三直线的参数方程

直线的参数方程标准式直线是几何学中最基本的概念，它是空间中所有点组成的连续一维线段，可以用参数方程表示。

什么是参数方程标准式?数方程标准式是用数学公式来表示空间直线的形状和特征，它是由平面直角坐标系上任意两点确定的，具有特定形状和方向。

以二维直角坐标系为例，参数方程标准式用如下公式表示：直线方程为 y=kx+b 其中，k 为斜率，b 为截距，结合两个坐标点的坐标值，就可以求出 k b值，当给定三点的坐标时，可以利用克莱姆法，把原始的三点坐标转换为两个一元二次方程，求解得到斜率 k截距b 。

如果以三维直角坐标系为例，参数方程标准式用如下公式表示：直线方程为 z=ax+by+c，其中， a单位向量 $vec{i}$系数，b单位向量 $vec{j}$系数，c截距，它们可以由三维坐标系下三点确定。

例如，如果有三点 $(x_1, y_1, z_1)$，$(x_2, y_2, z_2)$ $(x_3, y_3, z_3)$，那么可以使用下面的克莱姆法求出 a，b，c:$$begin{aligned}&vec{i}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)&vec{j}=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)&vec{k}=vec{i}timesvec{j}&(a,b,c)=vec{k}/|vec{k}|end{aligned}$$根据以上参数方程标准式，当有任意两点或三点坐标值时，就可以求出直线上任意一点的坐标。

直线的参数方程标准式在几何学中有着重要的应用，可以帮助我们求解直线的各种性质，比如直线和其他特征的位置关系，如两直线的相交、平行和垂直等；可以用一阶和二阶微分求解直线的切线方程，可以用它绘制直线图，求解几何特征，如弧长、斜率等。

另外，参数方程标准式也可以用于求解非线性方程，此时可将非线性方程转换为一阶或二阶参数方程，然后根据参数方程标准式对参数进行求解。

空间直线的方程和性质直线是空间几何中最基本的图形之一，它具有许多重要的性质和特征。

本文将介绍空间直线的方程和一些主要性质，以便更好地理解和应用直线的概念。

一、空间直线的方程在三维空间中，直线可以用参数方程、对称方程和一般方程来表示。

1. 参数方程：设直线上一点为P(x0, y0, z0)，直线的方向向量为a(m, n, p)。

则直线的参数方程为：x = x0 + mty = y0 + ntz = z0 + pt其中t为参数，表示直线上的任意一点。

2. 对称方程：设直线过一点P(x0, y0, z0)且平行于向量a(m, n, p)。

则直线的对称方程为：(x - x0) / m = (y - y0) / n = (z - z0) / p这个方程表示直线上的所有点满足这个比值关系。

3. 一般方程：直线的一般方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为不全为零的实数。

通过对这个方程的系数进行标准化处理，可以得到一个方便使用的一般方程。

二、空间直线的性质空间直线具有以下几个重要的性质：1. 直线的方向：直线的方向由其方向向量确定。

对于参数方程和对称方程，直线的方向向量就是其参数的系数。

对于一般方程，直线的方向向量可以通过系数A、B、C来确定。

2. 直线的倾斜类型：直线可以是水平的、竖直的或斜的。

根据直线的方向向量，我们可以判断直线的倾斜类型。

若方向向量的两个分量为0，第三个分量不为0，则直线是竖直的；若第三个分量为0，前两个分量不全为0，则直线是水平的；若前两个分量都不为0，直线是斜的。

3. 直线的截距：对于一般方程Ax + By + Cz + D = 0，直线在三个坐标轴上的截距分别为：x轴截距：x = -D / Ay轴截距：y = -D / Bz轴截距：z = -D / C4. 直线的倾斜角和垂直角：直线的倾斜角是指直线与坐标轴正向之间的夹角。

可以通过方向向量求得各个坐标轴的倾斜角。

直线的参数方程：过定点倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）。

过定点倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）。

直线的参数方程及其推导过程：设e是与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0)或向右（l的倾斜角为0）的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同）．直线l的倾斜角为α，定点M0、动点M的坐标分别为直线的参数方程中参数t的几何意义是：表示参数t对应的点M 到定点Mo的距离，当同向时，t取正数；当异向时，t取负数；当点M与Mo重合时，t=0．直线参数方程何时必须化为标准形式在求解直线与圆相交得到的弦的长度问题时，可以采用的思路很多：①利用几何方法，即利用弦心距、半弦长、半径组成的Rt△Rt△来求解决；②弦长公式，即|AB|=1+k2−−−−−√⋅|x1−x2||AB|=1+k2⋅|x1−x2|来求解；③利用直线的参数方程的参数的几何意义来求解；从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。

求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。

常用直线向上方向与 X 轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。

可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。

直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。

直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。

在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。

因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。

参数方程与曲线的切线参数方程是用参数表示自变量 x 和 y 的方程。

在数学中，参数方程常用于描述曲线的运动和变化规律。

与之相关的概念是曲线的切线，它表示曲线在某一点上的斜率和方向。

一、参数方程的定义参数方程是一种用参数表示自变量的方程。

通常用 t 表示参数，将自变量 x 和 y 表示为 t 的函数。

参数方程可以描述出不同种类的曲线，包括直线、圆、椭圆等。

常见的参数方程表示如下：1. 直线的参数方程：x = at + by = ct + d2. 圆的参数方程：x = r cos(t)y = r sin(t)3. 椭圆的参数方程：x = a cos(t)y = b sin(t)二、参数方程与曲线的关系参数方程描述了曲线上每个点的坐标，通过改变参数 t 的值，可以得到曲线上的不同点。

当参数方程中 t 的取值范围确定时，曲线上的点也就确定了。

例如，对于直线的参数方程 x = at + b，y = ct + d，当 t 取遍所有实数时，可以得到一条直线。

直线上的不同点由不同的 t 值确定。

同样地，对于圆的参数方程 x = r cos(t)，y = r sin(t)，通过改变 t 的值，我们可以得到圆上的不同点，当 t 取遍所有实数时，可以得到一个完整的圆。

三、曲线的切线曲线的切线是指曲线上某一点处的切线。

切线的斜率等于曲线在该点的导数。

可以通过参数方程来求解曲线的切线。

对于参数方程 x = f(t)，y = g(t)，可以先求出曲线上某一点 P 的切线斜率 k，然后利用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 或一般式方程 Ax + By + C = 0 来表示切线。

具体求解过程如下：1. 求得曲线的导数：dy/dx = dy/dt / dx/dt2. 求得某一点 P 的斜率 k：在参数方程中取 t = t0，求得点 P 的坐标 (x0, y0)，计算 dy/dx 的值，即可得到切线斜率 k。

3. 利用点斜式方程或一般式方程表示切线：根据切线的斜率 k 和点 P 的坐标 (x0, y0)，可以得到切线的方程。

《直线的参数方程》教学设计嫩江县高级中学 于翠玲教学目标：1利用向量知识，推导出直线的标准参数方程，利用向量和数轴的知识来理解参数t 的几何意义，并进行简单应用；体会直线参数方程在解决解析几何问题中的作用。

2通过对直线参数方程的推导与应用，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想。

3 通过推导直线参数方程的过程，激发学生的求知欲和学习数学的兴趣，培养学生积极探索、勇于钻研的科学精神和严谨的科学态度。

教学重点：通过运动变化的过程联系向量的知识，写出直线的参数方程。

教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间的联系。

教学方式：启发、探究、交流与讨论教学手段：多媒体课件．教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫通过学案设计知识链接问题：1直线的倾斜角的范围是什么？2单位向量的定义是什么？3直线方向向量是什么？4平面向量的共线定理是什么？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。

【设计意图】这些知识在推导直线的参数方程中会应用，但是学生有些遗忘，设计以上问题是为学生推导直线的参数方程做好准备。

二、直线参数方程探究问题1：已知一条直线过定点),(000y x M ，倾斜角为α，求这条直线的普通方程。

问题2：:你认为应如何选择参数来表示直线的参数方程？问题3：推导过定点),(000y x M ，倾斜角为α的直线的参数方程。

【设计意图】通过以上问题引导学生综合运用所学知识，获取直线的方向向量，得出直线的参数方程，培养学生探索精神，体会数形结合思想．三、分析直线的参数方程问题4：直线的参数方程中那些是变量那些是常量？方程有什么形式上的特点？【设计意图】让学生更好的理解直线的标准参数方程，有利于学生区分直线的标准参数方程和一般参数方程，为下一节做铺垫。

问题5：参数t 的取值范围是什么？问题6：由e t M M =0你能得到直线l 的参数方程中参数t 的几何意义吗？【设计意图】通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为应用参数解决有关问题打基础。

【全程温习方略】2021-2021学年高中数学 第二讲三、四 直线的参数方程 渐开线与摆线课时训练（含解析）新人教A 版选修4-41．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ＋2y ＝－2t －1(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(－2，π)，那么点P 到直线l 的距离为( )C ．1 答案：B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x2＋y2＝16交于A ，B 两点，那么AB 的中点坐标为() A ．(3，－3) B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋ty ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )B ．4014答案：C4．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t y ＝3t (t为参数)被双曲线x2－y2＝1截得的弦长为( ) A ．210C ．2 5答案：A5．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋tcos θy ＝b ＋tsin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值别离为t 一、t2，那么线段BC 的中点M 对应的参数值是( )答案：B6．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，那么P 点坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22) C ．(－3，－4) D ．(125，125) 答案：D7．直线l 的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝2－3t (t 为参数)，那么l 上任一点到定点(1,2)的距离是( ) A ．t B ．|t||t|答案：C8．(2021·高考重庆卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．假设极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么|AB|＝________.解析：由ρcos θ＝4，知x ＝4. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3，∴x3＝y2(x≥0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，x3＝y2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－8，∴|AB|＝4－42＋8＋82＝16.答案：169．已知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－tsin π6y ＝2＋tcos π6(t 为参数)，那么直线的倾斜角大小是________．答案：2π310．已知直线l 通过点P(1,1)，倾斜角α＝π6， (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x2＋y2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋tcos π6y ＝1＋tsin π6， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t y ＝1＋12t .(2)把直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32ty ＝1＋12t 代入x2＋y2＝4，得(1＋32t)2＋(1＋12t)2＝4， t2＋(3＋1)t －2＝0，t1t2＝－2，那么点P 到A ，B 两点的距离之积为2.11．(2021·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程别离为ρ＝4sin θ，ρcos(θ－π4)＝2 2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P 为C1的圆心，Q 为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t3＋a ，y ＝b 2t3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y －2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y －22＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x1＝0，y1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x2＝2，y2＝2. 因此C1与C2交点的极坐标为(4，π2)，(22，π4)． 注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标别离为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1.[ 因此⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. 12．过抛物线y2＝4x 的核心F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，求这两点间的距离．解：抛物线y2＝4x 的核心为F(1,0)，设过核心F(1,0)，倾斜角为34π的直线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－22ty ＝22t(t 为参数)，将此代入y2＝4x ， 得t2＋42t －8＝0，设那个方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系，有t1＋t2＝－42，t1·t2＝－8，∴|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝ －422＋32＝64＝8. ∴A 、B 两点间的距离是8.。