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高中数学 2.2.1向量加法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4 (2)

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高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4

高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4

【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.

高中数学 2.22.2.1向量加法、减法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4

高中数学 2.22.2.1向量加法、减法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4

跟踪
训练
栏 目 链 接
AB⊥AD，在 Rt△ABC 中， AB＝4×cos 60°＝2， AD＝4×sin 60°＝2 3. ∴v1＝2 3 km/h，v2＝2 km/h.
第三十一页，共35页。
题型4 向量(xiàngliàng)模的性质应用
例4 若|A→B|＝8，|A→C|＝5，则|B→C|的取值范围是________．
求和都适用？
栏
目
链
答案：三角形法则适合所有向量，平行四边形法
接
则对于两个向量共线时不适用．
第十页，共35页。
思考 应用
1．由物理上学习的位移的合成，你能否把三角形法则推广到 n 多边形的情况？
栏
解析：三角形法则可以推广到 n 个向量相加的情况： 目
链
A→B＋B→C＋C→D＋D→E＝A→E(注意字母必须首尾顺次连接首
(4)O→B－O→A－O→C－C→O＝________.
第二十一页，共35页。
解析：(1)A→B＋C→D＋B→C＝A→B＋B→C＋C→D＝A→D.
(2)A→B＋O→A－O→B＝A→B＋B→A＝0.
(3)A→B＋B→D＋C→A＋D→C＝(A→B＋B→D)＋(D→C＋C→A)＝0.
栏 目 链
接
(4)O→B－O→A－O→C－C→O＝A→B－(O→C＋C→O)＝A→B.
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
第十七页，共35页。
自测 自评
3．化简O→P－Q→P＋P→S＋S→P的结果等于( )
A.Q→P
B.O→Q
C.S→P
D.S→Q
栏
目
链
接
答案：B
第十八页，共35页。

高一数学人教A版必修4课件2.2.1 向量加法运算及其几何意义

高一数学人教A版必修4课件2.2.1 向量加法运算及其几何意义

目标导航
预习导引
1
2
பைடு நூலகம்
3
4
1.向量加法的定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
目标导航
预习导引
1
2
3
4
2.向量加法的三角形法则 已知非零向量 a,b,在平面内任取一点 A,作 ������������ =a,������������ =b,则向量 ������������ 叫做 a 与 b 的和,记作 a+b,即 a+b= ������������ + ������������ = ������������ ,这种求向量和 的方法,称为向量加法的三角形法则.
目标导航
预习导引
1
2
3
4
3.向量加法的平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作▱OACB,则以O为起点的对角线
������������就是a与b的和,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
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预习导引
1
2
3
4
4.向量加法的运算律 交换律:a+b=b+a; 结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
目标导航
预习导引
1
2
3
4
预习交流 任意两个非零向量相加,是否都可以用向量的平行四边形法则进行? 提示:不一定,当两向量共线时不能用平行四边形法则,只能用三角形法则.
一
二
三
知识精要
典题例解
迁移应用
一、向量加法运算 1.向量的和及其物理背景 两向量的和仍是一个向量.向量的加法就是求两个向量和的运算,是物理学中位 移、力的合成等在数学运算中的抽象概括. 2.三角形法则和平行四边形法则

高中数学新人教A版必修4课件：第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义

高中数学新人教A版必修4课件：第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义
2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课标要求:1.掌握向量加法的定义,会用三角形法则和平行四边形法则 求(作)两个向量的和向量.2.理解向量加法的交换律和结合律,并会用 它们进行简单的向量运算.
自主学习
知识探究
1.向量加法的定义及运算法则
定义
求两个向量___和____的运算,叫做向量的加法
解:(1) BC + CE + EA = BE + EA = BA . (2) OE + AB + EA =( OE + EA )+ AB = OA + AB = OB (3) AB + FE + DC = AB + BD + DC = AD + DC = AC .
方法技能 向量加法运算的方法 (1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算. (2)要灵活应用加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的 排列顺序,特别注意勿将0写成0.
走了
km;
(4)b+c+d表示向
走了
km.
答案:(1)东北 2 2 (2)西南 2 2 (3)北 2 (4)西 2
5.已知正方形 ABCD 的边长为 1,则︱ AB + BC + AD + DC ︱等于
.
解析:︱ AB + BC + AD + DC ︱=︱2 AC ︱=2 2 . 答案:2 2
课堂探究
证明: AE = AB + BE , FC = FD + DC , 因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AB = DC . 因为 FD=BE,且 FD 与 BE 的方向相同, 所以 FD = BE ,所以 AE = FC , 即 AE 与 FC 平行且相等, 所以四边形 AECF 是平行四边形.

高中数学人教A版必修四 2.2.1向量加法运算及其几何意义公开课教学课件(共21张PPT)

高中数学人教A版必修四 2.2.1向量加法运算及其几何意义公开课教学课件(共21张PPT)

如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
D
C
解：
A
B
（1）如图所示， AD表示船速， AB表示水速，
以AD、AB为邻边作 ABCD,则AC表示 船实际航行的速度.
a ab
.
布置作业
P45-46习题案 选做题：变式训练
向量加 法
课后探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的航 向应该如何?请作图探究.
D
C
5
A2 B
向量加 法
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
复习回顾：
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
向量：既有大小又有方向的量。
平行向量：①方向相同或相反的非零向量。 ②规定零向量与任意向量平行。
相等向量：方向相同并且长度相等的向量 2.零向量和单位向量？
零向量：长度为零的向量叫零向量； 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修4
巩固练习
1.若a表示“向南走10km”,
b表示“向西走10 3km”,

人教A版高中数学必修四课件：第二章2-2-1向量加法运算

人教A版高中数学必修四课件：第二章2-2-1向量加法运算
d
c
f
c
B
( 2) c d ( 4) c d e
C
b
(3) a b d
f
g
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图所示，一艘船 从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的 速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)；



相同 . 引例2：力F 对橡皮条产生的效果，与力 F 与 共同作用的效果 F 2 1

物理学中把力F 叫做 F1与F2的合力

B
C
b
O
ab
A
a
即 a b OA OB OC
向量的加法
上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量.
一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.



0 ( 3 ) A B BD C A DC ________


随堂检测
2、如图，一艘船从 A点出发以 2 3km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水
以2km/h的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向。
解:如图,设用向量AC 表示船向垂直于对岸的速 度，用向量AB 表示水流的速度。
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
A2
An1
An A3
A4
二、向量加法的运算律
B
b
ba
ab
a

高中数学人教A版必修4课件：2.2.1向量加法运算及其几何意义


【解析】选A.因为四边形ABCD为菱形， 所以 A B B C A C ， A B A C B C ，
A C B A B D ， A C A D D C ．
【补偿训练】如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G, H,则 OPOQ= ( )
2.(1)因为四边形OABC是以OA,OC为邻边的平行四边 形,OB是其对角线,故 O A O C O B . (2)因为 BC故FE, B C 方F 向E 与 相B 同C,长度为 的 B C 长度的2倍,故 B C F E A D . (3)因为 OD故FE, O A F E O A O D 0 .
类型一 向量加法法则 【典例】1.(1)如图①所示,求作向量和a+b. (2)如图②所示,求作向量和a+b+c.
2.如图,O为正六边形ABCDEF的中心,指出与下列向量相 等的向量:
（ 1 ） O A O C . 2 B C F E . 3 O A F E .
【审题路线图】1.向量共线⇒利用三角形法则作向量 和;向量不共线⇒利用三角形或平行四边形法则作向量 和. 2.看到正六边形⇒对边平行且相等⇒向量加法平行四边 形法则,向量相等⇒化简.
②平行四边形法则: 已知两个不共线向量a,b,作 O A =a,O B =b,则O,A,B三 点不共线,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则对角 线上的向量_O_C__=a+b. 如图所示:
(3)规定:对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a=a. 2.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=b+a. (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
【方法技巧】向量求和的注意点 (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用. (2)两个向量的和向量仍是一个向量. (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.

高中数学 2.2.1 向量加法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4


多边形法则:
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾 向量的终点的向量．
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1An A1An
A1
An 1
A2
An
A3
A4
二、向量加法的运算律

D
B
a
D
b ba
(a b) c
b
a (b c)
c
A
ab
a
a b ab a b
何时取得等号?
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小.
1、不共线
a
2、共线
a
b
a+ b
b
o· a
a+ b
|a+ b|< |a|+ |b|
A
b
B
a b
a+ b
| a + b |= | a | + | b |
| a + b |= | a | - | b |
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度 (保留两个有效数字);
解:(1)
船实际航行速度
D
C
船速
A
水速 B
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角 表示,精确到度).
在Rt△ABC中, AB =2, BC =5
D
C
2
2
AC AB BC
22 52 = 29 5.4
(2) MA BN AC CB __M__N____
(3) AB BD C A DC ___0_____

数学：2.2.1《向量加法运算及其几何意义》课件(新人教A版必修4)


c f
f g
A
a
cBLeabharlann bC(3)a b d (4)c d e
练一练
如图,已知 a b 用向量加法的三角形法则作出
（1） （2）
ab
b
b
ab
a
b
（3）
ab
（4）
C
a b
B
a
b
b
ab
O
b a
A
向量加法的平行四边形法则
A
a a a a a a a a a a a+b b a
ab
1.若两向量互为相反向量,则它们的和为什么?
a a a 0 （ ）（ ） a
ab
2.零向量和任一向量
3.a b , a b 和 a b 的大小关系如何?
ab
a 的和为什么? a0 0a a
求两个向量和的运算叫做向量的加法.
A
a
b a b
B a+b
O
首 尾 顺 次 相 连
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为
向量加法的三角形法则。
两种特例(两向量平行)
a b a
b
C A
A
a b AC
B
C
B
a b AC
方向相同
课后思考
如图，一艘船从 A点出发能以2 3km/h的速度垂直 向对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度 向东流,求船的航向及速度大小。
C
A
B
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算

高中数学人教版必修4课件2-2-1向量加法运算及其几何意义2

求两个向量__和______的运算，叫做向量的加法．
• 2．向量求和的三角形法则 • 利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的
三角形法则．在运用此法则时，要注意“首尾相接”，即求两个 向量的和是以第一个向量的终点为第二个向量的起点，和向量是 从第一个向起量点的______指向第二个终向点量的______的向量．
试证：对于任意给定向量 a、b，均有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. [错解] 如右图所示，设O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b. 由三角形的性质知||O→A|－|A→B||<|O→B|<|O→A|
＋|A→B|， 即||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. ∴命题成立．
• [分析] 求向量的和要考虑用向量加法的运算法则和运算律．
[解析] (1)P→B＋O→P＋O→B＝(O→P＋P→B)＋O→B＝O→B＋O→B＝ 2O→B.
(2)(A→B＋M→B)＋B→O＋O→M＝(A→B＋B→O)＋(O→M＋M→B)＝A→O＋ O→B＝A→B.
• [点评] 求和的关键是利用三角形法则，将“首尾连接”的两个 向量分在一组．向量加法运算出现零向量时不要将其写成0.
[解析] 解法一：如图所示，首先在平面内任取一点 O， 作向量O→A＝a，再作向量A→B＝b，则得向量O→B＝a＋b；然后作 向量B→C＝c，则向量O→C＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c 即为所求．
解法二：如图所示，首先在平面内任取一点 O，然后作向 量O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，以 OA、OB 为邻边作▱OADB，连 接 OD，则O→D＝O→A＋O→B＝a＋b.
• (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个 向量的起点重合．
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二、向量加法的运算律 b+ a 1.交换律：a+b=____. a+(b+c) 2.结合律：(a+b)+c=________.
思考：试举例说明向量加法的运算律是如何简化运算的？
提示：用交换律、结合律可以将多个向量相加转化为首尾相 接的形式，实现简化运算. 如 NQ QP MN MN NQ QP MP.
【知识点拨】
1.对向量的和及向量加法法则的两点说明
(1)向量的和及其物理背景
两向量的和仍是一个向量.向量的加法就是求两个向量和的运
算,是物理学中位移、力的合成等在数学运算中的抽象概括.
(2)三角形法则和平行四边形法则 三角形法则 物理 模型 使用 条件 平行四边形法则
位移的合成
任意两个非零向量
力的合成
A.BC B.AB C.AC D.AM
)
2.如图所示，已知向量a,b,c,试作出向量a+b+c.
【解题探究】1.几何表示式如何进行加法运算？
2.应用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法运算的过
程可以分别简记为什么？
探究提示：
1.运用加法法则的交换律与结合律，再利用三角形法则化简 . 2.三角形法则简记为“首尾相连，始终连线”；平行四边形 法则简记为“共起点，为邻边，平行四边形共起点的对角 线”.
(3)当a,b非零且同向时，作 OA a， 则 a b OB ， 如图 AB b，
②所示，此时|a+b|=|a|+|b|.
(4)当a,b非零且反向时，若|a|＞|b|.作 OA a,AB b，
则 a b OB, 如图③所示，此时|a+b|=|a|-|b|. 同理可证|a|＜|b|时，|a+b|=|b|-|a|;|a|=|b|时， |a+b|=0=|a|-|b|.
任意两个不共线的向量 共起点,为邻边,平行四边 形共起点的对角线
简记
首尾相连,始终连线
2.探究||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
(1)当a,b有一个为零向量时，不等式显然成立.
(2)当a,b不共线时，作 OA a， 则 a b OB 如图①所 AB b， ，
示，根据三角形边长关系，有||a|-|b||＜|a+b|＜|a|+|b|.
1.应用三角形法则求向量和的基本步骤
2.应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
3.多个向量相加的运算法则
向量求和的三角形法则，可推广到多个向量求和的多边形法 则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向 量的起点重合，组成一个向量折线，这n个向量的和等于折线 起点到终点的向量. 即 A 0 A1 A1A 2 A 2 A 3 A n 2 A n 1 A n 1A n A 0 A n .
(4)矩形ABCD中，BA BC BD. ( (5)若a与b共线，则|a+b|=|a|+|b|.(
提示：(1)错误.两个向量相加，所得结果仍是向量 .
(2)错误.两个向量相加仍是向量.运算时一方面要确定方向，
另一方面要法则可知此运算正确 .
(4)正确.根据向量加法的平行四边形法则可知此运算正确 . (5)错误.若a与b共线反向，则|a+b|＜|a|+|b|. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
一、向量的加法 两个向量和 的运算,叫做向量的加法. 1.定义：求___________
2.三角形法则
前提：已知非零向量a,b,
作法与图示：_______________
(1)在平面内任取一点A.
(2)作 AB a， BC b, 再作向量 AC.
【解析】1.选C.
原式 AB BO OM MB BC AO OM MB BC
AM MB BC AB BC AC.
2.方法一：如图①所示，首先在平面内任取一点 O，作向 量OA a， 再作向量 AB b， 则得向量 OB a b， 然后作向量 BC c， 则向量OC =(a+b)+c=a+b+c即为所求.
【变式训练】(1)如图，已知a，b，分别用向量加法的三角形
法则和平行四边形法则作出a+b.
(2)如图，已知a，b，用向量加法的三角形法则作出a+b.
【解析】(1)如图①所示： a b AC.
(2)如图所示 a b AC.
类型 二
向量加法运算律的应用
(3)对角线____ OC 就是a与b的和.即a+b=________=____. OA OB OC 0+ a a 4.规定：对于零向量与任意向量a，我们规定a+0=____=__. ≤ a|+|b|. 5.结论：|a+b|___|
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量相加，所得结果有可能是一个数量.( (2)两个向量相加就是两个向量的模相加.( (3) CD DE CE. ( ) ) ) ) )
方法二：如图②所示，首先在平面内任取一点 O，作向量
OA a， OB b， OC c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，
则 OD OA OB a b.
再以OD，OC为邻边作▱ODEC，
连接OE， 则 OE OD OC =a+b+c即为所求.
【拓展提升】
综上分析可知||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
3.验证向量加法的运算律的思路 (1)向量不共线时，用三角形法则和平行四边形法则. (2)非零共线向量，从向量的长度和方向两个方面分析.
类型 一
向量加法法则的应用
【典型例题】
1.(AB MB) (BO BC) OM 化简后等于(
AB BC AC. (3)向量___ AC 叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=________=
3.平行四边形法则 不共线 的向量a,b, 前提：已知_______
作法与图示：_____________
(1)在平面内任取一点O.
(2)以同一点O为起点的两个已知向量a, b为邻边作□ OACB.