高考数学考点通关练第七章平面解析几何53双曲线试题理

考点测试53 双曲线一、基础小题1．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析 由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A 、C ；又c ＝5，a ＝3，∴b ＝c 2－a 2＝4.∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．故选D.2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为bc a 2＋b 2＝2a ，解得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝c a＝ 5.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析 根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10， ∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±b ax ，且P (2,1)在渐近线上， ∴2ba＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝5， 则C 的方程为x 220－y 25＝1，故应选A.4．已知双曲线x 2－y 28＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．2 2B ．3C ．4D ．22＋1 答案 C解析 设双曲线的实半轴长为a ，依题意可得a ＝1，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，又|AF 1|＝|BF 1|，故|AF 2|－|BF 2|＝4，又|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，故|AB |＝4，选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过F 2的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点．设F 1B →＋F 1C →＝m ，F 1A →＋F 1D →＝n ，则下列各式成立的是( )A ．|m |>|n |B ．|m |<|n |C ．|m －n |＝0D ．|m －n |>0答案 C解析 取过点F 2且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，则F 1B →＋F 1C →＝m ＝2F 1F 2→，F 1A →＋F 1D →＝n ＝2F 1F 2→，故|m －n |＝0，选C.6．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1B.x 24－y 23＝1C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 D解析 依题意得a 2＋b 2＝c 2＝7，由此设双曲线方程为x 2a 2－y 27－a 2＝1，另设直线与双曲线的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x ，y )．则x 21a 2－y 217－a 2＝1，① x 22a 2－y 227－a 2＝1，② ①－②得：1a 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝17－a2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，又由x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，x ＝－23，y ＝x －1，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，得a 2＝2.∴双曲线方程为x 22－y 25＝1，故选D.7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．答案 x 2－y 23＝1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝1，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b ＝3，故所求方程为x 2－y 23＝1.8．设F 1，F 2分别为双曲线x 216－y 220＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离为________．答案 17解析 解法一：∵实轴长2a ＝8，半焦距c ＝6， ∴||PF 1|－|PF 2||＝8.∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17.又∵|PF 2|的最小值为c －a ＝6－4＝2， ∴|PF 2|＝17.解法二：由题知，若P 在右支上， 则|PF 1|≥2＋8＝10>9，∴P 在左支上． ∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，∴|PF 2|＝9＋8＝17. 二、高考小题9．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3) 答案 A解析 ∵原方程表示双曲线，且焦距为4，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，①或⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n <0，3m 2－n <0，－m 2－n －m 2＋n ＝4，②由①得m 2＝1，n ∈(－1,3)．②无解．故选A.10．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝22， ①2x 0·2y 0＝2b ， ②y 0＝b 2x 0， ③由①③得x 20＝164＋b 2，④所以y 20＝b 24×164＋b 2＝4b24＋b2，⑤由②④⑤可得b 2＝12.所以双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.11．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 答案 A解析 在椭圆中，a 1＝m ，c 1＝m 2－1，e 1＝m 2－1m.在双曲线中，a 2＝n ，c 2＝n 2＋1，e 2＝n 2＋1n .因为c 1＝c 2，所以n 2＝m 2－2.从而e 21·e 22＝m 2－n 2＋m 2·n 2＝m 2－2m 2m 2－，令t ＝m 2－1，则t >0，e 21·e 22＝t 2t 2－1>1，即e 1e 2>1.结合图形易知m >n ，故选A.12．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32 C.3 D ．2答案 A解析 解法一：由MF 1⊥x 轴，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∴|MF 1|＝b 2a .由sin ∠MF 2F 1＝13，可得cos ∠MF 2F 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，又tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 22ac ，∴b 22ac ＝13223，∴b 2＝22ac ，∵c 2＝a 2＋b 2⇒b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－22ac ＝0⇒e 2－22e －1＝0，∴e ＝ 2.故选A. 解法二：由MF 1⊥x 轴，得M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∴|MF 1|＝b 2a ，由双曲线的定义可得|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝2a ＋b 2a ，又sin ∠MF 2F 1＝|MF 1||MF 2|＝b 2a2a ＋b 2a＝13⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，∴e ＝ a 2＋b 2a 2＝ 2.故选A. 13．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.答案 2解析 由OA 、OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2－y 2＝a 2.OB 是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2＝2a 2可得a ＝2.三、模拟小题14．设P 为双曲线C ：x 2－y 2＝1上一点，F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，若cos ∠F 1PF 2＝13，则△PF 1F 2的外接圆半径为( )A.94 B ．9 C.32 D ．3 答案 C解析 由题意知双曲线中a ＝1，b ＝1，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2 2.因为cos ∠F 1PF 2＝13，所以sin ∠F 1PF 2＝223.在△PF 1F 2中，|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2R (R 为△PF 1F 2的外接圆半径)，即22223＝2R ，解得R ＝32，即△PF 1F 2的外接圆半径为32，故选C.15．已知双曲线C 的右焦点F 与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，若以点F 为圆心，2为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A.y 23－x 2＝1 B.x 23－y 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.x 22－y 22＝1 答案 D解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，而抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，即F (2,0)，∴4＝a 2＋b 2.又圆F ：(x －2)2＋y 2＝2与双曲线C 的渐近线y ＝±bax 相切，由双曲线的对称性可知圆心F 到双曲线的渐近线的距离为2bb 2＋a2＝2，∴a 2＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.16．若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．m 2－a 2B.m －aC.12(m －a ) D ．m －a答案 D解析 不妨设点P 是第一象限内两曲线的交点，由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，由双曲线的定义可令|PF 1|－|PF 2|＝2a ，两式联立得|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，所以|PF 1|·|PF 2|＝m －a .17．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，则OA ⊥OB ，AB 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1－x 22，又因为AB 的中点在双曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 222＝2，化简得x 1x 2＝2，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 1|·|2x 2|＝|x 1x 2|＝2，故选C.18．已知双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y＝3(x ＋c )与双曲线的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D.3＋1 答案 D解析 ∵直线y ＝3(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为60°，∴∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°.∴∠F 1MF 2＝90°，即F 1M ⊥F 2M .∴|MF 1|＝12|F 1F 2|＝c ，|MF 2|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，由双曲线的定义有：|MF 2|－|MF 1|＝3c －c ＝2a ，∴离心率e ＝c a＝c3c －c2＝3＋1，故选D.一、高考大题1．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.(2)解法一：由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点， 则|OC |＝a ，|AB |＝4a ， 又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x ，得y 1＝2m 2－k， 同理得y 2＝2m 2＋k. 由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m2－k －2m 2＋k ＝8， 所以m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y216＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.又因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16) ＝－16(4k 2－m 2－16)， 又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.解法二：由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x ，得y 1＝2t 1－2m ，同理得y 2＝－2t1＋2m.设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)． 由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8， 所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a2＝1，得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0.因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0，即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0， 即(1－4m 2)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.解法三：当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0，因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k 2，又因为△OAB 的面积为8， 所以12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝8，又易知sin ∠AOB ＝45，所以25 x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4.所以－m 24－k2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a2＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0，因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0，即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4， 所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 216＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.二、模拟大题2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解 (1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ， ∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又∵DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1， ∴m ＝0(舍)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1，∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2) ＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0， ∴AD ⊥AB ，∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， ∵点M 的横坐标为1，∴MA ⊥x 轴，∵|MA |＝12|BD |，∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．3．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解 (1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1.由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝ca ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有 (λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2. 化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上， 所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， ②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.4．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝k 2－k 2－，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0.解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2－k2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)． 则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0， 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式，化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．5．已知点N (1,2)，过点N 的直线交双曲线x 2－y 22＝1于A ，B 两点，且ON →＝12(OA →＋OB →)．(1)求直线AB 的方程；(2)若过N 的另一条直线交双曲线于C ，D 两点，且CD →·AB →＝0，那么A ，B ，C ，D 四点是否共圆？为什么？解 (1)由题意知直线AB 的斜率存在． 设直线AB ：y ＝k (x －1)＋2，代入x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k ·(2－k )x －(2－k )2－2＝0.(*) 由Δ>0，得k <32.令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两根， ∴2－k 2≠0且x 1＋x 2＝2k －k2－k2. ∵ON →＝12(OA →＋OB →)，∴N 是AB 的中点，∴x 1＋x 22＝1.∴k (2－k )＝－k 2＋2，∴k ＝1，满足k <32.∴AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)将k ＝1代入方程(*)，得x 2－2x －3＝0， ∴x ＝－1或x ＝3，∴不妨设A (－1,0)，B (3,4)． ∵CD →·AB →＝0，∴CD 垂直AB .∴CD 所在直线方程为y ＝－(x －1)＋2，即y ＝3－x ，代入双曲线方程整理得x 2＋6x －11＝0. 令C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)及CD 中点M (x 0，y 0)，则x 3＋x 4＝－6，x 3·x 4＝－11，∴x 0＝x 3＋x 42＝－3，y 0＝6，即M (－3,6)．|CD |＝1＋k 2|x 3－x 4| ＝1＋k 2x 3＋x 42－4x 3x 4＝410，|MC |＝|MD |＝12|CD |＝210，|MA |＝|MB |＝210，即A ，B ，C ，D 到M 的距离相等， ∴A ，B ，C ，D 四点共圆．。

平面解析几何一、高考预测解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用．圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．解析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值．复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用． 二、知识导学 (一)直线的方程1.点斜式：)(11x x k y y -=-；2. 截距式：b kx y +=；3.两点式：121121x x x x y y y y --=--；4. 截距式：1=+by ax；5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1. (三)圆的有关问题 1.圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+.2.圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为FE D r 42122-+=.当FED422-+=0时，方程表示一个点（2D-，2E-）；当FED422-+＜0时，方程不表示任何图形.3.圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：222ryx=+⇔cossinx ry rθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）222)()(rbyax=-+-⇔cossinx a ry b rθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）(五)椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+byax（a＞b＞0）.⑴范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=a±和y=b±所围成的矩形里.⑵对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶顶点：有四个1A（-a，0）、2A（a，0）1B（0，-b）、2B（0，b）.线段1A2A、1B2B分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace=叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义⑴定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ace=（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+by ax（a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程(六)椭圆的参数方程椭圆12222=+b ya x（a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan a b=；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+b ya x与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. (七)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：12222=-b ya x和12222=-b xay（a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(八)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222=-b yax的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a ce =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线12222=-by a x的渐近线方程为xab y ±=或表示为02222=-by ax.若已知双曲线的渐近线方程是xnm y ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k yn x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c ax 2-=和c ax 2=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有a ce =与222b ac +=的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.(九)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

考点测试53 双曲线一、基础小题1．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析 由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A 、C ；又c ＝5，a ＝3，∴b ＝c 2－a 2＝4.∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．故选D.2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为bc a 2＋b2＝2a ，解得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝c a＝ 5.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析 根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10， ∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±b ax ，且P (2,1)在渐近线上， 的直线l 与C 的左、右两支A ．2 2B ．3C ．4D ．22＋1 答案 C解析 设双曲线的实半轴长为a ，依题意可得a ＝1，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，又|AF 1|＝|BF 1|，故|AF 2|－|BF 2|＝4，又|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，故|AB |＝4，选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过F 2的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点．设F 1B →＋F 1C →＝m ，F 1A →＋F 1D →＝n ，则下列各式成立的是( )A ．|m |>|n |B ．|m |<|n |C ．|m －n |＝0D ．|m －n |>0答案 C解析 取过点F 2且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，则F 1B →＋F 1C →＝m ＝2F 1F 2→，F 1A →＋F 1D →＝n ＝2F 1F 2→，故|m －n |＝0，选C.6．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1B.x 24－y 23＝1C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 D解析 依题意得a 2＋b 2＝c 2＝7，由此设双曲线方程为x 2a 2－y 27－a 2＝1，另设直线与双曲线的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x ，y )．则x 212－y 212＝，得a 2＝2.7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．答案 x 2－y 23＝1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝1，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b ＝3，故所求方程为x 2－y 23＝1.8．设F 1，F 2分别为双曲线x 216－y 220＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离为________．答案 17解析 解法一：∵实轴长2a ＝8，半焦距c ＝6， ∴||PF 1|－|PF 2||＝8.∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17. 又∵|PF 2|的最小值为c －a ＝6－4＝2， ∴|PF 2|＝17.解法二：由题知，若P 在右支上， 则|PF 1|≥2＋8＝10>9，∴P 在左支上． ∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，∴|PF 2|＝9＋8＝17. 二、高考小题9．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3) 答案 A解析 ∵原方程表示双曲线，且焦距为4，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，①或⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n <0，3m 2－n <0，－3m 2－n －m 2＋n ＝4，②由①得m 2＝1，n ∈(－1,3)．②无解．故选A.10．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝22， ①2x 0·2y 0＝2b ， ②y 0＝b 2x 0， ③由①③得x 20＝164＋b2，④所以y 20＝b 24×164＋b 2＝4b24＋b2，⑤由②④⑤可得b 2＝12.所以双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.11．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 答案 A解析 在椭圆中，a 1＝m ，c 1＝m 2－1，e 1＝m 2－1m.在双曲线中，a 2＝n ，c 2＝n 2＋1，e 2＝n 2＋1n .因为c 1＝c 2，所以n 2＝m 2－2.从而e 21·e 22＝m 2－1n 2＋1m 2·n 2＝m 2－12m 2·m 2－2，令t ＝m 2－1，则t >0，e 21·e 22＝t 2t 2－1>1，即e 1e 2>1.结合图形易知m >n ，故选A.12．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32 C.3 D ．2答案 A解析 解法一：由MF 1⊥x 轴，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∴|MF 1|＝b 2a .由sin ∠MF 2F 1＝13，可得cos ∠MF 2F 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，又tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 22ac ，∴b 22ac ＝13223，∴b 2＝22ac ，∵c 2＝a 2＋b 2⇒b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－22ac ＝0⇒e 2－22e －1＝0，∴e ＝ 2.故选A. 解法二：由MF 1⊥x 轴，得M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∴|MF 1|＝b 2a ，由双曲线的定义可得|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝2a ＋b 2a ，又sin ∠MF 2F 1＝|MF 1||MF 2|＝b 2a2a ＋b 2a＝13⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，∴e ＝ a 2＋b 2a 2＝ 2.故选A. 13．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.答案 2解析 由OA 、OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2－y 2＝a 2.OB 是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2＝2a 2可得a ＝2.三、模拟小题14．设P 为双曲线C ：x 2－y 2＝1上一点，F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，若cos ∠F 1PF 2＝13，则△PF 1F 2的外接圆半径为( )2R ，解得R ＝32，即△PF 1F 2的外接圆半径为32，故选C.15．已知双曲线C 的右焦点F 与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，若以点F 为圆心，2为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A.y 23－x 2＝1 B.x 23－y 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.x 22－y 22＝1 答案 D解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，而抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，即F (2,0)，∴4＝a 2＋b 2.又圆F ：(x －2)2＋y 2＝2与双曲线C 的渐近线y ＝±bax 相切，由双曲线的对称性可知圆心F 到双曲线的渐近线的距离为2bb 2＋a2＝2，∴a 2＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.16．若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．m 2－a 2B.m －aC.12(m －a ) D ．m －a答案 D解析 不妨设点P 是第一象限内两曲线的交点，由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，由双曲线的定义可令|PF 1|－|PF 2|＝2a ，两式联立得|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，所以|PF 1|·|PF 2|＝m －a .17．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( )18．已知双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y＝3(x ＋c )与双曲线的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D.3＋1 答案 D解析 ∵直线y ＝3(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为60°，∴∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°.∴∠F 1MF 2＝90°，即F 1M ⊥F 2M .∴|MF 1|＝12|F 1F 2|＝c ，|MF 2|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，由双曲线的定义有：|MF 2|－|MF 1|＝3c －c ＝2a ，∴离心率e ＝c a＝c3c －c2＝3＋1，故选D.一、高考大题1．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.(2)解法一：由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点， 则|OC |＝a ，|AB |＝4a ， 又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x ，得y 1＝2m 2－k， 同理得y 2＝2m 2＋k. 由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m2－k －2m 2＋k ＝8， 所以m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y216＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.又因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16) ＝－16(4k 2－m 2－16)， 又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.解法二：由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x ，得y 1＝2t 1－2m ，同理得y 2＝－2t1＋2m.设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)．因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0，即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0， 即(1－4m 2)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.解法三：当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0，因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k 2，又因为△OAB 的面积为8，所以12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝8，又易知sin ∠AOB ＝45，所以25 x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4.所以－m 24－k2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a2＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0，因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0，即(k 2－4)(a 2－4)＝所以双曲线E 的方程为当l ⊥x 轴时，由△＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与二、模拟大题2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解 (1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ， ∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又∵DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1， ∴m ＝0(舍)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1，∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2) ＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x ∴AD ⊥AB ，∴过A 、B 、D 三点的圆以点∵点M 的横坐标为∴过A 、B 、D 三点的圆与3．P (x 0，y 0)(x 0≠±上一点，M ，N 分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解 (1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1.由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝ca ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有 (λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2. 化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上， 所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， ②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.4．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝2k 2－8k 2－2>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0.解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2－k2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)． 则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0， 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式，化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．5．已知点N (1,2)，过点N 的直线交双曲线x 2－y 22＝1于A ，B 两点，且ON →＝12(OA →＋OB →)．(1)求直线AB 的方程；(2)若过N 的另一条直线交双曲线于C ，D 两点，且CD →·AB →＝0，那么A ，B ，C ，D 四点是否共圆？为什么？解 (1)由题意知直线AB 的斜率存在． 设直线AB ：y ＝k (x －1)＋2，代入x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k ·(2－k )x －(2－k )2－2＝0.(*) 由Δ>0，得k <32.令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两根， ∴2－k 2≠0且x 1＋x 2＝2k 2－k2－k2. ∵ON →＝12(OA →＋OB →)，∴N 是AB 的中点，∴x 1＋x 22＝1.∴k (2－k )＝－k 2＋2，∴k ＝1，满足k <32.∴AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)将k ＝1代入方程(*)，得x 2－2x －3＝0， ∴x ＝－1或x ＝3，∴不妨设A (－1,0)，B (3,4)．∵CD →·AB →＝0，∴CD 垂直AB .∴CD 所在直线方程为y ＝－(x －1)＋2，即y ＝3－x ，代入双曲线方程整理得x 2＋6x －11＝0. 令C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)及CD 中点M (x 0，y 0)，则x 3＋x 4＝－6，x 3·x 4＝－11，∴x 0＝x 3＋x 42＝－3，y 0＝6，即M (－3,6)．|CD |＝1＋k 2|x 3－x 4| ＝1＋k 2x 3＋x 42－4x 3x 4＝410，|MC |＝|MD |＝12|CD |＝210，|MA |＝|MB |＝210，即A ，B ，C ，D 到M 的距离相等， ∴A ，B ，C ，D 四点共圆．。

开卷速查(五十三) 双曲线A 级 基础巩固练1．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9解析：由渐近线方程3x －2y ＝0，知b a ＝32.又b 2＝9，所以a ＝2，从而|PF 2|＝7，故选C.答案：C2．与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－2x 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝1 解析：椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n＝1(m ＞0，n ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3m －1n＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2，故选C.答案：C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( )A.x 25－y 220＝1 B ．x 225－y 220＝1 C.x 220－y 25＝1 D.x 220－y 225＝1 解析：由题意知圆心坐标为(5,0)，即c ＝5，又e ＝c a＝5，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：A4．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (其中c 为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( ) A.32 B ．52C.352D.52解析：不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y ＝bax ，即bx －ay ＝0.则焦点到渐近线的距离为|bc |b 2＋a2＝53c ，即b ＝53c ，从而b 2＝59c 2＝c 2－a 2，所以49c 2＝a 2，即e 2＝94，所以离心率e ＝32.答案：A5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 则由题意得b a＞2. ∴e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＞1＋4＝ 5.答案：C6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 23－y 24＝1C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：依题意可知双曲线的一条渐近线方程为y ＝43x ，c ＝5，而双曲线x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝43因此，a ＝3，b ＝4.答案：C7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m＝1的焦距等于4，则n ＝__________.解析：因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y 轴，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1，所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案：58．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为__________．解析：由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以|PQ |＝4b ＝16＞2a ， 又因为A (5,0)在线段PQ 上，所以P ，Q 在双曲线的一支上，且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|PA |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6.所以|PF |＋|QF |＝28.即△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 答案：449．已知点F 、A 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为__________．解析：依题意得F (－c,0)，A (a,0)，又B (0，b )，则FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．由FB →·AB→＝0，得b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，c 2－a 2ac ＝1，即e －1e ＝1，e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52.又e ＞1，所以e ＝1＋52，即双曲线的离心率等于1＋52. 答案：1＋5210．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解析：(1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，∴a ＝b . ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4. ∴a 2＝b 2＝2.∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1. ∴x 0＝3y 0.①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c . ∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32c ，12c . 代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.B 级 能力提升练11．直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左右两支分别交于M 、N 两点，F是双曲线C 的右焦点，O 是坐标原点，若|FO |＝|MO |，则双曲线的离心率等于( )A.3＋ 2 B ．3＋1 C.2＋1D ．2 2解析：由题意知|MO |＝|NO |＝|FO |，∴△MFN 为直角三角形，且∠MFN ＝90°，取左焦点为F 0，连接NF 0，MF 0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF 0为平行四边形．又∵∠MFN ＝90°，∴四边形NFMF 0为矩形，∴|MN |＝|F 0F |＝2c ，又∵直线MN 的倾斜角为60°，即∠NOF ＝60°， ∴∠NMF ＝30°，∴|NF |＝|MF 0|＝c ，|MF |＝3c ， 由双曲线定义知|MF |－|MF 0|＝3c －c ＝2a ， ∴e ＝c a＝3＋1. 答案：B12．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，2)C ．(3，2)D ．(2,3)解析：由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF ＜π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a2，取点A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |＜|EF |就能使∠AEF ＜π4，即b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2＜0，即e 2－e －2＜0，即－1＜e ＜2.又e ＞1，故1＜e ＜2.答案：A13．如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .(1)求双曲线的离心率e ；(2)求菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2. 解析：(1)由△B 2OF 2的面积可得a b 2＋c 2＝bc ， ∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0.∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52.∴e ＝1＋52.(2)设∠B 2F 1O ＝θ，则sin θ＝b b 2＋c2，cos θ＝cb 2＋c 2，S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc4a 2bcb 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52. 14．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解析：(1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得 (k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝2k 2－8k 2－2>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0.解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2－k2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)． 则由FA ⊥FB 得：(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式化简得 5k 2＋26k －6＝0.解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．。

平面解析几何1．[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学（理)试题] 已知双曲线222:116x y E m-=的离心率为54，则双曲线E 的焦距为A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D 【解析】 【分析】通过离心率和a 的值可以求出c ，进而可以求出焦距. 【详解】由已知可得54c a =，又4a =，5c ∴=，∴焦距210c =，故选D.【点睛】本题考查双曲线特征量的计算，是一道基础题.2．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若椭圆2221x y a +=经过点1,3P ⎛ ⎝⎭，则椭圆的离心率e =A ．2 B 1C D [来 【答案】D3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为A ．83B ．3C ．163D ．6【答案】C4．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题]若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x +-+=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为A BC D 【答案】B5．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为A 1B ．12C ．2D 【答案】A 【解析】 【分析】根据12PF PF ⊥及椭圆的定义可得12PF a c =-，利用勾股定理可构造出关于,a c 的齐次方程，得到关于e 的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：12PF PF ⊥，且2PF c =， 又122PF PF a +=，12PF a c ∴=-，由勾股定理得()222224220a c c c e e -+=⇒+-=，解得1e =. 故选A.6．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为A ．23y x =±B ．22y x =±C ．3y x =D ．2y x =【答案】A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒= 因为2521a x a =-=⇒=，所以3b =所以双曲线的渐近线方程为23by x x a=±=±.【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.7．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）]P 为椭圆19110022=+y x 上的一个动点，N M ,分别为圆1)3(:22=+-y x C 与圆)50()3(:222<<=++r r y x D 上的动点，若||||PN PM +的最小值为17，则=r A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】8．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 如果123,,,P P P 是抛物线2:4C y x =上的点，它们的横坐标123,,,x x x ，F 是抛物线C 的焦点，若12201820x x x +++=，则12||||PF P F + 2018||P F ++=A ．2028B ．2038C ．4046D ．4056【答案】B9．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】C 【解析】10．[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学（理)试题]已知P 是椭圆22:14x y E m+=上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，()2120k k k ≠，若12k k +的最小值为1，则实数m 的值为 A ．1 B ．2 C ．1或16D ．2或8【答案】A 【解析】 【分析】先假设出点M ，N ，P 的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由12k k +最小值为1运用基本不等式的知识求最小值，进而可以求出m . 【详解】设''0000(,),(,),(,)M x y N x y P x y --，''00'0012',y y y k x x x k y x -+==-+''''0000''''0020102y y y y y y y y x x x x x x k x x k +=+-++-⨯-+-+≥ '220'220y y x x -=-2'20'220(1)(1)442x x x m x m --=-- 4m=，1m ∴=. 故选A. 【点睛】本题大胆设点，表示出斜率，运用基本不等式求参数的值，是一道中等难度的题目.11．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知双曲线22221(0,x y a a b-=>0)b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若12F MF ∠45=︒，则双曲线的离心率为 A ．3 B ．2 C ．2D ．5【答案】A 【解析】 【分析】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F N MN ⊥，垂足为A ，由ON a =，得到12F A b =，在2Rt MF A △中，可得222MF a =，得到122MF b a =+，再由双曲线的定义，解得2b a =，利用双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F N MN ⊥，垂足为A ，由ON a =，且ON 为12F F A △的中位线，可得22212,F A a F N c a b ==-=， 即有12F A b =，在2Rt MF A △中，可得222MF a =，即有122MF b a =+，由双曲线的定义可得1222222MF MF b a a a -=+-=，可得2b a =， 所以223c a b a =+=，所以3==ce a. 故选A.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12．[安徽省2020届高三期末预热联考理科数学]【答案】C13．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]双曲线2212516y x -=的渐近线方程为_____________.【答案】54y x =±14．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则离心率等于 . 515．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 已知圆02222=--+by ax y x )0,0(>>b a 关于直线022=-+y x 对称，则ba 21+的最小值为________．【答案】2916．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]已知AB 是圆C :222x y r +=的直径,O 为坐标原点,直线l :2r x c=与x轴垂直,过圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点, 则2OM ONr ⋅的值为 ▲ .【答案】1【解析】设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则2παβ+=,∴tan tan 1αβ=，记直线l :2r x c=与x 轴的交点为H ,如图，()()OM ON OH HM OH HN ⋅=+⋅+，则2(,0)r H c ,0,0OH HN OH HM ⋅=⋅=,∴22||||OM ON OH HM HN OH HM HN ⋅=+⋅=-⋅22422|||||||tan ||||tan |()()r r r HM HN AH BH r r r c c c αβ⋅==+-=-∴242222()()r r OM ON r r c c⋅=--=.即2OM ON r ⋅的值为1. 17．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F ，，,A B 是其左、右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且12PF F △的周长为6，若12PF F △面积的最大值为3（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点2F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,M N 两个不同点，证明：直线AM 于BN 的交点在一条定直线上.【解析】（1）由题意得222226,123,2,a c bc a b c +=⎧⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2,c b a =⎧⎪∴=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）由（1）得()2,0A -，()2,0B ，()21,0F ，设直线MN 的方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221143x mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2243690m y my ++-=，122643m y y m ∴+=-+，122943y y m =-+，()121232my y y y ∴=+， 直线AM 的方程为()1122y y x x =++，直线BN 的方程为()2222y y x x =--， ()()12122222y yx x x x ∴+=-+-， ()()2112212121232322y x my y y x x y x my y y +++∴===---， 4x ∴=，∴直线AM 与BN 的交点在直线4x =上.18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 已知B 是抛物线2118y x =+上任意一点，()0,1A -，且点P 为线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若F 为点A 关于原点O 的对称点，过F 的直线交曲线C 于M 、N 两点，直线OM 交直线1y =-于点H ，求证：NF NH =． 【解析】 【分析】（1）设(),P x y ，()00,B x y ，根据中点坐标公式可得00221x xy y =⎧⎨=+⎩，代入曲线方程即可整理得到所求的轨迹方程；（2）设:1MN y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，将直线MN 与曲线C 联立，可得124x x =-；由抛物线定义可知，若要证得NF NH =，只需证明HN 垂直准线1y =-，即HN y ∥轴；由直线OM 的方程可求得11,1x H y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可将H 点横坐标化简为121x x y -=，从而证得HN y ∥轴，则可得结论.【详解】（1）设(),P x y ，()00,B x y ，P 为AB 中点，00221x xy y =⎧∴⎨=+⎩， B 为曲线2118y x =+上任意一点，200118y x ∴=+，代入得24x y =，∴点P 的轨迹C 的方程为24x y =.（2）依题意得()0,1F ，直线MN 的斜率存在，其方程可设为：1y kx =+， 设()11,M x y ，()22,N x y ，联立214y kx x x=+⎧⎨=⎩得：2440x kx --=，则216160k ∆=+>，124x x ∴=-，直线OM 的方程为11y y x x =，H 是直线与直线1y =-的交点， 11,1x H y ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，根据抛物线的定义NF 等于点N 到准线1y =-的距离，H 在准线1y =-上，∴要证明NF NH =，只需证明HN 垂直准线1y =-， 即证HN y ∥轴，H 的横坐标：111222111144x x x x x x y x x --=-===， ∴HN y ∥轴成立，NF NH ∴=成立. 【点睛】本题考查圆锥曲线中轨迹方程的求解、直线与圆锥曲线综合应用中的等量关系的证明问题；证明的关键是能够利用抛物线的定义将所证结论转化为证明HN y ∥轴，通过直线与抛物线联立得到韦达定理的形式，利用韦达定理的结论证得HN y ∥轴.19．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）]在直角坐标系xOy 中，点)0,2(-M ，N 是曲线2412+=y x 上的任意一点，动点C 满足MC NC +=0. （1）求点C 的轨迹方程；（2）经过点)0,1(P 的动直线l 与点C 的轨迹方程交于B A ,两点，在x 轴上是否存在定点D （异于点P ），使得BDP ADP ∠=∠？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由.20．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知椭圆22212x y C a ：+=过点P （2，1）． （1）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（2）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A 'P 与C 交于另一点B ．设O 为原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由． 【解析】 【分析】（1）将点P 代入椭圆方程，求出a ，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，设点A 的坐标为()11x y ，，()22B x y ，，分别求出12x x -，12y y -，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.【详解】（1）由椭圆22212x y C a +=： 过点P （2，1），可得28a =．所以222826c a =-=-=，所以椭圆C 的方程为28x +22y =1，则离心率e 622=3（2）直线AB 与直线OP 平行．证明如下： 设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得()()22241812161640k x k k x k k ++-+--=， ∴21216164241k k x k -+=+，∴21288214k k x k --=+， 同理22288241k k x k +-=+，所以1221641kx x k -=-+， 由1121y kx k =-+，2121y kx k =-++， 有()121228441ky y k x x k k -=+-=-+， ∵A 在第四象限，∴0k ≠，且A 不在直线OP 上， ∴121212AB y y k x x -==-， 又12OP k =，故AB OP k k =， 所以直线AB 与直线OP 平行．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．21．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题]双曲线2215x y -=焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆C 的方程；（2）设动点N M ,在椭圆C上，且3MN =，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.【解析】（1）双曲线2215x y -=的焦点坐标为().因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a ==1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=.（2）因为23MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.代入椭圆方程2216x y +=，得()()2221612610k x kmx m +++-=.因为()()()2221224161km k m ∆=-+-()2224160k m =+->，所以2216m k <+. 设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+，()21226116m x x k -=+.则12MN x =-==因为MN == 整理得()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-.所以221875509t t m t -+-=15075189t t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯≤=.等号成立的条件是53t =， 此时223k =，253m =，满足2216m k <+，符合题意.故m. 22．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] ）已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，长轴长为 （1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足MA MB MO ++=0，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称．【解析】（1）由已知，得1a c ==，所以3c e a ===， 又222a b c =+，所以b =所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=，离心率3e =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),m m M x y ，①直线l 与x 轴垂直时，点,A B的坐标分别为(0,，(．因为()0,m m MA x y =-，()0m m MB x y =-，()0,0m m MO x y =--， 所以()3,3m m MA MB MC x y ++=--=0． 所以0,0m m x y ==，即点M 与原点重合;②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+，由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 得()2232630k x kx ++-=， ()22236123272240k k k ∆=++=+>．所以122632kx x k -+=+，则1224032y y k +=>+， 因为()11,m m MA x x y y =--，()22,m m MB x x y y =--，(),m m MO x y =--， 所以()121203,03m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=0． 所以123m x x x +=，123m y y y +=．2232m k x k -=+，243032m y k =>+，消去k ，得()2223200m m m m x y y y +-=>．综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-=. 对于曲线L 的任意一点(),M x y ，它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭．把2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端：2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点M '也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称.。

数学《平面解析几何》复习资料一、选择题1．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】先将圆M 的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得AC ､BD 的值,进而求出答案. 【详解】圆M 的标准方程为:22(2)(2)9x y -+-=,其圆心为(2,2)M ,半径3r =, 过点E 最长的弦长是直径,故6AC =,最短的弦是与ME 垂直的弦,又ME ==所以122BD ===,即4BD =, 所以四边形的面积11641222S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=, 故选:B. 【点睛】本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确AC 和BD 的位置关系,难度不大.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FB FC =（ ） A ．45B ．23C ．34D ．13【答案】A 【解析】 【分析】设出直线AB 的方程，联立直线AB 方程和渐近线方程，由此求得,A B 两点的坐标，以及求得C 点的坐标，根据53OA a =列方程，求得,,a b c 的关系，由此求得||||FB FC 的值.【详解】由于双曲线渐近线为b y x a =±，不妨设直线AB 的斜率为ab-，故直线AB 的方程为()a y x c b =--.令0x =，得0,ac C b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,a ab B c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得22222,a c abc A a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，由53OA a =得22222222259a c abc a a b a b ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得()()2222440a b a b --=，解得12b a =或2b a =.由于C 位于,A B 之间，故12b a =舍去，所以2b a=，即2b a =.故22222222||44||45B C aby FB b b a c ac FC y c a b a a b======++. 故选：A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.3．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c aMOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos aMOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.故选：C. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.4．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 BC．D ．4【答案】A 【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。

第八节 双曲线(二)1．(2013·北京卷)双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m>12 B ．m≥1C ．m>1D ．m>2解析：由x 2－y 2m ＝1知，a ＝1，b ＝m ，所以c 2＝a 2＋b 2＝1＋m ，e 2＝c 2a2＝1＋m ，由e >2，得1＋m >2，所以m >1.故选C.答案：C2．(2013·甘肃甘谷一中检测)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A . 2B . 3C ．2D ．3解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，一个焦点为F (c ，0)，A (c ，y 0)．将A 点坐标代入双曲线方程得y 0＝±b 2a .∵|AB |＝4a ，∴2·b 2a ＝4a ，即2a 2＝b 2，∴3a 2＝c 2，e ＝ 3.故选B.答案：B3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析：由e ＝ca ＝52知，设a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)，由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k .所以b a ＝12.即渐近线方程为y ＝±12x .故选C.答案：C4．曲线x 210－m ＋y 26－m ＝1(m ＜6)与曲线x 25－n ＋y 29－n ＝1(5＜n ＜9)的( )A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．以上都不对解析：方程x 210－m ＋y 26－m ＝1(m ＜6)的曲线为焦点在x 轴的椭圆，方程x 25－n ＋y 29－n＝1(5＜n ＜9)的曲线为焦点在y 轴的双曲线，且(10－m )－(6－m )＝(9－n )＋(n －5)．故选A.答案：A5．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B .62 C .52D ．1 解析：因为双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，所以a 2＋3a2＝4(a ＞0)，解得a ＝1.故选D.答案：D6．(2014·大纲全国卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：利用双曲线的几何性质求解，双曲线的焦点到渐进线的距离为b＝ 3.又离心率为e ＝c a ＝2，所以c 2＝4a 2＝4(c 2－b 2)，则c 2＝43b 2＝4，c ＝2，所以焦距2c ＝4，故选C.答案：C点评：圆锥曲线的常见几何性质要要熟练掌握，如本题中双曲线的焦点到渐近线的距离是虚半轴长b ；焦点在x 轴上的椭圆、双曲线的通径长都是2b 2a，抛物线的通径长度是2p . 7．(2013·梅州一模)若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率为( )A .32B . 5C .32或52D .32或 5 解析：依题意可知m ＝±2×8＝±4.当m ＝4时，曲线为椭圆，a ＝2，b ＝1，则c ＝3，e ＝ca ＝32，当m ＝－4时，曲线为双曲线，a ＝1，b ＝2，c ＝5，则e ＝ 5.故选D.答案：D8．(2013·天津卷)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：由y 2＝8x ，2p ＝8，p ＝4，∴其准线方程为x ＝－2.双曲线的左焦点为(－2，0)，c ＝2，又e ＝2，而ca ＝2，∴a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y23＝19．若圆(x －2)2＋y 2＝2与双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相切，则双曲线的离心率是____________．解析：已知圆心为(2，0)，半径为2，双曲线的渐近线方程为bx ±ay＝0，依题意有|2b |a 2＋b2＝2，即a 2＝b 2，∴a 2＝c 2－a 2，即c 2＝2a 2，∴e ＝ 2. 答案：210．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是____________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ，点()1，2在该直线的上方，由线性规划知识，知：2>b a ，22>⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2⇒4>c 2－a 2a 2⇒4>⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1⇒1<e 2<5⇒1<e <5，故e ∈(1，5)．答案：()1，511．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．解析：(1)由16x 2－9y 2＝144，得x 29－y216＝1，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，离心率为e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝（|PF 1|－|PF 2|）2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0.∴∠F 1PF 2＝90°.12．(2013·济宁模拟)设A 、B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM→＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标． 解析：(1)由题意知a ＝23，所以一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，所以|bc |b 2＋12＝3，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为x 212－y23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，所以⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3， 所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。