遂宁市高中2015届零诊考试数学理科试题11.25

遂宁市高中2016级第四学期教学水平监测数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷(非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题,满分50分）注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回.一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的) 1。

复数31z i=在复平面内对应的点的坐标为A ．（0,1）B ．（0,-1）C ．（-1，0）D ．(1,0） 2．已知向量(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-且2ka b a b +-与互相垂直，则k 的值是A ．1B ．15C ．35D ．753．曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心 A 。

在直线2y x =上 B. 在直线2y x =-上 C 。

在直线1y x =-上 D. 在直线1y x =+上4。

二项式831()2x x-的展开式中常数项为 A ．—7 B ．7 C ．—28D ．285. 在一次智力竞赛中，每位参赛者要从5道题中不放回地依次抽取2道题作答,已知5道题中包含自然科学题3道，人文科学题2道。

则参赛者甲连续两次都抽到自然科学题的概率是 A.310B 。

12C. 35D.256．曲线221259x y +=与曲线221259x y k k +=--(9k <）的A. 长轴长相等 B 。

短轴长相等 C. 焦距相等 D 。

离心率相等7。

已知函数()f x 的定义域为[－1，5］,部分对应值如下表．()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示．下列关于函数()f x 的命题： ①函数()y f x =是周期函数;②函数()f x 在[0,2］上是减函数；③如果当[1,]x t ∈-时,()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点． 其中真命题的个数有A ．4B ．3C ．2 D. 1 8。

2015-2016学年四川省遂宁市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z＝i（1﹣2i）（i为虚数单位），则z的值为（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣i2．（5分）已知PQ是圆x2+y2＝100的动弦，|PQ|＝12，则PQ中点的轨迹方程是（）A．x2+y2＝8B．x2+y2＝64C．x2+y2＝36D．x2+y2＝63．（5分）若曲线y＝x3，在点P处的切线方程为y＝3x﹣2，则点P的坐标为（）A．（2，4）B．（﹣1，﹣1）C．（1，1）或（﹣1，﹣1）D．（1，1）4．（5分）用88除8788+7，所得余数是（）A．0B．1C．8D．805．（5分）的展开式中常数项是（）A．14B．﹣14C．42D．﹣426．（5分）在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b，下列说法中不正确的是（）A．曲线b仍然是正态曲线B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等C．以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2D．以曲线b为正态分布的总体的期望比以曲线a为正态分布的总体的期望大28．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为（）A．1B．2C．4D．89．（5分）已知从一点P引出三条射线P A、PB、PC，且两两成角60°，则二面角A﹣PB ﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．﹣10．（5分）在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是（）A．[0.4，1）B．（0，0.4]C．（0，0.6]D．[0.6，1）11．（5分）已知z1、z2为复数，且|z1|＝2，若z1+z2＝2i，则|z1﹣z2|的最大值是（）A．5B．6C．7D．812．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△P AB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知A（4，1，3）、B（2，﹣5，1），C为线段AB上的一点，且满足＝2，则点C的坐标为．14．（5分）已知函数f（x）＝ln（2﹣x）+ax在区间（0，1）内是增函数，则实数a的取值范围是．15．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．16．（5分）某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K棵树种植在点P k（x k，y k）处，其中x1＝1，y1＝1，当K≥2时，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）＝2，T（0.2）＝0．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知a，b，c均为实数，且a＝x2﹣2y+，b＝y2﹣2z+，c＝z2﹣2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0．18．（12分）将6个人排成三排，每排各2人则有多少种排法？若甲不在第一排，乙在第二排则有多种排法？19．（12分）某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱CC1垂直于底面，E为侧棱CC1上的点，底面ABCD为正方形，底面边长|AB|＝2，侧棱|BB1|＝4，|CE|＝1（1）求证，A1C⊥平面BED；（2）求A1B与平面BED所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F（c，0），点P是椭圆C上异于A，B的动点，过点B作椭圆C的切线l，直线AP与直线l的交点为D，且当|BD|＝2c时，|AF|＝|DF|．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当点P运动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明你的结论．22．（12分）已知函数f（x）＝e x，a，b∈R，且a＞0．（1）若a＝2，b＝1，求函数f（x）的极值；（2）设g（x）＝a（x﹣1）e x﹣f（x）．①当a＝1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）≥1成立，求b的最大值；②设g′（x）为g（x）的导函数，若存在x＞1，使g（x）+g′（x）＝0成立，求的取值范围．2015-2016学年四川省遂宁市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：z＝i（1﹣2i）＝﹣2i2+i＝2+i．故选：C．2．【解答】解：设PQ中点为M，则OM⊥PQ，∵PQ是圆x2+y2＝100的动弦，|PQ|＝12，∴|OM|＝＝8，∴PQ中点的轨迹方程是x2+y2＝64，故选：B．3．【解答】解：设P（a，a3），则y′＝3x2，y′|x＝a＝3a2，故切线方程是：y﹣a3＝3a2（x﹣a），即y＝3a2x﹣2a3，由y＝3x﹣2，得：a＝1，故P（1，1），故选：D．4．【解答】解：8788+7＝（88﹣1）88+7＝88k+1+7＝8K+8故用88除8788+7，所得余数是8故选：C．5．【解答】解：展开式的通项为＝令得r＝6故常数项为2C76＝14故选：A．6．【解答】解：记事件A，B分别表示“第一次、第二次抽得正品”，则B表求“第一次抽得次品，第二次取得正品”，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率：P（B|）＝＝＝．故选：D．7．【解答】解：由正态密度曲线的定义和函数平移规律可知A，B正确，设正态曲线a表示随机变量X，正态曲线b表示随机变量Y，则Y＝X+2，∴E（Y）＝E（X）+2，D（Y）＝D（X），故C错误，D正确．故选：C．8．【解答】解：过A作准线的垂线，垂足为M，则AM＝AF，∴|AK|＝|AM|，∴直线AK的斜率为1，又K（﹣1，0），∴直线AK的方程为y＝x+1．联立方程组，解得A（1，2），∴S△AFK＝＝2．故选：B．9．【解答】解：在射线PB上取一点M，过M作MA、MC垂直于PB分别相交射线P A、PC 于点A、C，连接AC，由图看出，在直角△P AM中，∠APM＝60°，令PM＝a，则AP＝2aAM＝a同样，在直角△PCM中，∠CPM＝60°，令PM＝a，则CP＝2aCM＝由于∠APC＝60°，P A＝PC＝2a所以△P AC为等边三角形，AC＝2a在△ACM中，作AN垂直于CM于点N，令MN＝b，CN＝a﹣b，AN＝x，由勾股定理，△AMN中（a）2﹣x2＝b2△ACN中（2a）2﹣x2＝（a﹣b）2联合两式消去x整理的，a＝b即＝，＝所以cos M＝＝∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值是．故选：A．10．【解答】解∵事件A在一次试验中发生的概率为p，∴由条件知C41p（1﹣p）3≤C42p2（1﹣p）2，解得p≥0.4，故选A．故选：A．11．【解答】解：z1+z2＝2i，∴z2＝2i﹣z1，则|z1﹣z2|＝|2z1﹣2i|＝2|z1﹣i|≤2×3＝6．z1＝﹣2i时取等号．故选：B．12．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）＝，当x＞1时，f′（x）＝，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2＝1．直线l1：，l2：．取x＝0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|＝|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|＝|2﹣（lnx1+lnx2）|＝|2﹣lnx1x2|＝2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x＝，∴|AB|•|x P|＝＝．∵函数y＝x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△P AB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：∵＝2，∴＝+＝（4，1，3）+（﹣2，﹣6，﹣2）＝（3，﹣2，2），故答案为：（3，﹣2，2）．14．【解答】解：f′（x）＝+a，若f（x）在（0，1）递增，则a＞在（0，1）恒成立，而y＝在（0，1）递增，故y＝＜1，故a≥1，故答案为：[1，+∞）．15．【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|＝6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|＝2a所以|F1F2|＝2c，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2＝30°，由余弦定理，∴|PF2|2＝|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2＝4c2+16a2﹣2×2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2＝0，∴c＝a所以e＝＝．故答案为：．16．【解答】解：∵T[]﹣T[]组成的数列为：1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，将k＝1，2，3，4，5，…，一一代入计算得数列x n为：1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…即x n的重复规律是x5n+1＝1，x5n+2＝2，x5n+3＝3，x5n+4＝4，x5n＝5．n∈N*．数列{y n}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…即y n的重复规律是y5n+k＝n，0≤k＜5．∴由题意可知第2016棵树种植点的坐标应为（1，404），故答案为：（1，404）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：反证法：假设a，b，c都小于或等于0，则有a+b+c＝（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2+π﹣3≤0，而该式显然大于0，矛盾，故假设不正确，故a，b，c中至少有一个大于0．18．【解答】解：（1）因为6个人排成三排，每排2人，等价于6个人排成一排，所以不同的排法种数是A66＝720，（2）若甲在第二排，则有C21A44＝48种，若甲在第三排，则有C21C21A44＝96种，根据分类计数原理可得，共有48+96＝144种，或者，先排乙，有两个位置可选，再排甲，有3个位置可选，剩下的4人全排，故有C21C31A44＝144种．19．【解答】解：（1）由茎叶图得到所有的数据从小到大排，8.6出现次数最多，∴众数：8.6；中位数：8.75；（2）设A i表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则（3）ξ的可能取值为0、1、2、3.；；，ξ的分布列为七彩教育网所以Eξ＝．另解：ξ的可能取值为0、1、2、3．则，．ξ的分布列为所以Eξ＝．20．【解答】解：（1）以D点为原点，以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），易知D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、A1（2，0，4）、B1（2，2，4）、C1（0，2，4）、D1（0，0，4）、E（0，2，1）…（2分）从而，，，则，即A1C⊥DB，且A1C⊥BE．又BE∩DB＝B，故A1C⊥平面BED；．…（6分）（2）由（1）知是平面BDE的一个法向量，…（8分）而，因此cos＝，…（10分）从而AA1B与平面BDE所成角的正弦值为．…（12分）21．【解答】解：（Ⅰ）依题可知A（﹣a，0）、，由|AF|＝|FD|，得，化简得a＝2c，由a2＝3+c2得a2＝4，故所求椭圆C的方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），在点B处的切线方程为x＝2．结论：以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可知直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为y＝k（x+2），（k≠0）．则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．联立，得（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12＝0．设点P的坐标为（x0，y0），由韦达定理：．所以，．因为点F坐标为（1，0），分情况讨论：（1）当时，点P的坐标为，直线PF的方程为x＝1，点D的坐标为（2，±2）．此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y∓1）2＝1与直线PF相切；（2）当时，直线PF的斜率．所以直线PF的方程为，即．故点E到直线PF的距离d＝＝＝|2k|；综上所述，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．22．【解答】解：（1）当a＝2，b＝1时，，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴，令f′（x）＞0得：，令，∴函数y＝f（x），在（﹣∞，﹣1）和上单调递增，在（﹣1，0）和（0，）上单调递减；∴f（x）的极大值是，极小值是；（2）g（x）＝（ax﹣）e x，①当a＝1时，g（x）＝，∵g（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，∴在x∈（0，+∞）上恒成立．记，（x＞0），则，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是减函数；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴，∴函数的小值为﹣1﹣e﹣1．②∵，所以，由g（x）+g′（x）＝0，得，整理得2ax3﹣3ax2﹣2bx+b＝0．存在x＞1，使g（x）+g′（x）＝0成立，等价于存在x＞1，2ax3﹣3ax2﹣2bx+b＝0成立，∵a＞0，∴，设（x＞1），则，∵x＞1，∴u′（x）＞0恒成立，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴u（x）＞u（1）＝﹣1，∴，即的取值范围为（﹣1，+∞）．。

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．845．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．12【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．10【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+=t（+2）=，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z 最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= 3．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=﹣．【考点】8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．﹣S n=a n+1可知S n+1﹣S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知﹣【分析】通过S n+1=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．=S n+1S n，【解答】解：∵a n+1﹣S n=S n+1S n，∴S n+1∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【专题】58：解三角形．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC ﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2c osθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。

遂宁市高中2015届零诊考试数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}()12,1R A x x B x x A C B =-≤≤=<⋂，则= A. {}1x x > B. {}1x x ≥C. {}2x x 1<≤ D. {}2x x 1≤≤ 2．复数512ii=- A ．2i - B ．2i -+ C ．12i - D ．12i -+ 3．设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的A ．必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 4. 在等差数列{}n a 中，452,4a a ==，记n a 的前n 项和为n S ，则8S = A ．12B ．16C .24D ．48 5. 已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是 A ．若//m α，//n α， 则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 6. 执行下面的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是A ．120B ．720C ．1440D ．5040 7.A ，B 两点之间的距离为5，那么(1)f -= A ．-1 B ．1 CD8. 若函数()()()01xxf x ka a a a -=->≠-∞+∞且在，上既是奇函数又是增函数，则()()log a g x x k =-的图象是A B C D9. 某单位安排7位员工在星期一至星期日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在星期一，丁不排在星期日，则不同的安排方案共有 A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种10. 定义函数348,12,2()1(), 2.22x x f x x f x ⎧--⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩≤≤，则函数()()6g x xf x =-在区间[]1,64(n *)∈N 内的所有零点的和为A ．192B ．189C ．1894 D ．1892第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

1遂宁中学高2015级十二月考试题数学（理科）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 参考公式：球的表面积S =4πR 2,体积V =34πR 3,其中R 为球的半径 柱体的体积V =Sh ,锥体的体积V =31Sh ,其中S 为底面积,h 为高.第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U R =，集合{}{}2,05A x x B x x =≥=≤<，则集合()U C A B =（ ）A. {}02x x <<B. {}02x x <≤C. {}02x x ≤<D. {}02x x ≤≤2. 在复平面内，复数341iz i+=-对应的点在 （ ） A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则35tan()a a +的值为 A. 3 B. 3- C.33 D. 33- 4. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．365cm πB ．33cm πC ．323cm πD ．373cm π5. 已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，以线段12F F 为边作正12MF F ∆，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为 （ ）A. 423+B. 31-C.312+ D. 31+ 6. 按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是 （ ）A.5B. 6C.7D.87. 若312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第四项为常数项，则n=（ ） A.4 B.5 C.6 D.78. 函数1cos 2()cos xf x x-=（ ）2A.在0,,,22πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 上递增，在33,,,222ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上递减 B.在30,,,22πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭上递增，在3,,,222ππππ⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦上递减 C.在3,,,222ππππ⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦上递增，在30,,,22πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭上递减D.在33,,,222ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上递增，在0,,,22πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上递减 9. 点A B C D 、、、在同一个球的球面，AB BC ==2AC =,若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为 （ ） A. 1256π B. 8π C. 254π D. 2516π10．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是A.10,5,5+∞（]（）B.10,[5,5+∞（）） C.11,]5,775（（）D.11,[5,775（））第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 11. 已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是_______. 12．若2013(2)x -220130122013a a x a x a x =++++，则02420121352013a a a a a a a a ++++=++++10x y +-≥13．在平面直角坐标系中，若不等式组 10x -≤ （a 为常数）所表示的平面区域 10ax y -+≥的面积等于2，则a 的值为_____________.14. 在ABC ∆中，22sin,sin()2cos sin 2A A B C B C =-=，则AC AB= 。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.直线:2210l x y -+=的倾斜角为 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】B考点：直线倾斜角和斜率2.已知命题 :p x ∀∈R ，2x >，那么命题p ⌝为 A ．002R x x ∃∈≤， B ．002R x x ∀∈<， C ．002R x x ∀∈≤， D ．002R x x ∃∈<， 【答案】A 【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：002R x x ∃∈≤， 考点：全称命题与特称命题3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。

为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n =A ．9B ．10C ．12D ．13 【答案】D 【解析】试题分析：由分层抽样的特点可知3131********n n =∴=++考点：分层抽样4.圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：224840x y x y +-++=的位置关系是 A ．相交 B ．外切 【答案】C考点：程序框图8.2021401250x y y x y z x x y -+≥⎧+⎪+-≥=⎨+⎪--≤⎩已知,求的范围A ．37[,]42B ．37[,]84C ．37[,]44D ．37[,]82【答案】A 【解析】试题分析：不等式对应的可行域如图所示：1212211y y z x x ++==++，其中121y x ++可看作()1,,1,2x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的连线斜率，结合图像可知z 的范围是37[,]42 考点：线性规划问题9.某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为AB ．12CD【答案】D 【解析】试题分析：设正视图正方形的边长为2，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b=2，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径，得到俯视图中椭圆的长轴长2a=则椭圆的半焦距1c ==，根据离心率公式得c e a ===考点：1.三视图；2.椭圆性质10.已知椭圆C:2212x y +=，点125,,,M M M L 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为(0)k k ≠的一组平行线，交椭圆C 于1210,,,P P P L ，则直线1210,,,AP AP AP L 这10条直线的斜率乘积为 A ．132-B ．116-C ．164 D ．11024- 【答案】A 【解析】试题分析：如图所示，由椭圆的性质可得11222212AP BP AP BP b k k k k a ==-=-．由椭圆的对称性可得1101011101,2BP AP BP AP AP AP k k k k k k ==∴=- 同理可得3856749212AP AP AP AP AP AP AP AP k k k k k k k k ====-∴直线1210,AP AP AP 这10条直线的斜率乘积511232⎛⎫-=- ⎪⎝⎭考点：椭圆的简单性质第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如右图所示.则这100名学生中， 该月饮料消费支出超过150元的人数是 ▲ ．【答案】30 【解析】试题分析：由频率分布直方图可知消费支出超过150元的频率为0.06500.3⨯=，所以相应人数为1000.330⨯=考点：频率分布直方图12.已知直线l 1：x+(1+k)y=2-k 与l 2：kx+2y+8=0平行，则k 的值是 ▲ ． 【答案】1考点：两直线平行的判定13.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，此点到坐标原点的距离不小于2的概率是 ▲ 【答案】14π-【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图，到坐标原点的距离不小于2的点，位于以原点O 为圆心、半径为2的圆外阴影部分， 其中O 为坐标原点，A （0，2），B （2，2），C （2，0）． ∵S 正方形OABC=4，S 扇形=2124ππ⨯=∴所求概率为4144P ππ-==- 考点：几何概型14.直线21ax by +=与圆221x y +=相交于A B ，两点（其中a b ，是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点()P a b ，与点()00O ，之间距离的最大值为 ▲ 。

四川遂宁市高中2015届高三下学期第二次诊断性考试数学文试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）（2015•遂宁模拟）已知集合A=，B={x|（x+3）（2x﹣1）≤0}，则A∩B=（ ） A． B． C．，∵A=，∴A∩B=，故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015•遂宁模拟）在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成绩（单位：分）已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x、y的值分别为（ ） A． 2，5 B． 5，5 C． 5，7 D． 8，7【考点】：茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：根据茎叶图与题意，求出x、y的值，即可．【解析】：解：根据茎叶图知，甲组数据是9，15，10+x，21，27；∵它的众数为l5，∴x=5；同理，根据茎叶图知乙组数据是9，13，10+y，18，27，∵它的中位数为17，∴y=7．故x、y的值分别为：5，7．【点评】：本题考查茎叶图的应用问题，解题时利用茎叶图提供的数据，求出x、y的值，即可解答问题，是基础题．3．（5分）（2015•遂宁模拟）已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z的虚部为（ ） A． 2i B．﹣2i C． 2 D．﹣2【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解：由zi=2+i，得，∴z的虚部是﹣2．故选：D．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．（5分）（2015•遂宁模拟）为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象（ ） A．向右平移个单位长 B．向右平移个单位长 C．向左平移个单位长 D．向左平移个单位长【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解析】：解：函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+），故只需将函数y=sin（3x+）的图象向右平移个单位，得到y=sin=sin3x的图象．故选：A．【点评】：本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．5．（5分）（2015•遂宁模拟）设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（ ） A．充分必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：解：若a＞b＞0，则a2＞b2成立，若a=﹣2，b=1，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，故“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选：C【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．6．（5分）（2015•遂宁模拟）已知向量，若，则实数λ=（ ） A． 1 B．﹣1 C． 2 D．﹣2【考点】：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由于，可得．于是=0，解得λ即可．【解析】：解：∵，∴．∴=λ（λ+2）+1=0，解得λ=﹣1．故选：B．【点评】：本题考查了向量的平行四边形法则、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•遂宁模拟）在区间上随机选取一个数M，不变执行如图所示的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则M≤N ﹣2的概率为（ ） A． B． C． D．【考点】：几何概型；程序框图．【专题】：计算题；概率与统计；算法和程序框图．【分析】：计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果N，再以长度为测度求概率即可．【解析】：解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：N=3．在区间上随机选取一个数M，长度为5，M≤1，长度为3，所以所求概率为，故选：C【点评】：本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力，考查概率的计算，确定N的值是关键．8．（5分）（2015•遂宁模拟）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A． 4+2B． 2+C． 2+2D． 4+【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，画出几何体的直观图，求出各个面的面积，可得答案．【解析】：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，该几何体的直观图如下图所示：由三视图可得：CD=AD=1，SD=BD=2，SD⊥底面ABC，故S△ABC=S△ASC=2，由勾股定理可得：SA=SC=AB=AC=，SB=2，故△SAB和△SBC均是以2为高的等腰三角形，故S△SAB=S△SBC=，故该几何体的表面积为4+2，故选：A【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．（5分）（2015•遂宁模拟）过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若|MN|=40，则|HF|=（ ） A． 14 B． 16 C． 18 D． 20【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先求MN的垂直平分线，求出MN的垂直平分线交x轴于H的坐标，进而求得|HF|=|MN|，即可得出结论．【解析】：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），弦MN的中点为M′（x0，y0），则∴MN的垂直平分线为y﹣y0=﹣（x﹣x0）令y=0，则x H=x0+p∴|HF|=x0+∵|MN|=x1+x2+p=2x0+p∴|HF|=|MN|=20，【点评】：本题以抛物线方程为载体，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（5分）（2015•遂宁模拟）函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足：（1）f（x）在D上为单调函数；（2）存在区间⊆D，使得f（x）在上的值域为，则称函数f（x）为“取半函数”．若f（x）=log c（c x+t）（c＞0，且c≠1）为“取半函数”，则t的取值范围是（ ） A．（﹣，） B．（0，） C．（0，） D．（，1）【考点】：对数函数的图像与性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据复合函数的单调性，先判断函数f（x）的单调性，然后根据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论．【解析】：解：若c＞1，则函数y=c x+t为增函数，y=log c x，为增函数，∴函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，若0＜c＜1，则函数y=c x+t为减函数，y=log c x，为减函数，∴函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，综上：函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，若函数f（x）=log c（c x+t）（c＞0，c≠1）是函数f（x）为“取半函数”．，所以a，b是方程log c（c x+t）=，两个不等实根，即a，b是方程c x+t=c两个不等实根，化简得出：c x+t=0，可以转化为：m2﹣m+t=0有2个不等正数根．所以求解得出：0故选：B．【点评】：本题主要考查与指数函数和对数函数有关的信息题，判断函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填答题卷指定横线上）11．（5分）（2015•遂宁模拟）圆心在原点且与直线y=2﹣x相切的圆的方程为　x2+y2=2　．【考点】：圆的切线方程．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解析】：解：圆心到直线的距离：r==，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=2．【点评】：本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．12．（5分）（2015•遂宁模拟）已知偶函数f（x）在=；（2）f（x）=2sinx+cos2x=2sinx+1﹣2sin2x=，x∈R．则：sinx∈，当sinx=时，函数f（x）的最大值为．【点评】：本题考查的知识要点：利用三角函数的关系式求函数的值，三角函数关系式的恒等变换，复合函数的最值问题．属于基础题型．17．（12分）（2015•遂宁模拟）某学校有男老师45名，女老师15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的学科攻关小组．（1）求某老师被抽到的概率及学科攻关小组中男、女老师的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个学科攻关小组决定选出2名老师做某项实验，方法是先从小组里选出1名老师做实验，该老师做完后，再从小组内剩下的老师中选1名做实验，求选出的2名老师中恰有1名女老师的概率．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）按照分层抽样的按比例抽取的方法，男女老师抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；（2）先算出选出的2名老师的基本事件数，有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种；再算出恰有1名女老师事件事件数，两者比值即为所求概率．【解析】：解：（1）由题意知，该校共有老师60名，故某老师被抽到的概率为=．设该学科攻关小组中男老师的人数为x，则，解得x=3，所以该学科攻关小组中男、女老师的人数分别为3，1．（2）由（1）知，该3名男老师和1名女老师分别记为a1，a2，a3，b，则选取2名老师的基本事件有：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种，其中恰有1名女老师的基本事件有3种，所以选出的2名老师中恰有1名女老师的概率为P==．【点评】：本题主要考查分层抽样方法、概率的求法，是一道简单的综合性的题目，解答的关键是正确理解抽样方法及样本估计的方法，属基础题．18．（12分）（2015•遂宁模拟）如图，ABCD为梯形，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=a，PD=a，E为BC中点（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE；（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．【考点】：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）连结BD，由已知得BC⊥DE，BC⊥PD，从而BC⊥平面PDE，由此能证明平面PBC⊥平面PDE．（Ⅱ）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，从而△AOB∽△COD，AB=DC，进而△CPA中，AO=AC，由PF=，得OF∥PA，由此得到当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF．【解析】：（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=a，DA=，所以BD=DC=2a，E为BC中点，所以BC⊥DE，…（3分）又因为PD⊥平面ABCD，所以BC⊥PD，因为DE∩PD=D，…（4分），所以BC⊥平面PDE，…（5分）因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE．…（6分）（Ⅱ）解：当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF，…（7分）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，所以△AOB∽△COD，AB=DC，所以△CPA中，AO=AC，…（10分）而PF=，所以OF∥PA，…（11分）而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF，所以PA∥平面BDF．…（12分）【点评】：本题考查面面垂直的证明，考查线面平行时点的位置的确定与证明，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．19．（12分）（2015•遂宁模拟）已知数列{a n}为等差数列，其中a1=1，a7=13（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和，当不等式λT n＜n+8（n∈N*）恒成立时，求实数λ的取值范围．【考点】：数列的求和；等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由题意和等差数列的通项公式求出公差，代入等差数列的通项公式化简求出a n；（2）由（1）化简b n=，利用裂项相消法求出T n，代入不等式λT n＜n+8分离出λ，利用基本不等式求出式子的最小值，再由对于n∈N*恒成立求出实数λ的取值范围．【解析】：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a7=13，∴a1+6d=13，解得d=2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1…（5分）（2）由（1）得，b n==（），∴T n==（1﹣）=…（8分）要使不等式λT n＜n+8（n∈N*）恒成立，只需不等式=+17恒成立即可…（10分）∵，当且仅当时，即n=2取等号，∴λ＜25…（12分）【点评】：本题考查等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．20．（13分）（2015•遂宁模拟）已知定点A（﹣2，0），F（1，0），定直线l：x=4，动点P与点F的距离是它到直线l的距离的．设点P的轨迹为C，过点F的直线交C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点．（1）求C的方程；（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（1）设P（x，y）为E上任意一点，依题意有=，化简即可得出；（2）设DE的方程为x=ty+1，与椭圆方程联立化为（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），由A（﹣2，0），可得直线AD的方程为y=，点M，同理可得N．利用根与系数的关系只要证明=0即可．【解析】：解：（1）设P（x，y）为E上任意一点，依题意有=，化为．（2）设DE的方程为x=ty+1，联立，化为（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），则，t1t2=．由A（﹣2，0），可得直线AD的方程为y=，点M，同理可得N．∴======9﹣9=0．∴以线段MN为直径的圆恒过定点F．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）（2015•遂宁模拟）已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1），g（x）=kxe x（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），g′（x）为g（x）的导函数，且g′（0）=1，（1）求k的值；（2）对任意x＞0，证明：f（x）＜g（x）；（3）若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．【考点】：导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）先求导，再代入值计算即可；（2）构造函数G（x），根据函数的单调性，即可证明；（3）构造函数令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，求导，再分类讨论，即可求出a的取值范围．【解析】：解：（1）g'（x）=k（x+1）e x所以g'（0）=k=1…（3分）（2）证明：令G（x）=e x﹣x﹣1，G′（x）=e x﹣1，当x∈（0，+∞），G′（x）＞0，所以当x∈（0，+∞）时G（x）单调递增，从而有G（x）＞G（0）=0，x ＞0；所以e x＞x+1＞0⇒x＞ln（x+1）＞0，∴xe x＞（x+1）ln（x+1），所以当x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）；…（8分）（3）令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，则h′（x）=1﹣a+ln（x+1），令h′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，（i）当a≤1时，所以x=e a﹣1﹣1＜0，从而对所有x＞0，h′（x）＞0；h（x）在…（14分）【点评】：本题考查了导数和函数的单调性的关系以及参数的取值范围，属于中档题．。

遂宁中学高三第一次月考试数学（文）试题第 Ⅰ 卷（单项选择题，共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每个5分，共50分）1. 在8(1)x +的展开式中，含2x 项的系数为（ ）(A)28 (B)56 (C)70 (D)82. 已知,,m n R i ∈是虚数单位，若2ni +与m i -互为共轭复数，则2m ni +=（）( ) （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 3. 设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则MN =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]-4. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“{}n a 为递增数列”是“1>q ”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 5 .将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 6. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为( ) (A)5 (B)3 (C)2 (D)17. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）(A)82π- (B) 8π- (C) 82π-(D)84π-8.(2014安徽)设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x ＜π时，f(x)=0，则)623(πf =( )（A ）21 （B ）23 （C ）0 （D ）21- 9．如图，已知椭圆C l ：211x +y 2=1，双曲线C 2：2222x y a b -=1（a>0，b>0），若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线相交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为( )（A ）5 （B （C ） （D 10.已知函数)0(21)(2<-+=x e x x f x 与)ln()(2a x x x g ++=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A. )1,(e -∞B. ),(e -∞C. ),1(e e -D. )1,(ee - 第 Ⅱ 卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每题5分，共25分）11 .若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程________12.若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 13.在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为 .14.要从7个班中选10人参加演讲比赛，每班至少1人，共有 种不同的选法.15.下图展示了一个由区间)1,0(到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数上的点m ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点B A ,恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图3.图3中直线AM 与x 轴交于点(),0N n ，则m 的象就是n ，记作()f m n =.下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号) ①方程()0f x =的解是x =12； ②114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ③()f x 是奇函数；④()f x 在定义域上单调递增； ⑤()f x 的图象关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称．三、解答题（本大题共6道大题，共计75分）16．（本小题满分12分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.（1）若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.17．（本小题满分12分）某手机厂生产C B A ,,三类手机，每类手机均有黑色和白色两种型号，某月的产量如下表(单位：部)：（Ⅰ）的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2部，求至少有1部黑色手机的概率；（Ⅱ）用随机抽样的方法从B 类白色手机中抽取8部，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6，8.7，9.3,9.0，8.2.把这8部手机的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．18．（本小题满分12分）已知()f x 为定义在[1,1]- 上的奇函数，当[1,0]x ?时，函数解析式为1()()42x x bf x b R =- 、（Ⅰ）求b 的值，并求出()f x 在[0,1]上的解析式； （Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最值．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（Ⅰ）证明：BE DC ^；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正切值.20．（本小题满分13分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

遂宁市高中2018级第二学期教学水平监测数 学 试 题本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题,满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上.并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题(本大题共12小题，每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．对于数列,,,,a a a a 下列说法正确的是A ．一定为等差数列B ．一定为等比数列C ．既是等差数列,又是等比数列D ．以上都不正确 2．下列结论正确的是A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >,则22a b >C ．若0a b <<,则22aab b >>D ．若0a b <<，则11a b <3．计算cos18°cos42°－cos72°cos48°等于A.12- B ．12C ． D4．二次不等式20ax bx c ++<的解集是空集的条件是Ａ.20,40.a b ac >⎧⎨-≤⎩B 。

20,40.a b ac >⎧⎨-<⎩C 。

20,40.a b ac <⎧⎨-≥⎩D.20,40.a b ac <⎧⎨-<⎩ 5．在ABC ∆中,若cos cos a A b B =，则ABC ∆的形状为A 。

等腰三角形B 。

直角三角形C 。

等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形6．下列结论正确的是A. 两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱B 。

四川遂宁市高中2015届高三下学期第二次诊断性考试数学文试题一、选择题〔每一小题5分，共50分〕1．〔5分〕〔2015•遂宁模拟〕集合A=，B={x|〔x+3〕〔2x﹣1〕≤0}，如此A∩B=〔〕A．B．C．，∵A=，∴A∩B=，应当选：B．【点评】：此题考查了交集与其运算，熟练掌握交集的定义是解此题的关键．2．〔5分〕〔2015•遂宁模拟〕在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成绩〔单位：分〕甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，如此x、y 的值分别为〔〕A．2，5 B．5，5 C．5，7 D．8，7【考点】：茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：根据茎叶图与题意，求出x、y的值，即可．【解析】：解：根据茎叶图知，甲组数据是9，15，10+x，21，27；∵它的众数为l5，∴x=5；同理，根据茎叶图知乙组数据是9，13，10+y，18，27，∵它的中位数为17，∴y=7．故x、y的值分别为：5，7．【点评】：此题考查茎叶图的应用问题，解题时利用茎叶图提供的数据，求出x、y的值，即可解答问题，是根底题．3．〔5分〕〔2015•遂宁模拟〕复数z满足：zi=2+i〔i是虚数单位〕，如此z的虚部为〔〕A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩大和复数．【分析】：把的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解：由zi=2+i，得，∴z的虚部是﹣2．应当选：D．【点评】：此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的根本概念，是根底题．4．〔5分〕〔2015•遂宁模拟〕为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象〔〕A．向右平移个单位长B．向右平移个单位长C．向左平移个单位长D．向左平移个单位长【考点】：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原如此判断选项即可．【解析】：解：函数y=sin3x+cos3x=sin〔3x+〕，故只需将函数y=sin〔3x+〕的图象向右平移个单位，得到y=sin=sin3x的图象．应当选：A．【点评】：此题考查两角和与差的三角函数以与三角函数的平移变换的应用，根本知识的考查．5．〔5分〕〔2015•遂宁模拟〕设a、b是实数，如此“a＞b＞0〞是“a2＞b2〞的〔〕A．充分必要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义进展判断即可．【解析】：解：假设a＞b＞0，如此a2＞b2成立，假设a=﹣2，b=1，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，故“a＞b＞0〞是“a2＞b2〞的充分不必要条件，应当选：C【点评】：此题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决此题的关键．6．〔5分〕〔2015•遂宁模拟〕向量，假设，如此实数λ=〔〕A． 1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】：平面向量与应用．【分析】：由于，可得．于是=0，解得λ即可．【解析】：解：∵，∴．∴=λ〔λ+2〕+1=0，解得λ=﹣1．应当选：B．【点评】：此题考查了向量的平行四边形法如此、向量垂直与数量积的关系，属于根底题．7．〔5分〕〔2015•遂宁模拟〕在区间上随机选取一个数M，不变执行如下列图的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，如此M≤N﹣2的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】：几何概型；程序框图．【专题】：计算题；概率与统计；算法和程序框图．【分析】：计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果N，再以长度为测度求概率即可．【解析】：解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：N=3．在区间上随机选取一个数M，长度为5，M≤1，长度为3，所以所求概率为，应当选：C【点评】：此题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力，考查概率的计算，确定N的值是关键．8．〔5分〕〔2015•遂宁模拟〕如下列图是一个几何体的三视图，如此该几何体的外表积为〔〕A．4+2B．2+C．2+2D．4+【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，画出几何体的直观图，求出各个面的面积，可得答案．【解析】：解：由的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，该几何体的直观图如如下图所示：由三视图可得：CD=AD=1，SD=BD=2，SD⊥底面ABC，故S△ABC=S△ASC=2，由勾股定理可得：SA=SC=AB=AC=，SB=2，故△SAB和△SBC均是以2为底，以为高的等腰三角形，故S△SAB=S△SBC=，故该几何体的外表积为4+2，应当选：A【点评】：此题考查的知识点是由三视图求体积和外表积，解决此题的关键是得到该几何体的形状．9．〔5分〕〔2015•遂宁模拟〕过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于M，N两点，弦MN 的垂直平分线交x轴于点H，假设|MN|=40，如此|HF|=〔〕A．14 B．16 C．18 D．20【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先求MN的垂直平分线，求出MN的垂直平分线交x轴于H的坐标，进而求得|HF|=|MN|，即可得出结论．【解析】：解：设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，弦MN的中点为M′〔x0，y0〕，如此∴MN的垂直平分线为y﹣y0=﹣〔x﹣x0〕令y=0，如此xH=x0+p∴|HF|=x0+∵|MN|=x1+x2+p=2x0+p∴|HF|=|MN|=20，应当选：D．【点评】：此题以抛物线方程为载体，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比拟根底．10．〔5分〕〔2015•遂宁模拟〕函数f〔x〕的定义域为D，假设函数f〔x〕满足：〔1〕f〔x〕在D上为单调函数；〔2〕存在区间⊆D，使得f〔x〕在上的值域为，如此称函数f〔x〕为“取半函数〞．假设f〔x〕=logc〔cx+t〕〔c＞0，且c≠1〕为“取半函数〞，如此t的取值范围是〔〕A．〔﹣，〕B．〔0，〕C．〔0，〕D．〔，1〕【考点】：对数函数的图像与性质．【专题】：函数的性质与应用．【分析】：根据复合函数的单调性，先判断函数f〔x〕的单调性，然后根据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论．【解析】：解：假设c＞1，如此函数y=cx+t为增函数，y=logcx，为增函数，∴函数f〔x〕=logc 〔cx+t〕为增函数，假设0＜c＜1，如此函数y=cx+t为减函数，y=logcx，为减函数，∴函数f〔x〕=logc〔cx+t〕为增函数，综上：函数f〔x〕=logc〔cx+t〕为增函数，假设函数f〔x〕=logc〔cx+t〕〔c＞0，c≠1〕是函数f〔x〕为“取半函数〞．，所以a，b是方程logc〔cx+t〕=，两个不等实根，即a，b是方程cx+t=c两个不等实根，化简得出：cx+t=0，可以转化为：m2﹣m+t=0有2个不等正数根．所以求解得出：0应当选：B．【点评】：此题主要考查与指数函数和对数函数有关的信息题，判断函数的单调性是解决此题的关键，综合性较强，有一定的难度．二、填空题：〔本大题共5小题，每一小题5分，共25分，将答案填答题卷指定横线上〕11．〔5分〕〔2015•遂宁模拟〕圆心在原点且与直线y=2﹣x相切的圆的方程为x2+y2=2．【考点】：圆的切线方程．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解析】：解：圆心到直线的距离：r==，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=2．【点评】：此题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是根底题．12．〔5分〕〔2015•遂宁模拟〕偶函数f〔x〕在=；〔2〕f〔x〕=2sinx+cos2x=2sinx+1﹣2sin2x=，x∈R．如此：sinx∈，当sinx=时，函数f〔x〕的最大值为．【点评】：此题考查的知识要点：利用三角函数的关系式求函数的值，三角函数关系式的恒等变换，复合函数的最值问题．属于根底题型．17．〔12分〕〔2015•遂宁模拟〕某学校有男教师45名，女教师15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的学科攻关小组．〔1〕求某教师被抽到的概率与学科攻关小组中男、女教师的人数；〔2〕经过一个月的学习、讨论，这个学科攻关小组决定选出2名教师做某项实验，方法是先从小组里选出1名教师做实验，该教师做完后，再从小组内剩下的教师中选1名做实验，求选出的2名教师中恰有1名女教师的概率．【考点】：列举法计算根本事件数与事件发生的概率；分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：〔1〕按照分层抽样的按比例抽取的方法，男女教师抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；〔2〕先算出选出的2名教师的根本事件数，有〔a1，a2〕，〔a1，a3〕，〔a2，a3〕，〔a1，b〕，〔a2，b〕，〔a3，b〕，共6种；再算出恰有1名女教师事件事件数，两者比值即为所求概率．【解析】：解：〔1〕由题意知，该校共有教师60名，故某教师被抽到的概率为=．设该学科攻关小组中男教师的人数为x，如此，解得x=3，所以该学科攻关小组中男、女教师的人数分别为3，1．〔2〕由〔1〕知，该3名男教师和1名女教师分别记为a1，a2，a3，b，如此选取2名教师的根本事件有：〔a1，a2〕，〔a1，a3〕，〔a2，a3〕，〔a1，b〕，〔a2，b〕，〔a3，b〕，共6种，其中恰有1名女教师的根本事件有3种，所以选出的2名教师中恰有1名女教师的概率为P==．【点评】：此题主要考查分层抽样方法、概率的求法，是一道简单的综合性的题目，解答的关键是正确理解抽样方法与样本估计的方法，属根底题．18．〔12分〕〔2015•遂宁模拟〕如图，ABCD为梯形，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=a，PD=a，E为BC中点〔Ⅰ〕求证：平面PBC⊥平面PDE；〔Ⅱ〕线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？假设有，请找出具体位置，并进展证明；假设无，请分析说明理由．【考点】：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：〔Ⅰ〕连结BD，由得BC⊥DE，BC⊥PD，从而BC⊥平面PDE，由此能证明平面PBC ⊥平面PDE．〔Ⅱ〕连结AC，BD交于O点，AB∥CD，从而△AOB∽△COD，AB=DC，进而△CPA中，AO=AC，由PF=，得OF∥PA，由此得到当点F位于PC三分之一分点〔靠近P点〕时，PA∥平面BDF．【解析】：〔本小题总分为12分〕〔Ⅰ〕证明：连结BD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=a，DA=，所以BD=DC=2a，E为BC中点，所以BC⊥DE，…〔3分〕又因为PD⊥平面ABCD，所以BC⊥PD，因为DE∩PD=D，…〔4分〕，所以BC⊥平面PDE，…〔5分〕因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE．…〔6分〕〔Ⅱ〕解：当点F位于PC三分之一分点〔靠近P点〕时，PA∥平面BDF，…〔7分〕连结AC，BD交于O点，AB∥CD，所以△AOB∽△COD，AB=DC，所以△CPA中，AO=AC，…〔10分〕而PF=，所以OF∥PA，…〔11分〕而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF，所以PA∥平面BDF．…〔12分〕【点评】：此题考查面面垂直的证明，考查线面平行时点的位置确实定与证明，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．19．〔12分〕〔2015•遂宁模拟〕数列{an}为等差数列，其中a1=1，a7=13〔1〕求数列{an}的通项公式；〔2〕假设数列{bn}满足bn=，Tn为数列{bn}的前n项和，当不等式λT n＜n+8〔n∈N*〕恒成立时，求实数λ的取值范围．【考点】：数列的求和；等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：〔1〕由题意和等差数列的通项公式求出公差，代入等差数列的通项公式化简求出an；〔2〕由〔1〕化简bn=，利用裂项相消法求出Tn，代入不等式λT n＜n+8别离出λ，利用根本不等式求出式子的最小值，再由对于n∈N*恒成立求出实数λ的取值范围．【解析】：解：〔1〕设等差数列{an}的公差为d，∵a1=1，a7=13，∴a1+6d=13，解得d=2，所以an=a1+〔n﹣1〕d=2n﹣1…〔5分〕〔2〕由〔1〕得，bn==〔〕，∴Tn==〔1﹣〕=…〔8分〕要使不等式λT n＜n+8〔n∈N*〕恒成立，只需不等式=+17恒成立即可…〔10分〕∵，当且仅当时，即n=2取等号，∴λ＜25…〔12分〕【点评】：此题考查等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，以与利用根本不等式求最值，属于中档题．20．〔13分〕〔2015•遂宁模拟〕定点A〔﹣2，0〕，F〔1，0〕，定直线l：x=4，动点P与点F 的距离是它到直线l的距离的．设点P的轨迹为C，过点F的直线交C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点．〔1〕求C的方程；〔2〕试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：〔1〕设P〔x，y〕为E上任意一点，依题意有=，化简即可得出；〔2〕设DE的方程为x=ty+1，与椭圆方程联立化为〔3t2+4〕y2+6ty﹣9=0，设D〔x1，y1〕，E〔x2，y2〕，由A〔﹣2，0〕，可得直线AD的方程为y=，点M，同理可得N．利用根与系数的关系只要证明=0即可．【解析】：解：〔1〕设P〔x，y〕为E上任意一点，依题意有=，化为．〔2〕设DE的方程为x=ty+1，联立，化为〔3t2+4〕y2+6ty﹣9=0，设D〔x1，y1〕，E〔x2，y2〕，如此，t1t2=．由A〔﹣2，0〕，可得直线AD的方程为y=，点M，同理可得N．∴======9﹣9=0．∴以线段MN为直径的圆恒过定点F．【点评】：此题考查了椭圆的标准方程与其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．〔14分〕〔2015•遂宁模拟〕函数f〔x〕=〔x+1〕ln〔x+1〕，g〔x〕=kxex〔k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数〕，g′〔x〕为g〔x〕的导函数，且g′〔0〕=1，〔1〕求k的值；〔2〕对任意x＞0，证明：f〔x〕＜g〔x〕；〔3〕假设对所有的x≥0，都有f〔x〕≥ax成立，求实数a的取值范围．【考点】：导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：〔1〕先求导，再代入值计算即可；〔2〕构造函数G〔x〕，根据函数的单调性，即可证明；〔3〕构造函数令h〔x〕=〔x+1〕ln〔x+1〕﹣ax，求导，再分类讨论，即可求出a的取值范围．【解析】：解：〔1〕g'〔x〕=k〔x+1〕ex所以g'〔0〕=k=1…〔3分〕〔2〕证明：令G〔x〕=ex﹣x﹣1，G′〔x〕=ex﹣1，当x∈〔0，+∞〕，G′〔x〕＞0，所以当x∈〔0，+∞〕时G〔x〕单调递增，从而有G〔x〕＞G〔0〕=0，x＞0；所以ex＞x+1＞0⇒x＞ln〔x+1〕＞0，∴xex＞〔x+1〕ln〔x+1〕，所以当x∈〔0，+∞〕，f〔x〕＜g〔x〕；…〔8分〕〔3〕令h〔x〕=〔x+1〕ln〔x+1〕﹣ax，如此h′〔x〕=1﹣a+ln〔x+1〕，令h′〔x〕=0，解得x=ea﹣1﹣1，〔i〕当a≤1时，所以x=ea﹣1﹣1＜0，从而对所有x＞0，h′〔x〕＞0；h〔x〕在…〔14分〕【点评】：此题考查了导数和函数的单调性的关系以与参数的取值范围，属于中档题．。