2015年华南师范大学数学分析真题回忆版

我们先来了解一下2015年数一19题斯托克斯公式的相关内容。

在数学中，斯托克斯公式是一种用来计算流形（manifold）上的微分形式的积分的定理。

它是数学分析中的重要定理之一，对于理解微分形式、外微分形式以及流形上的积分有着重要的意义。

2015年数学一卷19题具体涉及到的应该是对斯托克斯公式的应用以及相关的具体题目。

我们可以从几何学的角度来理解斯托克斯公式，同时也可以从它在物理学中的应用上进行深入解读。

【序号一】我们来思考一下什么是斯托克斯公式。

斯托克斯公式是矢量分析中的一则定理，它建立了微分形式的外微分与流形上的积分之间的联系。

具体而言，斯托克斯公式告诉我们，对于一个紧致流形上的微分形式，其外微分形式的积分等于边界上微分形式的积分。

这个定理在数学上有着重要的意义，它将微分形式与流形的边界之间的关系联系了起来。

【序号二】接下来，我们可以来分析2015年数一19题中涉及到的具体问题。

根据我提供的题目内容，涉及到的具体问题可能是关于一个给定曲线上某个向量场的环路积分。

在这个问题中，我们可以利用斯托克斯公式来简化计算，将曲线上的环路积分转化为曲面上的积分，从而降低计算的复杂度。

【序号三】从几何学角度来看，斯托克斯公式可以帮助我们理解微分形式在流形上的性质。

通过斯托克斯公式，我们可以将微分形式的积分转化为流形上更高维度的积分，从而将原本复杂的计算问题简化为更容易处理的形式。

这对于理解微分几何、流形论等数学理论有着重要意义。

【序号四】而在物理学中，斯托克斯公式也有着广泛的应用。

在电磁学中，斯托克斯公式可以帮助我们计算磁感应线圈的环路积分。

通过斯托克斯公式，我们可以将环路积分转化为曲面积分，从而更方便地进行计算。

这种应用也展现了斯托克斯公式在实际物理问题中的重要性。

【序号五】在回顾本文内容时，我们可以总结斯托克斯公式在数学和物理学中的重要性。

它不仅为微分形式的积分提供了一种简化计算的方法，同时也帮助我们理解微分几何、流形论以及物理学中的电磁学等问题。

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华师大版2015年下期八年级期末质量检测数 学 试 卷时间120分钟 满分120分 2016.1.19一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）以下各小题，每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，但其中只有一个选项符合题目的要求，请把它选出来，并把它的代号填在相应的题目后的括号内.若选错、多选、不选均计0分.1. 下列各数的立方根是－2的数是（ ）.A. 4B. -4C. 8D.—8 2. 下列运算结果为a 6的是（ ）. A ．a 2＋a 3 B ．a 2〃a 3 C ．(－a 3)2 D ．a 12÷a 23. 对某校八年级（1）班60名同学的一次数学测验成绩进行统计，如果80.5—90.5分这一组的频数是18，那么这个班的学生这次数学测验成绩在80.5—90.5分之间的频率是（ ）.A ．18B ．0.3C ．0.45.若等腰三角形的有一个角为100°，则它一腰上的高与底边的夹角是（ ）. A. 50° B. 40° C. 10° D.80°6．下列真命题中，逆命题也是真命题的是（ ）. A ．全等三角形的对应角都相等;B ．如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等；C ．对顶角相等；D ．等边三角形每一个都等于60°。

7. △ABC 的三边为a 、b 、c ，且2))((c b a b a =-+，则( ) A 、△ABC 是锐角三角形； B 、c 边的对角是直角； C 、△ABC 是钝角三角形； D 、a 边的对角是直角8．如图1，从边长为（1a + ）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（1a - ）cm 的正方形（a ＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）A ．2cm 2B ．2a cm 2C ．4a cm 2D ．(21a - )cm 29．如图2BE 交于点≌△CDE ③点D 在∠BAC 的平分线上；④点C 在AB 的中垂线上.以上结论错误的有( )个.A ．1B ．2C ．3D ．4 10．如图3是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m ．按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长是（ ）（计算时视管道为线，中心O 为点） A ．2m B ．6m C ．3m D ．9m二、填空题：（本大题共六个小题每个3分，共计18分） 11.请你在横线上写一个无理数 _________.12.到一个角两边距离相等的点在 上. 13. 若,125=x 65=y ， 则y x 25-=14. 如果多项式1322+-kx x 能分解因式，其结果是)1)(12(++x x ， 则k = 。

1999年华南师范大学数学分析一、计算1、已知极限lim x→0∫u 2du √β+3uαx−sin x =2,其中α，β为非零常数，求α，β的值；2、求积分∫ln⁡(x +√1+x 2)dx ;3、函数u=u(x)由方程组u=f(x,y,z),g(x,y,z)=0,h(x,y,z)=0所确定，求dudx 4、求积分I=∬√x 2+y 2+(z+a)2∑其中a>0, ∑是以原点为中心，a 为半径的上半球面。

二、1、设数列{x n }收敛且x n >0(n =1,2,·····)，求证：lim n→∞√x 1x 2···x n n =lim n→∞x n ；2、若x n >0(n =1,2,····)，且lim n→∞x n+1x n存在，求证：lim n→∞√x n n =limn→∞x n+1x n；3、求lim√n ！n。

三．计算函数z =1−(x 2a 2+y 2b 2)在点P (√2√2)沿曲线x 2a 2+y 2b 2=1在此点的内法线方向上的导数。

四、设f （x ）在[a,b]上具有二阶连续导数，且f （a ）=f （b ）及|f’’(x)|≤M 对xϵ[a,b ],证明对一切x ∈[a,b ]有|f’(x)|≤M 2(b −a)。

五、若f x ，(x,y )在点(x 0，y 0)处存在，f y ，(x,y )在点(x 0，y 0)处连续，证明f (x,y )在(x 0，y 0)处可微。

六、证明∑x n ∞n=1(1−x)2在[0,1]上一致收敛。

七、设C 为位于平面x cos α+y cos β+z cos γ−1=0(cos α,cos β,cos γ 为平面之法线的方向余弦）上并包围面积为S 的按段光滑封闭曲线，求∮(z cos β−ycos γ)dx +(x cos γ−z cos α)dy +C (y cos α−x cos β)dz,其中C 是依正方向进行的。

2000年华南师大学数学分析一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4sin)1(===+-=∞→∞→n n n n nn a a n n a 则 π；2.设处连续；在则为无理数为有理数____)(, , ,)(=∈⎩⎨⎧-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 10=+⎰∞→dx xx n n4._________;)cos (sin lim 10=+→xx x x5.方程)(032为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根； 6._______;__________),1()(1122=>+=++⎰n n n n I I n n a x dxI 的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cos sin 0==⎰+du t f dt t f y x u yx 是可微函数，则8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________;9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2=x 10.曲线π20,sin ,cos 33≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________.二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞→存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或最小值.三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(222yzyf z y x =++所确定，其中f 是可微函数，试证：xz yz xy x z z y x 22)(222=∂∂+∂∂--.四、（12分）求极限：)22211(lim 222nn nn n n n n ++++++++∞→ .五、（12分）已知a,b 为实数，且1<a<b,证明不等式：ab b a ln ln )1(1+>+）（.六、(12分)计算曲面积分：.32dxdy z dzdx y xdydz I S++=⎰⎰其中S 是球面1222=++z y x 的外侧.七、(10分)设0)(≥x u n ,在[a,b]上连续，n=1,2,…,∑∞=1)(n nx u在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证明：∑∞=1)(n nx u在[a,b]上一致收敛于f(x).2003年华南师大学数学分析一、(12分)求极限).)12)(12(1531311(lim +-++⋅+⋅∞→n n n 二、(12分)设{}.,11,11:),(2dxdy x y y x y x D D⎰⎰-≤≤-≤≤-=求积分三、(12分)证明∑∞=+1331n x n nx在[a,b]上一致收敛(其中，0<a<b<+∞);在(0,+∞)上不一致收敛；并证明：函数S(x)=∑∞=+1331n xn nx在(0,+∞)上连续.四、(12分)求第二型曲线积分dy x dx y L 333132+-⎰，其中，12:22=+y x L ，取逆时针方向。

（三十二）数学分析试题（二年级第一学期）一 叙述题（每小题10分，共30分）1 叙述含参变量反常积分⎰+∞adx y x f ),(一致收敛的Cauchy 收敛原理。

2 叙述Green 公式的内容及意义。

3 叙述n 重积分的概念。

二 计算题（每小题10分，共50分）1．计算积分⎰+-=C yx ydx xdy I 2243，其中C 为椭圆13222=+y x ，沿逆时针方向。

2．已知 ),,(y z xz f z -= 其中),(v u f 存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求z 关于y x ,的二阶偏导数。

3．求椭球体1222222=++cz b y a x 的体积。

4．若l 为右半单位圆周，求⎰lds y ||。

5．计算含参变量积分⎰+-=π2)cos 21ln( )(dx a x a a I (1<a )的值。

三 讨论题（每小题10分，共20分）1 若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。

试讨论积分⎰∞++=0221xa adxI 在每一个固定的a 处的一致收敛性。

2 讨论函数dx yx x yf y F ⎰+=122)()(的连续性，其中)(x f 在]1,0[上是正的连续函数。

数学分析试题（二年级第一学期）答案1一 叙述题（每小题10分，共30分）1 含参变量反常积分⎰+∞adx y x f ),(关于y 在],[d c 上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的0>ε， 存在与y 无关的正数0A ， 使得对于任意的0,A A A >'，],[ ,),(d c y dx y x f A A∈<⎰'ε成立。

2 Green 公式：设D 为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。

如果函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有连续偏导数，那么⎰⎰∂∂∂-∂∂=+DDdxdy xPx Q Qdy Pdx )(，其中D ∂取正向，即诱导正向。

绝密★启封并使用完毕前试题类型：A注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2015年新课标1理 设复数z 满足=i ，则|z|=1+z 1z-（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.2015年新课标1理 （2）sin20°cos10°-co s 160°sin10°=（A ）（B （C ） （D ）12-12【答案】D【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=，故选D.12考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式2015年新课标1理 （3）设命题P ：n N ，>，则P 为∃∈2n 2n ⌝ （A ）n N, > （B ） n N, ≤∀∈2n 2n ∃∈2n 2n（C ）n N, ≤ （D ） n N, =∀∈2n 2n ∃∈2n 2n【答案】C【解析】试题分析：:，故选C.p ⌝2,2n n N n ∀∈≤考点：特称命题的否定2015年新课标1理 （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A ）0.648 （B ）0.432（C ）0.36（D ）0.312【答案】A【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式2015年新课标1理 （5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：上的一点，2212x y -=F 1、F 2是C 上的两个焦点，若＜0，则y 0的取值范围是1MF ∙2MF（A ）（）（B ）（）（C ）（） （D ）（【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程2015年新课标1理 （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。