人教新课标版数学高二-2014年春数学人教选修4-4练习2.3直线的参数方程

第二讲 2.31．直线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t (t 为参数)，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则|t |的几何意义是( C )A ．M 0M →B ．MM 0→C ．||M 0M →D ．以上都不是 解析：由参数t 的几何意义及向量模的定义知选C ．2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t 为参数)的方向向量可以是( B ) A ．(－a ，b )B ．(－a ，－b )C ．(a ，－b )D ．⎝⎛⎭⎫1，b a 解析：由参数方程知直线的方向向量为(－a ，－b )，也可以是(a ，b )，不能选D ，原因是a 有可能等于0，故选B ．3．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝33x (x ≥0)，x 2＋y 2＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1故曲线C 1与C 2交点的直角坐标是(3，1)． 4．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10.求l 的斜率．解析：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x ＋6)2＋y 2＝25 得ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)设直线l 的斜率为k ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α得l ：y ＝kx . 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，(x ＋6)2＋y 2＝25得(k 2＋1)x 2＋12x ＋11＝0 ∴x 1＋x 2＝－12k 2＋1，x 1x 2＝11k 2＋1， ∴|AB |＝10＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 2＋12－4×11k 2＋1⇒k ＝±153.。

统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。

直线的极坐标方程为：，点，参数．（I ）求点轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为222=， 所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，消参得：所以点的轨迹方程为（Ⅱ）因为所以所以，所以直线的直角坐标方程为法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为圆心为（0,2），半径为2．，点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和， 所以点到直线距离的最大值．法二：当时，，即点到直线距离的最大值为．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，t 为参数）.(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】 （1）对曲线：，，∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又，从而曲线的极坐标方程为。

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新人教A版选修4—4一、选择题（每小题5分,共20分)1．已知直线错误!(t为参数）,下列命题中错误的是( ）A．直线经过点(7，－1）B．直线的斜率为3 4C．直线不过第二象限D．｜t｜是定点M0（3，－4)到该直线上对应点M的距离解析：直线的普通方程为3x－4y－25＝0。

由普通方程可知，A、B、C正确，由于参数方程不是标准式，故|t｜不具有上述几何意义，故选D.答案：D2．以t为参数的方程错误!表示( ）A．过点(1，－2）且倾斜角为π3的直线B．过点(－1，2)且倾斜角为π3的直线C．过点(1，－2)且倾斜角为错误!的直线D．过点(－1，2)且倾斜角为错误!的直线解析：化参数方程错误!为普通方程得y＋2＝－错误!（x－1)，故直线过定点(1，－2)，斜率为－错误!，倾斜角为错误!.答案:C3．直线错误!（t为参数）的倾斜角为（)A．10°B．80°C．100°D．170°解析:消参数t，得错误!＝－错误!＝错误!＝tan 100°.∴直线的倾斜角为100°。

答案：C4．直线错误!(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点,则AB的中点坐标为（）A．(3,－3）B．(－错误!，3)C．(错误!，－3) D．(4，0）解析：错误!2＋错误!2＝16，得t2－8t＋12＝0，t1＋t2＝8,错误!＝6。

课后训练1．已知P 1，P 2是直线11,2322x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是( )．A ．12||||2t t + B ．12||2t t + C ．12||2t t - D ．12||||||2t t - 2．若直线的参数方程为13,2332x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，则此直线的斜率为( )．A ．3B ．3- 3．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为( )．A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)4．设直线的参数方程为53,104x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，则直线的普通方程为__________． 5．直线13,:1x t l y t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)上的点P (－4,13-)到l 与x 轴交点间的距离是________．6．直线3,1x t y t=-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线y ＝x 相交，则交点到点(3,1)的距离为__________． 7．经过点P (1,0)，斜率为34的直线和抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M ，则点M 的坐标为________．8．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l 的参数方程为,2x t y m t=⎧⎨=+⎩(t 为参数)，当m 为何值时，直线l 被椭圆截得的弦长为6？ 9．已知斜率为1的直线l 过椭圆22+=14x y 的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．10．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23,2252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为25sin ρθ=.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |.参考答案1. 答案：B解析：由t 的几何意义可知，P 1P 2的中点对应的参数为122t t +，P 对应的参数为t ＝0，∴它到点P 的距离为12||2t t +. 2. C ．33 D ．33- 答案：B解析：直线的参数方程为13,233,2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可化为标准形式3cos120,3sin120x t y t ⎧=+(-)︒⎪⎨=+(-)︒⎪⎩(－t 为参数)，∴直线的倾斜角为120°，斜率为3-.3. D ．(2－2，2＋2)答案：D解析：曲线2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩即为圆(x －2)2＋y 2＝1．直线y ＝x －b 与圆(x －2)2＋y 2＝1有两个不同的公共点，则圆心(2,0)到直线y ＝x －b 的距离小于圆的半径1， 即|2|<12b -， ∴22<<2+2b -. 4. 答案：4x ＋3y －50＝0解析：把53x t -=代入y 的表达式，得45103x y (-)=-，化简得4x ＋3y －50＝0. 5. 答案：232－解析：在直线13,:1x t l y t ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩中令y ＝0，得t ＝－1．故l 与x 轴的交点为Q (－1－3，0)． ∴222||=13413431=232PQ (--+)+(-)=(-)-. 6. 答案：2解析：两直线相交时，可求得t ＝1，故交点坐标为(2,2)，它到点(3,1)的距离为2.7. 答案：172,93⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：设直线的倾斜角为α.由直线的斜率为34，得cos α＝45，sin α＝35.又直线过点P (1,0)，则直线的参数方程为41,535x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入抛物线方程y 2＝x ，得234=1+55t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即9t 2－20t －25＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2，则 中点M 的相应参数是121029t t t +==， 所以点M 的坐标是172,93⎛⎫ ⎪⎝⎭. 8. 解：由题知椭圆的标准方程为22+=14y x ．由直线l 的参数方程,2x t y m t =⎧⎨=+⎩(t 为参数)， 得55,5255,5x t y m t ⎧=()⎪⎪⎨⎪=+()⎪⎩令5t't =，则得直线的参数方程的标准形式55255x t'y m t'⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，(t ′为参数，其绝对值的几何意义是直线上的点到点(0，m )的距离)，将其代入椭圆方程并整理，得8t ′2＋45mt'＋5m 2－20＝0.设方程的两根分别为t 1′，t 2′，则根据根与系数的关系，有t 1′＋t 2′＝52m -，t 1′·t 2′＝25208m -. ∴弦长为22125520||=4648m m t 't '---⋅=， ∴2165m =，解得45±5m =. 9. 解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4. 椭圆22+=14x y 的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为23,222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入椭圆方程22+=14x y ，得222322=142t t ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪ ⎪⎝⎭， 整理，得5t 2＋26t －2＝0.设方程的两实根分别为t 1，t 2，则 12265t t +=-，1225t t ⋅=-， 2121212||=4t t t t t t -(+)- 22688555⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以弦AB 的长为85. 10. 解法一：(1)由25sin ρθ=，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223=522t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2324=0t t -+.由于△＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根． 所以121232,4.t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩ 又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝32.解法二：(1)同解法一．(2)因为圆C 的普通方程为x 2＋(y －5)2＝5，直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋5. 由2255,35,x y y x ⎧+(-)=⎪⎨=-++⎪⎩得x 2－3x ＋2＝0. 解得1,25x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩或2,1 5.x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩ 不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)，故|P A |＋|PB |＝222=32+.。