第二讲 三直线的参数方程

三 直线的参数方程[对应学生用书P27]1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.[对应学生用书P27][例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上．由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos5π6，y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3(3＋22t )＋2(4＋22t )＝6. 解得t ＝－1125，∴|MP 0|＝|t |＝1125.[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6，∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 为所求．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A (1＋32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋12t 2)， 以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0，① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A 、B 两点．(1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7. 整理得t 2－43t ＋9＝设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2 3.解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32)．4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎪⎫4116，34.[对应学生用书P28]一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋－12－t ，y ＝2＋32－t答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即－2＋－1－2＝10.答案：B4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π6或5π6解析：直线化为y x＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22－t ，y ＝－3＋22－t ，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t(t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－x －3，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35－5t ，y ＝10＋45－5t ，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85， 所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.。

三 直线的参数方程庖丁巧解牛知识·巧学直线参数方程的形式过定点M 0(x 0,y 0）、倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数）,我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其中t 为参数.直线参数方程中参数t 的几何意义：表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量M 0M 。

联想发散 很明显,我们也可以把参数t 理解为以M 0为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上点M 的坐标，其长度单位与原直角坐标系的长度单位相同.t 是直线上有向线段的数量,当α∈（0,π）时，M 在M 0的上方时,t 〉0；M 在M 0的下方时，t<0；M 与M 0重合时,t=0。

当α=90°时，⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数)可化为x=x 0,因此在使用时,不必研究直线斜率不存在时的情况.特别地,若直线l 的倾角α=0时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=,,00y y t x x 当t>0时，点M 在点M 0的右侧;当t=0时，点M 与点M 0重合；当t<0时，点M 在点M 0的左侧.深化升华 若直线的参数方程为一般形式⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(t 为参数),可把它化为标准形式:⎩⎨⎧'+='+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t′为参数),其中α是直线的倾斜角tanα=a b ，此时参数t′才有如前所说的几何意义。

同一直线方程的参数方程有多种形式,如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 222,221（t 为参数)和 ⎩⎨⎧+=-=t y t x 2,1（t 为参数）表示同一条直线，但后者参数t 没有几何意义.直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00,（t 为参数）只有当a 2+b 2=1且b≥0时,参数t 才有意义. 对于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=t b a b y y t b a a x x 220220,(t 为参数)，其中b≥0，若a>0，则直线的倾斜角α为锐角;若a<0,则直线的倾斜角α为钝角；若a=0,则直线的倾斜角α为直角.问题·探究问题1 在解决某些问题时可以使用某些已知的结论或公式，正确使用这些结论可以简化运算，使问题的解决更快捷.那么对于直线的参数方程又有哪些常用的结论呢？探究：根据直线参数方程中参数的几何意义,设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααtsin ,cos 00y y t x x （t 为参数）,直线l 上点A ，B 对应的参数分别为t A 、t B ，则(1）A 、B 两点之间的距离为|AB ｜=|t a -t b ｜,特别地，A 、B 两点到点M 0的距离分别为|t A ｜、|t B ｜；（2)A 、B 两点的中点所对应的参数为2B A t t +，若点M 0是线段AB 的中点,则t A +t B =0，反之亦然； （3）若直线上的点C 所对应的参数为t C ，C 点分AB 所成的比为λ,则t c =λλ++1B A t t 。

三 直线的参数方程课堂探究探究一 求经过点P (x 0，y 0)，倾斜角是α的直,,线的参数方程 由直线上一定点和直线的倾斜角，可直接写出直线的参数方程． 【例题1】已知直线l 过点P (3,4)，且它的倾斜角θ＝120°. (1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点坐标．思路分析：根据直线过点(3,4)及直线的倾斜角θ＝120°，得该直线的参数方程，然后与x －y ＋1＝0联立可求得交点．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)．(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，解得t ＝0.把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，得两条直线的交点坐标为(3,4)．探究二 直线参数方程的应用在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．直线的参数方程和普通方程可以进行互化．特别是要求直线上某一定点到直线与曲线的交点的距离时，通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程形式．【例题2】已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)，求该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？思路分析：本题考虑使用参数方程标准形式中参数t 的几何意义来做，所以首先要把原参数方程转化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t ′的一元二次方程，弦长即为方程的两根之差的绝对值．解：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25 t ′，y ＝2＋15 t ′(t ′为参数)，并代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋25 t ′2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋15 t ′2＝9，整理，得5t ′2＋8t ′－45＝0. 设方程的两根分别为t 1′，t 2′，则有t 1′＋t 2′＝－85，t 1′t 2′＝－4.所以|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′ ＝645＋16＝1255. 探究三 易错辨析易错点：错用参数的几何意义【例题3】已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y2＝4交于A ，B 两点，求|AB |及|AM |·|BM |.错解：把直线方程代入圆的方程，化简得t 2－6t ＋2＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，那么t 1＋t 2＝6，t 1·t 2＝2，由于|MA |＝|t 1|，|MB |＝|t 2|，从而|MA |·|MB |＝|t 1·t 2|＝2，|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝62－4×2＝27.错因分析：直线l 的方程中，参数t 的意义与直线参数方程的标准形式中参数t 的意义是不同的，后者是点M 与直线l 上的一点形成的有向线段MP 的数量，而前者则不同，错解中把两者等同起来，错用了参数的几何意义．正解：l 的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，y ＝－1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2(t 为参数)．令t ′＝t2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′是参数)．其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.因为Δ＞0，可设t 1′，t 2′是方程的两根，由根与系数的关系得t 1′＋t 2′＝32，t 1′t 2′＝1.由参数t ′的几何意义得|MA |＝|t 1′|，|MB |＝|t 2′|，所以|MA |·|MB |＝|t 1′·t 2′|＝1，|AB |＝|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′ ＝14.。

18学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案新人教A版内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯三直线的参数方程[对应学生用书p27]1．直线的参数方程x＝x0＋tcosα(1)过点m0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数为?y＝y0＋tInα？(t为参数)（2）由α表示直线的倾角α∈ [0，π），sinα≥ 0.2. 线性参数方程中参数t 的几何意义参数t的绝对值表示参数t所对应的点m到定点m0的距离．(1)当m0md→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数．(2)当m0md→与e反向时，t取负数，当m与m0重合时，t＝0.[对应学生用书p27][例1]已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点p(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点p到点m(5,4)的距离．【思路】根据线性参数方程的概念，首先计算其斜率，然后从斜率计算倾角的正弦和余弦值，从而得到线性参数方程3【解】根据线性方程3x-4y+1=0，直线的斜率为，直线的倾角为α4334然后Tanα＝sinα＝cosα＝。

455又点p(1,1)在直线l上，直线1的参数方程4x＝1＋t，??5那么L线的参数方程是？三y＝1＋t??5（t是参数）因为3×5－4×4＋1＝0，所以点m在直线l上．4从1+T=5得到T=5，也就是说，从点P到点m的距离是55理解和掌握线性参数方程的变换，阐明参数t的几何意义，即从直线上的移动点m到固定点M0的距离等于参数t的绝对值是解决此类问题的关键．5π1．设直线l过点a(2，－4)，倾斜角为，则直线l的参数方程为________________．六5πx＝2＋总体拥有成本？？六的参数方程为?5πy＝4＋钦？？六解析：直线l（t是参数），即3x＝2－t？2.1y＝4＋t？？二(t为参数)．三x＝2－t，?2答案：?一y＝－4＋t??2（t是参数）π2.一条直线穿过P0（3,4），倾角α＝0，求出该直线与直线3x+2Y=6之间的交点m 和P04的距离．二x＝3＋t，?2把方程的解设为一条直线？2y＝4＋t？？二2将其替换为已知的直线3x+2y-6=0，得到3（3+）22t）＋2（4＋t）＝6.22112解决方案是t=-，5112∴|mp0 |＝t |＝。

三直线的参数方程1．直线的参数方程（1)过点M0（x0,y0）,倾斜角为α的直线l的参数为错误!（t为参数)．（2）由α为直线的倾斜角知,α∈已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P（1，1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4）的距离．由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正弦值、余弦值，从而得到直线参数方程．由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为错误!,设直线的倾斜角为α，则tan α＝错误!，sin α＝错误!，cos α＝错误!.又点P(1，1)在直线l上，所以直线l的参数方程为错误!(t为参数）．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．由1＋错误!t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化,弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值，是解决此类问题的关键．1．一直线过P0(3,4）,倾斜角α＝错误!,求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．解：由题意设直线的参数方程为错误!（t为参数），将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，得3错误!＋2错误!＝6。

解得t＝－错误!，∴｜MP0｜＝|t|＝错误!。

2．已知直线l的参数方程为错误!求直线l的倾斜角．解:将参数方程化成另一种形式错误!若2t为一个参数,则错误!在α∈已知直线l经过点P(1，1），倾斜角α＝错误!，(1）写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．（1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．(1）∵直线l过点P（1，1)，倾斜角为错误!，∴直线的参数方程为错误!即错误!(t为参数)为所求．(2）∵点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A错误!，B错误!，将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4整理得到t2＋（错误!＋1)t－2＝0,①又∵t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2。