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教案设计高中数学《抛物线的简单几何性质》一、教材分析（一）教学内容《抛物线的简单几何性质》是人教版高中数学（必修）第二册上第八章的第6节的内容。
本节课的主要内容是探究抛物线的简单几何性质及应用。
通过对抛物线的简单几何性质进行分析，并利用这些性质来解决简单的几何问题。
（二）教材的地位和作用本节课是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，该内容是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。
其中，蕴含的数形结合思想也是高中数学的重要思想。
学习本节课的内容能够较好地培养学生抽象概括能力，观察分析能力和探索求知的精神。
（三）课时安排本节内容安排1课时完成教学。
二、教学目标根据新课程标准的理念以及对教材的分析和高中学生的认知规律，本课节的教学目标确定为：知识目标：掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
能力目标：让学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力，以及对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。
情感目标：通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。
三、难重点分析重点：抛物线的简单几何性质。
只有在完全掌握抛物线的简单几何性质的基础上，才能自如地解决相关几何问题。
难点：抛物线的简单几何性质的应用。
要求能灵活地运用抛物线的性质来解决简单的几何问题。
四、教法与学法分析（一）教法分析本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。
先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。
2.3.2抛物线的简单几何性质教学目标1.知识与技能(1)理解抛物线的几何性质及应用．(2)掌握与抛物线有关的轨迹的求法及直线与抛物线的位置关系．2．过程与方法通过对抛物线几何性质的探究与应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辨证唯物主义教育，通过对抛物线对称美的感受激发学生对美好事物的追求．教学重点：(1)抛物线的几何性质．(2)根据给出的条件求出抛物线的标准方程．教学难点：抛物线各个几何性质的灵活应用，直线与抛物线的位置关系问题．抛物线的几何性质问题导思类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？[答案]范围、对称性、顶点、离心率．p p p p直线与抛物线的位置关系 问题导思1．结合直线与椭圆、双曲线的位置关系，请你思考怎样讨论直线与抛物线的位置关系？ [答案] 联立直线与抛物线的方程，消元后，用“Δ”法．2．如果直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切，对吗？为什么？ [答案] 不对．因为直线与抛物线只有一个公共点包括两种情况：①相切；②直线为抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴平行．直线与抛物线的位置关系有相离、相切、相交三种情形，可以通过联立方程，判定解的个数来确定.典例精析例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点为坐标原点，并且经过点M （2，），求它的标准方程.解：因为抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M （2，），所以，可设它的标准方程为因为点M 在抛物线上，所以 即p =2.因此,所求抛物线的标准方程是例2斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.[解析]由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l 的斜率为1，所以可以求出直线l 的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A ,B 两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出∣AB ｜.这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.下面，我们介绍另外一种方法——数形结合的方法.如图，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.由抛物线的定义可知|AF |等于点A 到准线的距离|AA ’|设|AA ’|=d A ,而d A =x 1+1，于是|AF|= d A =x 1+1.同理|BF |=|BB ’|= d B =x 2+1，于是得|AB |=|AF |+|BF |= x 1+x 2+2由此可见，只要求出点AB 的横坐标之和x 1+x 2,就可以求出|AB|.--22(0)y px p =>2(22,p -=⨯24.y x =解：由题意得，p =2,，焦点F (1，0),准线l :x =-1.如图，设设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），A ,B 到准线的距离分别为d A , d B .由抛物线的定义可知|AF|= d A =x 1+1，|BF |=|BB ’|= d B =x 2+1， 于是AB =|AF|+|BF |=x 1+x 2+2，由已知得抛物线的焦点为F (1，0),所以直线AB 的方程为y =x -1.① 将①代入方程y 2=4x ，得 （x -1）2=4x 化简得x 2-6x +1=0 由求根公式得x 1, x 2, 于是|AB |= x 1+ x 2=8. 所以，线段AB 的长是8.例3 过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.[解析]我们用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线DB 与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图所示的直角坐标系，只要证明点D 的纵坐标与点B 的纵坐+标相等即可.证明：如图，以抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系.设抛物线的方程为12p=22y px, (1)=过点A 的坐标为（，y 0）,则直线OA 的方程为抛物线的准线方程是联立(2)(3)，可得点D 的纵坐标为因为点F 的坐标为（，0），所以直线AF 的方程为联立(1)(5)，可得点B 的纵坐标为由(4)(6)可知，DB ∥x 轴. 当y 2=p 2时，结论显然成立.所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴.例4 已知抛物线的方程为y 2=4x ，直线l 过定点P （-2,1），斜率为k , k 为何值时，直线l 与抛物线y 2=4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？[解析]用[解析]法解决这个问题，只要讨论直线l 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l 与抛物线的位置关系.202y p0020py x(y ), (2)y =≠2px . (3)=-2p y . (4)y =-2p022022022py py (x ), (5)y p y p .=--≠其中2p y . (6)y =-由方程组()12 ,y k x .-=+解：由题意设直线的方程为l ()2124y k x ,y x ,⎧-=+⎪⎨=⎪⎩()*()244210-++=可得ky y k ()101k ,y .==当时由方程得21144y y x,x .===把代入得114,(,).这时直线与抛物线只有一个公共点l ()()2201621k , k k .≠∆=-+-当时方程的判别式为211021012,k k ,k ,k .︒∆=+-==-=由即解得或112,k ,k ,,.,.=-=*于是当或时方程①只有一个解从而方程组（）只有一个解这时直线与抛物线只有一个公共点l 212021012,k k ,k .︒∆>+-<-<<由即解得1102,k k ,,.,.-<<≠于是当,且时方程有两个解从而方程组有两个解这时直线与抛物线有两个公共点l 112,k ,k ,,.,.<->于是当或时方程 没有实数解从而方程组没有解这时直线与抛物线没有公共点l ,综上我们可得1102k ,k ,k .=-==当或或时，直线与抛物线只有一个公共点l课堂检测1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x[解析] 由题意知抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴标准方程为y 2＝8x .[答案] B2．直线y ＝2与抛物线y 2＝8x 的公共点的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个[解析] 直线y ＝2与抛物线y 2＝8x 的对称轴平行，故直线与抛物线只有一个公共点． [答案] B3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________.[解析] |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. [答案] 84．通过抛物线的焦点且垂直于抛物线的对称轴的直线与抛物线交于两点，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，求证：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的通径长为2p .证明 如图，过通径的两端点A 、B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，由题意四边形AA ′B ′B 是矩形，由抛物线的定义知：AA ′＝AF ＝p ，BB ′＝BF ＝p ，1102k k ,.-<<≠当，且时直线与抛物线有两个公共点l 112k ,k ,,.<->当或时直线与抛物线没有公共点l∴通径AB的长为：AF＋BF＝2p.课堂小结1．求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线动点的规律，一般用定义法．2．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，设而不求，能避免求交点坐标的复杂运算．3．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质等.。
《抛物线的简单几何性质》公开课教案一、三维目标：1、知识与能力:（1）掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；（2）能根据抛物线的方程对抛物线几何性质进行讨论，2、过程和方法:（1）掌握抛物线的简单几何性质并会在实际问题中简单运用；（2）训练自己用坐标法解题的能力；3、情感态度与价值观:（1）通过本节学习训练自己分析问题，解决问题和归纳总结能力，并认识到事物之间是相互联系的。
（2）培养学生数形结合及方程的思想，了解抛物线在实际问题中的初步应用。
二、教学重难点：1、教学重点：抛物线的几何性质及其运用2、教学难点：抛物线几何性质的运用三、教学过程：（一）、复习引入：1、抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.2、抛物线的图象与表示形式：3、学生探究活动：回顾:探究椭圆、双曲线的几何性质时是从哪几个方面研究的？有哪些性质?抛物线呢?简单几何性质：（1）范围，（2）对称轴，（3）顶点，（4）离心率。
（二）新课讲授：1、建构数学归纳：抛物线的几何性质列表如下：程标轴 轴 轴 轴项系数符号决定开口方向，而且可以迅速算出焦点坐标为 （2p，0）和准线方程为x = 2-p 。
2、（学生活动一）问题2：通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？抛物线标准方程和椭圆、双曲线的标准方程不同的是：确定抛物线只要一个量p ，而确定椭圆和双曲线则需要两个量a,b 。
（1）、抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线（2）、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;（3）、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线（4）、抛物线的离心率是确定的,为1; 问题3：抛物线标准方程中的p 对抛物线开口有何影响?“P越大,开口越开阔”拓展：（1）通径：过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，|AB|=2p 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.2p越大，抛物线张口越大.（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
2.3.2 抛物线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)1.借助直线与抛物线的位置关系，培养学生的直观想象和数学运算的素养.2.借助抛物线的几何性质解题，提升逻辑推理的素养.1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形性质焦点⎝⎛⎭⎫p2，0⎝⎛⎭⎫－p2，0⎝⎛⎭⎫0，p2⎝⎛⎭⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R性质对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝x1＋x2＋p.3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋b，y2＝2px解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4xC [由准线方程为x ＝－2，可知抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且p ＝4，所以抛物线的方程为y 2＝2px ＝8x .]2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4B [|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]3．直线y ＝2x －1与抛物线x 2＝12y 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2＝12y ，得2x 2－2x ＋1＝0，即Δ＝4－8<0， ∴y ＝2x －1与x 2＝12y 无交点，故选C ．]抛物线的几何性质求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．[解] 当焦点在x 轴的正半轴上时，设方程为y 2＝2px (p >0)． 当x ＝p2时，y ＝±p ，由|AB |＝2p ＝8，得p ＝4.故抛物线方程为y 2＝8x ，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2. 当焦点在x 轴的负半轴上时，设方程y 2＝－2px (p >0)．由对称性知抛物线方程为y 2＝－8x ， 焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2.抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，为p 2.[跟进训练]1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33x C ．y 2＝±36xD ．y 2＝±33xC [设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．又A ⎝⎛⎭⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .故选C ．]抛物线的焦点弦问题(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．[思路点拨] (1)设出l 的方程，与抛物线联立，消去y 得关于x 的一元二次方程，利用|AB |＝x A ＋x B ＋p 求解．(2)由代数法或几何法求解．[解] (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3， 又F ⎝⎛⎭⎫32，0.所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝5＋3＝8.(2)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.法二：如图，作AC ⊥l ，BD ⊥l ，ME ⊥l ，易知|ME |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝12×9＝92.1．已知AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2 θ(θ为直线AB 的倾斜角)； (3)S △ABO ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)；(4)1|AF |＋1|BF |＝2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p .[跟进训练]2．过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且A ，B 两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C 的方程．[解] 由于抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，故可设直线AB 的方程为x ＝my ＋p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1y 2＝－p 2， ∴－p 2＝－4. 由p >0，可得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .直线与抛物线的位置关系1．过点(1,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个公共点的直线有几条？ 提示：两条，如图．2．借助直线与抛物线的方程组成的方程组解的个数能否说明直线与抛物线的位置关系？ 提示：不一定．当有两解或无解时，可以说明两者的关系，但只有一解时，需分清相交还是相切．【例3】 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有：(1)一个公共点？ (2)两个公共点？(3)没有公共点？ [思路点拨]联立方程组――→消元关于x 的方程――――――――――――→讨论x 最高项的系数再分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三类求解[解] 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点．直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k 2x 2＋(2kb －2p )x ＋b 2＝0.(1)若k 2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．(2)若k 2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．[跟进训练]3．求过定点P (0,1)，且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． [解] 如图所示，若直线的斜率不存在， 则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，设为k ，则过P 的直线方程为y ＝kx ＋1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0， 当k ＝0时，得x ＝12，y ＝1.故直线y ＝1与抛物线相交，只有一个公共点． 当k ≠0时，由直线与抛物线只有一个公共点， 则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，∴k ＝12，此时直线y ＝12x ＋1与抛物线相切，只有一个公共点．∴y ＝1或y ＝12x ＋1为所求的直线方程．故所求的直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ>0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ<0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．1．判断正误(1)在抛物线y 2＝2px (p >0)中，p 值越大，抛物线的开口越开阔，p 值越小，开口越扁狭．( ) (2)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形． ( ) (3)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上． ( ) (4)直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切． ( ) (5)直线与抛物线相交时，直线与抛物线不一定有两个公共点． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√2．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．18A [线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.]3.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝3xB ．y 2＝9xC ．y 2＝32xD ．y 2＝92xA [过A 、B 作l 的垂线，分别交l 于A 1、B 1点． 因为|BB 1|＝|BF |，|BC |＝2|BF |，所以∠B 1BC ＝60°， 所以∠A 1AF ＝60°，又因为|AA 1|＝|AF |，所以|A 1F |＝3， 所以|O 1F |＝32＝p ，所以抛物线的方程为y 2＝3x .]4．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点的距离为6.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．[解] (1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p2，因为P (4，m )到焦点的距离等于P 到其准线的距离，所以4＋p2＝6，所以p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，消去y ，得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0.因为直线y ＝kx －2与抛物线相交于不同的两点A ，B ，则有k ≠0，Δ＝64(k ＋1)>0， 解得k >－1且k ≠0. 又x 1＋x 22＝2k ＋4k2＝2，解得k ＝2或k ＝－1(舍去)，所以k 的值为2.。
抛物线的简单几何性质教案教案标题：抛物线的简单几何性质教案目标：1. 了解抛物线的定义和基本性质。
2. 掌握抛物线的焦点、准线、顶点等重要概念。
3. 能够应用抛物线的性质解决简单几何问题。
教案步骤：步骤一：引入1. 引导学生回顾直线、圆等几何图形的性质，引出抛物线的概念。
2. 展示一张抛物线的图像，让学生观察并描述其形状和特点。
3. 引导学生思考抛物线的性质和应用领域。
步骤二：抛物线的定义和基本性质1. 讲解抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
2. 介绍抛物线的基本性质：a. 抛物线关于准线对称。
b. 焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
c. 抛物线的顶点是其最高（或最低）点，对称轴经过顶点。
d. 抛物线开口方向由抛物线的二次项系数的正负决定。
步骤三：抛物线的重要概念1. 介绍抛物线的焦点、准线和顶点的定义和性质。
2. 指导学生通过几何构造方法确定抛物线的焦点、准线和顶点。
步骤四：抛物线的应用1. 给出一些简单的抛物线几何问题，如：已知焦点和准线，求抛物线方程；已知顶点和焦点，求抛物线方程等。
2. 引导学生分析问题，运用抛物线的性质解决问题。
3. 给予学生充分的练习机会，巩固抛物线的性质和应用。
步骤五：小结与拓展1. 对本节课所学内容进行小结，强调抛物线的定义和基本性质。
2. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考抛物线的性质和应用。
教学资源：1. PowerPoint或白板等教学工具。
2. 抛物线的图像和实例题目。
教学评估：1. 课堂练习：布置一些练习题，检验学生对抛物线的理解和应用能力。
2. 个人或小组作业：要求学生解答一些抛物线相关的问题，加深对知识的理解。
教学延伸：1. 引导学生进一步探究抛物线的性质和应用，如抛物线的焦半径、离心率等。
2. 引导学生进行实际观察和实验，了解抛物线在现实生活中的应用，如抛物线反射器、喷泉喷水形状等。
备注：该教案适用于中学数学教学，学生年级和学习能力可以根据实际情况进行调整。
《抛物线的简单几何性质》教学设计中山市杨仙逸中学梁永毅一、本节课内容分析与学情分析1、教材的内容和地位本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版《数学》选修1—1第二章第三节的内容。
它是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，是高中数学的重要内容。
本节内容的学习，是对前面所学知识的深化、拓展和总结，可使学生对圆锥曲线形成一个系统的认识，同时也是一个培养学生数学思维和让学生体会数学思想的良好机会。
2、学生情况分析在此内容之前，学生已经比较熟练的掌握了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质，以及研究问题的基本方法。
本节课，学生有能力通过类比椭圆、双曲线的几何性质，结合抛物线的标准方程去探索抛物线的几何性质。
可培养学生的自主学习能力和创新能力。
二、教学目标1、知识与技能：（1）理解并掌握抛物线的几何性质。
（2）能够运用抛物线的方程探索抛物线的几何性质。
能力目标：2、过程和方法：注重对研究方法的思想渗透，掌握研究曲线性质的一般方法；培养运用数形结合思想解决问题的能力。
3、情感态度价值观：通过对几何性质的探索活动，亲历知识的构建过程，使学生领悟其中所蕴含的数学思想，数学方法，体会新知识探索过程中带来的快乐和成就感。
让学生养成自主学习，合作探究的习惯。
三、教学重点、难点教学的重点是掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。
难点是抛物线各个知识点的灵活应用。
四、教学方法及手段采用引导式、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。
五、教学程序教 学 过 程教学内容教师导拨与学生活动设计意图一、知识回顾1、 抛物线的定义：在平面内,与一个定点F 和一条定直线不经过点F 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 2、 抛物线的标准方程2, 22-图形标准方程 焦点坐标准线方程抛物线的定义及标准方程由学生口述，老师展示结论 强化)0(22>=p px y )0,2(p 2p x -=)0(22>-=p px y )0,2(p -2p x =)0(22>=p py x )2,0(p2p y -=)0(22>-=p py x )2,0(p -2p y =22(0)y px p =>0≥x 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示。
2.3.2 抛物线的几何性质（二）【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。
【教学目标】：（1）知识与技能：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；掌握直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。
（2）过程与方法：重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。
（3）情感、态度与价值观：培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。
【教学重点】：抛物线的几何性质及其运用。
【教学难点】：抛物线几何性质的运用。
【课前准备】：或投影片【教学过程设计】：回顾抛物线的几何性质：2121212211()4y y y y y k -=++-222121211()4x x k x x x -=++-例1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线)0(22>=p px y 上，求这个正三角形的边长．分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x 轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长．解：如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则 1212px y =，2222px y =又|OA |＝|OB |，所以 22222121y x y x +=+ 即 22212122px x px x +=+0)(2)(212221=-+-x x p x x5．顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线12+=x y 截得的弦长为15，求抛物线的方程（答案：x y 122=或x y 42-=）四、课后练习 1．斜率为1的直线经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．解：如图，由抛物线的标准方程可知， 抛物线焦点的坐标为F (1，0)， 所以直线AB 的方程为y =x -1① 与y 2=4x ②联立，解得：将x 1、x 2的值代入方程①中，得即A 、B 的坐标分别为()322,222++、()322,222--()()2242428AB ∴=+= 2．已知抛物线()022>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程（答案：x y =2）3. 已知ABC ∆的三个顶点是圆0922=-+x y x 与抛物线()022>=p px y 的交点，且ABC ∆的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程（答案：x y 42=）4．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上，（1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线AB 是否经过一个定点，若经过，求出该定点练习与测试：1．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是（ ） (A) x 2＝8y (B) x 2＝4y (C) x 2＝2y (D) y x 212=2．抛物线y 2＝8x 上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是 (A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，22） (D) （1，±22）3． 直线l 过抛物线)0()1(2>+=a x a y 的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则=a ( ) A. 4 B. 2 C.41 D. 214．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为5．抛物线y 2＝－6x ，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是6．以双曲线191622=-y x 的右准线为准线，以坐标原点O 为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB ，求△OAB 的面积．7．已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点 ,①求证;OB OA ⊥;②当OAB ∆的面积等于10时,求k 的值.测试题答案： 1．A2．D 3．A 4．x 2＝±8y 5．9)23(22=++y x 6257．解析(证明):设 ),(),,(222121y y B y y A --; )0,1(-N),1(),1(222121y y NB y y NA -=-=,由A ,N ,B 共线21222211y y y y y y -=- )()(212112y y y y y y -=-∴, 又21y y ≠121-=∴y y --------------------------------------------------------------③OB OA y y y y y y y y OB OA ⊥∴=+=+=•∴0)1(2121222121② 12121y y S OAB-⋅⋅=∆ 由⎩⎨⎧+=-=)1(2x k y x y 得02=-+k y ky 61,104121121212±=∴=+=-⋅⋅=∴∆k k y y S OAB。
2．3.1 抛物线及其标准方程(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线．2．过程与方法掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概括的能力．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．●重点、难点重点：(1)抛物线的定义及焦点、准线；(2)抛物线的四种标准方程和p的几何意义．难点：在推导抛物线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系．以多媒体课件为依托，课件可增强课堂教学的直观性、趣味性，促进学生积极思维，能够在动态演示过程中突出教学重点，化解教学难点．(教师用书独具)●教学建议本节课主要采用启发引导法．在整个教学过程中，引导学生观察、分析、归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开，培养学生学习的兴趣，也充分体现了以教师为主导，学生为主体的教学理念．同时，采用多媒体辅助教学，借助多媒体快捷、形象、生动的辅助作用，突出知识的形成过程，符合学生的认识规律，也可以增加趣味．本节课从引入课题开始，尽可能让学生参与知识的产生及形成过程，充分发挥学生的主体作用，使学生全方位地参与问题结论的得出，教师只起到点拨作用．这样做增加了学生的参与机会，提高了参与意识，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体．●教学流程创设问题情境，引出问题；抛物线上的点应满足什么条件？⇒引导学生结合二次函数图象，比较、分析导出抛物线的定义以及焦点和准线的概念.⇒类比椭圆、双曲线标准方程的导出过程，推导抛物线的四种标准方程.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握抛物线的概念的理解与应用.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握求抛物线标准方程的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第36页)课标解读1.掌握抛物线的定义及其标准方程．(重点)2．了解抛物线的实际应用．(难点)3．能区分抛物线标准方程的四种形式．(易混点)抛物线的定义【问题导思】我们知道，二次函数的图象是抛物线，那么抛物线上的点应满足什么条件呢？【提示】抛物线上的点满足到定点的距离等于它到定直线的距离．平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．【问题导思】抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？【提示】不能，若l经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于l的一条直线.抛物线的标准方程1．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，建立的抛物线方程才能更简单？【提示】根据抛物线的几何特征，可以取经过点F且垂直于直线l的直线为x 轴，以F到l的垂线段的中垂线为y轴建系．2．抛物线的标准方程只有一种形式吗？【提示】有四种形式．四种不同标准形式的抛物线方程图形标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)焦点坐标(p2，0)(－p2，0)(0，p2)(0，－p2)准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2(对应学生用书第36页)抛物线概念的理解与应用(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点A(6，y0)，且点A到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是( )A．4 B．8 C．13 D．16(2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是( )A．y2＝－16x B．y2＝－32xC．y2＝16x D．y2＝16x或y ＝0(x＜0)【思路探究】(1)由抛物线的定义，点A到焦点的距离与什么相等？(2)点P 到F的距离比它到定直线x＋5＝0的距离小1，那么点P到F的距离与它到哪条直线的距离相等？【自主解答】(1)由题意6＋p2＝10，∴p＝8.(2)因为点F(4,0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，所以点P到F(4,0)的距离与到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.【答案】(1)B (2)C1．根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷．2．抛物线标准方程中的p 的几何意义是：焦点到准线的距离．3．对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题，实际上也是抛物线问题．(1)抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则A 点到抛物线焦点的距离为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5(2)若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x【解析】 (1)由抛物线的定义，点A 到焦点的距离等于它到准线的距离，而A 到准线的距离为4＋p2＝4＋1＝5.(2)由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x ＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，其方程为y 2＝8x .【答案】 (1)D (2)A求抛物线的标准方程(1)过点M (－6,6)．(2)焦点在直线l ：3x －2y －6＝0上．【思路探究】 (1)过点M (－6,6)的抛物线的开口方向有几种情况？(2)直线l ：3x －2y －6＝0上有无数个点，哪些点是抛物线的焦点？【自主解答】 (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上．若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y2＝－2px(p＞0)，将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x；若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)，将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，∴抛物线的焦点是F(2,0)，∴p2＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程是y2＝8x.②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，即抛物线的焦点是F(0，－3)，∴p2＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.1．只有当抛物线的顶点在原点，焦点在x轴或y轴上时，其方程才是标准形式，抛物线的标准方程有四种情况．2．尽管抛物线的标准方程有四种，但方程中都只有一个待定系数，求标准方程时仍遵循先定位后定量的原则，同时要运用好参数p的几何意义．3．有时可以设标准方程的统一形式，以避免讨论，如焦点在x轴上，开口不确定的抛物线可设方程为y2＝2ax(a≠0)，解出a值的正负后，开口方向也自然确定了．若把本例题目改为：(1)过点(1,2)．(2)焦点在直线x －2y －4＝0上． 试求抛物线的标准方程．【解】 (1)点(1,2)在第一象限，分两种情形： 当抛物线焦点在x 轴上时，设其方程为y 2＝2px (p >0)， 则22＝2p ·1，解得p ＝2， 抛物线标准方程为y 2＝4x ；当抛物线焦点在y 轴上时，设其方程为x 2＝2py (p >0)， 则12＝2p ·2，解得p ＝14，抛物线标准方程为x 2＝12y .(2)令方程x －2y －4＝0的x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4. ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)， 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8， 这时抛物线标准方程为y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p ＝4，这时抛物线标准方程为x 2＝－8y .抛物线的实际应用问题如图2－3－1所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．图2－3－1(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?【思路探究】 (1)如图所示数据，你能求出抛物线的方程吗？ (2)车辆限制高度是什么意思？由题意该求哪些量？ 【自主解答】 如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以该抛物线的方程为x 2＝－5y .(2)设车辆高h ，则|DB |＝，一木船宽4 m ，高2 m ，载货后木船露在水面上的部分高为34m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？【解】 以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y 轴，建立如下图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意知，点A (4，－5)在抛物线x 2＝－2py (p ＞0)上．所以16＝－2p ×(－5)，2p ＝165. 所以抛物线方程为x 2＝－165y (－4≤x ≤4)．设水面上涨船面两侧与抛物线拱桥接触于B 、B ′时，船开始不能通航．设B (2，y )，由于22＝－165×y ，所以y ＝－54. 所以水面与抛物线拱顶相距|y |＋34＝2(m)．答：水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m 时，船开始不能通航.(对应学生用书第39页) 忽略对抛物线方程中系数的讨论致误设抛物线y 2＝ax 的准线与直线x －2＝0的距离为5，求抛物线的方程． 【错解】 由抛物线方程y 2＝ax 得准线方程为x ＝－a4.又准线与直线x －2＝0的距离为5，∴准线方程为x ＝－3，∴－a4＝－3，∴a ＝12.∴抛物线的方程为y 2＝12x .【错因分析】 产生错解的原因是对抛物线方程y 2＝ax 中的系数a 的理解不全面，只认为a ＞0，而忽视了a ＜0的情况．【防范措施】 求解抛物线方程中涉及系数问题时，要充分考虑各种情况，以免因遗漏致误．【正解】 由抛物线方程y 2＝ax ，得准线方程为x ＝－a4，∵准线与直线x －2＝0的距离为5，∴准线方程为x ＝－3或x ＝7， ∵当a ＞0时，有x ＝－a 4＝－3，解得a ＝12，∴抛物线方程为y 2＝12x ；∵当a ＜0时，有x ＝－a4＝7，解得a ＝－28，∴抛物线方程为y 2＝－28x .综上所述，所求抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－28x .1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系在解题时，若能灵活运用，会带来很大的方便．2．求抛物线的标准方程时，由于其标准形式有四种且极易混淆，解题时一定要做到数形结合，再按照“先定形”再“定量”的程序求解.(对应学生用书第39页)1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )A．(2,0) B．(－2,0)C．(4,0) D．(－4,0)【解析】由y2＝－8x，得2p＝8，∴p2＝2.从而抛物线的焦点为(－2,0)．【答案】 B2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( ) A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 【解析】由准线x＝－2及顶点在原点，∴焦点F(2,0)，p＝4.∴抛物线的方程为y2＝8x.【答案】 B3．若动点P 到定点F (－4,0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是( )A ．抛物线B ．线段C ．直线D ．射线【解析】 由抛物线的定义可知，点P 的轨迹是抛物线． 【答案】 A4．抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标．【解】 设焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，M 点到准线的距离为d .则d ＝|MF |＝10，即9＋p2＝10.∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x ， 将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6.∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6).(对应学生用书第99页)一、选择题1．(2013·济南高二检测)若动点P 与定点F (1,1)和直线3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线【解析】 由于点F (1,1)在直线3x ＋y －4＝0上，故满足条件的动点P 的轨迹是一条直线．【答案】 D2．(2013·新乡高二检测)设动点C 到点M (0,3)的距离比点C 到直线y ＝0的距离大1，则动点C 的轨迹是( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆【解析】 由题意，点C 到M (0,3)的距离等于点C 到直线y ＝－1的距离，所以点C 的轨迹是抛物线．【答案】 A3．抛物线y 2＝4px (p ＞0)上一点M 到焦点的距离为a ，则M 到y 轴的距离为( ) A ．a －p B ．a ＋p C ．a －p2D ．a ＋2p【解析】 y 2＝4px 的准线方程为x ＝－p ， 设M 点坐标为(x 1，y 1)，则x 1＋p ＝a ， ∴x 1＝a －p . 【答案】 A4．(2013·东营高二检测)若抛物线的焦点恰巧是椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝－4x B ．y 2＝4x C ．y 2＝－8xD ．y 2＝8x【解析】 椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，故抛物线的焦点为(2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线标准方程为y 2＝8x .【答案】 D5．(2013·洛阳高二检测)已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一动点，F 为焦点，定点P (3,1)，则|MP |＋|MF |的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 如图所示，过点P 作PN 垂直于准线x ＝－1于点N ，交抛物线于点M ，∴|MN |＝|MF |，此时|MP |＋|MF |取得最小值，最小值为x p ＋p2＝3＋1＝4.【答案】 B 二、填空题6．抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是________． 【解析】 由y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线为x ＝－1， ∴焦点到准线的距离为2. 【答案】 27．(2013·三明高二检测)以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________．【解析】 由x 24－y 25＝1知a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9，双曲线右焦点为(3,0)， 依题意，抛物线的焦点F (3,0)，p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝12x . 【答案】 y 2＝12x8．(2012·陕西高考)如图2－3－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.图2－3－2【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py 得p ＝1.∴x 2＝－2y .当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，将其坐标代入x 2＝－2y 得x 20＝6， ∴x 0＝ 6.∴水面宽|CD |＝2 6 m.【答案】 2 6 三、解答题9．根据下列条件，分别求抛物线的标准方程． (1)准线方程为y ＝－1； (2)焦点到准线的距离是4.【解】 (1)准线为y ＝－1，所以p2＝1，即p ＝2，所以抛物线标准方程为x 2＝4y .(2)p ＝4，所以抛物线标准方程有四种形式：y 2＝8x ，y 2＝－8x ，x 2＝8y ，x 2＝－8y .10．抛物线的焦点F 在x 轴上，点A (m ，－3)在抛物线上，且|AF |＝5，求抛物线的标准方程．【解】 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上， 所以当m ＞0时，点A 在第四象限，抛物线的方程可设为y 2＝2px (p ＞0)， 设点A 到准线的距离为d ， 则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－32＝2pm ，p2＋m ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12.所以抛物线的方程为y 2＝2x 或y 2＝18x ，当m ＜0时，点A 在第三象限，抛物线方程可设为y 2＝－2px (p ＞0)， 设A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2－m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－32＝－2pm ，p2－m ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝－92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝－12.所以抛物线的方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x 或y 2＝2x 或y 2＝18x . 11．已知抛物线x 2＝4y ，点P 是此抛物线上一动点，点A 坐标为(12,6)，求点P 到点A 的距离与到x 轴距离之和的最小值．【解】 将x ＝12代入x 2＝4y ，得y ＝36＞6，所以A 点在抛物线外部． 抛物线焦点F (0,1)，准线l ：y ＝－1.过P 作PB ⊥l 于点B ，交x 轴于点C ，则|PA |＋|PC |＝|PA |＋|PB |－1|＝|PA |＋|PF |－1，由图可知，当A 、P 、F 三点共线时，|PA |＋|PF |最小．∴|PA |＋|PF |的最小值为|FA |＝13.故|PA |＋|PC |的最小值为12.(教师用书独具)如图所示，动圆P与定圆C：(x－1)2＋y2＝1外切且与y轴相切，求圆心P的轨迹．【解】设P(x，y)，动圆P的半径为r.∵两圆外切，∴PC＝r＋1.又圆P与y轴相切，∴r＝|x|(x≠0)，即x－12＋y2＝|x|＋1，整理得y2＝2(|x|＋x)．当x＞0时，得y2＝4x；当x＜0时，得y＝0.∴点P的轨迹方程是y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)，表示一条抛物线(除去顶点)或x轴的负半轴．已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝2，且点P与圆心A的距离等于点P 到直线l的距离，求点P的轨迹方程．【解】依题意可知，P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，∴点P的轨迹为抛物线且p＝4，∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.。
《抛物线的简单几何性质》教学案教学目标：1、掌握抛物线的几何性质，能应用性质解决有关问题；2、从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力.教学重点：抛物线的几何性质及其运用.教学难点：抛物线几何性质的运用.教学过程设计：一、温故知新1．抛物线的定义.2．抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程.二、探索新知同学们觉得这节课应该研究 什么内容？类比椭圆、双曲线的研究过程，这节课应该来研究“抛物线的几何性质”. 提醒学生从数(方程)和形(图像)两个角度去研究抛物线的几何性质.请学生自己先类比椭圆双曲线的几何性质的研究方法，必要时可与同桌讨论.类似研究双曲线的性质的过程，我们以()022>=p px y 为例来研究一下抛物线的简单几何性质：1．范围数：由抛物线y 2 =2px (p >0)所以抛物线的范围为 0x ≥形：抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，︱y ︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.2．对称性数： (),x y Q 与 (),x y -关于 x 轴对称，若点 (),x y 在抛物线上，即满足 22y px =， 则 ()22y px -=，即点(),x y -也在抛物线上， 0p >220px y =≥o x )0,2(p F P(x,y)故抛物线22y px =()0p >关于x 轴对称.形：从图像观察，关于x 轴对称，显而易见.注意：抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.3．顶点定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.数：()220y px p ∴=>中，令0y =则0x =即抛物线()220y px p =>的顶点是()0,0 形：从图像看，显然原点既是顶点.注意：这与椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点不同.4.离心率定义：抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率. 由定义知， 抛物线y 2 = 2px (p >0)的离心率为e =1.探究：对于其它几种形式的方程，它们的性质如何，学生分析回答：(通过对照完成表) 练习1：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？(1)抛物线只位于___________个坐标平面内，它可以无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有___________条对称轴，___________对称中心；(3)抛物线只有___________个顶点、___________个焦点、___________条准线；(4)抛物线的离心率是确定的，其值为___________．思考：抛物线标准方程中的p 对抛物线开口的影响？P 越大开口越开阔补充性质：1、通径：标准方程中2P 的几何意义.通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径.通径的长度=2P P 越大开口越开阔 2、焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径焦半径公式：02p PF x =+ 其他三种标准的抛物线对应的焦半径公式呢？三、典例分析：o x )0,2(p F P(x,y)例1：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2， )，求它的标准方程. 通径长=？MF长＝？变式：把“关于x轴对称”改成“关于坐标轴对称”，结果会有什么不同？设计意图：应用抛物线几何性质求出标准方程，及通径长，焦半径公式应用.练习题：1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是______________.2、已知点A(-2，3)与抛物线的焦点的距离是5，则P=_________________.四、课堂小结：知识点：1、范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；2、对称性：抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于1；5、通径：抛物线的通径为2P，2p越大，抛物线的张口越大.6、焦半径公式：数学思想及方法：类比，归纳，数形结合.。
2.3.2 抛物线的简单几何性质(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)理解抛物线的几何性质．(2)与抛物线有关的轨迹的求法，直线与抛物线的位置关系．2．过程与方法(1)灵活运用抛物线的性质．(2)培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)训练学生分析问题、解决问题的能力．(2)培养学生数形结合思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力．●重点、难点重点：(1)掌握抛物线的几何性质．(2)根据给出的条件求出抛物线的标准方程．难点：抛物线各个几何性质的灵活应用．(教师用书独具)●教学建议本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法．先通过多媒体动画演示，创设问题情境，在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高．学法上，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，结合教法和学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比——探索——应用”的探究式学习方法，增加学生参与的机会，使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维的能力及科学的学习方法，增强自信心．学法指导包括：联想法、观察分析法、练习巩固法．这样，本节课的重点与难点就迎刃而解了． ●教学流程提出问题：你能说出抛物线y 2＝2px p ＞的几何性质吗？⇒引导学生结合图象得出抛物线四种形式的几何性质，并对比它们的区别与联系.⇒通过引导学生回顾直线与椭圆的位置关系问题，引出直线与抛物线的位置关系知识.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握抛物线的性质及应用问题.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握抛物线的焦点弦问题.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第39页)类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y 2＝2px (p ＞0)的范围、对称性、顶点坐标吗？【提示】 范围x ≥0，关于x 轴对称，顶点坐标(0,0)．续表1．直线与抛物线有哪几种位置关系？【提示】三种：相离、相切、相交．2．若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？【提示】不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．直线与抛物线的位置关系与公共点(对应学生用书第40页)图2－3－3是抛物线上的一点，其横坐标为4，且在x 轴的上方，点A 到抛物线的准线的距离等于5，过A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求直线MN 的方程． 【思路探究】 (1)根据题意你能求出p 的值吗？ (2)M 点的坐标是多少？直线MN 的斜率呢？【自主解答】 (1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)，F (1,0)， ∴k FA ＝43.又MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34，则直线FA 的方程为y ＝43(x －1)，直线MN 的方程为y －2＝－34x ，即3x ＋4y －8＝0.研究抛物线的性质时要注意它们之间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，离心率不变总为1.已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．【解】 由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l ：x ＝p2，∴A 、B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p ，∴|AB |＝2|p |. ∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2. ∴抛物线标准方程为y 2＝±42x .一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点？【思路探究】 (1)联立直线l 与抛物线C 的方程，得到的关于x 的方程是什么形式？(2)能直接用判别式法判断公共点的情况吗？【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程变为－4x ＋1＝0，x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与C 只有一个公共点(14，1)，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，方程(*)是一个一元二次方程： Δ＝(2k －4)2－4k 2×1＝16－16k①当Δ＞0，即k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时l 与C 相交； ②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时l 与C 相切； ③当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时l 与C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与C 有一个公共点； (2)当k ＜1，且k ≠0时，直线l 与C 有两个公共点； (3)当k ＞1时，直线l 与C 没有公共点．1．直线与抛物线的位置关系判断方法．通常使用代数法：将直线的方程与抛物线的方程联立，整理成关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，利用判别式解决．Δ＞0⇒相交；Δ＝0⇒相切；Δ＜0⇒相离．(2)当a ＝0时，方程只有一解x ＝－cb，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合． 2．直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线与直线是相交的．若过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 有两个公共点，求直线的斜率k 的取值范围． 【解】 设直线方程为y －2＝k (x ＋3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝kx ＋y 2＝4x 消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0.①(1)当k ＝0时，方程①化为y ＝2，直线y ＝2与抛物线y 2＝4x 相交，有一个公共点，不合要求； (2)当k ≠0时，Δ＝16－4k (8＋12k )＞0. ∴－1＜k ＜13，因此－1＜k ＜13且k ≠0.综上可知，斜率k 的取值范围为{k |－1＜k ＜13且k ≠0}.已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4的直线l 被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程．【思路探究】 (1)焦点在x 轴上的抛物线方程如何设？(2)过焦点且倾斜角为π4的直线方程怎么求？它被抛物线截得的弦长问题能联系抛物线的定义吗？【自主解答】 当抛物线焦点在x 轴正半轴上时， 可设抛物线标准方程是y 2＝2px (p ＞0)， 则焦点F (p 2，0)，直线l 为y ＝x －p2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A 、B 分别向抛物线的准线作垂线AA 1、BB 1，垂足分别为A 1、B 1.则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1| ＝(x 1＋p 2)＋(x 2＋p2)＝x 1＋x 2＋p ＝6，∴x 1＋x 2＝6－p .①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得(x －p2)2＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p ，代入①式得3p ＝6－p ，∴p ＝32.∴所求抛物线标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x .1．本题是通过抛物线的性质求其方程的典型例题，抛物线的方程有两种形式，解答时切勿漏掉．2．过焦点F 和抛物线相交的弦叫做抛物线的焦点弦，在解决与焦点弦有关的问题时，一是注意用焦点弦所在的直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数关系解题，二是注意抛物线定义的灵活运用，特别应注意整体代入的方法．本例中，若把直线的倾斜角改为135°，被抛物线截得的弦长改为8，其他条件不变，试求抛物线的方程．【解】 如图，依题意当抛物线方程设为y 2＝2px (p ＞0)时， 抛物线的准线为l ，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.于是x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2.故所求抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x. 综上所述，抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－4x.(对应学生用书第41页) 忽略特殊直线致误求过定点P (0,1)，且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 【错解】 设直线方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，解得y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点； 当k ≠0时，Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，解得k ＝12，即直线y ＝12x ＋1与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求的直线方程为y ＝1或y ＝12x ＋1.【错因分析】 本题直接设出了直线的点斜式方程，而忽视了斜率不存在的情况，从而导致漏解．【防范措施】 在解直线与抛物线的位置关系时，往往直接把直线方程设成点斜式方程，这样就把范围缩小了，而应先看斜率不存在的情况是否符合要求，直线斜率为0的情况也容易被忽略，所以解决这类问题时特殊情况要优先考虑，画出草图是行之有效的方法．【正解】 如图所示，若直线的斜率不存在， 则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y 2＝2x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，则由错解可知，y ＝1或y ＝12x ＋1为所求的直线方程．故所求的直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以求出抛物线的方程．2．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，求焦点弦长，一般不用弦长公式． 3．直线和抛物线的位置关系问题的通法与椭圆、双曲线一样，即联立方程消未知数，产生一元二次方程，用判别式Δ、根与系数关系解决问题．(对应学生用书第42页)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的对称轴为( ) A ．y 轴 B ．x 轴 C ．x ＝－a2D ．x ＝－a4【解析】 形如y 2＝±2px (p ＞0)的抛物线的对称轴为x 轴． 【答案】 B2．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程( ) A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y【解析】 依题意，p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为x 2＝±12y . 【答案】 C3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝－12，则a ＝________.【解析】 抛物线方程可化为x 2＝1a y ，由题意14a ＝12，∴a ＝12.【答案】 124．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，求点P 的坐标．【解】 根据题意可知：|PF |＝|PO |，其中O 为原点，F 为焦点，∴x P ＝x F 2＝18，∴y P ＝±18＝±122＝±24，∴P (18，±24).(对应学生用书第101页)一、选择题1．(2013·泰安高二检测)已知抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝8，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝±8xD ．x 2＝±8y【解析】 由抛物线的定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝2p ＝8，∴p ＝4，故标准方程为y 2＝±8x .【答案】 C2．抛物线y ＝ax 2＋1与直线y ＝x 相切，则a 等于( ) A.18 B.14 C.12D ．1【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋1，y ＝x ，消y 得ax 2－x ＋1＝0.∵直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2＋1相切， ∴方程ax 2－x ＋1＝0有两相等实根． ∴判别式Δ＝(－1)2－4a ＝0，∴a ＝14.【答案】 B3．(2013·长沙高二检测)过点M (2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线共有( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由于M (2,4)在抛物线上，故满足条件的直线共有2条，一条是与x 轴平行的线，另一条是过M 的切线，如果点M 不在抛物线上，则有3条直线．【答案】 B4．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反射镜顶点的距离是( )A ．11.25 cmB ．5.625 cmC ．20 cmD ．10 cm【解析】 如图建立直角坐标系，则A (40,30)，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，将点(40,30)代入得p ＝454，所以p2＝5.625即光源到顶点的距离．【答案】 B5．若点P 在y 2＝x 上，点Q 在(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为( ) A.3－1 B.102－1 C ．2 D.112－1 【解析】 设圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心为Q ′(3,0)，要求|PQ |的最小值，只需求|PQ ′|的最小值．设P 点坐标为(y 20，y 0)，则|PQ ′|＝y 20－2＋y 2＝y 202－5y 20＋9＝y 20－522＋114. ∴|PQ ′|的最小值为112， 从而|PQ |的最小值为112－1. 【答案】 D 二、填空题6．(2013·台州高二检测)设抛物线y 2＝16x 上一点P 到对称轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF |＝______.【解析】 设P (x,12)，代入到y 2＝16x 得x ＝9，∴|PF |＝x ＋p2＝9＋4＝13.【答案】 137．设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0,2)，若线段FA 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________．【解析】 由已知得点B 的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B (p4，1)将其代入y 2＝2px 得p＝2，则点B 到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝342.【答案】342 8．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．【解析】 ∵y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°，故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0， 即3x 2－10x ＋3＝0. ∴x ＝13或x ＝3.又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3. ∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.【答案】 3三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，A (x 0，y 0)，由题知 M (0，－p2)．∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3，∵|AM |＝17， ∴x 20＋(y 0＋p2)2＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p (3－p2)，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知A ，B 两点在抛物线C ：x 2＝4y 上，点M (0,4)满足MA →＝λMB →(λ≠0)，求证：OA→⊥OB →.【证明】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．∵MA →＝λMB →，∴M 、A 、B 三点共线，即直线AB 过点M . 设l AB ∶y ＝kx ＋4(易知斜率存在)，与x 2＝4y 联立得，x 2－4kx －16＝0，Δ＝(－4k )2－4×(－16) ＝16k 2＋64＞0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－16， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋4)(kx 2＋4) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋4k (x 1＋x 2)＋16＝(1＋k 2)·(－16)＋4k ·(4k )＋16＝0， ∴OA →⊥OB →.11．(2013·泰州高二检测)已知抛物线x 2＝ay (a ＞0)，点O 为坐标原点，斜率为1的直线与抛物线交于A ，B 两点．(1)若直线l 过点D (0,2)且a ＝4，求△AOB 的面积；(2)若直线l 过抛物线的焦点且OA →·OB →＝－3，求抛物线的方程． 【解】 (1)依题意，直线l 的方程为y ＝x ＋2，抛物线方程x 2＝4y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x ＋2，消去y ，得x 2－4x －8＝0.则Δ＝16－4×(－8)＝48＞0恒成立．设l 与抛物线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＜x 2. ∴x 1＝2－23，x 2＝2＋2 3. 则|x 2－x 1|＝4 3.∴S △AOB ＝12·|OD |·|x 2－x 1|＝12×2×43＝4 3.(2)依题意，直线l 的方程为y ＝x ＋a4.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a 4，x 2＝ay ，⇒x 2－ax －a 24＝0，∵Δ＞0，设直线l 与抛物线交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－a 24.又已知OA →·OB →＝－3， 即x 1x 2＋y 1y 2＝－3，∴x 1x 2＋(x 1＋a 4)(x 2＋a4)＝－3，∴2x 1x 2＋a 4(x 1＋x 2)＋a 216＝－3， ∵a ＞0，∴a ＝4.∴所求抛物线方程为x 2＝4y .(教师用书独具)已知抛物线y 2＝2x ，(1)设点A 的坐标为(23，0)，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 【解】 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )， 则|PA |2＝(x －23)2＋y 2＝(x －23)2＋2x＝(x ＋13)2＋13.∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增， ∴当x ＝0时，|PA |min ＝23，距点A 最近的点的坐标为(0,0)．(2)法一 设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为 d ＝|x 0－y 0＋3|2＝|y 22－y 0＋3|2＝y 0－2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524，∴点P 的坐标为(12，1)．法二 设与直线x －y ＋3＝0平行的抛物线的切线为x －y ＋t ＝0，与y 2＝2x 联立，消去x 得y 2－2y ＋2t ＝0，由Δ＝0得t ＝12，此时y ＝1，x ＝12，∴点P 坐标为(12，1)，两平行线间的距离就是点P 到直线的最小距离， 即d min ＝524.已知抛物线y 2＝4x 与直线x ＋y －2＝0的交点为A 、B ，抛物线的顶点为O ，在AOB 上求一点C ，使△ABC 的面积最大，并求出这个最大面积．【解】 设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为x ＋y －b ＝0，将它与抛物线方程y 2＝4x 联立，消去x 得方程y 2＝4(b －y )，即y 2＋4y －4b ＝0.由Δ＝42－4(－4b )＝0得b ＝－1，故切线为x ＋y ＋1＝0. 求得切点C (1，－2)．因直线x ＋y ＋1＝0与x ＋y －2＝0的距离d ＝|1＋2|2＝322.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y 2＝4x ，解得交点坐标为A (4＋23，－2－23)、B (4－23，－2＋23)． ∴|AB |＝4 6.于是S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×46×322＝6 3.所以当C 点为(1，－2)时，S△ABC的最大值为6 3.。
