2015年高考数学总复习教案：8.3直线与平面的位置关系(2)

《平面与直线的位置关系》教案平面与直线的位置关系教案一、知识目标1. 理解平面的概念和特点；2. 理解直线的概念和特点；3. 能够区分平面和直线的不同；4. 掌握平面与直线的位置关系，如平面内、平面外、平面上、平面下、平面与直线相交、平面与直线平行、平面包含直线等。

二、教学重点和难点1. 教学重点：掌握平面与直线的位置关系；2. 教学难点：平面与直线的包含关系和相交关系。

三、教学过程1. 导入新知识1. 老师可以利用课件、教具等展示平面和直线的图形，比较两者的不同，并引导学生探讨不同之处。

2. 理论研究1. 讲解平面和直线的定义和特点；2. 利用白板、草图等形式进行讲解，便于学生理解；3. 引导学生举例说明平面和直线之间的区别。

3. 拓展练1. 让学生进行练，例如：在平面内画直线；在平面外画直线；在平面上画直线等。

4. 归纳总结1. 教师总结平面与直线的位置关系；2. 利用案例进行演示，让学生更加直观地理解平面与直线的位置关系。

四、作业布置1. 练册上相关练。

五、板书设计- 平面与直线的定义；- 平面与直线的位置关系。

六、教学反思本节课主要介绍了平面与直线的位置关系，包括平面内、平面外、平面上、平面下、平面与直线相交、平面与直线平行、平面包含直线等。

对学生而言，理解这些概念需要看图说理和实践操作。

在教学时，我利用了课件、白板和草图等多种工具，使学生能够更好地理解概念，同时布置了相关的练习作业，加深学生的理解和记忆。

下一步需要通过案例来拓展学生的思维，让学生更加直观地感受平面与直线的位置关系。

第八章 立体几何初步第3课时 直线与平面的位置关系(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎫对应学生用书（文）102～104页 （理）104～106页考情分析考点新知了解直线与平面的位置关系，了解空间垂直的有关概念；除了熟练运用线面垂直的判定定理和性质定理外，还要考虑面面垂直的性质和作用．要注意线线垂直、线面垂直以及面面垂直的转化．可以按照要证明的目标重新整理知识点.1. (必修2P 40练习4改编)若直线l 与平面α不垂直，则在平面α内与直线l 垂直的直线有________条．答案：无数解析：易证在平面α内与l 在平面α内的射影垂直的直线与l 垂直，所以满足题意的直线有无数条．2. (原创)已知A 、B 、C 是不共线的三点，直线m 垂直于直线AB 和AC ，直线n 垂直于直线BC 和AC ，则直线m ，n 的位置关系是________．答案：平行解析：因为直线m 垂直于直线AB 和AC ，所以m 垂直于平面ABC ，同理，直线n 垂直于平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得m ∥n.3. ( 必修2P 40习题5改编)下列命题：① 一条直线在平面内的射影是一条直线；② 在平面内射影是直线的图形一定是直线；③ 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④ 两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行．其中真命题的个数是________．答案：0解析：一条直线在平面内的射影可以是一个点，所以①是错的；在平面内射影是直线的图形可能是平面，所以是②错的；③④显然也是错的，所以正确的个数为0.4. (必修2P 42习题9改编)如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上不同于A 、B 的任一点，则图中直角三角形的个数为________．答案：4解析：因为AB 是圆O 的直径，所以AC ⊥BC ，△ACB 是直角三角形；由PA ⊥平面ABC 可得，PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，所以△PAB 与△PAC 是直角三角形；因为PA ⊥平面ABC ，且BC Ì平面ABC ，所以PA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面PAC.而PC Ì平面PAC ，所以BC ⊥PC ，△PCB 是直角三角形；故直角三角形的个数为4.5. (必修2P 42习题11、16改编)P 为△ABC 所在平面外一点，O 为P 在平面ABC 内的射影．(1) 若P 到△ABC 三边距离相等，且O 在△ABC 的内部，则O 是△ABC 的________心；(2) 若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则O 是△ABC 的________心；(3) 若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．答案：(1) 内(2) 垂(3) 外解析：(1) P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，可知O到△ABC三边距离相等，即O是△ABC的内心；(2) 由PO⊥平面ABC且BC平面ABC，得PO⊥BC，又PA⊥BC，PO与PA是平面POA内两条相交直线，所以BC⊥平面POA，从而BC⊥AO.同理AC⊥BO，所以O是△ABC的垂心；由PA、PB、PC与底面所成的角相等，易得Rt △POA≌Rt△POB≌Rt△POC，从而OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心．1. 直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a 的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．2. 结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．3. 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．性质定理：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．[备课札记]题型1 直线与平面垂直的判定例1 (2013·常州期末调研)如图，在四棱锥PABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝2AD ＝2，CD ＝3，直线PA 与底面ABCD 所成角为60°，点M 、N 分别是PA 、PB 的中点．求证：(1) MN ∥平面PCD ；(2) 四边形MNCD 是直角梯形； (3) DN ⊥平面PCB.证明：(1) 因为点M 、N 分别是PA 、PB 的中点，所以MN ∥AB. 因为CD ∥AB ，所以MN ∥CD.又CD Ì平面PCD ，MN Ë平面PCD ，所以MN ∥平面PCD. (2) 因为AD ⊥AB ，CD ∥AB ，所以CD ⊥AD. 因为PD ⊥底面ABCD ，CD 平面ABCD ， 所以CD ⊥PD.因为AD ∩PD ＝D ，所以CD ⊥平面PAD. 因为MD Ì平面PAD ，所以CD ⊥MD. 又MN ∥CD ，MN ≠CD ，所以四边形MNCD 是直角梯形．(3) 因为PD ⊥底面ABCD ，所以∠PAD 就是直线PA 与底面ABCD 所成的角， 从而∠PAD ＝60°.在Rt △PDA 中，AD ＝2，PD ＝6，PA ＝22，MD ＝ 2. 在直角梯形MNCD 中，MN ＝1，ND ＝3，CD ＝3，CN ＝MD 2＋（CD －MN ）2＝6，从而DN 2＋CN 2＝CD 2，所以DN ⊥CN.在Rt △PDB 中，PD ＝DB ＝6，N 是PB 的中点，则DN ⊥PB. 又PB ∩CN ＝N ，所以DN ⊥平面PCB. 备选变式（教师专享）(2013·南京调研)如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D 、E 、F 分别为线段AC 、A 1A 、C 1B 的中点．(1) 证明：EF ∥平面ABC ； (2) 证明：C 1E ⊥平面BDE.证明：(1) 取BC 的中点G ，连结AG 、FG .因为F 为C 1B 的中点，所以FG ∥=12C 1C.在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A∥=C1C，且E为A1A的中点，所以FG∥=EA.所以四边形AEFG是平行四边形. 所以EF∥AG.因为EFË平面ABC，AGÌ平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2) 因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BDÌ平面ABC，所以A1A ⊥BD.因为D为AC的中点，BA＝BC，所以BD⊥AC.因为A1A∩AC＝A，A1AÌ平面A1ACC1，ACÌ平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1.因为C1EÌ平面A1ACC1，所以BD⊥C1E.根据题意，可得EB＝C1E＝62AB，C1B＝3AB，所以EB2＋C1E2＝C1B2.从而∠C1EB＝90°，即C1E⊥EB.因为BD∩EB＝B，BD Ì平面BDE, EBÌ平面BDE，所以C1E⊥平面BDE.题型2直线与平面垂直性质的应用例2已知如图①所示，矩形纸片AA′A1′A1，点B、C、B1、C1分别为AA′、A1A1′的三等分点，将矩形纸片沿BB1、CC1折成如图②形状(正三棱柱)，若面对角线AB1⊥BC1，求证：A1C⊥AB1.(图①)(图②)证明：作AD∥BC，BD∥AC交于D，作A1D1∥B1C1，B1D1∥A1C1交于D1.连结BD1、DD1(如图)，∵A1C1B1D1为菱形，∴A1B1⊥D1C1.又AA1⊥平面A1D1B1C1，∴AA1⊥D1C1.又D1C1⊥平面ABB1A1，∴D1C1⊥AB1.又AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面BC1D1，∴AB1⊥BD1.又BD1∥CA1，∴AB1⊥A1C.变式训练(2013·泰州期末)在三棱锥SABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA ＝AB ＝AC ＝33BC ，点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE ＝3DE ，点M 是线段SD 上一点，(1) 求证：BC ⊥AM ；(2) 若AM ⊥平面SBC ，求证：EM ∥平面ABS. 证明：(1) ∵ AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴ AD ⊥BC ，⎭⎪⎬⎪⎫SA ⊥平面ABC BC平面ABC Þ⎭⎪⎬⎪⎫SA ⊥BCAD ∩SA ＝A Þ⎭⎪⎬⎪⎫BC ⊥平面SAD AM 平面SAD ÞBC ⊥AM.(2) ∵ AM ⊥平面SBC ，AM ⊥SD ，设SA ＝AB ＝AC ＝1，则BC ＝3，SD ＝233，∵SA ⊥AD ，AM ⊥SD ，AD 2＝MD·SD ，故MD ＝36，SM ＝32，即SM ＝3MD ，又AE ＝3DE ，∴ ME ∥SA ，又ME Ë平面ABS ，SA Ì平面，故EM ∥平面ABS.题型3 直线与平面垂直的探索题例3 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点，BC ＝BB 1. (1) 若P 是CC 1上任一点，求证：AP 不可能与平面BCC 1B 1垂直； (2) 试在棱CC 1上找一点M ，使MB ⊥AB 1. (1) 证明：反证法．假设AP ⊥平面BCC 1B 1， 因为BC Ì平面BCC 1B 1，所以AP ⊥BC.又正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1⊥BC ，AP ∩CC 1＝P ，AP Ì平面ACC 1A 1，CC 1Ì平面ACC 1A 1，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.而AC Ì平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AC ，这与△ABC 是正三角形矛盾． 故AP 不可能与平面BCC 1B 1垂直． (2) M 为CC 1的中点．证明：∵ 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ＝BB 1，∴ 四边形BCC 1B 1是正方形． ∵ M 为CC 1的中点，D 是BC 的中点，∴ △B 1BD ≌△BCM ，∴ ∠BB 1D ＝∠CBM ，∠BDB 1＝∠CMB.∵ ∠BB 1D ＋∠BDB 1＝π2，∠CBM ＋∠BDB 1＝π2，∴ BM ⊥B 1D.∵ △ABC 是正三角形，D 是BC 的中点， ∴ AD ⊥BC.∵ 平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AD Ì平面ABC ， ∴ AD ⊥平面BB 1C 1C.∵ BM Ì平面BB 1C 1C ，∴ AD ⊥BM. ∵ AD ∩B 1D ＝D ，∴ BM ⊥平面AB 1D. ∵ AB 1Ì平面AB 1D ，∴ MB ⊥AB 1. 备选变式（教师专享）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是CD 、A 1D 1中点． (1) 求证：AB 1⊥BF ； (2) 求证：AE ⊥BF ；(3) 棱CC 1上是否存在点F ，使BF ⊥平面AEP ，若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由．(1) 证明：连结A 1B ，CD 1，∵ AB 1⊥A 1B ，AB 1⊥BC ，A 1B ∩BC ＝B ， ∴ AB 1⊥平面A 1BCD 1，又BF Ì平面A 1BCD 1，所以AB 1⊥BF. (2) 证明：取AD 中点M ，连结FM ，BM ，∴ AE ⊥BM ，又 ∵ FM ⊥AE ，BM ∩FM ＝M ，∴ AE ⊥平面BFM ，又BF Ì平面BFM ，∴ AE ⊥BF. (3) 解：存在，P 是CC 1的中点．易证PE ∥AB 1，故A 、B 1、E 、P 四点共面．由(1)(2)知AB 1⊥BF ，AE ⊥BF ，AB 1∩AE ＝A ，∴ BF ⊥平面AEB 1，即BF ⊥平面AEP.【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)由平面α外一点P 引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A 、B 、C ，O 为△ABC 的外心，求证：OP ⊥α.学生错解：证明：因为O 为△ABC 的外心，所以OA ＝OB ＝OC ，又因为PA ＝PB ＝PC ，PO 公用，所以△POA ，△POB ，△POC 都全等，所以∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝90°，所以OP ⊥α.审题引导： 要记OP ⊥α，需记OP 垂直于α内两条相交的直线，由图形易知，可考虑证OP 垂直于△ABC 的两条边，注意到图中的等腰三角形PBC 、OBC ，不准找到证题途径．规范解答： 证明：取BC 的中点D ，连结PD 、OD ， ∵ PB ＝PC ，OB ＝OC ，∴ BC ⊥PD ，BC ⊥OD ，(5分)又PD Ì平面POD ，OD 平面POD ，且PD ∩OD ＝D ，∴ BC ⊥平面POD.(8分) ∵ PO Ì平面POD ，∴ BC ⊥PO. 同理AB ⊥PO.(12分)又AB 、BC 是α内的两条相交直线，∴ PO ⊥α.(14分)错解分析：上述解法中∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝90°，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明．1. (2013·苏锡常镇调研)已知l ，m 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若lÌβ，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α.则所有正确的命题是________．(填序号)答案：②解析：对于①，当l与α、β的交线不垂直时，l与α也不垂直，所以①错误；对于②，由两个平面平行的判定定理易证正确；对于③④，l可能在α内，所以它们都是错误的；因此，正确的命题只有②.2. (2013·青岛模拟改)如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C、D、E均异于A、B)，则△ACD的形状是________．答案：直角三角形解析：∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，∴b⊥平面ABC，∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．3. 已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是________．(填序号)①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；④对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直．答案：②解析：找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．对于①，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，在图(1)中，由边AB、BC不相等可知点E、F不重合．在图(2)中，连结CE，若直线AC与直线BD垂直，∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，与点E、F不重合相矛盾，故①错误．对于②，若AB⊥CD，∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，∴AB⊥AC，由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，故②正确．对于③，若AD⊥BC，∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AC.已知BC＝2，AB＝1，BC>AB，∴不存在这样的直角三角形．∴③错误．由上可知④错误，故正确的说法只有②.4. 如图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝2，PB＝2，E、F分别是BC、PC的中点．证明：AD⊥平面DEF.证明：取AD中点G，连结PG、BG、BD.因为PA＝PD，有PG⊥AD，在△ABD中，AB＝AD，∠DAB＝60°，故△ABD为等边三角形，因此BG⊥AD，BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG AD⊥PB，AD⊥GB.又PB∥EF，得AD⊥EF，而DE∥GB，得AD⊥DE.又FE∩DE＝E，EFÌ平面DEF，DEÌ平面DEF，所以AD⊥平面DEF.5. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知∠ACB＝90°，M为A1B与AB1的交点，N为棱B1C1的中点．(1) 求证：MN∥平面AA1C1C；(2) 若AC＝AA1，求证：MN⊥平面A1BC.证明：(1) 连结AC1，因为M为A1B与AB1的交点，所以M是AB1的中点．又N为棱B1C1的中点，所以MN∥AC1.又AC1平面AA1C1C，MNË平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C.(2) 由AC＝AA1，则四边形AA1C1C是正方形，所以AC1⊥A1C.因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为BCÌ平面ABC，所以CC1⊥BC.因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.因为CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AC1.又AC1Ì平面AA1C1C，MN∥AC1，所以MN⊥A1C，MN⊥BC.又BC∩A1C＝C，所以MN⊥平面A1BC.1. 如图PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的是________．(填序号)答案：①②④解析：①AEÌ平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PAÞAE⊥BC，故①正确，②AE⊥PB，AF⊥PB EF⊥PB，故②正确，③若AF⊥BCÞAF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．2. (2012·福建莆田模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC ，△ABC 分别是以A 、B 为直角顶点的等腰直角三角形，AB ＝1.现给出三个条件：① PB ＝3；② PB ⊥BC ；③ 平面PAB ⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA ⊥平面ABC ；解：(解法1)选取条件①，在等腰直角三角形ABC 中，∵ AB ＝1，∴ BC ＝1，AC ＝ 2. 又∵ PA ＝AC ，∴ PA ＝ 2. ∴ 在△PAB 中，AB ＝1，PA ＝ 2. 又∵ PB ＝3，∴ AB 2＋PA 2＝PB 2.∴ ∠PAB ＝90°，即PA ⊥AB.又∵ PA ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ，AB ，AC 真包含于平面ABC ，∴ PA ⊥平面ABC. (解法2) 选取条件②，∵ PB ⊥BC ，又AB ⊥BC ，且PB ∩AB ＝B ，∴ BC ⊥平面PAB. ∵ PA 真包含于平面PAB ，∴ BC ⊥PA.又∵ PA ⊥AC ，且BC ∩AC ＝C ，∴ PA ⊥平面ABC. (解法3)选取条件③， 若平面PAB ⊥平面ABC ，∵ 平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，BC 真包含于平面ABC ，BC ⊥AB ，∴ BC ⊥平面PAB. ∵ PA 真包含于平面PAB ，∴BC ⊥PA.∵PA ⊥AC ，且BC ∩AC ＝C ，∴ PA ⊥平面ABC. 3. 在空间四边形ABCD 中， 已知AC ⊥BD, AD ⊥BC, 求证：AB ⊥CD. 证明：过A 点作AO 垂直平面BCD 于O ，连结BO, CO, DO. ∵AO ⊥平面BCD ，∴AO ⊥BD.又AC ⊥BD ，∴BD ⊥平面AOC ，∴CO ⊥BD.同理，DO ⊥BC ，∴O 为△BCD 的垂心，∴BO ⊥CD. 又AO ⊥平面BCD ，∴AO ⊥CD ， ∴CD ⊥平面ABO ，∴AB ⊥CD.4. 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA＝PD ＝22AD.若E 、F 分别为PC 、BD 的中点，求证：(1) EF ∥平面PAD ； (2) EF ⊥平面PDC.证明：(1) 连结AC ，则F 是AC 的中点，在△CPA 中，EF ∥PA ，且PA Ì平面PAD ，EF Ë平面PAD ，∴EF ∥平面PAD.(2) ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA .又PA ＝PD ＝22AD ，∴△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π2，即PA ⊥PD ，而CD ∩PD＝D ，∴PA ⊥平面PDC.又EF ∥PA ，∴EF ⊥平面PDC.1. 判定或证明直线与平面垂直的常用方法：(1) 利用直线与平面垂直的定义，注意弄清“任意”与“无数”两词的差异；(2) 利用直线与平面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，mÌα，nÌαÞa⊥α)；(3) 利用平面与平面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β＝l，ABÌα，AB⊥lÞAB⊥β)．注意证题时一定要将相应的条件写全，规范书写．2. 证明垂直问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间垂直关系的相互转化，达到解题目的．请使用课时训练（B）第3课时（见活页）.[备课札记]。

教案直线与平面的位置关系直线与平面是几何学中常见的图形，它们之间有着紧密的位置关系。

本文将对教案直线与平面的位置关系进行探讨。

一、直线与平面的基本概念直线是由无数个点连成的一条无限延伸的线段。

直线上的任意两个点都可以确定唯一的一条直线。

平面则是由无数个点构成的一个无限扩展的二维图形。

平面上的任意三点不共线，可以确定唯一的一个平面。

在几何学中，直线和平面是两个基本的几何元素，它们之间的位置关系有着重要的意义。

二、直线与平面的位置关系1. 直线在平面上当一条直线完全位于一个平面上时，我们可以称这条直线位于这个平面上。

换言之，直线上的所有点都属于平面。

对于一条直线和一个平面，有三种可能的位置关系：第一种情况是直线与平面相交，即直线和平面有且仅有一个公共点。

这种情况下，可以称这条直线与平面相交。

第二种情况是直线与平面平行，即直线和平面没有公共点。

这种情况下，可以称这条直线平行于平面。

第三种情况是直线在平面内，即直线上的所有点都在平面内。

这种情况下，可以称这条直线在平面内。

2. 平面与平面的位置关系对于两个平面，也存在不同的位置关系：第一种情况是两个平面相交，即两个平面有且仅有一条公共直线。

这种情况下，可以称这两个平面相交。

第二种情况是两个平面平行，即两个平面没有公共直线。

这种情况下，可以称这两个平面平行。

第三种情况是一个平面包含另一个平面，即一个平面完全位于另一个平面内部。

这种情况下，可以称这一个平面包含另一个平面。

三、直线与平面的应用举例直线与平面的位置关系在实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些例子：1. 建筑设计中的平面布局：在建筑设计中，直线和平面的位置关系直接影响到建筑物的布局和设计。

建筑师需要考虑直线和平面的相交、平行或包含关系，以确定建筑物内部和外部的空间布局。

2. 航空导航系统：在航空领域，导航系统需要准确计算飞机的位置和航线。

直线和平面的位置关系被广泛应用于飞行轨迹的规划和导航设备的设计中。

直线与平面的位置关系全章复习教案第一章：直线与平面的基本概念1.1 直线和平面的定义直线：无限延伸的、只有两个方向的几何图形。

平面：无限延伸的、具有三个方向的几何图形。

1.2 直线与平面的表示方法直线的表示方法：用一个小写字母表示，如直线l。

平面的表示方法：用两个小写字母的组合表示，如平面α。

1.3 直线与平面的关系直线在平面内：直线l包含于平面α，表示为l⊆α。

直线与平面平行：直线l不包含于平面α，表示为l∥α。

直线与平面相交：直线l与平面α有一个公共点，表示为l∩α≠∅。

第二章：直线与平面的位置关系2.1 直线与平面的判定直线在平面内：如果直线上的任意一点都在平面内，则直线在平面内。

直线与平面平行：如果直线上的任意一点到平面的距离都相等，则直线与平面平行。

直线与平面相交：如果直线上的任意一点到平面的距离不相等，则直线与平面相交。

2.2 直线与平面的性质直线在平面内：直线上的任意一点都在平面内，平面上的任意一点到直线的距离都相等。

直线与平面平行：直线上的任意一点到平面的距离都相等，平面上的任意一点到直线的距离都相等。

直线与平面相交：直线上的任意一点到平面的距离不相等，平面上的任意一点到直线的距离也不相等。

第三章：直线与平面的位置关系的判定与性质3.1 直线与平面的判定直线在平面内：如果直线上的任意一点都在平面内，则直线在平面内。

直线与平面平行：如果直线上的任意一点到平面的距离都相等，则直线与平面平行。

直线与平面相交：如果直线上的任意一点到平面的距离不相等，则直线与平面相交。

3.2 直线与平面的性质直线在平面内：直线上的任意一点都在平面内，平面上的任意一点到直线的距离都相等。

直线与平面平行：直线上的任意一点到平面的距离都相等，平面上的任意一点到直线的距离都相等。

直线与平面相交：直线上的任意一点到平面的距离不相等，平面上的任意一点到直线的距离也不相等。

第四章：直线与平面的位置关系的应用4.1 直线与平面的交点如果直线与平面相交，则相交点是直线与平面的唯一交点。

高一数学课程教案平面几何中的直线与平面的位置关系高一数学课程教案—平面几何中的直线与平面的位置关系引言：本节课是高一数学平面几何中的直线与平面的位置关系部分的教学内容，通过本节课的学习，学生将会了解直线与平面之间的相互关系以及如何判断直线与平面的位置关系。

本教案将以清晰的语言和合适的例子来解释相关概念，并梳理相关的解题方法，以期能够提高学生对于直线与平面位置关系的理解和应用能力。

一、直线与平面的相互关系直线和平面是几何学中最基本的图形之一，它们之间的相互关系对于几何学的发展至关重要。

在本节课中，我们将讨论以下几种直线和平面的相互关系：1. 直线与平面的交点：当直线与平面相交时，它们会在某一点上相交，我们称这个点为它们的交点。

交点的坐标可以通过求解直线方程和平面方程得到。

在实际应用中，我们可以利用直线与平面的交点来解决一些几何问题。

2. 直线在平面上的投影：当直线在平面上投影时，我们可以得到一条直线在平面上的影子，这条影子与原直线平行。

通过投影的方法，我们可以更加清晰地描述直线在平面上的位置关系。

二、判断直线与平面的位置关系的方法在平面几何中，我们可以通过以下几种方法来判断直线与平面的位置关系：1. 交点法：通过求解直线和平面的交点，若交点存在，则直线与平面相交；若交点不存在，则直线与平面平行或重合。

这种方法通常适用于已知直线方程和平面方程的情况下。

2. 点法：通过任取直线上一点，带入平面方程，若等式成立，则直线在平面上；若等式不成立，则直线与平面平行或不共面。

这种方法适用于已知直线上一点坐标和平面方程的情况。

3. 向量法：对于已知直线上一点的坐标向量和平面法向量，若两个向量垂直，则直线在平面上；若两个向量平行，则直线与平面平行或不共面。

这种方法适用于已知直线上一点坐标和平面法向量的情况。

三、解题方法与应用实例在本节课中，我们将通过以下的解题方法和实例来进一步理解和应用直线与平面的位置关系：1. 解题方法：（1）通过给定的条件，确定直线与平面的方程；（2）运用前述判断直线与平面位置关系的方法，对直线与平面的位置关系进行判断；（3）根据判断结果，给出答案并解释推理过程。

直线与平面的位置关系教学案直线与平面的位置关系是几何学中的重要概念。

它描述了直线与平面之间的相互关系和交点的情况。

理解直线与平面的位置关系对于解决几何问题和应用几何学知识具有重要意义。

本教学案将以直观的方式介绍直线与平面的位置关系，并提供一些简单的例题来供学生练习。

一、直线与平面的基本概念在开始学习直线与平面的位置关系之前，我们先来回顾一下相关的基本概念。

1. 直线：直线是由无数个点连成的轨迹，它没有起点和终点。

我们用一对平行直线符号 "||" 来表示直线。

2. 平面：平面是由无数个点构成的一个无限大的、平坦的表面。

我们用大写字母来表示平面，例如平面ABC。

二、直线与平面的位置关系分类直线与平面的位置关系可以分为以下三种情况。

1. 直线在平面上：当一条直线的每一个点都在平面上时，我们说直线在平面上。

这时直线与平面有无数个交点。

2. 直线与平面相交：当直线与平面有一个且只有一个交点时，我们说直线与平面相交。

这时直线与平面的位置关系是斜交。

3. 直线与平面平行：当一条直线的每一个点都不在平面上，并且与平面平行时，我们说直线与平面平行。

这时直线与平面没有交点。

三、解题示例下面通过一些例题来解释直线与平面的位置关系。

例题1：判断直线是否在平面上。

已知直线l：x + y + z = 3，平面P：2x + y - z = 1。

判断直线l是否在平面P上。

解析：将直线l的方程代入平面P的方程中，即可判断直线l是否在平面P上。

将x + y + z = 3代入2x + y - z = 1得到3x + 2y = 4。

令z = 0，我们可以得到平面上的一点(2, -1, 0)。

因此，直线l在平面P上。

例题2：判断直线与平面的位置关系。

已知直线l：x - y + z = 1，平面P：2x + y - z = 3。

判断直线l与平面P的位置关系。

解析：将直线l的方程代入平面P的方程中，得到2(x - y + z) + (y - (x - 1)) - z = 3。

高中数学：1.2《直线与平面的位置关系2》教案（苏教版必修2）总课题点、线、面之间的位置关系总课时第10课时分课题直线与平面的位置关系（二）分课时第2课时教学目标理解直线和平面垂直的定义及相关概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；能初步应用这两个定理．重点难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究．?引入新课1．观察：①圆锥的轴与底面半径都垂直吗？为什么？②圆锥的轴与底面所有直线都垂直吗？为什么？③圆锥的轴与底面垂直吗？2．直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内的直线都，那么直线与平面互相垂直，记作．直线叫做平面；平面叫做直线的；垂线和平面的交点称为．思考：①正投影的投影线与投影面垂直吗？斜投影呢？②在空间过一点有几条直线与已知平面垂直？③在空间过一点有几个平面与已知直线垂直？3．从平面外一点引平面的垂线，，叫做这个点到这个平面的距离．4．直线和平面垂直的判定定理语言表示：符号表示：4．直线和平面垂直的性质定理语言表示：符号表示：?例题剖析例 1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．例2 已知直线// 平面，求证：直线各点到平面的距离相等．根据例2给出直线和平面的距离定义：．?巩固练习1．已知直线，，与平面，指出下列命题是否正确，并说明理由：（1）若⊥，则与相交；（2）若，，⊥，⊥，则⊥；（3）若//，⊥，⊥，则//．2．如图，在正方体中, 则与的位置关系_________．与的位置关系_________．进而可得BD1与平面ACB1的关系．3．某空间图形的三视图如图所示，试画出它的直观图，并指出其中的线面垂直关系．4．如图，已知⊥，⊥，垂足分别为，，且∩=，求证：⊥平面．?课堂小结直线与平面垂直的定义，直线与平面平行的判定定理和性质定理．?课后训练一基础题1．已知⊥平面，，则与的位置关系是()A、//B、⊥C、与垂直相交D、与垂直且异面2．下列命题中正确的是(其中为不相重合的直线，为平面)() ①若//，//，则// ②若⊥，⊥，则//③若//，//，则// ④若⊥，⊥，则//A．①②③④B．①④C．①D．④3．如图，在正方体中，求证⊥．4．如图，是圆的直径，垂直于圆所在平面，是圆上不同于的任一点，求证：⊥平面．二提高题5．已知，直线//平面，直线，求证：⊥．6．在三棱锥中，顶点在平面内的射影是外心，求证：．三能力题7．证明：过一点和已知平面垂直的直线只有一条。

《直线、平面之间的位置关系》教学设计用符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关系；理解直线与平面垂直的含义、了解点面距、线面距、面面距的定义教学重点：直线与平面垂直的含义、点面距、线面距、面面距的定义． 教学难点：从集合的角度理解点、线、面之间的相互关系．PPT 课件．【新知探究】问题1：空间中直线与平面的位置关系，以及平面与平面的位置关系有哪些位置关系？.师生活动：结合图11－1－17，总结空间中直线与平面的位置关系，以及平面与平面的位置关系.预设的答案：直线与平面的位置关系：一般地，如果l 是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则：lα≠∅与l α=∅有且仅有一种情况成立.（1）当l α≠∅时，要么l α⊂，要么l 与α只有一个公共点； （2）当lα=∅时，称直线l 与平面α平行，记作：//l α.平面与平面的位置关系：如果α与β是空间中的两个平面，则αβ≠∅ 与◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标αβ=∅有且仅有一种情况成立．（1）当αβ≠∅时，α与β的公共点组成一条直线；（2）当αβ=∅时，称平面α与平面β平行，记作：//αβ.文字语言表达图形语言表达符号语言表达A是直线l上的点，A1不是直线l上的点A∈l，A1∉l A是平面α内的点，A1不是平面α内的点A∈α，A1∉α直线l在平面α内(或平面α过直线l)l⊂α直线l在平面α外直线l与平面α相交l∩α＝Al⊄α直线l与平面α平行l∥α平面α与平面β相交于l α∩β＝l 平面α与平面β平行α∥β设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题2：观察图中的长方体(1) A1A与AB是否垂直，A1A与AD是否垂直并说明理由；(2) 判断A1A与AC是否垂直；(3) 若直线在平面ABCD 内，且过点A ，判断A 1A 与l 是否垂直.师生活动：引导学生阅读教材，给出结论 预设的答案：直线与平面垂直：由观察可知，图中，不管直线的具体位置如何，只要,A l l ∈⊂平面ABCD ，则一定有1A A l ⊥.追问：如何定义直线与平面垂直？空间距离有哪些？ 预设的答案：直线与平面垂直的定义：一般地，如果直线l 与平面α相交于一点A ，且对平面α内任意一条过点A 的直线m ，都有l m ⊥，则称直线l 与平面α垂直（或l 是平面α的一条垂线，α是直线l 的一个垂面），记作l α⊥），其中点A 称为垂足. 因此，图中长方体中，有1A A ⊥平面ABCD ，类似地，有1A A ⊥平面1111,A B C D 11A B ⊥平面11BCC B .点到平面的距离、直线到平面的距离：给定空间中一个平面α以及一个点A ，过A 可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B ，则称B 为A 在平面α内的射影（也称为投影），线段AB 为平面α的垂线段，AB 的长为点A 到平面α的距离.特别地，当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；平行平面间的距离：当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为两平行平面之间的距离.因此，点1A 到面ABCD 的距离等于线段1A A 的长，直线11A B 到面ABCD 的距离等于线段1A A 的长，面1111A B C D 与面ABCD 之间的距离等于1A A 的长.设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 【巩固练习】 例1.思考辨析(1)直线l 在平面α内，记作l ∈α.( ) (2)若a ∩b ＝∅，则a 与b 平行．( )(3)若l ∩α≠∅，则直线l 与平面α有公共点．( ) (4)若直线l 在平面α外，则直线l 与平面α平行．( )(5)若α∩β≠∅，则平面α与平面β相交，且交于一个点．( ) 师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案： (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 设计意图：了解点、线、面位置关系的表示． 例2. 下列命题中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案： B 当α内的无数条直线平行时，l 与α不一定垂直，故①不对； 当l 与α内的一条直线垂直时，不能保证l 与α垂直，故②不对； 当l 与α不垂直时，l 可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确． 设计意图：直线与平面垂直的概念辨析例3. 如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，AA 1＝3 cm ，则 (1)点A 到平面DCC 1D 1的距离为________； (2)直线AA 1到平面BCC 1B 1的距离为________； (3)平面ABCD 与平面A 1B 1C 1D 1之间的距离为________. 师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案：(1)4 cm (2)6 cm (3)3 cm 设计意图：进一步认识空间距离及求法 【课堂小结】问题：（1）直线与平面、平面与平面位置关系有哪些？ （2）直线与平面垂直是定义是什么？空间距离有哪些？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．直线a 与平面α的位置关系：⎩⎨⎧a ∩α＝∅⇒a ∥αa ∩α≠∅⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 与α相交a 在α内；平面α与平面β的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧α∩β＝∅⇒α与β平行α∩β≠∅⇒α与β相交2．直线与平面垂直：(1)定义：一般地，如果直线l 与平面α相交于一点A ，且对平面α内任意一条过点A 的直线m ，都有l m ⊥，则称直线l 与平面α垂直．(2)点面距：若点A 是平面α外一点，AB ⊥α，B 为垂足，则线段AB 的长 为点A 到平面α的距离．(3)线面距、面面距转化为点面距．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生想出几何体的基本元素、及点、线、面的位置关系，从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．布置作业： 【目标检测】1. 给出下列四个命题：①若直线l ∩m ＝∅，则l 与m 平行；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，直线b ⊂α，则a ∥α；④若m ⊂α，m ∩β＝M ． 那么平面α与平面β相交，其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 设计意图：考查空间两个平面的位置关系 2. 下面叙述中：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线l 是平面α的一条垂线，则直线l 垂直于 平面α内的所有直线；④若直线l 垂直于平面α，则称平面α是直线l 的一个垂面． 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线、平面间的位置关系： ①A 1B 与D 1C ________；②A1B与B1C________；③D1D与平面BCC1B1________；④AB1与平面BCC1________；⑤平面ABB1与平面DCC1_________；⑥平面ABB1与平面DD1A1________.设计意图：考查空间两条直线、空间两个平面的位置关系4.线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD-A′B′C′D′.(1)该长方体的高为________cm；(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________cm；(3)点A到平面BCC′B′的距离为________cm.设计意图：考查空间距离的求法参考答案：1.A对于①，直线l∩m＝∅，即直线l与直线m没有公共点，l与m可能平行，也可能异面，∴l不一定与m平行．故①错．对于②，直线a在平面α外包括两种情形：a∥α，a与α相交，故②错．对于③，由直线a∥b，b⊂α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，故③错．对于④，∵m⊂α，m∩β＝M，∴点M∈α，M∈β，故平面α与平面β相交，故④正确．2.C①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；由定义知②③④正确．3.①平行②异面③平行④相交⑤平行⑥相交4．(1)3(2)4(3)5如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，∴长方体的高为3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm.。

高中数学备课教案空间解析几何中的直线与平面的位置关系高中数学备课教案空间解析几何中的直线与平面的位置关系一、引言在空间解析几何中，直线与平面的位置关系是一个重要的概念，对于理解和应用解析几何具有关键性的作用。

本文将介绍直线与平面的相交、平行以及垂直等关系，并通过案例分析与示意图进行具体说明。

二、直线与平面的相交关系1. 直线与平面相交的定义当一条直线与平面有且仅有一个交点时，我们称这条直线与该平面相交。

2. 直线与平面相交的情况（1）直线穿过平面：当直线穿过平面时，直线与平面相交，此时直线与平面既有一个公共点，又在该点有共线的直线。

（2）直线在平面上：当直线在平面上时，直线与平面相交，此时直线与平面有一条公共直线。

（3）直线平行于平面：当直线与平面平行时，直线与平面相交，但没有公共点。

三、直线与平面的平行关系1. 直线与平面平行的定义如果一条直线与一个平面上的所有直线都不相交，则称这条直线与该平面平行。

2. 判断直线与平面平行的方法（1）平面上的两条直线平行：如果一条直线与平面上的两条平行直线平行，则该直线与该平面平行。

（2）平面上的一条直线平行：如果一条直线与平面上的一条直线垂直，则该直线与该平面平行。

四、直线与平面的垂直关系1. 直线与平面垂直的定义如果一条直线与平面上的所有直线都垂直相交，则称该直线与该平面垂直。

2. 判断直线与平面垂直的方法通过确定直线上一点和平面上的两条相交直线，计算这两个向量的点积，若点积为零则直线与平面垂直。

五、案例分析以解析几何中的直线和平面相交关系为例，给定一个直线和一个平面的方程，通过求解方程组来求出直线与平面的交点。

通过代入数值计算和几何图形分析，得到直线与平面相交的具体结果。

六、结论在高中数学备课教案的空间解析几何中，直线与平面的位置关系是一个关键概念。

通过学习相交、平行和垂直等关系，并结合具体案例分析，可以帮助学生深入理解和应用解析几何中的直线与平面的位置关系。