2020年浙江专升本《高等数学》模拟试卷四(附答案)

2020年浙江专升本《高等数学》考前10套密押预测卷（十）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题:本大题共5小题，每小题4分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.()()F x f x 是的一个原函数,M N ⇔表示M 的充分必要条件是N ,则必有（）A.()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数B.()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数C.()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数D.()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数2.设()0f x x =在处连续,下列命题错误的是（）A.若()0limx f x x→存在，则(0)0f = B.若0()()limx f x f x x →+-存在，则(0)0f =C.若0()lim0x f x x→=，则(0)0f '= D.若0()()limx f x f x x→--存在，则(0)0f '=3.如图()[3,2],[2,3]f x --在区间是直径为1的上、下半圆，()[2,0],[0,2]f x -在区间是直径为2的下、上半圆，设0()()xF x f t dt =⎰，则结论正确的是()A.3(3)(2)4F F =-- B.5(3)(2)4F F =C.3(3)(2)4F F -= D.5(3)(2)4F F -=--4.若1nn a∞=∑收敛，则级数收敛的是（）A.1||nn a ∞=∑ B.1(1)nnn a ∞=-∑C.11n n n a a ∞+=∑ D.112n n n a a ∞+=+∑5.微分方程2432xy y y e '''-+=的通解是（）A.3212C C 2xxx e e e +- B.3212C C 2xxx e ee ++C.3212C C 2x xxe ee -+- D.3212C C 2x xxe ee -++非选择题部分注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二、填空题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.6.已知12lim 1cos 1cos 1cos n n n n n n πππ→∞⎫+++⎪⎪⎭7.极限2lim (1)(2)xx x x x →∞⎛⎫= ⎪-+⎝⎭8.1ln(1)x y e x=++的渐近线有条.9.设20ln(1)t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，则202t d y dx ==10.已知0,k >则ln 0xx k e-+=根个数为11.已知()y f x =有二阶导数，且()0,()0,f x f x y dy '''><∆与分别对应0()f x x 在处的增量和微分，若0x ∆>，则0与y dy ∆及三者的大小关系是_____________12.求定积分2π=⎰13.函数2()|32|,[10,10]f x x x x =-+∈-的最大值是______________14.设2()ln(2)x f x t dt =+⎰,则()f x '的零点有个15.曲线L 的方程为211ln ,(1x )42y x x e =-≤≤,则曲线弧长是三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分.16.计算tan 0limtan x xx e e x x→--.17.过点A(2,1,3)且与直线11:321x y zL +-==-垂直相交的直线方程.18.计算arc ⎰.19.已知1()xf x =⎰，求定积分120()x f x dx ⎰.20.求极限0lim x→1)x21.求幂级数12n 11(1)1(21)n n x n n ∞-=⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭∑的收敛区间和和函数()F x .22.设抛物线22y x =，其上有点1(,1)2A .求：(1)过A 点的法线；（2）该法线与抛物线围成的平面图形的面积S.23.已知22ln(1,10()1sin ,0x x f x x x x ⎧--<≤⎪=⎨>⎪⎩），求(0)f '.四、综合题：本大题共3小题，每小题10分，共30分.24.已知曲线的方程为221:(0)4x t L t y t t⎧=+⎪≥⎨=-⎪⎩(1)讨论L 的凹凸性；(2)过(-1,0)引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；(3)求此切线L (对应0x x ≤部分)及x 轴所围成的平面图形的面积.25.飞机在机场降落时,引擎关闭,飞机只受到风的阻力.为了减少滑行距离,飞机触地瞬间张开减速伞,以增大阻力,使飞机减速并停下.现有一质量m 9000kg =的飞机,着陆时水平速度0v 700/km h =.经测试,减速伞打开后,飞机所受总阻力与飞机速度成正比(比例系数6610k =⨯).问飞机从着陆点算起到停下的最大滑行距离多少？26.设函数)(x f 在[],a b 二次可微，且()0,()0f x f x '''>>，证明：（1）当[],x a b ∈，()()()()()f b f a f x x a f a b a-≤⋅-+-（2）当[],x a b ∈，()()()()()()2baf a f b b a f a f x dx b a +-<<-⎰.2020年浙江专升本《高等数学》考前10套密押预测卷（十）参考答案与解析一、选择题:本大题共5小题，每小题4分，共20分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(四)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x |x －1>0}，C ＝{x |y ＝x －1，y ∈A }，则(A ∩B )∪C ＝( ) A ．{2，3，4} B ．{2，3，4，5，6} C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{3，4，5}2．若复数z 满足方程z ＝(z ＋1)i(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0中心对称( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度5．在△ABC 中，D 是线段BC 上一点(不包括端点)，AD →＝λAB →＋(1－λ)AC →，则( ) A ．λ<－1 B ．－1<λ<0 C ．0<λ<1D ．λ>16.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为( )A ．24B ．48C ．96D ．1207．已知某三棱锥的三视图如图所示，其中每个小正方形的边长都为1.三棱锥上的点M 在俯视图上的对应点为A ，点N 在左视图上的对应点为B ，则线段MN 的长度的最大值为( )A ．3 3B ．3 2C ．9D ．68．已知数列{a n }为等差数列，且a 8＝1，则2|a 9|＋|a 10|的最小值为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．09．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过等腰梯形ABCD 的上底的两个顶点C 、D ，下底的两个顶点A 、B分别为双曲线的左、右焦点，对角线AC 与双曲线的左支交于点E ，且3|AE |＝2|EC |，|AB |＝2|CD |，则该双曲线的离心率是( )A. 2 B ． 3 C. 5D ．710．记min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤y ，y ，x >y ，已知函数F (x )＝min{2x ，x 2}( )A ．若F (a )≤b 2，则a ≤bB ．若F (a )≤2b ，则a ≤bC ．若F (a )≥b 2，则a ≥bD ．若F (a )≥2b ，则a ≥b第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分． 11．双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是________，焦点到渐近线的距离是________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，1－3x ，x >0，则f (f (－1))＝________；若f (2a 2－3)>f (5a )，则实数a 的取值范围是________．13．在(2－x )6的展开式中，含x 3项的二项式系数为________，系数为________．(均用数字作答) 14．已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．若从袋子中摸出3个球，记摸到白球的个数为ξ，则ξ＝1的概率是________，随机变量ξ的均值是________．15．已知x ，y ，z 均为实数，且满足x 2＋2y 2＋z 2＝1，则5xy ＋2yz ＋2z 2的最大值为________． 16．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0x ＋y ≥0x ≤3，则z ＝|2x －y |的最大值为________．17．在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱AD 的中点，点P 是线段CD 1(不包括点C )上的动点，点Q 是线段CM 上的动点，设直线PQ 与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本题满分14分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝sin(B －C )． (1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，当sin A ＋cos(7π12－B )取得最大值时，求A ，a 的值．19.(本题满分15分)如图，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1所有的棱长均为1，A 1C 1⊥B 1C .(1)求证：A 1B ⊥AC ；(2)若A 1B ＝1，求直线A 1C 1和平面ABB 1A 1所成角的余弦值．20．(本题满分15分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上．(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)设b n ＝22S n －n ，T n ＝2b 1·2b 2·…·2b n ，证明T n <2 2.21.(本题满分15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，上顶点为B ，直线AB 的斜率为66，坐标原点O 到直线AB 的距离为427. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上存在点D ，使得圆O 过D 的切线与椭圆C 交于点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，直线PQ 与OM 的夹角为45°？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，说明理由．22．(本题满分15分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ，其中a 为实常数．(1)若x ＝12是f (x )的极大值点，求f (x )的极小值；(2)若不等式a ln x －1x ≤b －x 对任意－52≤a ≤0，12≤x ≤2恒成立，求b 的最小值．高考仿真模拟卷(四)1．解析：选B.由题意知，B ＝{x |x >1}，C ＝{2，3，4，5，6}，所以(A ∩B )∪C ＝{2，3，4，5}∪{2，3，4，5，6}＝{2，3，4，5，6}，故选B.2．解析：选C.由于z ＝(z ＋1)i ，则(1－i)z ＝i ，所以z ＝i 1－i ＝i （1＋i ）2＝－12＋12i ，所以z ＝－12－12i ，对应点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－12在第三象限．故选C. 3．解析：选C.因为函数f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x <0，x 2，x ≥0在定义域R 上单调递增，所以当a >b 时，f (a )>f (b )，即a |a |>b |b |，所以充分性成立；当a |a |>b |b |时，a >b ，所以必要性成立．故选C.4．解析：选B.假设将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象平移ρ个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2ρ＋π3关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0中心对称，所以将x ＝－π12代入得到sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2ρ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2ρ＝0， 所以π6＋2ρ＝k π，k ∈Z ，所以ρ＝－π12＋k π2，当k ＝0时，ρ＝－π12.5．解析：选C.根据平面向量加法运算的平行四边形法则，可知⎩⎪⎨⎪⎧0<λ<10<1－λ<1，所以0<λ<1，故选C.6．解析：选C.依题意，设题目中的4种不同的颜色分别为a ，b ，c ，d ，注意到满足题意的方法中顶点A ，B ，E 的颜色互不相同，下面进行分步计数：第一步，确定涂顶点A ，B ，E 处(不妨设顶点A ，B ，E 处的颜色分别为a ，b ，c )，相应的方法数为A 34＝24；第二步，确定涂顶点C ，D 的颜色的方法种数，相应的方法数为4(分别为(C ，D )＝(a ，b )，(a ，d )，(d ，a )，(d ，b ))．根据分步乘法计数原理知，满足题意的不同的涂色方法种数为24×4＝96，选C.7．解析：选A.根据题意及三视图，在棱长为3的正方体中还原该几何体的直观图，为如图所示的三棱锥P ­CNE .由题意知M 在PC 上，则线段MN 长度的最大值即PN 的长，故线段MN 长度的最大值为3 3.8．解析：选C.a 9＝a 8＋d ＝1＋d ，a 10＝a 8＋2d ＝1＋2d ， 2|a 9|＋|a 10|＝2|1＋d |＋|1＋2d |＝2(|1＋d |＋|12＋d |)，所以当d ∈⎣⎡⎦⎤－1，－12时，原式取到最小值1.故选C. 9．解析：选D.由题意可知，A (－c ，0)，B (c ，0)，又点C 在双曲线上，ABCD 为等腰梯形，|AB |＝2|CD |，所以点C 的横坐标为c 2，不妨设C ⎝⎛⎭⎫c 2，y 0，由3|AE |＝2|EC |可知AE →＝23EC →，得E ⎝⎛⎭⎫－2c 5，2y 05，从而满足⎩⎨⎧c 24a 2－y 20b2＝1，4c 225a 2－4y 2025b2＝1，消去y 20b 2，得c2a2＝7，所以该双曲线的离心率为7.10．解析：选D.在平面直角坐标系内画出函数y ＝2x 和函数y ＝x 2的图象，易得两函数图象有三个交点，设从左至右交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则由图易得F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈（－∞，x 1]∪[x 2，x 3]，x 2，x ∈（x 1，x 2）∪（x 3，＋∞），画出函数y ＝2x 和y ＝F (x )的图象，过函数y ＝2x 的图象上任意一点(b ，2b )作x 轴的平行线l ，由图易得在函数y ＝F (x )的图象上，位于直线l 和直线l 上方的点均在x ＝b 的右侧，所以若F (a )≥2b ，则a ≥b ，故选D.11．解析：因为a 2＝4，b 2＝1，所以实轴长2a 等于4，焦点到渐近线的距离为b 等于1. 答案：4 112．解析：f (－1)＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝1－3×2＝－5.作出函数图象，由图象可知函数f (x )在定义域上单调递减，所以由f (2a 2－3)>f (5a )得，2a 2－3<5a ，即2a 2－5a －3<0，解得－12<a <3，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，3. 答案：－5 ⎝⎛⎭⎫－12，3 13．解析：依题意，(2－x )6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6·26－r ·(－x )r ＝C r 6·26－r ·(－1)r ·x r ，因此在(2－x )6的展开式中，含x 3项的二项式系数为C 36＝20，系数为C 36·23·(－1)3＝－160.答案：20 －16014．解析：依题意得，ξ的所有可能取值分别是0，1，2，P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24·C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14·C 22C 36＝15，因此随机变量ξ的均值是E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.答案：35115．解析：由题意可知，1＝x 2＋2y 2＋z 2＝x 2＋25y 2＋85y 2＋15z 2＋45z 2≥225xy ＋425yz ＋45z 2＝225(5xy ＋2yz ＋2z 2)，即5xy ＋2yz ＋2z 2≤522＝524，故5xy ＋2yz ＋2z 2的最大值为524，当且仅当x ＝126，y ＝5213，z ＝1013时取等号． 答案：52416．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线2x －y ＝0，平移该直线，当直线经过平面区域内的点(－2，2)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时2x －y 取得最小值，最小值是－6；当直线经过平面区域内的点(3，－3)时，相应直线在y 轴上的截距最小，此时2x －y 取得最大值，最大值是9，因此2x －y 的取值范围是[－6，9]，z ＝|2x －y |的取值范围是[0，9]，z ＝|2x －y |的最大值是9.答案：917．解析：如图，过P 作PN ⊥CD 于N ，连接QN ，则直线PQ 与平面ABCD 所成的角θ即∠PQN ，所以tan θ＝PNQN ，结合图形可知，对于线段CD 1上的任意点P ，作PN ⊥CD ，在线段CM 上均存在点Q ，使得QN ⊥CM ，此时tan θ取得最大值．不妨取点P 运动到D 1点，此时N 在D 点，则PN ＝1，又DM ＝12，CD ＝1，所以CM＝52，QN ＝55， 所以(tan θ)max ＝155＝ 5. 答案：518．解：(1)在锐角△ABC 中，cos A ＝－cos(B ＋C )＝sin(B －C )， 所以sin B cos C －cos B sin C ＋cos B cos C －sin B sin C ＝0， 即sin B (cos C －sin C )＋cos B (cos C －sin C )＝0， 所以(sin B ＋cos B )(cos C －sin C )＝0.因为A ，B ，C 均为锐角，所以sin B ＋cos B >0， cos C －sin C ＝0，tan C ＝1，故C ＝π4.(2)由(1)知，A ＋B ＝3π4.由⎩⎨⎧0<A <π20<3π4－A <π2， 得π4<A <π2. sin A ＋cos(7π12－B )＝sin A ＋cos[7π12－(3π4－A )]＝sin A ＋cos(A －π6)＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝32sin A ＋32cos A ＝3(sin A ·32＋cos A ·12)＝3sin(A ＋π6)． 由于π4<A <π2，所以5π12<A ＋π6<2π3，故当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，sin A ＋cos(7π12－B )取得最大值 3.由正弦定理a sin π3＝c sin π4＝222＝2，得a ＝ 3.19．解：(1)取AC 中点O ，连接A 1O ，BO ，所以BO ⊥AC .连接AB 1交A 1B 于点M ，连接OM ，则B 1C ∥OM . 因为A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊥B 1C ， 所以AC ⊥OM .又因为OM ⊆面A 1BO ，OB ⊆面A 1BO ，所以AC ⊥面A 1BO ，所以A 1B ⊥AC .(2)因为A 1C 1∥AC ，所以直线A 1C 1和平面ABB 1A 1所成角等于直线AC 和平面ABB 1A 1所成角． 因为三棱柱ABC ­A 1B 1C 1所有的棱长均为1，故A 1B ⊥AB 1， 因为A 1B ⊥AC ，所以A 1B ⊥面AB 1C ， 所以面AB 1C ⊥面ABB 1A 1.因为面AB 1C ∩面ABB 1A 1＝AB 1，所以AC 在平面ABB 1A 1的射影为AB 1， 所以∠B 1AC 为直线AC 和平面ABB 1A 1所成角． 因为AB 1＝2AM ＝2AB 2－BM 2＝3，由于A 1C 1⊥B 1C ，所以AC ⊥B 1C ，所以在Rt △ACB 1中，cos ∠B 1AC ＝AC AB 1＝13＝33.所以直线AC 和平面ABB 1A 1所成角的余弦值为33， 即直线A 1C 1和平面ABB 1A 1所成角的余弦值为33. 20．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 7－S 3＋1＝0.又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，所以a 7＝8.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，a 1＋6d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝1. 所以a n ＝n ＋1，S n ＝n （n ＋3）2.(2)证明：b n ＝22S n －n ＝2n （n ＋2）＝1n －1n ＋2.令P n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则P n ＝1－13＋12－14＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝32－1n ＋1－1n ＋2，因为n ∈N *，所以P n <32，所以T n ＝2b 1·2b 2·…·2b n ＝2b 1＋b 2＋…＋b n ＝2P n <232，所以T n <2 2.21．解：(1)已知b a ＝66，而直线AB 的方程为－x a ＋yb ＝1，由题意11a 2＋1b 2＝427，从而a ＝427·1＋a 2b2＝427·1＋⎝⎛⎭⎫662＝6，b ＝66a ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 26＋y 2＝1.(2)设点D (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝1.由题意知y 0≠0，从而直线PQ 的斜率k ＝－x 0y 0，故直线PQ 的方程可写为y ＝1y 0(1－x 0x )，代入椭圆C 的方程并整理得1＋5x 206x 2－2x 0x ＋x 20＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝6x 01＋5x 20， 从而y 1＋y 22＝1y 0⎝⎛⎭⎫1－x 0·x 1＋x 22＝y 01＋5x 20， 所以M ⎝⎛⎭⎫6x 01＋5x 20，y 01＋5x 20.若直线PQ 与OM 的夹角为45°，则△ODM 是等腰直角三角形， 从而|OM |＝2，即⎝⎛⎭⎫6x 01＋5x 202＋⎝⎛⎭⎫y 01＋5x 202＝2，化简得50x 40－15x 20＋1＝0，解得x 20＝110或x 20＝15. 经检验符合题意，所以存在满足题设要求的点D ，其横坐标可为±1010，±55. 22．解：(1)f ′(x )＝x 2＋ax ＋1x 2， 因为x >0，由f ′⎝⎛⎭⎫12＝0，得⎝⎛⎭⎫122＋12a ＋1＝0，所以a ＝－52， 此时f(x)＝－52ln x ＋x －1x . 则f′(x)＝x 2－52x ＋1x 2＝（x －2）⎝⎛⎭⎫x －12x2. 所以f(x)在⎣⎡⎦⎤12，2上为减函数，在[2，＋∞)上为增函数． 所以x ＝2为极小值点，极小值f(2)＝32－5ln 22.(2)不等式aln x －1x≤b －x ，即f(x)≤b.所以b ≥f max (x)．(ⅰ)若1≤x ≤2，则ln x ≥0，f(x)＝aln x ＋x －1x ≤x －1x ≤2－12＝32.当a ＝0，x ＝2时取等号；(ⅱ)若12≤x<1，则ln x<0，f(x)＝aln x ＋x －1x ≤－52ln x ＋x －1x.由(1)可知g(x)＝－52ln x ＋x －1x 在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数． 所以当12≤x ≤1时，g(x)≤g ⎝⎛⎭⎫12＝52ln 2－32.因为52ln 2－32<52－32＝1<32，所以f max (x)＝32，于是b min ＝32.。

第 1 页 共 6 页文亮2020届浙江“专升本”《高等数学》强化阶段模拟试卷1. A.2. A.⎰ba C.⎰b x3. x d 、3A =A.321A 231123132 4.下列级数中，绝对收敛的是（ ）A ．∑∞=1sin n n πB ．∑∞=-1sin)1(n nn πC ．∑∞=-12sin )1(n nn πD ．∑∞=1cos n n π 5. 直线271224:1+=-+=-z y x L 与182521:2+=--=--z y x L 的夹角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 姓名 基础阶段教室：-----------------------------------------------------------------密封线--------------------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 6 页二、填空题(本题共有10小题，每小题4分,共40分)（请在每小题的空格内填上正确答案.错填、不填均无分）6. 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则01lim ()n nf x n→∞+=______.7. 若lim n n a k →∞=，则21lim n n a +→∞=______.8. 设(sin )1cosxf x =+，则()f x =___________.9. 函数f 10. 若y 11. 12. 已知13. 若(f 14. 15. 向量三、分.16. 求x →第 3 页 共 6 页17.设21arctan 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，求()f x '.18.19. 米移动到3=x第 4 页 共 6 页20. 计算x x xd 13⎰+.21.22. 、)2(f第 5 页 共 6 页23.将函数111()1arctan 412x f x n x x x +=+--展开成x 的幂级数．四、综合题(本题共有3小题，每小题10分,共30分) 24.讨论方程1)1ln(-=+x x 的实根个数．第 6 页 共 6 页25.当k 为何值时，反常积分⎰+∞2)(ln d kx x x收敛？当k 为何值时，这个反常积分发散？26. 设直线)10(<<=a ax y 与抛物线2x y =围成图形面积记作1A ；由直线)10(<<=a ax y 、抛物线2x y =及直线1=x 围成图形面积记作2A .求当+1A 2A 最小时的a 值．。

仿真模拟(四)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．设集合M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |－1<x ≤3}，则M ∩N 等于( )A ．(－2,3]B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3)答案 C解析 ∵M ＝{x |x >2或x <－2}，∴M ∩N ＝{x |2<x ≤3}．2．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－∞，－3)∪(－3,0]B ．(－∞，－3)∪(－3,1]C ．(－3,0]D ．(－3,1]答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ≥0，x ＋3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，即x ∈(－3,0]． 3．在等差数列{a n }中，若S n ＝3n 2＋2n ，则公差d 等于( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 D解析 公差为d 的等差数列的前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝3n 2＋2n ，所以d ＝6.故选D.4．不等式|x －2|＋|x ＋1|≤5的解集为( )A ．(－∞，－2]B ．[－2,3]C ．[3，＋∞)D ．[－1,2] 答案 B解析 不等式|x －2|＋|x ＋1|≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1，1－2x ≤5 或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，3≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －1≤5， 解得－2≤x <－1或－1≤x ≤2或2<x ≤3，所以不等式|x －2|＋|x ＋1|≤5的解集为[－2,3]，故选B.5．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c 等于( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．1答案 B解析 由正弦定理得a sin A ＝b sin B， 因为B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，所以1sin A ＝32sin A cos A. 所以cos A ＝32. 又0<A <π，所以A ＝π6，所以B ＝2A ＝π3. 所以C ＝π－A －B ＝π2，所以△ABC 为直角三角形， 由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2.6．已知命题p ：x ＞1，q ：1x＜1，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 x ＞1，即0＜1x ＜1，即1x ＜1，即p 是q 的充分条件；而1x＜1，即x ＞1或x ＜0，即p 不是q 的必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件．7．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则S 10等于( ) A ．4 B.92C ．5D ．6 答案 C解析 a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2，a 4＝12，所以这是一个周期为3的周期数列，且a 1＋a 2＋a 3＝32，a 10＝12，所以S 10＝3×32＋12＝5. 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．π B.π2 C.π3 D.π6答案 D解析 由三视图知，该几何体为一圆锥被轴截面所截得的圆锥的一半，底面半径为1，高为1，所以该几何体的体积V ＝13×12×π×12×1＝π6. 9．若平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，|a －b |＝|a －c |＝|b －c |，则|c |的最大值为( )A ．2 3B ．2 C. 3 D ．1答案 B解析 作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，设向量a ，b 的夹角为α，由题意可得OA ＝OB ，BA ＝CA ＝CB ，可得△CAO ≌△CBO ，即有OC 垂直平分AB .设AB ＝t ，t ＝2sin α2， 等边△ABC 的高CH ＝32t ＝3sin α2， OH ＝cos α2， 则|c |＝CH ＋OH ＝3sin α2＋cos α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π6， 当α2＋π6＝π2， 即当α＝2π3时，|c |取得最大值2. 10.如图，已知正三棱柱(底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱)ABC －A 1B 1C 1的体积为94，底面边长为 3.若点P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 C解析 因为AA 1⊥底面A 1B 1C 1，所以∠AP A 1为P A 与平面A 1B 1C 1所成的角，因为平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，所以∠AP A 1的大小等于P A 与平面ABC 所成的角的大小，所以111A B C S V ＝34×(3)2＝334，所以111ABC A B C V －＝AA 1×111A B C S V ＝334AA 1＝94，解得AA 1＝ 3.又点P 为底面正三角形A 1B 1C 1的中心，所以A 1P ＝23A 1D ＝23×3×sin 60°＝1.在Rt △AA 1P 中，tan ∠AP A 1＝AA 1A 1P ＝3，所以∠AP A 1＝π3，故选C.11．若a ，b ∈R ，使|a |＋|b |>4成立的一个充分不必要条件是( )A ．|a ＋b |≥4B ．|a |≥4C ．|a |≥2且|b |≥2D ．b <－4答案 D解析 由b <－4⇒|b |>4⇒|a |＋|b |>4知，充分性成立．由|a |＋|b |>4D /⇒b <－4知，必要性不成立．12．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤7，x －y ≤－2，x －1≥0，则目标函数z ＝y x 的最大值为()A.95 B ．3 C ．6 D ．9答案 C解析 不等式组对应的平面区域如图(阴影部分，含边界)所示，z 的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，则由图象可知，OA 的斜率最大，OB 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6，即A (1,6)， 此时OA 的斜率k ＝6，故选C.13．若4x ＋4y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[－1,0]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－1] 答案 D解析 由于4x ＋4y ≥24x ×4y ＝2x＋y ＋1， 所以2x ＋y ＋1≤1＝20，得x ＋y ＋1≤0，即x ＋y ≤－1.故选D.14．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则下列各式一定成立的是( )A ．f (0)<f (6)B ．f (－3)>f (2)C ．f (－1)>f (3)D ．f (－2)<f (－3)答案 C解析 因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，又f (x )在[0，＋∞)上是减函数，所以f (6)<f (|－3|)<f (|－2|)<f (|－1|)<f (0)，则f (－1)>f (3)，故选C.15．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0 答案 A解析 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ， 即2x ±y ＝0.16．如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF ＝∠BCE ＝90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD ∥BC ，且AB ＝DE ＝2BC ＝2AF (如图①)．将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE ，BF ，CE (如图②)．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是( )①AC ∥平面BEF ；②B ，C ，E ，F 四点不可能共面；③若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ；④平面BCE 与平面BEF 可能垂直．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，在图中记AC 与BD 交点(中点)为O ，取BE 的中点为M ，连接MO ，MF ，易证得四边形AOMF为平行四边形，即AC∥FM，又∵FM⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，∴AC∥平面BEF，故①正确；假设②中B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，BC⊄平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，可推出BC∥EF，所以AD∥EF，这与已知相矛盾，故B，C，E，F四点不可能共面，所以②正确；③在梯形ADEF中，易得FD⊥EF，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，即CD⊥EF，又CD⊥AD，AD，EF为平面ADEF内的相交直线，所以CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，所以③正确；④延长AF至G使得AF＝FG，连接BG，EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG 于N，又平面BCE∩平面ABF＝BG，FN⊂平面ABF，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，前后矛盾，故④错误．故选B.17．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0 B.2x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0答案A解析 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a， 双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a， 所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32， 所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ， 所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12 x ， 即x ±2y ＝0.故选A.18．已知关于x 的二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0，b ，c ∈R )在(0,2)内有两个实根，若⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，25a ＋10b ＋4c ≥4，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C.94 D.1625答案 D解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x －p )(x －q )，∵⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，25a ＋10b ＋4c ≥4，∴f (0)＝c ≥1，f (2.5)≥1， ∴apq ≥1，a (2.5－p )(2.5－q )≥1，∴a 2pq (2.5－p )(2.5－q )≥1，即a 2≥1pq (2.5－p )(2.5－q )， 又p ·(2.5－p )·q ·(2.5－q )≤625256， 当且仅当p ＝q ＝1.25时，等号成立．∴a 2≥256625，即a ≥1625，a 的最小值为1625. 二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是________；最大值是________．答案 π 1解析 f (x )＝－cos 2x ，T ＝π，f (x )max ＝1.20．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝________. 答案 1534解析 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，即49＝25＋AC 2－2×5×AC ×⎝⎛⎭⎫－12， 则AC 2＋5AC －24＝0，解得AC ＝3.故△ABC 的面积S ＝12×5×3×sin 120°＝1534. 21．已知等差数列{a n }，等比数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)．若S n ＝32n 2＋12n ，b 1＝a 1，b 2＝a 3，则T n ＝________.答案 23(4n －1) 解析 由题意得a 1＝S 1＝32×12＋12×1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2＋12n －32(n －1)2－12(n －1)＝3n －1， 当n ＝1时，也成立，所以a n ＝3n －1(n ∈N *)，所以b 1＝a 1＝2，b 2＝a 3＝8，所以等比数列{b n }的公比为4，T n ＝2(1－4n )1－4＝23(4n －1)(n ∈N *)． 22．偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －x 2，若直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫1515，33 解析 因为直线kx －y ＋k ＝0(k >0)，即k (x ＋1)－y ＝0(k >0)过定点(－1,0)．因为函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又因为函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称，在平面直角坐标系内画出函数f (x )的图象及直线k (x ＋1)－y ＝0(k >0)如图所示，则由图易得|AB |＝22－1＝3，|AC |＝42－1＝15，tan ∠BAx ＝13＝33，tan ∠CAx ＝115＝1515， 则要使直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1515，33. 三、解答题(本大题共3小题，共31分)23．(10分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋3cos x )－32，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间；(3)求f (x )的值域．解 f (x )＝cos x (sin x ＋3cos x )－32 ＝sin x cos x ＋32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． ⎝⎛⎭⎫注：或者写成单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ) (3)x ∈R ，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即f (x )∈[－1,1]． 24．(10分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，点M 在椭圆上，且满足MF 2⊥x 轴，|MF 1|＝433. (1)求椭圆的方程；(2)若直线y ＝kx ＋2交椭圆于A ，B 两点，求△ABO (O 为坐标原点)面积的最大值．解 (1)由已知得c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2， 可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2，得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1. 设点M 在第一象限，因为MF 2⊥x 轴，可得点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c ， 由|MF 1|＝4c 2＋43c 2＝433，解得c ＝1， 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋2代入椭圆，可得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由Δ>0，可得3k 2－2>0，则有x 1＋x 2＝－12k 2＋3k 2，x 1x 2＝62＋3k 2， 所以|x 1－x 2|＝218k 2－123k 2＋2. 因为直线y ＝kx ＋2与y 轴交点的坐标为(0,2)，所以△OAB 的面积S ＝12×2×|x 1－x 2| ＝218k 2－123k 2＋2＝26×(3k 2－2)3k 2＋2， 令3k 2－2＝t ，由3k 2－2>0知t ∈(0，＋∞)，所以S ＝26t t ＋4＝26t t 2＋8t ＋16＝26t ＋16t＋8≤62，当且仅当t ＝16t，即t ＝4时等号成立． 所以当t ＝4时，△ABO 的面积取得最大值62. 25．(11分)已知函数y ＝f (x )，若在定义域内存在x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则称x 0为函数f (x )的局部对称点．(1)若a ，b ∈R 且a ≠0，证明：函数f (x )＝ax 2＋bx －a 必有局部对称点；(2)若函数f (x )＝2x ＋c 在区间[－1,2]上有局部对称点，求实数c 的取值范围．(1)证明 由f (x )＝ax 2＋bx －a ，得f (－x )＝ax 2－bx －a ，代入f (x )＋f (－x )＝0，得(ax 2＋bx －a )＋(ax 2－bx －a )＝0，得到关于x 的方程ax 2－a ＝0(a ≠0)，其中Δ＝4a 2，由于a ∈R 且a ≠0，所以Δ＞0恒成立，所以函数f (x )＝ax 2＋bx －a (a ，b ∈R ，a ≠0)必有局部对称点．(2)解 方程2x ＋2－x ＋2c ＝0在区间[－1,2]上有解， 于是－2c ＝2x ＋2－x .设t ＝2x (－1≤x ≤2)，则12≤t ≤4，－2c ＝t ＋1t ，其中2≤t ＋1t ≤174， 所以－178≤c ≤－1.即c ∈⎣⎡⎦⎤－178，－1.。

专升本高等数学(二)模拟题2020年(4)(总分150, 做题时间150分钟)一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设函数f(x)在(-∞，+∞)上可导，且则f'(x)等于______ A．-2e-2x+3B．C．-e-2xD．-2e-2xSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D因为是定值，其导数应为零．2.在下列函数中，当x→0时，函数f(x)的极限存在的是______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:CA项：∴当x→0时极限不存在；B项：∴当x→0时极限不存在；C项：∴当x→0时极限存在；D项：极限不存在．3.下列反常积分收敛的是______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:CA项：发散；B项：C项：D项：4.设f(x)的一个原函数为则f(x)等于______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B5.如果则下列各式中不一定成立的是______ A．f(x)=g(x)B．f'(x)=g'(x)C．df(x)=dg(x)D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A当f(x)=g(x)+C时，仍有6.根据f(x)的导函数f'(x)的图象(如图所示)，判断下列结论正确的是______。

• A.在(-∞，1)上f(x)是单调递减的• B.在(-∞，2)上f(x)是单调递减的•**(1)为极大值**(1)为极小值SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C本题的关键是图象所代表的几何意义：在x轴上方的曲线是表示f'(x)＞0(千万注意不是代表f(x)＞0)，而x轴下方的曲线则表示f'(x)＜0．因此选项A与B都不正确．注意到在x=1处的左边即x＜1时f'(x)＞0，而2＞x＞1时f'(x)＜0，根据极值的第一充分条件可知C项正确．7.等于______A．B．C．-cotx+sinx+CD．cotx+sinx+CSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A8.设函数z=f(x，v)，v=φ(x，y)，其中f，φ都有一阶连续偏导数，则等于______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B9.下列结论正确的是______A．若A+B=Ω，则A，B互为对立事件B．若A，B为互不相容事件，则A，B互为对立事件C．若A，B为互不相容事件，则也互不相容D．若A，B为互不相容事件，则A-B=ASSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:DA，B为对立事件要满足A+B=Ω，而A，B互不相容只要满足所以对立事件一定互不相容，反之不一定成立．因此A项与B项都不正确．由事件的对偶律可知选项C也不一定正确．对于选项D，10.样本4，1，2，1，2的方差是•**•**•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C二、填空题1.SSS_FILL分值: 4答案:12.函数在点x=0处连续，则k=______．SSS_FILL分值: 4答案:3.SSS_FILL分值: 4答案:要求型不定式的极限，应优先考虑先用等价无穷小量代换，再用其他方法求解．因此有4.若则f'(x)=______．SSS_FILL分值: 4答案:(1+2x)e2x∵∴f'(x)=e2x+xe2x·2=e2x(1+2x)．5.SSS_FILL分值: 4答案:凑微分后用积分公式．6.已知且f(1)=2则f(x)=______．SSS_FILL分值: 4答案:因为f(1)=C=2，所以7.SSS_FILL分值: 4答案:若f(x)=e-x，则SSS_FILL分值: 4答案:因为f'(x)dx=df(x)，则有f'(2x)d(2x)=df(2x)，所以注若将换成新的变量u=2x，则积分的上、下限也要一起换成新变量u的上、下限，即本题也可求出f'(x)=-e-x，则f'(2x)=-e-2x，再代入所求式子中，有9.设SSS_FILL分值: 4答案:10.若事件A，B为对立事件，且P(A)＞0，则P(B|A)=______．SSS_FILL分值: 4答案:0利用对立事件的定义及条件概率的计算公式．对立事件：A+B=Ω，则P(AB)=0．三、解答题解答应写出推理、演算步骤．设f(1)=1，且f'(1)=2，求SSS_TEXT_QUSTI分值: 8答案:解由于分子是抽象函数f(x)，且f(1)=1，所以是型不定式极限，用洛必达法则求极限．2.设求y'．SSS_TEXT_QUSTI分值: 8答案:解本题主要考查的知识点是复合函数的求导计算．3.计算SSS_TEXT_QUSTI分值: 8答案:解本题主要考查不定积分的分母有理化问题．4.计算SSS_TEXT_QUSTI分值: 8解本题考查的知识点是凑微分积分法．5.已知SSS_TEXT_QUSTI分值: 8答案:证明将已知等式展开得等式两边对x求导得即令即本题主要考查定积分中的积分变量概念，以及变上限定积分的求导计算．已知等式左端是对变量t积分，所以被积函数中的x相对于t而言是常量，可以提到积分号外，这点是需要注意的．6.设函数SSS_TEXT_QUSTI分值: 8答案:解对y求偏导时，将x视为常数．求二阶混合偏导数时，次序可以互换，如本题中先求7.如图，工厂A到铁路线的垂直距离为20km，垂足为B．铁路线上的C是距B 处100km的原材料供应站．现要在BC之间的D处向工厂A修一条公路，使得从材料供应站C经D到工厂A所需要的运费最省，问D应选在何处(已知1km的铁路运费与公路运费之比是3:5)?SSS_TEXT_QUSTI分值: 8答案:解如图所示，设BD=x，铁路的运费为3a元/km，总运费为y元．根据题意有由于只有唯一的驻点，依题意x=15为所求．所以D点应修建在距B处15km处．本题主要考查的知识点是利用导数研究函数特性的方法，解题关键是正确列出函数的关系式，再求其极值．8.求由曲线y=2-x2，y=2x-1及x≥0围成的平面图形的面积S以及此平面图形．绕x轴旋转一周所得旋转体的体积VxSSS_TEXT_QUSTI分值: 8答案:解由已知曲线画出平面图形如图阴影区域所示．由得交点坐标为(1，1)，则本题考查的知识点有平面图形面积的计算及旋转体体积的计算．难点是根据所给的已知曲线画出封闭的平面图形，然后再求其面积S．求面积的关键是确定对x积分还是对y积分．确定平面图形的最简单方法是：题中给的曲线是三条，则该平面图形的边界也必须是三条，多一条或少一条都不是题中所要求的．确定对x积分还是对y积分的一般原则是：尽可能用一个定积分而不是几个定积分之和来表示．本题如改为对y积分，则有计算量显然比对x积分的计算量要大，所以选择积分变量的次序是能否快而准地求出积分的关键．在求旋转体的体积时，一定要注意题目中的旋转轴是x轴还是y轴．由于本题在x轴下面的图形绕x旋转成的体积与x轴上面的图形绕x轴旋转的旋转体的体积重合了，所以只要计算x轴上面的图形绕x轴旋转形成旋转体的体积即可．如果将旋转体的体积写成则有而实际体积为两者之差为恰为x轴下面的三角形图形绕x轴旋转一周的旋转体体积1。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学模拟题选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合P {|14}{|2}x x Q x x =−<<=<，那么()R P C Q ⋂=() A. [2,4)B.(-1,+∞)C. [2,+∞)D. (-1,2]2. 复数z 满足(1+2i)z=2 (i 为虚数单位)，则z 的虚部是( )4.5A −4.5i B −4.3C4.3i D 3.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为3x+4y=0,则该双曲线的离心率是( )5.3A5.4B4.3C 或535.3D 或544.如图是一个几何体的三视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积为()A.12B.14C.16D.185.已知函数f （x ）的图象如右图所示，则f （x ）的解析式可能是（ ）A.2()2ln ||f x x x =−B.2()ln ||f x x x =−C. f(x)=|x|-2ln |x|D. f(x)=|x|-1n|x|6.在《青春有你2》录制现场，有5名学员和3名导师排成一列，则5名学员至少2人排在一起且不与导师相邻的排法有几种（）A.720B.1440C.1880D.2567.随机变量ξ的分布列是若5()3E ξ=，则随机变量ξ的方差D (ξ)=() 1.9A3.9B5.9C D.798.如图，已知三棱锥D-ABC ，记二面角C-AB-D 的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1,θ直线DA 与BC 所成的角是2,θ则()A.θ≥θ1B.θ≤θ1C.θ≥θ2D.θ≤θ29.已知向量a, b 满足|a|=|a+b|=2,则|2a+b|+|b|的最大值为 A.4.42B + 2D.810.已知数列{}n a 满足1110,4,a a >=2112n n n a a a +=+，数列{}n b 满足0n b >，112b a =，21112n n n b b b ++=+若存在正整数P,q(p≤q),使得14p q b b +=，则()A.p=10, q=12B. p=9, q=11C. p=4, q=6D. p=1, q=3非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

浙江省2020年高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1、已知函数，则x =0是函数f(x)的（ ）A 、连续点B 、可去间断点C 、跳跃间断点D 、第二类间断点 2、已知f (x +3)=x 3+8，则f’(x)为（ ）A 、3x 2B 、3(x −3)2C 、3(x +3)2D 、3x 2+6x 3、当x →0是√1+ax 23−1与tan 2x 是等价无穷小，则a 的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 4、下列结论不正确的是（ ）A 、设函数f(x)在闭区间[a,b ]上连续，且在这区间的端点取到不同的函数值，f (a )=A 和f (b )=B ，则对于A 和B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b )上至少有一点ξ，使得f (ξ)=C .B 、若函数f(x)满足在闭区间[a,b ]上连续，在(a,b )内可导，那么在(a,b )上至少有一点ξ，使得f (b )−f (a )=f′(ξ)(b −a)成立.C 、若函数f(x)满足在闭区间[a,b ]上连续，那么在[a,b ]上至少有一点ξ，使得等式∫f(x)ba dx =f (ξ)(b −a)成立.D 、若函数f(x)满足在闭区间[a,b ]上连续，那么在(a,b )内必能取得最大值与最小值.5、若函数y (x )=e 3x cos x 为微分方程y ′′+py ′+qy =0的解，则常数p 和q 的值为（ ）A 、p =−6，q =10B 、p =−6，q =−10C 、p =6，q =−10D 、p =6，q =10二、填空题（只要在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题4分，共40分） 6、极限lim x→∞(x−2x+3)2x=7、设函数f(x)在x =5处可导，并且极限lim x→5f (x )−f(5)(x−5)3=3,则f ′(5)=8、lim x→0+2x3+ln(1+x)= x =2t +cos ty =ln(3+t 2)9、设 则dydx =10、函数f (x )=x 3−3x 2−9x +1在闭区间[0,3]上的最大值为 11、定积分∫xe x2−110dx =12、设函数y =y (x )是方程2x +3y +sin(xy)=0确定的隐函数，则dy =13、设函数f (x )连续，则ddx ∫etx 21f (t )dt =14、由曲线y =√2x 及直线y =x2所围成的封闭平面图形面积等于 15、广义积分∫1(x−7)2+∞8dx =三、计算题（本大题共8小题，其中16-19题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分）16、求极限lim x→01−cos 2x√1+cos x tan x 217、求函数f (x )=e 3x sin 2x 在x =0处的二阶导数f′′(0).18、求不定积分∫x √x+6dx19、设f (x )= 确定常数a 和b ,使得f (x )在x =0处可导.x 3+ax +3,x ≤0e x −2x +b,x >020、求定积分∫(cos √|x |+sin x1+x )π2−π2dx21、求过点M 0(1,2,3)且平行于平面2x +3y −z +1=0，又与直线L:x+21=y−13=z 4垂直的直线方程。

专升本模拟试题高数及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3在区间[0,5]上的最大值是：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知某函数的导数为f'(x)=3x^2-2x，那么f(x)的原函数是：A. x^3 - x^2 + CB. x^3 - x + CC. x^3 + x^2 + CD. x^3 + x + C3. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率是：A. -1B. 0B. 1D. 24. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 15. 函数y=sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π6. 函数f(x)=|x-1|在x=1处的连续性是：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导7. 若f(x)=e^x，g(x)=ln(x)，则f(g(x))=：A. e^(ln(x))B. ln(e^x)C. xD. 1/x8. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. ∞D. 不存在9. 级数∑[1/n^2]（n从1到∞）是：A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 无界10. 函数y=x^2在x=2处的泰勒展开式为：A. x^2 - 4x + 4B. x^2 - 4 + 4C. x^2 - 4x + 4 + O(x^3)D. x^2 - 4x + 4 + O(x^2)二、填空题（每题2分，共20分）11. 若函数f(x)=2x^3-3x^2+x-5，求f'(1)=________。

12. 定积分∫[1,2] (2x+1)dx=________。

13. 函数y=ln(x)在x=e处的导数值是________。

14. 函数y=x^2+3x+2在x=-1处的极小值是________。

15. 函数y=cos(x)的周期是________。

16. 函数y=x^3-6x^2+11x-6在x=2处的切线方程是________。

浙江省专升本《高等数学》试卷一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共20分）1.下列函数相等的是（ ）A ．2,x y y xx==B．y y x==C．2 ,y x y == D．|| ,y x y ==2.曲线xe y x=（）A ．仅有水平渐近线B ．既有水平又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平又无垂直渐近线3.设区域D 由直线,()x a x b b a ==>，曲线()y f x =及曲线()y g x =所围成，则区域D 的面积为（）A ．[()()]baf xg x dx−⎰B ．|[()()]|ba f x g x dx −⎰C ．[()()]bag x f x dx−⎰D ．|()()|baf xg x dx−⎰4.若方程lnzx y=确定二元隐函数(,)z f x y =，则z x ∂=∂（）A ．1B ．x eC ．xyeD ．y5.下列正项级数收敛的是（）A ．2131n n ∞=+∑ B ．21ln n n n ∞=∑ C ．221(ln )n n n ∞=∑ D．2n ∞=二、填空题（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有10个小题，每小题4分，共40分）1.当0x →时，2sin x a x +与x 是等价无穷小，则常数a 等于．2.设函数2sin 21, 0()0ax x e x f x xa x ⎧+−≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)−∞+∞内连续，则a = ．3.曲线1y x=在点(1,1)处的切线方程为．4.设()sin xf t dt x x =⎰，则()f x =． 5.设函数22ln()z x y =+，则11|x y dz === ．6.定积分22(x −−⎰=．7.过点(1,2,0)−并且与平面23x y z ++=垂直的直线方程为．8.二重积分11sin x ydx dy y⎰⎰= ．9.幂级数1!nn n n x n ∞=∑的收敛半径R = ．10.微分方程20xy y '−=的通解是．三、计算题（本题共有10个小题，每小题6分，共60分） 1. 求011lim()1x x x e →−−．2.已知函数lnsin(12)y x =−，求dy dx． 3.求不定积分arctan x xdx ⎰．4.函数2, 0,()2, 0,x x f x x x +≤⎧=⎨−>⎩，计算11()f x dx −⎰的值．5.设函数(,)z z x y =是由方程22xy z e z e −+−=所确定，求212|x y dz ==−．6.设D 是由直线0,1x y ==及y x =围成的区域，计算2y DI e dxdy −=⎰⎰．7.设由参数方程2, 2,t x e y t t ⎧=⎨=+⎩所确定的函数为()y y x =，求212|t d ydx =， 8.求函数22(,)328f x y x y xy x =+−+的极值．9.求微分方程223xy y y e '''+−=的通解．10.将函数21()43f x x x =++展开成(1)x −的幂级数．四、综合题（本题3个小题，共30分，其中第1题12分，第2题12分，第3题6分） 1.设平面图形D 是由曲线xy e =，直线y e =及y 轴所围成的，求：⑴平面图形D 的面积；⑵平面图形D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积．2. 欲围一个面积为1502m 的矩形场地．所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元．问场地的长、宽各为多少时，才能使所用的材料费最少．3.设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导且(0)(1)0f f ==，1()12f =，证明：存在(0,1)ξ∈使()1f ξ'=．。

专升本高等数学(一)分类模拟题2020年(4) (总分124.5, 做题时间90分钟)一、选择题1.x=0是函数的______• A.振荡间断点• B.无穷间断间• C.可去间断点• D.跳跃间断点SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C2.设，则f(x，y)等于______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C3.下列函数中在点x=0处可导。

A．B．e-xC．|x|D．|sinx|SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B4.设f(x，y)为连续函数，则______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D积分区域D可以由0≤x≤1，x2≤y≤x表示，其图形为下图中阴影部分．也可以将D表示为0≤y≤1，，因此选D．5.函数f(x)在x=x0处连续是f(x)在x=x处极限存在的______• A.充分非必要条件• B.必要非充分条件• C.充分必要条件• D.既不充分也不必要条件SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:A函数f(x)在x=x0处连续，则f(x)在x=x处极限存在．但反过来却不行，如函数f(x)=6.是函数f(x)在点x=x处连续的______• A.必要条件• B.充分条件• C.充分必要条件• D.既非充分又非必要条件SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:A函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是．因此只是f(x)在x连续的必要条件，选A．7.微分方程y″-7y′+12y=0的通解为______ •**=C1e3x+C2e-4x•**=C1e-3x+C2e4x•**=C1e3x+C2e4x**=C1e-3x+C2e-4xSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C因方程y″-7y′+12y=0的特征方程为r2-7r+12=0，于是有特征根r1=3，r2=4，故微分方程的通解为y=C1e3x+C2e4x．8.设函数f(x)=e-x2，则f'(x)等于• A.-2e-x2• B.-2xe-x2•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B9.y=lnx，则y"=______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:Cy=lnx，．故选C．10.已知f(xy，x-y)=x2+y2，则等于______•**•**•****+2ySSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:A本题考查了复合函数的偏导数的知识点．因f(xy，x-y)=x2+y2=(x-y)2+2xy，故f(x，y)=y2+2x，从而．11.函数在x=0处连续，则k等于______．A．0B．C．D．2SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B12.微分方程y"-4y=0的特征根为______．•**，4B.-2，2• C.-2，4**，4SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根为2，-2，故选B．13.在空间直角坐标系中，方程x2-4(y-1)2=0表示______ • A.两个平面• B.双曲柱面• C.椭圆柱面• D.圆柱面SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:A14.______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:A，所以选A．15.设y=3ln x，则dy=______．A．B．3e x dxC．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:A16.下列函数中，在x=0处可导的是______•**=|x|•**=|sinx|•**=lnx**=|cosx|SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D17.平面π：2x-3y+5z+1=0与直线l：的位置关系是______• A.互相垂直• B.互相平行但直线不在平面上• C.即不平行也不垂直• D.直线在平面上SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B18.设a＜x＜b，f'(x)＜0，f"(x)＜0，则在区间(a，b)内曲线弧y=f(x)的图形______• A.沿x轴正向下降且向上凹• B.沿x轴正向下降且向下凹• C.沿x轴正向上升且向上凹• D.沿x轴正向上升且向下凹SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B当a＜x＜b时，f'(x)＜0，因此曲线弧y=f(x)在(a．b)内下降．由于在(a，b)内f''(x)＜0，因此曲线弧y=f(x)在(a，b)内下凹．故选B．19.设f(x)的一个原函数为x2，则f'(x)等于______．A．B．x2C．2xD．2SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D本题考查的知识点为原函数的概念．由于x2为f(x)的原函数，因此f(x)=(x2)'=2x，因此f'(x)=2．可知应选D．20.=______•**•**•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:A21.函数y=e-x在定义域内是严格单调______．• A.递增且上凹的• B.递增且下凹的• C.递减且上凹的• D.递减且下凹的SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C22.设，其中D是由直线y=2，y=x及双曲线xy=1所围成的区域，则I等于______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C23.设f(x)在[0，1]上有f'(x)＜0，f"(x)＜0，则曲线y=f(x)在[0，1]上______• A.沿x轴正向上升向上凹(凹的，下凸的)• B.沿x轴正向上升向下凹(凸的，上凸的)• C.沿x轴正向下降向上凹(凹的，下凸的)• D.沿x轴正向下降向下凹(凸的，上凸的)SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D24.设，则x=1为f(x)在[-2，2]上的______．• A.极小值点，但不是最小值点• B.极小值点，也是最小值点• C.极大值点，但不是最大值点• D.极大值点，也是最大值点SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B25.设则f(x)=______•**+xcosx•**•**D.-(sinx+xcosx)SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:A在两侧关于x求导数，有f(x)=sinx+xcosx．故选A．26.当x→0时，无穷小x+sinx是比x______• A.高阶无穷小• B.低阶无穷小• C.同阶但非等价无穷小• D.等价无穷小SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C，所以选C．27.设曲线y=x-e x在点(0，-1)处与直线l相切，则直线l的斜率为______．• A.∞•**•**D.-1SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C本题考查的知识点为导数的几何意义．由于y=x-e x，y'=1-e x，y'|x=0=0．由导数的几何意义可知，曲线y=x-e x在点(0，-1)处切线斜率为0，因此选C．28.设函数y=f(x)二阶可导，且f'(x)＜0，f'(x)＜0，又Δy=f(x+Δx)-f(x)，dy=f'(x)Δx．则当Δx＞0时，有______• A.Δy＞dy＞0• B.Δy＜dy＜0•**＞Δy＞0**＜Δy＜0SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B29.微分方程y"+y=0的通解为______•**+C2sinxB.(C1+C2x)e x• C.(C1+C2x)e-x**+C2exSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:A由题意得微分方程的特征方程为r2+1=0，故r=±i为共轭复根，于是通解为y=C1cosx+C2sinx．30.下列广义积分中，收敛的是______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D二、填空题1.当P______时，反常积分收敛。

12018年10月自考试卷高等数学(四)浙江省课程代码：06604一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.二元函数z=2211-y -x 的定义域为( )A.{(x, y)|x2+y2＞1}B.{(x, y)|x2+y2≥1}C.{(x, y)|x2+y2＜1}D.{(x, y)|x2+y2≤1} 2.x x x ||lim 0-→( )A.等于1 B .等于-1C.等于0D.不存在3.函数y=ln(1+x2)单调增加区间为( )A.(-5,5)B.(0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)4.设函数f (x)为连续函数，则［⎰x x f d )(］′=( )A.f ′(x)B.f (x)+CC.f (x)dxD.f (x) 5.⎰+∞=+02d 11x x ( ) A.2πB.-2πC.+∞D.-∞2 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.xx x 10)31(lim +→=_________.7.函数y=x xsin 的间断点为_________.8.曲线y=(x-1)3在点(1,0)的切线方程为_________.9.已知函数y=ln cos x ，则y ′=_________.10.已知函数f (x)在x=x0处可导且取得极值，则f ′(x0)=_________.11.曲线y=x-x 1的凹区间为_________.12.曲线y=312-+x x的水平渐近线方程为_________. 13.已知f (x)=⎰-x t t0d e ，则f ′(0)=_________. 14.⎰-+x x x d )12(2=_________. 15.⎰-+1142d 1sin x x x x =_________.三、计算题（本大题共9小题，16—22题，每小题6分，23—24题，每小题5分，共52分）16.求202e e lim x x x x -+-→.17.求函数y=sin x3+sin 3x 的微分.18.求由方程y=1-xey 所确定的隐函数y 的导数x yd d .19.求⎰+x x x d 1. 20.求⎰x x x d e .21.求⎰π2sin dcose xxx.22.求函数z=x2+y的全微分.23.已知函数f (x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+11sinxkxxx，问k取何值时f (x)在点x=0处连续?24.求由曲线y=x2与直线y=x所围成的平面图形的面积.四、应用题（本大题8分）25.将一长为1米的铁丝分成两段，一段弯成正方形，另一段弯成一个圆周.问两段各为多长时，才能使所得正方形与圆的面积的和最小？3。

浙江省2020年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试点对点高等数学模拟卷第4卷答案时间:150分钟满分:150分一、选择题:本大题共5小题，每小题4分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1~5:DBACC二、填空题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。

6.答案：[7.答案：138.答案：()()112!21)(++⋅⋅-=n n n nx n x f 找规律易知：9.解析：2-=e y 10.解析：511.答案：2,3t x t ==-222222425533(3)(3)2(3)2(69)22418455t d t t dt t t dt t t t t c C-=-=-=-+=-++=-+⎰⎰⎰12.答案：“”．解：．13.答案：-114.【答案】1y x=【详解】由dy y dx x-=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1x C y =+，又(1)1y =，所以1y x=.15.答案：)2,4,2(,242122121),,,(--=⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=---=-==→→b c b a c b a c b a c b a b 即设三、计算题：本题共有8小题，其中1-4小题每小题7分，5-8小题每小题8分，共60分。

计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分。

16.求极限201sin limln x xx x→.方法一：22001sin 1sin limln lim ln 11x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 1limlim lim366x x x x x x x x x x →→→--===-=-方法二：2230001sin cos sin cos sin lim lnlim lim 2sin 2x x x xx x x x x x x x x x x →→→--=洛必达法则20sin 1lim 66x x x x →-=-洛必达法则17、设函数⎪⎩⎪⎨⎧+=a xx x f x F sin 2)()(00=≠x x 在R 内连续，并满足：0)0(=f 、6)0('=f ，求a .解：因为)(x F 在0=x 处连续，所以)0()(lim 0F x F x =→，8262)0(2)0()(lim sin 2)(lim)(lim '00=+=+=+-=+=→→→f xf x f x x x f x F x x x ，a F =)0(，故8=a .18.设(),0()0,0xg x e x f x xx -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 具有二阶连续导数，且'(0)1,(0) 1.g g ==-（1）求'();f x （2）讨论'()f x 在(,)-∞+∞上的连续性.解答：（1）'2'''()()(1),0()(0)1,02xxg x g x x e x x f x g x -⎧-++≠⎪⎪=⎨-⎪=⎪⎩；（2）'()f x 在(,)-∞+∞上为连续函数.19、求不定积分⎰+dx x x 2cos 12．⎰⎰⎰+-+=+=+)12(tan tan )12(tan )12(cos 122x xd x x x d x dx x x Cx x x xdx x x +++=-+=⎰cos ln 2tan )12(tan 2tan )12(20.已知ln 01,3ae =⎰求a 的值.解答：3.2a =21.计算积分3212⎰解答：3212ln(22π=++⎰22、设平面图形D 由抛物线21x y -=及其在点)0,1(处的切线以及y 轴所围成，试求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。