三直线的参数方程

直线的参数方程标准式直线是几何学中最基本的概念，它是空间中所有点组成的连续一维线段，可以用参数方程表示。

什么是参数方程标准式?数方程标准式是用数学公式来表示空间直线的形状和特征，它是由平面直角坐标系上任意两点确定的，具有特定形状和方向。

以二维直角坐标系为例，参数方程标准式用如下公式表示：直线方程为 y=kx+b 其中，k 为斜率，b 为截距，结合两个坐标点的坐标值，就可以求出 k b值，当给定三点的坐标时，可以利用克莱姆法，把原始的三点坐标转换为两个一元二次方程，求解得到斜率 k截距b 。

如果以三维直角坐标系为例，参数方程标准式用如下公式表示：直线方程为 z=ax+by+c，其中， a单位向量 $vec{i}$系数，b单位向量 $vec{j}$系数，c截距，它们可以由三维坐标系下三点确定。

例如，如果有三点 $(x_1, y_1, z_1)$，$(x_2, y_2, z_2)$ $(x_3, y_3, z_3)$，那么可以使用下面的克莱姆法求出 a，b，c:$$begin{aligned}&vec{i}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)&vec{j}=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)&vec{k}=vec{i}timesvec{j}&(a,b,c)=vec{k}/|vec{k}|end{aligned}$$根据以上参数方程标准式，当有任意两点或三点坐标值时，就可以求出直线上任意一点的坐标。

直线的参数方程标准式在几何学中有着重要的应用，可以帮助我们求解直线的各种性质，比如直线和其他特征的位置关系，如两直线的相交、平行和垂直等；可以用一阶和二阶微分求解直线的切线方程，可以用它绘制直线图，求解几何特征，如弧长、斜率等。

另外，参数方程标准式也可以用于求解非线性方程，此时可将非线性方程转换为一阶或二阶参数方程，然后根据参数方程标准式对参数进行求解。

空间直线的方程和性质直线是空间几何中最基本的图形之一，它具有许多重要的性质和特征。

本文将介绍空间直线的方程和一些主要性质，以便更好地理解和应用直线的概念。

一、空间直线的方程在三维空间中，直线可以用参数方程、对称方程和一般方程来表示。

1. 参数方程：设直线上一点为P(x0, y0, z0)，直线的方向向量为a(m, n, p)。

则直线的参数方程为：x = x0 + mty = y0 + ntz = z0 + pt其中t为参数，表示直线上的任意一点。

2. 对称方程：设直线过一点P(x0, y0, z0)且平行于向量a(m, n, p)。

则直线的对称方程为：(x - x0) / m = (y - y0) / n = (z - z0) / p这个方程表示直线上的所有点满足这个比值关系。

3. 一般方程：直线的一般方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为不全为零的实数。

通过对这个方程的系数进行标准化处理，可以得到一个方便使用的一般方程。

二、空间直线的性质空间直线具有以下几个重要的性质：1. 直线的方向：直线的方向由其方向向量确定。

对于参数方程和对称方程，直线的方向向量就是其参数的系数。

对于一般方程，直线的方向向量可以通过系数A、B、C来确定。

2. 直线的倾斜类型：直线可以是水平的、竖直的或斜的。

根据直线的方向向量，我们可以判断直线的倾斜类型。

若方向向量的两个分量为0，第三个分量不为0，则直线是竖直的；若第三个分量为0，前两个分量不全为0，则直线是水平的；若前两个分量都不为0，直线是斜的。

3. 直线的截距：对于一般方程Ax + By + Cz + D = 0，直线在三个坐标轴上的截距分别为：x轴截距：x = -D / Ay轴截距：y = -D / Bz轴截距：z = -D / C4. 直线的倾斜角和垂直角：直线的倾斜角是指直线与坐标轴正向之间的夹角。

可以通过方向向量求得各个坐标轴的倾斜角。

直线的参数方程：过定点倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）。

过定点倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）。

直线的参数方程及其推导过程：设e是与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0)或向右（l的倾斜角为0）的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同）．直线l的倾斜角为α，定点M0、动点M的坐标分别为直线的参数方程中参数t的几何意义是：表示参数t对应的点M 到定点Mo的距离，当同向时，t取正数；当异向时，t取负数；当点M与Mo重合时，t=0．直线参数方程何时必须化为标准形式在求解直线与圆相交得到的弦的长度问题时，可以采用的思路很多：①利用几何方法，即利用弦心距、半弦长、半径组成的Rt△Rt△来求解决；②弦长公式，即|AB|=1+k2−−−−−√⋅|x1−x2||AB|=1+k2⋅|x1−x2|来求解；③利用直线的参数方程的参数的几何意义来求解；从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。

求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。

常用直线向上方向与 X 轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。

可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。

直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。

直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。

在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。

因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。

参数方程与曲线的切线参数方程是用参数表示自变量 x 和 y 的方程。

在数学中，参数方程常用于描述曲线的运动和变化规律。

与之相关的概念是曲线的切线，它表示曲线在某一点上的斜率和方向。

一、参数方程的定义参数方程是一种用参数表示自变量的方程。

通常用 t 表示参数，将自变量 x 和 y 表示为 t 的函数。

参数方程可以描述出不同种类的曲线，包括直线、圆、椭圆等。

常见的参数方程表示如下：1. 直线的参数方程：x = at + by = ct + d2. 圆的参数方程：x = r cos(t)y = r sin(t)3. 椭圆的参数方程：x = a cos(t)y = b sin(t)二、参数方程与曲线的关系参数方程描述了曲线上每个点的坐标，通过改变参数 t 的值，可以得到曲线上的不同点。

当参数方程中 t 的取值范围确定时，曲线上的点也就确定了。

例如，对于直线的参数方程 x = at + b，y = ct + d，当 t 取遍所有实数时，可以得到一条直线。

直线上的不同点由不同的 t 值确定。

同样地，对于圆的参数方程 x = r cos(t)，y = r sin(t)，通过改变 t 的值，我们可以得到圆上的不同点，当 t 取遍所有实数时，可以得到一个完整的圆。

三、曲线的切线曲线的切线是指曲线上某一点处的切线。

切线的斜率等于曲线在该点的导数。

可以通过参数方程来求解曲线的切线。

对于参数方程 x = f(t)，y = g(t)，可以先求出曲线上某一点 P 的切线斜率 k，然后利用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 或一般式方程 Ax + By + C = 0 来表示切线。

具体求解过程如下：1. 求得曲线的导数：dy/dx = dy/dt / dx/dt2. 求得某一点 P 的斜率 k：在参数方程中取 t = t0，求得点 P 的坐标 (x0, y0)，计算 dy/dx 的值，即可得到切线斜率 k。

3. 利用点斜式方程或一般式方程表示切线：根据切线的斜率 k 和点 P 的坐标 (x0, y0)，可以得到切线的方程。

《直线的参数方程》教学设计嫩江县高级中学 于翠玲教学目标：1利用向量知识，推导出直线的标准参数方程，利用向量和数轴的知识来理解参数t 的几何意义，并进行简单应用；体会直线参数方程在解决解析几何问题中的作用。

2通过对直线参数方程的推导与应用，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想。

3 通过推导直线参数方程的过程，激发学生的求知欲和学习数学的兴趣，培养学生积极探索、勇于钻研的科学精神和严谨的科学态度。

教学重点：通过运动变化的过程联系向量的知识，写出直线的参数方程。

教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间的联系。

教学方式：启发、探究、交流与讨论教学手段：多媒体课件．教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫通过学案设计知识链接问题：1直线的倾斜角的范围是什么？2单位向量的定义是什么？3直线方向向量是什么？4平面向量的共线定理是什么？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。

【设计意图】这些知识在推导直线的参数方程中会应用，但是学生有些遗忘，设计以上问题是为学生推导直线的参数方程做好准备。

二、直线参数方程探究问题1：已知一条直线过定点),(000y x M ，倾斜角为α，求这条直线的普通方程。

问题2：:你认为应如何选择参数来表示直线的参数方程？问题3：推导过定点),(000y x M ，倾斜角为α的直线的参数方程。

【设计意图】通过以上问题引导学生综合运用所学知识，获取直线的方向向量，得出直线的参数方程，培养学生探索精神，体会数形结合思想．三、分析直线的参数方程问题4：直线的参数方程中那些是变量那些是常量？方程有什么形式上的特点？【设计意图】让学生更好的理解直线的标准参数方程，有利于学生区分直线的标准参数方程和一般参数方程，为下一节做铺垫。

问题5：参数t 的取值范围是什么？问题6：由e t M M =0你能得到直线l 的参数方程中参数t 的几何意义吗？【设计意图】通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为应用参数解决有关问题打基础。

【全程温习方略】2021-2021学年高中数学 第二讲三、四 直线的参数方程 渐开线与摆线课时训练（含解析）新人教A 版选修4-41．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ＋2y ＝－2t －1(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(－2，π)，那么点P 到直线l 的距离为( )C ．1 答案：B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x2＋y2＝16交于A ，B 两点，那么AB 的中点坐标为() A ．(3，－3) B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋ty ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )B ．4014答案：C4．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t y ＝3t (t为参数)被双曲线x2－y2＝1截得的弦长为( ) A ．210C ．2 5答案：A5．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋tcos θy ＝b ＋tsin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值别离为t 一、t2，那么线段BC 的中点M 对应的参数值是( )答案：B6．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，那么P 点坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22) C ．(－3，－4) D ．(125，125) 答案：D7．直线l 的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝2－3t (t 为参数)，那么l 上任一点到定点(1,2)的距离是( ) A ．t B ．|t||t|答案：C8．(2021·高考重庆卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．假设极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么|AB|＝________.解析：由ρcos θ＝4，知x ＝4. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3，∴x3＝y2(x≥0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，x3＝y2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－8，∴|AB|＝4－42＋8＋82＝16.答案：169．已知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－tsin π6y ＝2＋tcos π6(t 为参数)，那么直线的倾斜角大小是________．答案：2π310．已知直线l 通过点P(1,1)，倾斜角α＝π6， (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x2＋y2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋tcos π6y ＝1＋tsin π6， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t y ＝1＋12t .(2)把直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32ty ＝1＋12t 代入x2＋y2＝4，得(1＋32t)2＋(1＋12t)2＝4， t2＋(3＋1)t －2＝0，t1t2＝－2，那么点P 到A ，B 两点的距离之积为2.11．(2021·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程别离为ρ＝4sin θ，ρcos(θ－π4)＝2 2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P 为C1的圆心，Q 为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t3＋a ，y ＝b 2t3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y －2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y －22＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x1＝0，y1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x2＝2，y2＝2. 因此C1与C2交点的极坐标为(4，π2)，(22，π4)． 注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标别离为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1.[ 因此⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. 12．过抛物线y2＝4x 的核心F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，求这两点间的距离．解：抛物线y2＝4x 的核心为F(1,0)，设过核心F(1,0)，倾斜角为34π的直线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－22ty ＝22t(t 为参数)，将此代入y2＝4x ， 得t2＋42t －8＝0，设那个方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系，有t1＋t2＝－42，t1·t2＝－8，∴|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝ －422＋32＝64＝8. ∴A 、B 两点间的距离是8.。

第2章 2.2 直线和圆的参数方程2.2 直线和圆的参数方程 2.2.1 直线的参数方程 2.2.2 圆的参数方程1.理解直线的参数方程.(难点)2.掌握圆的参数方程.(重点)[基础·初探]1.直线的参数方程(1)经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M |.(2)设直线过点M 0(x 0，y 0)，且与平面向量a ＝(l ，m )平行(或称直线与a 共线，其中l ，m 都不为0)，直线的参数方程的一般形式为⎩⎨⎧x ＝x 0＋lt y ＝y 0＋mtt ∈R.2.圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ0≤θ≤2π.特别地，若圆心在原点，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝R cos θy ＝R sin θ.[思考·探究]1.若直线l 的倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？ 【提示】 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0.2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义？【提示】 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α ①y －1＝sin α ②(α为参数). ①2＋②2得x 2＋(y －1)2＝1，此即为所求普通方程. 【答案】 x 2＋(y －1)2＝14.若直线⎩⎨⎧x ＝1－2t y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t y ＝2＋3t化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直.∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k . 依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×(－32)＝－1，∴k ＝－6.【答案】 －6[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 类型一 直线的参数方程已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t y ＝2＋12t (t 为参数).(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义.【精彩点拨】 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义，求得t .【尝试解答】 (1)由于直线l ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且倾斜角为π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量 e ＝(cos π6，sin π6)＝(32，12).∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4(32，12)＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方).1.一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式.2.直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数).[再练一题]1.设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6. 【导学号：62790011】(1)写出直线l 的参数方程；(2)设此直线与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.【解】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 56π＝－3－32t y ＝3＋t sin 56π＝3＋t 2(t 为参数).(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4⎝⎛⎭⎪⎫－3－32t 2＋(3＋12t )2－16＝0.即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0. 由t 的几何意义，知 |PA |·|PB |＝|t 1·t 2|， 故|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613. 类型二 圆的参数方程及应用设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θy ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4【精彩点拨】 求曲线C 的几何特征，化参数方程为普通方程(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，根据圆心到直线l 的距离与半径大小作出判定.【尝试解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ.得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.曲线C 表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆， 则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝710＝71010<3，所以直线与圆相交.所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d <71010，故满足题意的点有2个.【答案】 B1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断.特别要注意变量的取值范围.[再练一题]2.已知直线x ＝y ，与曲线⎩⎨⎧x ＝1＋2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α.得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y －2＝2sin α.∴(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径r ＝2， 则圆心(1,2)到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|12＋(－1)2＝22. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝2 22－(22)2＝14. 类型三 直线参数方程的简单应用已知直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2ty ＝2＋t(t 为参数)，则该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？【精彩点拨】 考虑参数方程标准形式中参数t 的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25 t ′，y ＝2＋15t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值.【尝试解答】 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25 t ′y ＝2＋15t ′(t ′为参数).代入圆方程x 2＋y 2＝9， 得(1＋25 t ′)2＋(2＋15t ′)2＝9， 整理，得5t ′2＋8t ′－45＝0 由韦达定理，t ′1＋t ′2＝－85， t ′1·t ′2＝－4.根据参数t ′的几何意义. |t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝1255， 故直线被圆截得的弦长为1255. 在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求.本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t 的几何意义.[再练一题]3.若将条件改为“直线l 经过点A (1,2)，倾斜角为π3，圆x 2＋y 2＝9不变”，试求：(1)直线l 的参数方程；(2)直线l 和圆x 2＋y 2＝9的两个交点到点A 的距离之积.【解】(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t2y ＝2＋32t ，(t 为参数).(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t2y ＝2＋32t ，代入x 2＋y 2＝9，得t 2＋(1＋23)t －4＝0，∴t 1t 2＝－4.由参数t 的几何意义，得直线l 和圆x 2＋y 2＝9的两个交点到点A 的距离之积为|t 1t 2|＝4.[真题链接赏析](教材P 41习题2－2T 6)写出过点A (－1,2)，倾斜角为34π的直线的参数方程，并求该直线与圆x 2＋y 2＝8的交点.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【命题立意】 知识：曲线的参数方程与极坐标方程.能力：通过参数方程与极坐标方程的互化，考查转化与化归的数学思想方法.试题难度：中.【解】 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上. 所以a ＝1. 我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

三直线的参数方程1．直线的参数方程（1)过点M0（x0,y0）,倾斜角为α的直线l的参数为错误!（t为参数)．（2）由α为直线的倾斜角知,α∈已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P（1，1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4）的距离．由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正弦值、余弦值，从而得到直线参数方程．由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为错误!,设直线的倾斜角为α，则tan α＝错误!，sin α＝错误!，cos α＝错误!.又点P(1，1)在直线l上，所以直线l的参数方程为错误!(t为参数）．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．由1＋错误!t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化,弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值，是解决此类问题的关键．1．一直线过P0(3,4）,倾斜角α＝错误!,求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．解：由题意设直线的参数方程为错误!（t为参数），将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，得3错误!＋2错误!＝6。

解得t＝－错误!，∴｜MP0｜＝|t|＝错误!。

2．已知直线l的参数方程为错误!求直线l的倾斜角．解:将参数方程化成另一种形式错误!若2t为一个参数,则错误!在α∈已知直线l经过点P(1，1），倾斜角α＝错误!，(1）写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．（1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．(1）∵直线l过点P（1，1)，倾斜角为错误!，∴直线的参数方程为错误!即错误!(t为参数)为所求．(2）∵点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A错误!，B错误!，将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4整理得到t2＋（错误!＋1)t－2＝0,①又∵t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2。

三维空间中的直线方程三维空间中的直线方程三维空间中的直线可以用向量和点表示，也可以用参数方程表示。

以下是两种不同的表示方法：1. 用向量表示的直线方程假设有一条直线L，它过点P0(x0,y0,z0)且方向向量为v=(a,b,c)。

那么L的方程可以写成：L: (x,y,z) = P0 + t · v其中t为实数，表示点P0沿着向量v的方向走了多少个单位。

当t=0时，P0为直线上的一点；当t>0时，点P0相对于原点的距离逐渐增加，直线向着向量v的方向延伸。

对于任意一点Q(x1,y1,z1)，如果它在直线L上，那么它必须满足以下条件：(x1,y1,z1) = P0 + t · v其中t为一个实数。

又因为直线上的所有点都必须满足这个条件，所以可以将点Q代入上面的式子，并将t解出来。

如果存在实数t使得该方程成立，那么点Q在直线L上；否则，点Q不在直线L上。

2. 用参数方程表示的直线方程假设有一条直线L，它过点P0(x0,y0,z0)且方向向量为v=(a,b,c)。

那么L的参数方程可以写成：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中t为实数，表示在直线上走了多少个单位，a,b,c分别表示向量v在三个轴上的投影长度。

当t=0时，P0为直线上的一点；当t>0时，点P0相对于原点的距离逐渐增加，直线向着向量v的方向延伸。

对于任意一点Q(x1,y1,z1)，如果它在直线L上，那么它必须满足以下条件：x1 = x0 + aty1 = y0 + btz1 = z0 + ct其中t为一个实数。

又因为直线上的所有点都必须满足这个条件，所以可以将三个式子联立解出t。

如果存在实数t使得该方程组有解，那么点Q在直线L上；否则，点Q不在直线L上。

以上是关于三维空间中直线的两种常见表示方法。

通过它们，我们可以方便地计算直线与平面、直线与直线之间的交点，也可以利用它们来求出两个点之间的距离等问题。