0y ，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上任一点为(x 0，y 0)，则有切线方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1.答案：x 0x a 2－y 0yb 2＝1 2．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________．解析：依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个“整数对”，注意到10×(10＋1)2＜60＜11×(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．答案：(5,7)3．(2018·常州模拟)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625，57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，……，则52 019的末四位数字为________．解析：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，……，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m ＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 019＝4×503＋7，所以52 019与57的后四位数字相同，为8 125.答案：8 1254．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为________．解析：若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d2n＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·qn (n －1)2，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列． 答案：d n ＝nc 1·c 2·…·c n5．(2017·全国卷Ⅱ改编)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，下列说法正确的序号是________．①乙可以知道四人的成绩； ②丁可以知道四人的成绩； ③乙、丁可以知道对方的成绩； ④乙、丁可以知道自己的成绩．解析：依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，故④正确．答案：④6．某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是________．(填序号)①今天是周六；②今天是周四； ③A 车周三限行；④C 车周五限行．解析：因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以今天不是周三；因为B 车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四．答案：②7．对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，观察下列等式： [ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3，[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10，[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21， ……按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为________．解析：因为[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝1×3，[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝2×5，[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝3×7，……，以此类推，第n 个等式的等号右边的结果为n (2n ＋1)，即2n 2＋n .答案：2n 2＋n8．(2018·江苏省通州高级中学高三月考)如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ， 又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C3＝3sinπ3＝332.答案：3329．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为________．解析：由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.答案：8010.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为________．解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.答案：(1 009,1 008) 二、解答题11．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2.在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2.猜想，在四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.证明：如图，连结BE 并延长交CD 于F ，连结AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE2＝1AB2＋1AF 2.∵AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥CD . ∵AE ⊥平面BCD ， ∴AE ⊥CD . 又AB ∩AE ＝A ， ∴CD ⊥平面ABF ， ∴CD ⊥AF . ∴在Rt △ACD 中1AF2＝1AC2＋1AD 2，∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.。

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课时跟踪检测（四十九）直接证明与间接证明一保高考,全练题型做到高考达标1．（2018·徐州模拟)若P＝错误!＋错误!，Q＝错误!＋错误!(a≥0),则P,Q的大小关系是________．解析：因为P2＝2a＋7＋2错误!·错误!＝2a＋7＋2错误!，Q2＝2a＋7＋2错误!·错误!＝2a＋7＋2a2＋7a＋12,所以P2〈Q2,所以P〈Q。

答案：P〈Q2．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时,应假设____________________．解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．答案：x≠－1且x≠13．(2018·江阴调研)设a，b是两个实数，给出下列条件:①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出：“a,b中至少有一个大于1”的条件的是________(填序号）．解析：①中，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2与已知条件a＋b〉2矛盾，故假设不成立,所以a，b中至少有一个大于1，①正确；②中，若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2成立，故②不能推出：“a，b中至少有一个大于1”．答案：①4．设f(x）是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f（x)单调递减，若x1＋x2〉0，则f(x1)＋f(x2)________0（填“〉"“〈”或“＝”）．解析:由f（x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减,可知f（x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2〉0，可知x1>－x2，f(x1）〈f（－x2）＝－f（x2），则f（x1)＋f(x2）<0。