山东省龙口市_八年级数学上学期期中试题鲁教版五四制【含解析】

鲁教版（五四制）八年级数学上册第二章综合测试卷一、选择题(每题3分，共36分)1．【2023·烟台龙口市期中】分式xx ＋1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )A ．x ＝－1B ．x ≠－1C ．x ≠0D ．x ＞－12．【2023·威海荣成市月考】分式22x －4，32x ，4x －2的最简公分母是( )A ．2xB ．2x －4C ．2x (2x －4)D ．2x (x －2)3．【母题：教材P 45复习题T 8】分式|x |－2x －2的值为0，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．－2或2D ．不存在这样的x4．【2023·泰安新泰市月考】如果把分式x 2＋y 22xy 中的x ，y 都扩大3倍，那么分式的值( ) A ．扩大3倍 B ．不变 C ．缩小3倍 D ．扩大9倍5．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3y 2z 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－xz 2y 43×⎝ ⎛⎭⎪⎫z 3xy 24的结果是( ) A ．－x 2 B ．－x 3 C ．－x 2y 4 D ．－z4x6．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是( )A.a －2b a 2－b 2B.x －1x 2＋1C.x ＋y x 2－y 2D.a 2－b 2(a ＋b )27．若4x x 2－4＝a x ＋2－b x －2，则a －2b 的值是( )A ．－6B ．6C ．－2D ．28．【2022·河北】若x 和y 互为倒数，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y －1x 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．定义ab ＝2a ＋1b ，则3x ＝42的解为( )A ．x ＝15B ．x ＝25 C ．x ＝35 D ．x ＝4510．若关于x 的方程3x ＋ax x ＋1＝2－3x ＋1有增根x ＝－1，则2a －3的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．611．【2022·铁岭】小明和小强两人在公路上匀速骑行，小强骑行28 km 所用时间与小明骑行24 km 所用时间相等，已知小强每小时比小明多骑行2 km ，小强每小时骑行多少千米？设小强每小时骑行x km ，所列方程正确的是( )A.28x ＝24x ＋2B.28x ＋2＝24xC.28x －2＝24xD.28x ＝24x －212．已知关于x 的分式方程2x ＋3x －2＝k （x －2）（x ＋3）＋2的解满足－4<x <－1，且k 为整数，则符合条件的所有k 值的乘积为( )A ．正数B ．负数C ．零D ．无法确定 二、填空题(每题3分，共18分)13．【母题：教材P 22习题T 1】式子－23a ，a a ＋b ，x y 2，a ＋1π，x －1x 中，分式有________个．14．若x 2x －1□xx －1的运算结果为x ，则在“□”中添加的运算符号为________．(请从“＋、－、×、÷”中选择填写) 15．若x 2＋3x ＝－1，则x －1x ＋1＝________．16．【2022·绵阳】方程xx －3＝x ＋1x －1的解是________．17．若关于x 的分式方程3－2x x －3＋2－nx3－x＝－1无解，则常数n 的值是________．18. 为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙工程队比甲工程队每天少改造20 m ，甲工程队改造400 m 的道路与乙工程队改造300 m 的道路所用时间相同，甲工程队每天改造的道路长度是________ m.三、解答题(19～22题每题8分，23，24题每题11分，25题12分，共66分) 19．计算：(1)3xy 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－6y 2x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y x 2；(2)【2023·淄博张店区月考】2x －6x －2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －2－x －2.20.先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－b 2－1a ＋b ÷ba 2－2ab ＋b2，其中a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1，b ＝(－2 023)0.21．【2023·淄博高青县期中】解分式方程：(1)x 2x －3＋53－2x ＝4；(2)1x －1－2x ＋1＝4x 2－1.22．若关于x 的方程x ＋1x 2－x －13x ＝1＋k3x －3有增根，求k 的值．23．已知关于x 的方程x ＋3x －3＋ax3－x＝1有正整数解，且关于y 的不等式组⎩⎨⎧2y －55＜2，a －y －1≤0，至少有两个奇数解，求满足条件的整数a 的值．24．如图，A玉米试验田是半径为R m的圆去掉宽为1 m的出水沟后剩下的部分，B玉米试验田是半径为R m的圆中间去掉半径为1 m的圆后剩下的部分，两块试验田的玉米都收了450 kg.(1)哪块试验田的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？25．【2022·东营】为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1 000元购进甲种水果比用1 200元购进乙种水果的质量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少．(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的质量不低于乙种水果质量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？答案一、1.B 2.D3．A 【点拨】由分式的值为零的条件得|x |－2＝0且x －2≠0，由|x |－2＝0，得x ＝2或x ＝－2， 由x －2≠0，得x ≠2. 综上，x ＝－2.4．B 【点拨】由题意得(3x )2＋(3y )22·3x ·3y ＝9x 2＋9y 218xy ＝x 2＋y 22xy . 5．D 【点拨】原式＝x 6y 4z 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 12x 3z 6×z 12x 4y 8＝－z 4x . 6．A7．B 【点拨】去分母并化简得4x ＝(a －b )x ＋(－2a －2b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝4，－2a －2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.∴a －2b ＝2－2×(－2)＝6.8．B 【点拨】∵x 和y 互为倒数，∴xy ＝1.∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎪⎫2y －1x＝2xy －1＋2－1xy ＝2×1－1＋2－1 ＝2－1＋2－1 ＝2.9．B 【点拨】根据题中的定义得3x ＝2×3＋1x ＝6＋1x ，42＝2×4＋12＝172. ∵3x ＝42，∴6＋1x ＝172，解得x ＝25， 经检验，x ＝25是分式方程的根．10．B 【点拨】方程两边都乘x (x ＋1)，得3(x ＋1)＋ax 2＝2x (x ＋1)－3x ，∵原方程有增根x ＝－1， ∴当x ＝－1时，a ＝3， ∴2a －3＝3.故选B.11．D 【点拨】根据小强与小明骑行速度间的关系可得出小明每小时骑行(x －2)km ，利用时间＝路程÷速度，结合小强骑行28 km 所用时间与小明骑行24 km 所用时间相等，即可得出关于x 的分式方程．12．A 【点拨】解2x ＋3x －2＝k(x －2)(x ＋3)＋2，得x ＝k7－3.∵－4<x <－1，(x －2)(x ＋3)≠0，∴－4<k 7－3<－1，k 7⎝ ⎛⎭⎪⎫k7－5≠0，解得－7<k <14且k ≠0. 又∵k 为整数，∴k ＝－6，－5，－4，－3，－2，－1，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13.∴符合条件的所有k 值的乘积为正数．二、13.3 14.－或÷15．－2 【点拨】x －1x ＋1＝x (x ＋1)－1x ＋1＝x 2＋x －1x ＋1， ∵x 2＋3x ＝－1，∴x 2＝－1－3x ，∴原式＝－1－3x ＋x －1x ＋1＝－2x －2x ＋1＝－2(x ＋1)x ＋1＝－2. 16．x ＝－3 【点拨】方程两边同乘(x －3)(x －1)，得x (x －1)＝(x ＋1)(x －3)，解得x ＝－3，检验：当x ＝－3时，(x －3)(x －1)≠0，∴方程的解为x ＝－3.17．1或53 【点拨】两边都乘(x －3)，得3－2x ＋nx －2＝－x ＋3，当n ≠1时，解得x ＝2n －1. 当n ＝1时，整式方程无解，则分式方程无解；∵当x ＝3时，分母为0，分式方程无解，∴2n －1＝3，∴当n ＝53时，分式方程无解．故常数n 的值是1或53.18．80 【点拨】设甲工程队每天改造的道路长度是x m ，则乙工程队每天改造的道路长度是(x －20)m ，由题意，得400x ＝300x －20，解得x ＝80，经检验，x ＝80是所列方程的解，且符合题意，∴甲工程队每天改造的道路长度是80 m.三、19.解：(1)原式＝－3xy 2÷63y 6x 3×122y 2x 2＝－3xy 2×x 3216y 6×144y 2x 2＝－2x 2y 2.(2)原式＝2(x －3)x －2÷5－(x ＋2)(x －2)x －2＝2(x －3)x －2·x －29－x 2＝－2(x －3)(x ＋3)(x －3)＝－2x ＋3.20．解：原式＝[a(a ＋b )(a －b )－1a ＋b ]·(a －b )2b＝a (a ＋b )(a －b )·(a －b )2b －1a ＋b ·(a －b )2b＝a 2－ab b (a ＋b )－a 2－2ab ＋b 2b (a ＋b ) ＝b (a －b )b (a ＋b ) ＝a －b a ＋b ， ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，b ＝(－2 023)0＝1， ∴原式＝3－13＋1＝12. 21．解：(1)方程两边乘(2x －3)， 得x －5＝4(2x －3)，解得x ＝1. 检验：当x ＝1时，2x －3≠0， ∴原分式方程的解为x ＝1. (2)方程两边乘(x －1)(x ＋1)， 得x ＋1－2(x －1)＝4，解得x ＝－1. 检验：当x ＝－1时，x 2－1＝0， ∴原分式方程无解． 22．解：原方程化为x ＋1x (x －1)－13x ＝1＋k 3(x －1). 方程两边都乘3x (x －1)， 得3x ＋3－x ＋1＝x ＋kx . 由分式方程有增根，得3x (x －1)＝0. 解得x ＝0或x ＝1. 把x ＝0代入整式方程，得4＝0，矛盾，舍去；把x ＝1代入整式方程，得k ＝5.∴k 的值是5.23．解：根据题意解不等式组⎩⎨⎧2y －55＜2，a －y －1≤0，得a －1≤y ＜152.∵关于y 的不等式组至少有两个奇数解，∴a －1≤5，解得a ≤6.由x ＋3x －3＋ax 3－x＝1，解得x ＝6a . ∵x －3≠0，∴x ≠3.∴6a ≠3，即a ≠2.∵方程有正整数解，且a 为整数，∴a ＝1，3，6.24．解：(1)A 玉米试验田的面积是π(R －1)2 m 2，单位面积产量是450π(R －1)2 kg/m 2； B 玉米试验田的面积是π(R 2－12)m 2，单位面积产量是450π(R 2－12)kg/m 2. ∵(R 2－12)－(R －1)2＝2(R －1)＞0，∴0＜(R －1)2＜R 2－12.∴450π(R 2－12)＜450π(R －1)2.∴A 玉米试验田的单位面积产量高．(2)∵450π(R －1)2÷450π(R 2－12)＝450π(R －1)2×π(R ＋1)(R －1)450 ＝R ＋1R －1， ∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的R ＋1R －1倍． 25．解：(1)设乙种水果的进价是x 元/千克，由题意得 1 000()1－20%x＝1 200x ＋10， 解得x ＝5，经检验，x ＝5是分式方程的解且符合题意，则()1－20%x ＝0.8×5＝4.答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克．(2)设水果店购进甲种水果a 千克，获得的利润为y 元，则购进乙种水果(150－a )千克，由题意得y ＝()6－4a ＋()8－5()150－a ＝－a ＋450， ∵－1＜0，∴y 随a 的增大而减小，∵甲种水果的质量不低于乙种水果质量的2倍，∴a ≥2()150－a ，解得a ≥100，∴当a ＝100时，y 取最大值，此时y ＝－100＋450＝350，150－a＝50.答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润是350元．。

2024-2025学年鲁教版八年级上期中测试题(附答案)班级 姓名 得分(满分150分，时间120分钟)第I 卷（选择题 共56分）一、选择题（每小题4分，共56分.）1.下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A 、B 、C 、D 、2. 下列因式分解正确的是( )A ．ax ＋ay ＝a(x ＋y)＋1B ．3a ＋3b ＝3(a ＋b)C ．a 2＋4a ＋4＝(a ＋4)2D ．a 2＋b ＝a(a ＋b)3. 当x ＝1时，下列分式没有意义的是( )A.x ＋1xB.x x －1C.x －1xD.x x ＋14.如果分式与的值相等，则x 的值是（ ）A. 9 B. 7 C. 5 D. 35.为了帮助市内一名患病中学生，泰安某学校数学社团15名同学积极捐款，捐款情况如下表所示，下列说法正确的是（）捐款数额10203050100人数24531A.众数是100B.中位数是30C.极差是20D.平均数是306. 多项式与的公因式是（ ）A ．B ．C ．D ．7. 若△ABC 的三边a ，b ，c 满足(a －b)(b 2－2bc ＋c 2)＝0，那么△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．锐角三角形8. 把分解因式得，则的值是（ ）A ．3B ．2C ．-3D ．19. 若关于x 的方程2x ＝m2x ＋1无解，则m 的值为( )A ．0B ．4或6C ．6D ．0或410. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同．设每辆大货车运货x 吨，则所列方程正确的是( )b a b a 22)(2-=-)1)(1(12-+=-m m m 1)2(122+-=+-x x x x xx x 12⋅=21x -33x +A.75x －5＝50xB.75x＝50x －5C.75x ＋5＝50xD.75x＝50x ＋511. 小明解分式方程1x ＋1＝2x3x ＋3－1的过程如下．解：去分母得3＝2x －(3x ＋3)． ①去括号得3＝2x －3x ＋3. ②移项、合并同类项得－x ＝6. ③化系数为1得x ＝－6.④以上步骤中，开始出错的一步是( )A ．①B ．②C ．③D ．④12. 观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是（ ）A 、B 、C 、D 、13. (2023临沂模拟)若y ＝x 1－3x ，则2x －3xy －2yy ＋xy －x 的值为( )A ．－94B ．－1C.73D ．－7314. 关于x 的分式方程3x －a x －3＋x ＋13－x＝1的解为正数，且关于y 的不等式组{y ＋9≤2（y ＋2），2y －a 3＞1的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是( )A ．13B ．15C ．18D ．20第II 卷（非选择题 共94分）二、填空题（每小题4分，共32分）15.团队游客年龄的方差分别是，，，导游小明最喜欢带游客年龄相近龄的团队，则他在甲、乙、丙三个的中应选 .甲16. 分解因式：2x 3＋4x 2＋2x ＝_____________.17. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a#b ＝1a ＋1b .若(x ＋1)#x ＝2x ＋1x ，则x 的值为________．18. 若关于x 的分式方程1x －4－m4－x ＝1(m 为常数)有增根，则增根是__________．19. 若关于x 的方程有增根，则k 值为 .20. 分解因式：2x 3＋4x2＋2x ＝_____________.))((22b a b a b a -+=-22))((b a b a b a -=-+2222)(b ab a b a ++=+222)(2b a b ab a +=++2 1.4S =甲218.8S =乙22.5S =丙4233k x x x-+=--21. 已知代数式a2＋(2t－1)ab＋4b2是一个完全平方式，则实数t的值为________．22.若关于x的分式方程1x－2＋2x＋2＝x＋2mx2－4的解大于1，则m的取值范围是________．三、解答题（共62分.写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）23.（本小题9分）化简分式：(1) (1x－y－1x＋y)÷2yx2＋2xy＋y2(东营中考改编) (2)(a－2－4a－2)÷a－4a2－4.(2022泰安)24.（本小题9分）解分式方程：(1)2xx－2＝1＋1x－2(2)5x2＋x－1x2－x＝0.25.（本小题9分）(2023·烟台)先化简，再求值：a2－6a＋9a－2÷(a＋2＋52－a)，其中a是使不等式a－12≤1成立的正整数．26.（本小题12分）(2022·威海)某学校开展“家国情·诵经典”读书活动．为了解学生的参与程度，从全校学生中随机抽取200人进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据(m/分钟)．将收集的数据分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下统计图表(尚不完整)：平均每天阅读时间统计表等级人数(频数)A(10≤m＜20)5B(20≤m＜30)10C(30≤m＜40)xD(40≤m＜50)80E(50≤m≤60)y请根据图表中的信息，解答下列问题：(1)求x的值；(2)这组数据的中位数所在的等级是_______________________________；(3)学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”予以表扬．若全校学生以1 800人计算，估计受表扬的学生人数．27.（本小题11分）某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等．(1)求甲、乙两种香椿每件的进价；(2)由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4 320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了5%，则最多可购买乙种香椿多少件？28.（本小题12分）我们知道形如的二次三项式可以分解因式为，所以．但小白在学习中发现，对于还可以使用以下方法分解因式．．这种在二次三项式中先加上9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把分解因式；（2）填空：；（3）请用两种不同方法分解因式．2024-2025学年鲁教版八年级上期中测试题(附答案)一、选择题（每小题4分，共56分.）1-5 BBBAB 6-10 ACADB 11-14 BDAA二、填空题（每小题4分，共32分）15. 甲16. 2x(x ＋1)217. －1218. 419. 120. 2x(x ＋1)221. 52或－3222. m ＞0且m≠1三、解答题（共62分.写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）23. (1) 解：原式＝[x ＋y （x －y ）（x ＋y ）－x －y （x －y ）（x ＋y ）]÷2y（x ＋y ）2＝2y（x －y ）（x ＋y ）·（x ＋y ）22y ＝x ＋y x －y.(2)解：原式＝[（a －2）2a －2－4a －2]·（a ＋2）（a －2）a －4＝a 2－4a ＋4－4a －2·（a ＋2）（a －2）a －4＝a （a －4）a －2·（a ＋2）（a －2）a －4＝a(a ＋2)＝a 2＋2a.24.(1)解：去分母得2x ＝x －2＋1，解得x ＝－1.经检验，x ＝－1是原方程的解，∴原方程的解是x ＝－1.(2) 解：原方程变形为5x （x ＋1）－1x （x －1）＝0，两边同乘x(x ＋1)(x －1)，去分母得5(x －1)－(x ＋1)＝0，去括号得5x －5－x －1＝0，移项、合并同类项得4x ＝6，系数化为1得x ＝32.检验：将x ＝32代入x(x ＋1)(x －1)中可得32×(32＋1)×(32－1)＝158≠0则原方程的解为x ＝32.25. 解：原式＝（a －3）2a －2÷[（2＋a ）（2－a ）2－a ＋52－a]＝（a －3）2a －2÷4－a 2＋52－a＝（a －3）2a －2·2－a （3＋a ）（3－a ）＝a －3a ＋3.解不等式a －12≤1得a≤3.∵a 为正整数，∴a＝1，2，3.∵要使分式有意义，则a －2≠0，3＋a≠0，3－a≠0，∴a≠2，且a≠±3，∴a＝1，∴原式＝1－31＋3＝－12.26.解：(1)由题意得x ＝200×20%＝40.(2)D(3)∵被抽查的200人中，不低于50分钟的学生有200－5－10－40－80＝65(人)，∴1 800×65200＝585(人)．答：估计受表扬的学生有585人．27. 解：(1)设甲种香椿每件的进价为x 元，则乙种香椿每件的进价为(x ＋6)元．由题意得180x ＝240x ＋6，解得x ＝18.经检验，x ＝18是原方程的解，且符合题意，则x ＋6＝24.答：甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元．(2)设购买乙种香椿a 件，则购买甲种香椿(200－a)件．由题意得24a(1＋5%)＋18×90%×(200－a)≤4 320，解得a≤120.∵a 为正整数，∴a 的最大值为120.答：最多可购买乙种香椿120件．28.解：(1)=x²-8x+16-16+7=(x-4)²-9=(x-4-3)(x-4+3)=(x-7)(x+1)(2) 25y²；25y²；4y；4y；4y；9y。

2024—2025学年度第一学期期中阶段性测试初三数学试题 (120分钟)注意事项：1.答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.答选择题时,必须使用2B 铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B 铅笔。

4.保证答题卡清洁、完整。

严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带。

5.请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效。

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上。

1.下列式子是分式的是A ．B ．C ．x +yD ．2.下列等式从左到右的变形是因式分解的有A ．4x 2+8x -1=4x （x +2）-1B ．C ．（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2D ．a 2-2a +1=（a -1）23.化简的结果是A ．a 8B ．a 4C ．a 3D ．a4.一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法不正确的是A ．对应线段平行； B ．对应线段相等；C ．对应角相等；D ．不改变图形的形状和大小，5.下面是甲、乙两位同学因式分解-x 3+x 的结果如下：甲同学：原式=-x （x +1）（x -1）；乙同学：原式=x （1+x ）（1-x ）。

下列判断正确的是A ．只有甲的结果正确B ．只有乙的结果正确C ．甲、乙的结果都正确D ．甲、乙的结果都不正确6.若关于x 的分式方程有增根，则m 的值为A ．2B ．1C ．3D ．-32x 1+x x πx222)21(41ab b a =26aa 1131=---xx m7.在庆“七一”演讲比赛中，七位评委给某选手打出7个原始分。

如果规定：去掉一个最高分和一个最低分，余下5个有效分的平均值作为这位选手的最后得分，则7个原始分和5个有效分这两组分数相比较，一定不会发生改变的是A ．方差B ．极差C ．中位数D ．平均数8.为计算某样本数据的方差，列出如下算式S 2=，据此判断下列说法错误的是A ．n 的值是4B ．样本平均数是4C ．样本众数是3D ．样本中位数是39.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a2c 2-b 2c 2=a 4-b 4，则△ABC 是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形10.如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点A 1（1，1）；把点A 1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A 2（-1，3）；把点A 2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A 3（-4，0）；把点A 3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A 4（0，-4）…按此做法进行下去，则点A 8的坐标为A ．（0，-8）B ．（-1，8）C ．（-8，0）D ．（-1，-8）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11.要使分式有意义，则x 应满足的条件是 。

一、选择题1．等腰三角形的两边a ，b 满足7260a b -+-=，则它的周长是（ ）A ．17B ．13或17C ．13D ．192．如图，长方形ABCD 沿直线EF 、EG 折叠后，点A 和点D 分别落在直线l 上的点A '和点D 处，若130∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．30°B ．60°C ．50°D ．55° 3．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（ ） A ．A B C ∠=∠=∠ B ．,60AB AC B =∠=︒C ．60,60A B ∠=︒∠=︒D ．AB AC =，且B C ∠=∠ 4．若海岛N 位于海岛M 北偏东30°的方向上，则从海岛N 出发到海岛M 的航线可能是（ ） A ． B ．C ．D ．5．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．76．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图所示的正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，把ADE 绕点A 顺时针旋转得到ABF ，20FAB ∠=︒．旋转角的度数是（ ）A ．110°B ．90°C ．70°D ．20°8．如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别是AB 、AC 上一点，AD ＝AE ，BE 、CD 相交于点M ．若∠BAC ＝70°，∠C ＝30°，则∠BMD 的大小为( )A ．50°B ．65°C ．70°D ．80°9．如图，//,40,50,AB CD B C ∠=︒∠=︒则E ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒ 10．三角形的两条边长为3和7，那么第三边长可能是（ ） A ．1B ．4C ．7D ．10 11．内角和与外角和相等的多边形是（ ） A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形 12．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A ．2cm ，3cm ，6cmB ．3cm ，4cm ，8cmC ．5cm ，6cm ，10cmD ．5cm ，6cm ，11cm 二、填空题13．如图，在ABC 中，22A ∠=︒，D 为AB 边中点，E 为AC 边上一点，将ADE 沿着DE 翻折，得到A DE '，连接A B '．当A B A D ''=时，A EC '∠的度数为______．14．如图，两根旗杆间相距22米，某人从点B 沿BA 走向点A ，一段时间后他到达点M ，此时他分别仰望旗杆的顶点C 和D ，两次视线的夹角为90°，且CM DM =．已知旗杆BD 的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M 所用时间是________秒．15．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE ，如果∠A ＝44°，则∠EDF 的度数为__．16．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ， AB ＝5，CD ＝2，则ABD △的面积是______17．如图，在ABC 中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①120EDF ∠=︒；②DM 平分EDF ∠；③DE DF AD +=；④2AB AC AE +>；其中正确的有________(请将正确结论的序号填写在横线上)．18．如图1，ABC 纸片面积为24，G 为ABC 纸片的重心，D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <）连结CG ，DG ，并将纸片剪去GDC ，则剩下纸片（如图2）的面积为__________．19．将一副直角三角尺所示放置，已知//AE BC ，则AFD ∠的度数是__________．20．如图所示，在ABC 中，80A ∠=︒，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠的平分线相交于1A 点，1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于A 点，依此类推，4A BC ∠与4A CD ∠的平分线相交于5A 点，则5A ∠的度数是_________．三、解答题21．如图，点E 在ABC 的边AB 上，90ABC EAD ∠=∠=︒，30BAC ADE ∠=∠=︒，DE 的延长线交AC 于点G ，交BC 延长线于点F ．AB=AD ，BH ⊥DF ，垂足为H ．（1）求HAE ∠的度数；（2）求证：DH FB FH =+．22．如图，已知四边形ABCD 中，60B ∠=，边8cm AB BC ==，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB ，BC 方向匀速运动，其中点P 运动的速度是每秒1cm ，点Q 运动的速度是每秒2cm ，当点Q 到达点C 时，P ，Q 两点都停止运动，设运动时间为t 秒．解答下列问题：（1）AP =_______________，BP =______________，BQ =______________．(用含t 的式子表示)（2）当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 的位置关系如何．请说明理由．（3）在点P 与点Q 的运动过程中，BPQ 是否能成为等边三角形．若能，请求出t 的值．若不能，请说明理由．23．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．（1）在图1中计算格点三角形ABC 的面积是__________；（每个小正方形的边长为1） （2）ABC 是格点三角形．①在图2中画出一个与ABC 全等且有一条公共边BC 的格点三角形；②在图3中画出一个与ABC 全等且有一个公共点A 的格点三角形．24．直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E ，F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）（数学思考）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90BCA ∠=︒，90α∠=︒，求证：EF BE AF =-；②如图2，若090BCA ︒<∠<︒，当α∠与BCA ∠之间满足________关系时，①中结论仍然成立，并给予证明．（2）（问题拓展）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．25．如图，ABC 中，AD 平分BAC ∠，P 为AD 延长线上一点，PE BC ⊥于E ，已知80ACB ∠=︒，24B ∠=︒，求P ∠的度数．26．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点P ，根据下列条件，求BPC ∠的度数．（1）若40ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则BPC ∠=______；（2）若110ABC ACB ∠+∠=︒，则BPC ∠=______；（3）若90A ∠=︒，则BPC ∠=______；（4）从以上的计算中，你能发现已知A ∠，求BPC ∠的公式是：BPC ∠=______（提示：用A ∠表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据绝对值和二次根式的性质求出a ，b ，再根据等腰三角形的性质判断即可；【详解】 ∵7260a b --=，∴70260a b -=⎧⎨-=⎩， 解得73a b =⎧⎨=⎩， ∵a ，b 是等腰三角形的两边，∴当7a =为腰时，三边分别为7，7，3，符合三角形三边关系，此时三角形的周长77317++=；当3b =为腰时，三边为3，3，7，由于33+＜7，故不符合三角形的三边关系； ∴三角形的周长为17．故答案选A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、绝对值性质和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据折叠的性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，根据12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒得到2(12)180∠+∠=︒，即可求出答案．【详解】解：由折叠得：∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，∵12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒，∴2(12)180∠+∠=︒，∴260∠=︒故选：B ．【点睛】此题考查折叠的性质，平角有关的计算，正确理解折叠性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．【详解】A 、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；B 、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；C 、由“∠A ＝60°，∠B ＝60°”可以得到“∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；D 、由“AB ＝AC ，且∠B ＝∠C”只能判定△ABC 是等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．D解析：D【分析】根据题意画出图形，再利用“上北下南”求出方向角即可．【详解】解：如图：∵海岛N 位于海岛M 的北偏东30°方向上，∴海岛N 在海岛M 上方，故排除A ､B 选项， 根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，排除选项C ，故选D ．【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握方向角的概念．5．C解析：C【分析】先证明△ACD ≌△BED ，得到CD=ED=2，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵AD BC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFE BDE ADC ∠=∠=∠=︒，∵AEF BED ∠=∠，∴EAF EBD ∠=∠，∵5AD BD ==，∴△ACD ≌△BED ，∴CD=ED=2，∴523AE AD ED =-=-=；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，从而进行解题．6．C解析：C【分析】过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA ，根据角平分线的性质得：OE ＝OF ＝OD 然后根据△ABC 的面积是12，周长是8，即可得出点O 到边BC 的距离．【详解】如图，过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA .∵点O 是∠ABC ，∠ACB 平分线的交点，∴OE ＝OD ，OF ＝OD ，即OE ＝OF ＝OD∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △BCO ＋S △ACO ＝12AB ·OE ＋12BC ·OD ＋12AC ·OF ＝12×OD×(AB ＋BC ＋AC )＝12×OD×8＝12 OD=3故选：C【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．7．B解析：B【分析】根据正方形的性质得到AB=AD ，∠BAD=90︒，由旋转的性质推出ADE ≌ABF ，求出∠FAE=∠BAD=90︒，即可得到答案．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90︒，由旋转得ADE ≌ABF ， ∴∠FAB=∠EAD ，∴∠FAB+∠∠BAE=∠EAD+∠BAE ，∴∠FAE=∠BAD=90︒，∴旋转角的度数是90︒，故选：B ．【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 8．A解析：A【分析】根据题意可证明ABE ACD ≅，即得到B C ∠=∠．再利用三角形外角的性质，可求出DME ∠，继而求出BMD ∠．根据题意ABE ACD ≅（SAS ），∴30B C ∠=∠=︒∵DME B BDC ∠=∠+∠，BDC C A ∠=∠+∠∴307030130DME B A C ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴180********BMD DME ∠=︒-∠=︒-︒=︒故选A ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．利用三角形外角的性质求出DME B A C ∠=∠+∠+∠是解答本题的关键．9．C解析：C【分析】根据平行线的性质求出140∠=︒，根据三角形内角和定理计算，得到答案．【详解】解：∵//AB CD ，40B ∠=︒，50C ∠=︒，∴140B ∠=∠=︒，∴ 1801180405090E C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故选：C【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，确定第三边的取值范围即可．【详解】解：三角形的两条边长为3和7，设第三边为x ，则第三边的取值范围是：7-3＜x ＜7+3，解得，4＜x ＜10，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，根据两边长确定第三边的取值范围是解题关键． 11．C【分析】设这个多边形为n 边形，根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设这个多边形为n 边形，由题意得（n-2）180°=360°，解得n=4，所以这个多边形是四边形．故选：C【点睛】本题考查多边形的内角和公式，多边形的外角和360°，熟知两个定理是解题关键． 12．C解析：C【分析】根据三角形三边关系解答．【详解】A 、∵2+3<6，∴以此三条线段不能组成三角形；B 、3+4<8，∴以此三条线段不能组成三角形；C 、∵5+6>10，∴以此三条线段能组成三角形；D 、∵5+6=11，∴以此三条线段不能组成三角形；故选：C ．【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边．二、填空题13．【分析】根据折叠的性质可得根据及折叠的性质可得为等边三角形再根据三角形的外角性质求解即可【详解】在中将沿着翻折交于点得到如图；∴∴∵为边中点∴为等边三角形∴∴∵即∴故答案为：【点睛】本题考查了全等三 解析：16【分析】根据折叠的性质可得AED A ED '≅，根据A B A D ''=及折叠的性质可得A BD '为等边三角形，再根据三角形的外角性质求解即可【详解】在ABC 中，22A ∠=︒，将ADE 沿着DE 翻折，A D '交AC 于点F ,得到A DE '，如图；∴AED A ED '≅ ∴1=,222AD A D AB EA D A ''===∠∠, ∵A B A D ''=，D 为AB 边中点，∴A B A D DB ''==,A BD '为等边三角形， ∴=60A DB '∠，∴60A AFD +=∠∠，∵=AFD EA D A EC ''+∠∠∠即()60A EA D A EC ''++=∠∠∠∴=16A EC '∠.故答案为：16【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是根据折叠找到对应的边角关系14．5【分析】根据题意证明利用证明根据全等三角形的性质得到米再利用时间=路程÷速度计算即可【详解】解：∵∴又∵∴∴在和中∴∴米（米）∵该人的运动速度他到达点M 时运动时间为s 故答案为5【点睛】本题考查了全 解析：5【分析】根据题意证明C DMB ∠=∠，利用AAS 证明ACM BMD ≌，根据全等三角形的性质得到12BD AM ==米，再利用时间=路程÷速度计算即可．【详解】解：∵90CMD ∠=︒，∴90CMA DMB +=︒∠∠，又∵90CAM ∠=︒，∴90CMA C ︒∠+∠=，∴C DMB ∠=∠，在 Rt ACM △和Rt BMD △中， A B C DMB CM MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()Rt ACM Rt BMD AAS ≌，∴12BD AM ==米，221210BM =-=（米），∵该人的运动速度2m/s ，他到达点M 时，运动时间为5210=÷s ．故答案为5．【点睛】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得Rt ACM Rt BMD ≌．15．56°【分析】根据可求出根据△DBE ≌△ECF 利用三角形内角和定理即可求出的度数【详解】解：∵AB ＝AC ∴∠ABC ＝∠ACB 在△DBE 和△CEF 中∴△DBE ≌△ECF （SAS ）∴DE ＝EF ∴△DEF解析：56°【分析】根据44A ∠=︒可求出68ABC ACB ∠=∠=︒，根据△DBE ≌△ECF ，利用三角形内角和定理即可求出 EDF ∠的度数．【详解】解：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，在△DBE 和△CEF 中BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△ECF （SAS ），∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形，∵△DBE ≌△ECF ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴()118044682B ∠=︒-︒=︒， ∴1218068∠+∠=︒-︒，∴3218068∠+∠=︒-︒，∴∠DEF ＝68°， ∴18068562EDF ︒-︒∠==︒． 故答案为：56°．【点睛】 此题主要考查全等三角形的判定与性质的理解和掌握，主要应用了三角形内角和定理和平角是180︒，根据等腰三角形的性质得出B C ∠=∠是解题的关键．16．5【分析】根据角平分线的性质求出DE 根据三角形的面积公式计算即可；【详解】如图：作DE ⊥AB 于点E ∵AD 平分∠BAC ∠C=90°DE ⊥AB ∴DE=DC=2∵AB=5∴△ABD 的面积=×AB×DE=5解析：5【分析】根据角平分线的性质求出DE ，根据三角形的面积公式计算即可；【详解】如图：作DE ⊥AB 于点E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C=90°，DE ⊥AB ，∴DE=DC=2，∵AB=5∴△ABD 的面积=12×AB×DE=5， 故答案为：5．【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键； 17．①③【分析】由四边形内角和定理可求出；若DM 平分∠EDF 则∠EDM=60°从而得到∠ABC 为等边三角形条件不足不能确定故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°故此可知ED=ADDF=AD 从而可解析：①③【分析】由四边形内角和定理可求出120EDF ∠=︒；若DM 平分∠EDF ，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC 为等边三角形，条件不足，不能确定，故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD ，DF=12AD ，从而可证明③正确；连接BD 、DC ，然后证明△EBD ≌△CFD ，从而得到BE=FC ，从而可得AB+AC=2AE ，故可判断④．【详解】解：如图所示：连接BD 、DC ．（1）∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴∠AED=∠AFD=90°，∵∠EAF=60°，∠EAF+∠AED+∠AFD+∠EDF=360°∴∠EDF=360°-∠EAF-∠AED-∠AFD=360°-60°-90°-90°=120°，故①正确；②由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=120°．∴∠ABC=60°．∵∠ABC 是否等于60°不知道，∴不能判定MD 平分∠EDF ，故②错误；③∵∠EAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE ⊥AB ，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°，∴ED=12AD ． 同理：DF=12AD ． ∴DE+DF=AD ．故③正确．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE=FC ．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ，BE=FC ，∴AB+AC=2AE ．故④错误．因此正确的结论是：①③，故答案为：①③．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及四边形的内角和等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．18．18【分析】连接BG 根据重心的性质得到△BGC 的面积再根据D 点是BC 的四等分点得到△GDC 的面积故可求解【详解】连接BG ∵G 为纸片的重心∴S △BGC=S △ABC=8∵D 为边上的一个四等分点（）∴S △解析：18【分析】连接BG，根据重心的性质得到△BGC的面积，再根据D点是BC的四等分点得到△GDC的面积，故可求解．【详解】连接BG，∵G为ABC纸片的重心，∴S△BGC=1S△ABC=83<）∵D为BC边上的一个四等分点（BD CD∴S△DGC=3S△BGC=64∴剪去GDC，则剩下纸片的面积为24-6=18故答案为：18．【点睛】此题主要考查重心的性质，解题的关键是熟知重心的性质及面积的换算关系．19．【详解】根据平行线的性质及三角形内角和定理解答【点睛】解：由三角板的性质可知∠EAD=45°∠C=30°∠BAC=∠ADE=90°∵AE∥BC∴∠EAC=∠C=30°∴∠DAF=∠EAD-∠EAC=解析：75︒【详解】根据平行线的性质及三角形内角和定理解答．【点睛】解：由三角板的性质可知∠EAD=45°，∠C=30°，∠BAC=∠ADE=90°．∵AE∥BC，∴∠EAC=∠C=30°，∴∠DAF=∠EAD-∠EAC=45°-30°=15°．∴∠AFD=180°-∠ADE-∠DAF=180°-90°-15°=75°．故答案为：75°．本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，平行线的性质：两直线平行同位角相等，同旁内角互补．三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°．20．5度【分析】由∠A1CD=∠A1+∠A1BC∠ACD=∠ABC+∠A而A1BA1C分别平分∠ABC 和∠ACD 得到∠ACD=2∠A1CD ∠ABC=2∠A1BC 于是有∠A=2∠A1同理可得∠A1=2∠A解析：5度【分析】由∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，∠ACD=∠ABC+∠A ，而A 1B 、A 1C 分别平分∠ABC 和∠ACD ，得到∠ACD=2∠A 1CD ，∠ABC=2∠A 1BC ，于是有∠A=2∠A 1，同理可得∠A 1=2∠A 2，即∠A=22∠A 2，因此推出∠A=25∠A 5，而∠A=80°，即可求出∠A 5．【详解】解：∵A 1B 、A 1C 分别平分∠ABC 和∠ACD ，∴∠ACD=2∠A 1CD ，∠ABC=2∠A 1BC ，∵∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，∠ACD=∠ABC+∠A ，∴∠A=2∠A 1同理可得∠A 1=2∠A 2，即∠A=22∠A 2，…，∴∠A=25∠A 5，∵∠A=80°，∴∠A 5=80°÷32=2.5°．故答案为：2.5°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质．三、解答题21．（1）=15∠HAE ；（2）见解析【分析】（1）连接BG ，先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ，再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ，从而得出=∠∠HAE HAG ，继而得出HAE ∠的度数；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ，根据垂直平分线的性质得出BF=BM ，再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ，从而得出结论【详解】解：（1）连接BG∵90EAD ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴∠DAG=120°，∵30ADE ∠=︒，∴30∠=∠=︒ADE AGD ， ∴AG=AD ，∵AB=AD ，∴AG=AB ，∵30BAC ∠=︒，∴75∠=∠=︒AGB ABG ， ∵BH ⊥DF ，90EAD ∠=︒， ∴=90∠∠=︒BHE EAD ， ∵=∠∠BEH AED ，∴30∠=∠=︒ADE EBH ， ∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ， ∵90FHB ∠=︒，∴∠=∠HBG HGB ，∴GH=BH ，∵AG=AB ，AH=AH ，∴△AGH ≌△ABH ，∴=∠∠HAE HAG ，∵30BAC ∠=︒，∴=15∠HAE ；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ；∵90ABC EAD ∠=∠=︒， ∴AD//BF ，∴30∠=∠=︒F ADE ， ∵BH ⊥DF ，HM=HF ，∴BF=BM∴30∠=∠=︒F BMF∵AB=AD ，90EAD ∠=︒ ∴45ADB ∠=︒，∵30ADE ∠=︒∴15∠=︒MDB ，∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ，∴==15∠∠MBD MDB ，∴BM=DM=BF ，∵DH=DM+HM ，∴DH=FH+BF【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．（1）AP t =，8BP t =-，2BQ t =；（2）PQ AB ⊥，理由见解析；（3）能，当t 为83时，BPQ 为等边三角形【分析】（1）根据点P 、Q 的运动速度解答；（2）连接AC ，得到△ABC 为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一证明；（3）根据等边三角形的判定定理列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）AP t =，8BP t =-，2BQ t =故答案为：t ；8-t ；2t ；（2）PQ AB ⊥．理由如下：连接AC∵AB BC =，60B ∠=，∴ABC 是等边三角形．∵Q 的速度是每秒2cm ，故当Q 与C 重合时，t 4=又P 的速度是每秒1cm ，=8cm AB ，∴=4AB BP =又∵=CA CB ，∴PQ AB ⊥．（3）能．∵60B ∠=，∴当BP BQ =时，BPQ 为等边三角形，∴82t t -=．∴83t =． ∴当t 为83时，BPQ 为等边三角形． 【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一、等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．（1）6；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）用割补法求解即可；（2）根据“SSS”画图即可；（3）根据“SSS”画图即可；【详解】解：（1）5×3-12×3×3-12×2×2-12×5×1=6， 故答案为：6；（2）①如图，'A BC 即为所求，②如图，''AB C 即为所求，【点睛】本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键．24．（1）证明见解析；（2）180ACB α∠+∠=︒，证明见解析；（3）EF BE AF =+，证明见解析．【分析】（1）①求出∠BEC ＝∠AFC ＝90°，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可；②当∠α＋∠ACB ＝180°，证明∠BEC ＝∠AFC ，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可；（2）求出∠BEC ＝∠AFC ，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可．【详解】（1）①在图1中，90BEC AFC ∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，90BCE ACF ∠+∠=︒，90EBC BCE ∠+∠=︒，EBC ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF 中，EBC ACF BEC AFC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CAF AAS ∴≅，BE CF ∴=，CE AF =，EF CF CE BE AF ∴=-=-；②当180ACB α∠+∠=︒时，①中结论仍然成立；证明：在图2中，BEC CFA a ∠=∠=∠，180ACB α∠+∠=︒，BCE ACF EBC BCE ∴∠+∠=∠+∠，EBC ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF 中，EBC ACF BEC AFC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CAF AAS ∴≅，BE CF ∴=，CE AF =，EF CF CE BE AF ∴=-=-．故答案为180ACB α∠+∠=︒；（2）不成立，结论：EF BE AF =+．理由：在图3中，BEC CFA a ∠=∠=∠，a BCA ∠=∠，又180EBC BCE BEC +∠+∠=︒，180BCE ACF ACB ∠+∠+∠=︒，EBC BCE BCE ACF ∴∠+∠=∠+∠，EBC ACF ∴∠=∠，在BEC △和CFA △中，EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEC CFA AAS ∴≅，AF CE ∴=，BE CF =，EF CE CF =+，EF BE AF ∴=+．【点睛】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型．25．28°【分析】在△ABC 中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC 的度数，结合角平分线的定义可得出∠BAD 的度数，在△ABD 中，利用三角形外角性质可求出∠PDE 的度数，再在△PDE 中利用三角形内角和定理可求出∠P 的度数．【详解】解：在ABC 中，80ACB ∠=︒，24B ∠=︒，18076BAC ACB B ∴∠=︒-∠-∠=︒． AD 平分BAC ∠， 1382BAD BAC ∴∠=∠=︒． PDE ∠是ABD △的外角，243862PDE B BAD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，PE BC ⊥于E ，90PED ∴∠=︒，906228P ∴∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出∠ADC 的度数是解题的关键．26．（1）130°；（2）125°；（3）135°；（4）1902A ︒+∠． 【分析】（1）依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；（2）依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；（3）依据∠A=90°，可得∠ABC+∠ACB 的度数，依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；（4）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB 的度数，依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC=90°+12∠A ． 【详解】解：如下图所示，（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠2+∠4=20°+30°=50°，∴△BCP 中，∠P=180°-50°=130°，故答案为：130°；（2）∵∠ABC+∠ACB=110°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠2+∠4=12×110°=55°， ∴△BCP 中，∠P=180°-55°=125°，故答案为：125°；（3）∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠2+∠4=12×90°=45°， ∴△BCP 中，∠P=180°-45°=135°，故答案为：135°；（4）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ， ∴124(180)2A ∠+∠=⨯︒-∠， ∴△BCP 中，11180(180)9022P A A =︒-⨯︒-∠=︒+∠∠． 故答案为：1902A ︒+∠． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．。

章节测试题1.【答题】若代数式的值为零，则x=______．【答案】3【分析】【解答】2.【答题】计算：______．【答案】【分析】【解答】原式．3.【答题】若x-y=5，xy=6，则xy2-x2y=______．【答案】-30【分析】【解答】．4.【答题】已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为______．【答案】24【分析】【解答】5.【题文】（8分）把下列各式因式分解：（1）m（m-5）-2（5-m）2；（2）-4x3+8x2-4x．【答案】解：（1）；（2）．【分析】【解答】6.【题文】（11分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中a=-1．【答案】解：（1）；（2）原式．当时，．【分析】【解答】7.【题文】（5分）解方程：．【答案】解：．去分母，得1=-1+x-3（x-2）．整理，得1=-1+x-3x+6．即2x=4．解得x=2．经检验，x=2为原方程增根，所以原方程无解．【分析】【解答】8.【题文】（11分）某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表：乙校成绩统计表分数/分人数70 78090 1100 8（1）在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为______；（2）请你将图②补充完整；（3）求乙校成绩的平均分；（4）经计算知，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价．【答案】略【分析】【解答】9.【题文】（13分）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少?（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天?【答案】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2.根据题意，得解得x=50.经检验，x=50是原方程的根．则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2）答：甲工程队每天能完成绿化的面积是100m2，乙工程队每天能完成绿化的面积是50m2．（2）设至少应安排甲队工作x天．根据题意，得解得x≥10．答：至少应安排甲队工作10天．【分析】【解答】10.【答题】如果多项式可因式分解为，则，的值为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【分析】【解答】11.【答题】若，，则代数式的值为（）A. 1B. -1C. -6D. 6【答案】C【分析】【解答】12.【答题】小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式．已知他抄在作业本上的式子是（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种【答案】D【分析】【解答】13.【答题】下列多项式已经进行了分组，其中能分解因式的有（）①；②；③；④．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【分析】【解答】14.【答题】在，，，，，中，分式的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【分析】【解答】15.【答题】同时使分式有意义，无意义的的取值范围是（）A. ，且B. ，或C.D.【答案】D【分析】【解答】16.【答题】若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【分析】【解答】17.【答题】某班有40名学生，数学老师第一次统计时这个班的数学平均成绩为82分，在复查时发现漏记了一个学生的成绩94分，那么这个班学生的实际平均成绩为（）A. 84.35分B. 82.5分C. 83分D. 83.6分【答案】A【分析】【解答】18.【答题】如果一组数据1，2，3，4，5的方差是2，那么一组新数据101，102，103，104，105的方差是（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】A【分析】【解答】19.【答题】下列说法正确的是（）A. 数据3，4，4，7，3的众数是4B. 数据0，1，2，5，的中位数是2C. 一组数据的众数和中位数不可能相等D. 数据0，5，-7，-5，7的中位数和平均数都是0【答案】D【分析】【解答】20.【答题】给出下列多项式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中，能因式分解的是______（填序号）．【答案】②③④⑤⑥【分析】【解答】。

2020-2021学年山东省烟台市龙口市八年级第一学期期中数学试卷（五四学制）一、选择题（共12小题）.1．（3分）下列变形，是因式分解的是（）A．x2+3x﹣16＝（x﹣2）（x+5）﹣6B．x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）C．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1D．2．（3分）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．3．（3分）如果a2+mab+9b2是一个完全平方式，则m应是（）A．3B．±3C．6D．±64．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．4B．﹣4C．±3D．35．（3分）将多项式9xy2﹣4x因式分解，结果正确的是（）A．xy（9y﹣4）B．x（9y2﹣4）C．x（3y﹣2）2D．x（3y+2）（3y﹣2）6．（3分）下列各式中不能用完全平方公式分解因式的是（）A．﹣4x2+4xy﹣y2B．x2﹣2x+1C．x2﹣2x﹣1D．7．（3分）如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值有（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．（3分）如果x＞y＞0，那么的值是（）A．零B．正数C．负数D．整数9．（3分）如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（）A．众数改变，方差改变B．众数不变，平均数改变C．中位数改变，方差不变D．中位数不变，平均数不变10．（3分）将分式方程1﹣＝去分母后得（）A．x2+x﹣5＝x2+2x B．x2+x﹣5＝x+2C．1﹣5＝x+2D．x﹣5＝x+211．（3分）初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据遮盖，如图：编号12345方差平均成绩得分3834■3740■37那么被遮盖的两个数据依次是（）A．35 2B．36 4C．35 3D．36 312．（3分）4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（）A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b二．填空题（共8小题）13．（3分）一组数据6，2，5，3，x中，唯一的众数是x，中位数也是x，则x的值为．14．（3分）因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝．15．（3分）若a+b＝1，则a2﹣b2+2b﹣2＝．16．（3分）若3x﹣1是多项式6x2+mx﹣1的一个因式，则m＝．17．（3分）若关于x的分式方程+1有增根，则m＝．18．（3分）关于x的分式方程+2＝的解为正实数，则k的取值范围是．19．（3分）一项工程，甲乙合作b天能完成，甲单独做需要a天完成，则乙独做需天完成．20．（3分）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2＝，S3＝，S4＝，…按此规律，请用含a的代数式表示S2020＝．三．解答题（共6小题）21．计算：（1）因式分解：4a（b+c）2﹣4a2（b+c）+a3；（2）解分式方程：．22．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；（2）若每块小长方形的周长是20m且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40cm2，求这张长方形纸板的面积是多少平方厘米？23．先化简，再求值（﹣）÷，其中a满足a2+3a﹣2＝0．24．先化简，（﹣x+1）÷，再选一个你喜欢的数代入求值．25．小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为（结果取整数）；（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s12，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s22，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s32．直接写出s12，s22，s32的大小关系．26．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A，B两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A，B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍．（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，设购进A型口罩m只，这10000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？参考答案一.选择题（共12小题）1．（3分）下列变形，是因式分解的是（）A．x2+3x﹣16＝（x﹣2）（x+5）﹣6B．x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）C．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1D．解：A、结果不是整式相乘的形式，故选项错误；B、正确；C、是整式的乘法，不是因式分解，故选项错误；D、结果不是整式相乘的形式，故选项错误．故选：B．2．（3分）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．解：A．＝＝，不符合题意；B．＝，不符合题意；C．＝＝，不符合题意；D．是最简分式，符合题意；故选：D．3．（3分）如果a2+mab+9b2是一个完全平方式，则m应是（）A．3B．±3C．6D．±6解：∵a2+mab+9b2是一个完全平方式，∴m＝±6，故选：D．4．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．4B．﹣4C．±3D．3解：根据题意得：，解得：x＝3．故选：D．5．（3分）将多项式9xy2﹣4x因式分解，结果正确的是（）A．xy（9y﹣4）B．x（9y2﹣4）C．x（3y﹣2）2D．x（3y+2）（3y﹣2）解：9xy2﹣4x＝x（3y+2）（3y﹣2）．故选：D．6．（3分）下列各式中不能用完全平方公式分解因式的是（）A．﹣4x2+4xy﹣y2B．x2﹣2x+1C．x2﹣2x﹣1D．解：A、﹣4x2+4xy﹣y2＝﹣（4x2﹣4xy+y2）＝﹣（2x﹣y）2，故选项错误；B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故选项错误；C、不能分解，故选项正确；D、x2﹣x+＝（4x2﹣36x+9）＝（2x﹣3）2，故选项错误．故选：C．7．（3分）如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：∵＝1+，若原分式的值为整数，那么m+1＝﹣2，﹣1，1或2．由m+1＝﹣2得m＝﹣3；由m+1＝﹣1得m＝﹣2；由m+1＝1得m＝0；由m+1＝2得m＝1．∴m＝﹣3，﹣2，0，1．故选C．8．（3分）如果x＞y＞0，那么的值是（）A．零B．正数C．负数D．整数解：原式＝＝，∵x＞y＞0，∴原式不是0，也不是负数，不一定是整数，一定是正数．故选：B．9．（3分）如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（）A．众数改变，方差改变B．众数不变，平均数改变C．中位数改变，方差不变D．中位数不变，平均数不变解：如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，故选：C．10．（3分）将分式方程1﹣＝去分母后得（）A．x2+x﹣5＝x2+2x B．x2+x﹣5＝x+2C．1﹣5＝x+2D．x﹣5＝x+2解：去分母得：x（x+1）﹣5＝x（x+2），去括号得：x2+x﹣5＝x2+2x．故选：A．11．（3分）初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据遮盖，如图：编号12345方差平均成绩得分3834■3740■37那么被遮盖的两个数据依次是（）A．35 2B．36 4C．35 3D．36 3解：∵这组数据的平均数是37，∴编号3的得分是：37×5﹣（38+34+37+40）＝36；被遮盖的方差是：[（38﹣37）2+（34﹣37）2+（36﹣37）2+（37﹣37）2+（40﹣37）2]＝4；故选：B．12．（3分）4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（）A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b解：S1＝b（a+b）×2++（a﹣b）2＝a2+2b2，S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，∵S1＝2S2，∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），整理，得（a﹣2b）2＝0，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b．故选：D．二．填空题（共8小题）13．（3分）一组数据6，2，5，3，x中，唯一的众数是x，中位数也是x，则x的值为3或5．解：其余4个数据按顺序排列为：2，3，5，6，∵x是中位数，也是众数，∴x＝3或x＝5．故答案为：3或5．14．（3分）因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝（x﹣2）（x﹣1）．解：原式＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）．故答案为：（x﹣2）（x﹣1）．15．（3分）若a+b＝1，则a2﹣b2+2b﹣2＝﹣1．解：∵a+b＝1，∴a2﹣b2+2b﹣2＝（a+b）（a﹣b）+2b﹣2＝a﹣b+2b﹣2＝a+b﹣2＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．16．（3分）若3x﹣1是多项式6x2+mx﹣1的一个因式，则m＝1．解：若3x﹣1是多项式6x2+mx﹣1的一个因式，得6x2+mx﹣1＝（3x﹣1）（2x+1）．解得m＝1，故答案为：1．17．（3分）若关于x的分式方程+1有增根，则m＝3．解：去分母得：3x＝m+3+（x﹣2），整理得：2x＝m+1，∵关于x的分式方程有增根，即x﹣2＝0，∴x＝2，把x＝2代入到2x＝m+1中得：2×2＝m+1，解得：m＝3；故答案为：3．18．（3分）关于x的分式方程+2＝的解为正实数，则k的取值范围是k＞﹣2且k≠2．解：方程+2＝两边同乘（x﹣2），得1+2（x﹣2）＝k﹣1，解得，x＝，∵≠2，∴k≠2，由题意得，＞0，解得，k＞﹣2，∴k的取值范围是k＞﹣2且k≠2．故答案为：k＞﹣2且k≠2．19．（3分）一项工程，甲乙合作b天能完成，甲单独做需要a天完成，则乙独做需天完成．解：设乙乙独做需x天，根据题意得：b（+）＝1，解得：x＝．故乙独做需天完成．故答案为：．20．（3分）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2＝，S3＝，S4＝，…按此规律，请用含a的代数式表示S2020＝a+1．解：∵S1＝a+1（a不取0和﹣1），∴S2＝＝﹣，S3＝＝，S4＝＝a+1，…，∴3个一循环，∵2020÷3＝673…1，∴S2020＝a+1．故答案为：a+1．三．解答题（共6小题）21．计算：（1）因式分解：4a（b+c）2﹣4a2（b+c）+a3；（2）解分式方程：．解：（1）原式＝a[4（b+c）2﹣4a（b+c）+a2]＝a[2（b+c）﹣a]2＝a（2b+2c﹣a）2．（2）两边同时乘以最简公分母（x﹣1），可得2（x﹣2）+x﹣1＝﹣2，解得x＝1，检验：当x＝1时，x﹣1＝0，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解．22．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为（2m+n）（m+2n）；（2）若每块小长方形的周长是20m且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40cm2，求这张长方形纸板的面积是多少平方厘米？解：（1）由图形可知，2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n），故答案为（2m+n）（m+2n）；（2）∵m2﹣n2＝40，∴（m+n）（m﹣n）＝40，∵m+n＝20÷2＝10，∴m﹣n＝4，解得m＝7，n＝3，∴2m+n＝17，m+2n＝13，∴纸板的面积（2m+n）（m+2n）＝17×13＝221（平方厘米）．答：纸板的面积为221平方厘米．23．先化简，再求值（﹣）÷，其中a满足a2+3a﹣2＝0．解：（﹣）÷＝[]＝（）＝＝＝，∵a2+3a﹣2＝0，∴a2+3a＝2，∴原式＝＝1．24．先化简，（﹣x+1）÷，再选一个你喜欢的数代入求值．解：原式＝＝•＝，当x＝0时，原式＝1．25．小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为173（结果取整数）；（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 2.9倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s12，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s22，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s32．直接写出s12，s22，s32的大小关系．解：（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为≈173（千克），故答案为：173；（2）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的≈2.9（倍），故答案为：2.9；（3）由小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图知，第1个10天的分出量最分散、第3个10天分出量最为集中，∴s12＞s22＞s32．26．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A，B两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A，B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍．（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，设购进A型口罩m只，这10000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？解：设销售A型口罩x只，销售B型口罩y只，根据题意得：，解得，经检验，x＝4000，y＝5000是原方程组的解，∴每只A型口罩的销售利润为：（元），每只B型口罩的销售利润为：0.5×1.2＝0.6（元）．答：每只A型口罩和B型口罩的销售利润分别为0.5元，0.6元．（2）根据题意得，W＝0.5m+0.6（10000﹣m）＝﹣0.1m+6000，10000﹣m≤1.5m，解得m≥4000，∵﹣0.1＜0，∴W随m的增大而减小，∵m为正整数，∴当m＝4000时，W取最大值，则﹣0.1×4000+6000＝5600，即药店购进A型口罩4000只、B型口罩6000只，才能使销售总利润最大，最大利润为5600元．。

一、选择题(每小题4分,共48分)1.下列因式分解中,完全正确的是( D )A.x3-x=x(x2-1)B.4a2-4a+1=4a(a-1)+1C.x2+y2=(x+y)2D.6a-9-a2=-(a-3)22.下列分式方程有解的是( D )A.=0B.=0C.=D.=13.如图是甲、乙两位同学五次数学测试成绩的折线统计图.对于甲、乙的成绩,下列说法正确的是( D )第3题图A.甲平均分高,成绩稳定B.甲平均分高,成绩不稳定C.乙平均分高,成绩稳定D.乙平均分高,成绩不稳定4.不改变分式的值,使分子、分母最高次项的系数为正数,正确的是( D )A. B. C. D.5.下列各式中能用完全平方公式分解因式的是( A )A.-m2-3mn-9n2B.x6-8x3-16C.2xy-x2+y2D.x2-x+16.化简÷(1+)的结果是( A )A. B.C. D.7.小明在计算一组数据的方差时,列出的公式如下:s2=[(7-)2+ (8-)2+(8-)2+(8-)2+(9-)2].根据公式信息,下列说法中,错误的是( D )A.数据个数是5B.数据平均数是8C.数据众数是8D.数据方差是08.某电脑公司销售部为了制订下个月的销售计划,对20位销售员本月的销售量进行了统计,绘制成如图所示的统计图.这20位销售员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是( C )第8题图A.19,20,14B.19,20,20C.18.4,20,20D.18.4,25,209.分解因式a4-2a2+1的结果是( D )A.(a2+1)2B.(a2-1)2C.a2(a2-2)D.(a+1)2(a-1)210.某商店销售一种休闲服装,9月份的营业额为 5 000元.为了扩大销售,在10月份将每件按原价的8折销售,销售量比9月份增加了20件,营业额比9月份增加了600元.设9月份每件的售价为x元,则可列方程为( D )A.-=20B.-=20C.=-20D.-=2011.一次数学测试,某小组5名同学的成绩统计如下(有两个数据被遮盖):组员甲乙丙丁戊平均成绩众数得分81 77 80 82 80则被遮盖的两个数据依次是( A )A.80,80B.81,80C.80,82D.81,8212.若关于x的分式方程=+5的解为正数,则m的取值范围为( D )A.m<-10B.m≤-10C.m≥-10且m≠-6D.m>-10且m≠-6二、填空题(每小题4分,共24分)13.因式分解:x4-16= (x2+4)(x+2)(x-2) .14.化简:÷(1-)= .15.某市广播电视局欲招聘播音员一名,对A,B两名候选人进行了两项素质测试,两人的两项测试成绩如表所示.根据实际需要,广播电视局将面试、综合知识测试的得分按3∶2的权数比计算两人的总成绩,那么 B (选填“A”或“B”)将被录用.测试成绩测试项目A B面试90 95 综合知识测试85 8016.如果9x2-kxy+49y2是一个完全平方式,那么k的值是±42 .17.若一组数据4,5,6,x的众数与中位数相等,则这组数据的方差是.18.取5张背面看上去无差别的卡片,分别在正面写上数字1,2,3,4,5,现把它们洗匀正面朝下,随机摆放在桌面上.从中任意抽出1张,记卡片上的数字为m,则数字m使分式方程-1=无解的概率为.三、解答题(共78分)19.(8分)因式分解:(1)(x+2)(x+3)+; (2)3a(x2+4)2-48ax2.解:(1)(x+2)(x+3)+=x2+5x+=(x+)2.(2)3a(x2+4)2-48ax2=3a[(x2+4)2-16x2]=3a(x2+4+4x)(x2+4-4x)=3a(x+ 2)2(x-2)2.20.(10分)(1)解分式方程:-=1;(2)先化简,再求值:(-)÷,其中a=-.解:(1)-=1,去分母,得x2-4x+4-3x=x2-2x,解得x=.经检验,x=是分式方程的解.(2)(-)÷=(-)·===a+4. 当a=-时,原式=-+4=.21.(9分)(2020雅安改编)先化简,再求值:(-x+1)÷,其中x是不等式组的整数解.解:(-x+1)÷=(-)÷=·=.解不等式组得-1≤x<1.∵x是不等式组的整数解,∴x=-1或x=0.∵当x=-1时,原分式无意义,∴当x=0时,原式==-1.22.(12分)从神话中的嫦娥奔月到万户异想天开的火箭升空,“飞天“一直是人类的梦想.而今伴随着长征五号的轰鸣声,我国首个卫星探测器“天问一号”的成功发射,标志着中国从此进入行星探测年代,中国人的飞天梦正在中国航天事业的发展中,被一一实现.为此,某中学开展以“航天梦、中国梦“为主题的演讲比赛,九(1)班、九(2)班根据初赛成绩各选出10名选手参加复赛,两个班各选出的10名选手的复赛成绩(满分为100分)如图表所示.九(1)班:成绩/分人数70 280 285 190 295 3九(2)班:请根据图表中提供的信息,解答下列问题:(1)九(1)班这10名选手复赛成绩的众数为分,九(2)班这10名选手复赛成绩的中位数为分;(2)求九(2)班这10名选手复赛成绩的平均数;(3)请估计这两个班中,哪个班学生的演讲能力更强一些.(至少从一个角度说明合理性)解:(1)95 85(2)九(2)班成绩的平均数为(65+75×3+85×3+90×2+95)÷10=82(分),∴九(2)班这10名选手复赛成绩的平均数是82分.(3)角度一:九(1)班选手复赛成绩的平均数为(70×2+80×2+85×1+90×2+95×3)÷10=85(分),九(2)班成绩的平均数为82分,∵85>82,∴九(1)班学生的演讲能力更强一些.角度二:九(1)班选手复赛成绩的众数是95分,九(2)班选手复赛成绩的众数是75分和85分,∵95>85,95>75,∴九(1)班学生的演讲能力更强一些;角度三:九(1)班选手复赛成绩的中位数是87.5分,九(2)班选手复赛成绩的中位数是85分,∵87.5>85,∴九(1)班学生的演讲能力更强一些.23.(13分)先阅读下面的内容,再解答问题.[阅读] 例题:求多项式m2+2mn+2n2-6n+13的最小值.解:m2+2mn+2n2-6n+13=(m2+2mn+n2)+(n2-6n+9)+4=(m+n)2+(n-3)2+4. 因为(m+n)2≥0,(n-3)2≥0,所以多项式m2+2mn+2n2-6n+13的最小值是4.[解答问题](1)例题解答过程中因式分解运用的公式是;(2)求多项式-2x2+4xy-3y2-6y+7的最大值.解:(1)完全平方公式(2)-2x2+4xy-3y2-6y+7=-2x2+4xy-2y2-y2-6y-9+16=-2(x-y)2-(y+3)2+16.因为-2(x-y)2≤0,-(y+3)2≤0,所以多项式-2x2+4xy-3y2-6y+7的最大值是16.24.(13分)(2020贵港)某公司购买了A,B两种不同型号的口罩,已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元,且用 8 000 元购买A型口罩的数量与用5 000元购买B型口罩的数量相同.(1)A,B两种型号口罩的单价各是多少元?(2)根据实际情况,该公司还需要增加购买一些口罩,增加购买B型口罩数量是增加购买A型口罩数量的2倍.若总费用不超过3 800元,则增加购买A型口罩的数量最多是多少?解:(1)设A型口罩的单价为x元,则B型口罩的单价为(x-1.5)元, 根据题意,得=,解得x=4.经检验,x=4是原方程的根,且符合题意.∴x-1.5=2.5.答:A型口罩的单价为4元,B型口罩的单价为 2.5 元.(2)设增加购买A型口罩的数量是m,则增加购买B型口罩的数量是2m.根据题意,得2.5×2m+4m≤3 800,解得m≤422.∵m为正整数,∴m的最大值为422.答:增加购买A型口罩的数量最多是422.25.(13分)为积极响应“弘扬传统文化”的号召,某学校倡导全校1 200名学生进行经典诗词诵背活动,并在活动之后举办经典诗词大赛.为了解本次系列活动的持续效果,学校团委在活动启动之初,随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”,根据调查结果绘制成的统计图(部分)如图所示.大赛结束后一个月,再次调查这部分学生“一周诗词诵背数量”,绘制成统计表如下:一周诗词诵背数量3首4首5首6首7首8首人数10 10 15 40 25 20 请根据调查的信息分析:(1)活动启动之初,诵背数量为4首的学生有人,学生“一周诗词诵背数量”的中位数为;(2)估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首含6首以上的人数;(3)选择适当的统计量,从两个不同的角度分析两次调查的相关数据,评价该校经典诗词诵背系列活动的效果.解:(1)45 4.5首(2)大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的约有: 1 200×=850(人),故大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的约有850人.(3)(答案不唯一)活动启动之初的中位数是4.5首,众数是4首,大赛结束后一个月的中位数是6首,众数是6首,由比赛前后的中位数和众数看,比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高,该校经典诗词诵背系列活动的效果比较理想.。

一、选择题1．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（ ） A ． B ．C ．D ．2．点1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，则()2021a b +的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．2021- 3．如图，在ABC ∆中，90,30C B ︒︒∠=∠= ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB AC 、于点M 和N ，再分别以M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP ，并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ︒∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上﹔④若2AD =，则点D 到AB 的距离是1，:1:2DAC ABC S S ∆∆=A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，在ABC ∆中，5AC =，线段AB 的垂直平分线交AC 于点,D BCD ∆的周长是9，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．下列说法正确的是（ ）①近似数232.610⨯精确到十分位；②在2，()2--，38-，2--中，最小的是38-；③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为15-+；④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；⑤如图，在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点．A ．1B ．2C ．3D ．4 6．到ABC 的三条边距离相等的点是ABC 的( ) A ．三条中线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条角平分线的交点7．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④ 8．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝34°，那么∠BED ＝（ ）A ．134°B ．124°C ．114°D ．104°9．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在AB 上，将△ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B′处，若'20ADB ∠=︒，则∠A 的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°10．如图，在ABC 中，55A ∠=︒，65C =︒∠，BD 平分ABC ∠，//DE BC ，则BDE ∠的度数是（ ）A ．50°B ．25°C ．30°D ．35°11．如图，1∠等于（ ）A ．40B ．50C ．60D ．70 12．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．3，3，4B ．7，4，2C ．3，4，8D ．2，3，5 二、填空题13．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为_______．14．如图，E 是腰长为2的等腰直角ABC 斜边上一点，且BE BC P =，为CE 上任意一点，PQ BC ⊥于点Q PR BE ⊥，于点R ，则PQ PR +的值是___________．15．如图（1），已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图（2），已知AB AC =，D ，E 为BAC ∠的角平分线上两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图（3），已知AB AC =，D ，E ，F 为BAC ∠的角平分线上三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；……，依此规律，第7个图形中有全等三角形的对数是________．16．如图，AB 与CD 相交于点O ，OC ＝OD ．若要得到△AOC ≌△BOD ，则应添加的条件是__________．（写出一种情况即可）17．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中（1）DA 平分EDF ∠；（2）AE AF =，DE DF =；（3）AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ．18．如果一个多边形所有内角和与外角和共为2520°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有_________条对角线19．如图，在ABC ∆中，4ACB A ∠=∠，点D 在边AC 上，将BDA ∆沿BD 折叠，点A 落在点A '处，恰好BA AC '⊥于点E 且//BC DA '，则BDC ∠的度数为__________度．20．一块含45°角的直角三角板如图放置，其中，直线//a b ，185∠=︒，则2∠=______度．三、解答题21．如图，ABC 中，,90,AB AC BAC =∠=︒点D 是直线AB 上的一动点(不和A B 、重合)，BE CD ⊥交CD 所在的直线于点,E 交直线AC 于F ．()1点D 在边AB 上时，证明:AB FA BD =+；()2点D 在AB 的延长线或反向延长线上时，()1中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请画出图形，并直接写出,,AB FA BD 三者之间数量关系．22．如图，ABC 和ADE 均为等边三角形，连接BD 并延长，交AC 于点F ，连接CD 并延长，交AB 于点G ，连接CE ．（1）求证：ABD ACE △≌△；（2）若ADG CED ∠=∠，求证：AG CF =．23．如图，点A ，D ，B ，E 依次在同一条直线上，BC DF =，AD BE =，ABC EDF ∠=∠，求证：A E ∠=∠．24．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当 AB ＞AC 时，∠C ＞∠B ．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线．①如图1，若AB =AC ，则∠BAD =∠CAD ；②如图2，若AB ≠AC ，当AB ＞AC 时，∠BAD ∠CAD ．（填“>”，“<”，“=”）证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ．∵AB ＞AC ， ∴ （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD ∠CAD ．（2）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线．①如图1，若AB =AC ，则∠BAD =∠CAD ；②如图3，若AB ≠AC ，当AB ＞AC 时，∠BAD ∠CAD ．（填“>”，“<”，“=”）证明：25．如图，已知在ABC 中，CE 是外角ACD ∠的平分线，BE 是ABC ∠的平分线．（1）求证：2A E ∠=∠．（2）若A ABC ∠=∠，求证：//AB CE ．26．如图，BM 是ABC 的中线，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，那么ABM 与BCM 的周长的差是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】点D 到点A 、点B 的距离相等可知点D 在线段AB 的垂直平分线上，据此可得答案．【详解】解：∵点D 到点A 、点B 的距离AD=BD ，∴点D 在线段AB 的垂直平分线上，故选择：D ．【点睛】本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图． 2．A解析：A【分析】关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a ，b 的值，进一步可得答案．【详解】解：∵1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，得a-1=2017，1-b=2020．解得a=2018，b=-2019，∴()()()202120212021=2018201911a b +-=-=- 故选：A ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 3．B解析：B【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．【详解】解：由作法得，AD 平分∠BAC ，所以①正确；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=∠CAD=12×60°=30°， ∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正确；∵∠B=∠BAD ，∴DA=DB ，∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确；在直角△ACD 中，∠CAD=30°，∴CD=12AD ， ∴BC=CD+BD=12AD+AD=32AD ，1124DAC S AC CD AC AD ∆=⋅=⋅．∴11332224ABC S AC BC AC AD AC AD ∆=⋅=⋅=⋅， ∴13::1:344DAC ABC S S AC AD AC AD ∆∆=⋅⋅=，故④错误． 所以，正确的结论有3个故选：B ．【点睛】 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．4．B解析：B【分析】首先根据DE 是线段AB 的垂直平分线，可得AD ＝BD ，然后根据△BCD 的周长是9cm ，以及AD ＋DC ＝AC ，求出BC 的长即可．【详解】解：∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∵△BCD 的周长是9cm ，∴BD ＋DC ＋BC ＝9（cm ），∴AD ＋DC ＋BC ＝9（cm ），∵AD ＋DC ＝AC ，∴AC ＋BC ＝9（cm ），又∵AC ＝5cm ，∴BC ＝9−5＝4（cm ）．故选：B ．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．5．B解析：B【分析】根据近似数的精确度定义，可判断①；根据实数的大小比较，可判断②；根据点在数轴上所对应的实数，即可判断③；根据反证法的概念，可判断④；根据角平分线的性质，可判断⑤．【详解】①近似数232.610⨯精确到十位，故本小题错误；()22--=2=-，-=③在数轴上点P 所表示的数为1-+④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角或三个钝角”，故本小题错误；⑤在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点，故本小题正确．故选B【点睛】本题主要考查近似数的精确度定义，实数的大小比较，点在数轴上所对应的实数，反证法的概念，角平分线的性质，熟练掌握上述知识点，是解题的关键．6．D解析：D【分析】由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，而已知一点到ABC 的三条边距离相等，那么这样的点在这个三角形的三条角平分线上，由此即可作出选择.【详解】解:∵到ABC 的三条边距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等，∴这点在这个三角形三条角平分线上，即这点是三条角平分线的交点，故选：D.【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线的性质：三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等.7．D解析：D【分析】易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；【详解】∵ BD 为∠ABC 的角平分线，∴ ∠ABD=∠CBD ，∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确；∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ，∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 是等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，故③正确；作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示：∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在△BEG 和△BEF 中BE BE EF EG =⎧⎨=⎩ ∴ △BEG ≌△BEF ，∴BG=BF ，在△CEG 和△AFE 中EF EG AE CE=⎧⎨=⎩ ∴△CEG ≌△AFE ，∴ AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；8．B解析：B【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可；【详解】∵AE 平分∠BAC ，∠BAE ＝34°，∴34EAC ∠=︒，∵ED ∥AC ，∴18034146AED∠=︒-︒=︒，∵BE⊥AE，∴90∠，AEB=︒∴36090146124BED∠=︒-︒-︒=︒；故答案选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关键。

一、选择题1．在平面直角坐标系中，点()3,4A 关于原点O 的对称点是点A '，则OA '=（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．52．在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度、圆心角为60︒的扇形组成一条连续的曲线，点P 从原点O 出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动（如图），点P 在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，点P 在弧线上运动的速度为每秒π3个单位长度，则2021秒时，点P 的坐标是（ ）A ．(3B ．(2021,3C ．20213,22⎛ ⎝⎭D ．20213,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 3．已知点P(a+5，a-1)在第四象限，且到x 轴的距离为2，则点P 的坐标为( ) A ．(4，-2) B ．(-4，2)C ．(-2，4)D ．(2，-4) 4．在平面直角坐标系中，点()25,1N a -+一定在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A 7B 9C 12 D 236．下列各式计算正确的是（ ）A 31-B 38C 4D ．9 7．下列说法中正确的是（ ） A 25±5B ．两个无理数的和仍是无理数C ．-3没有立方根.D 22-a b . 8．估计(122+432 ） A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间 9．如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（ ）A ．1 条B ．2条C ．3条D ．4条 10．如图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 是BC 上一点，AD ＝BD ，若AB ＝8，BD ＝5，则CD ＝（ ）A ．2.1B ．1.4C ．3.2D ．2.411．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm ，底面周长为30cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计（ ）A ．12cmB ．17cmC ．20cmD ．25cm 12．如图，在Rt ABC △中，6AB =，8BC =，AD 为BAC ∠的平分线，将ADC 沿直线AD 翻折得ADE ，则DE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．已知点P （a ，a +1）在平面直角坐标系的第二象限内，则a 的取值范围___．14．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．则点2019A 的坐标是_________．15．对于实数a 、b 作新定义：@a b ab =，b a b a =※，在此定义下，计算：43@1232⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭(7543)2-=※________． 16．已知23x =-，23y =+．则代数式x 2+y 2﹣2xy 的值为_____．17．有一个正方体的集装箱，原体积为364m ，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到3125m ，则它的棱长需要增加__________m ．18．“东方之门”座落于美丽的金鸡湖畔，高度约为301.8米，是苏州的地标建筑，被评为“中国最高的空中苏式园林”．现以现代大道所在的直线为x 轴，星海街所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示的实际距离为100米），东方之门的坐标为4(6,)A -，小明所在位置的坐标为(2,2)B -，则小明与东方之门的实际距离为___________米．19．如图，将两个大小、形状完全相同的ABC 和A B C '''拼在一起，其中点A '与点A 重合，点C '落在边AB 上，连接B C '，若90ACB AC B ''∠=∠=︒，2AC BC ==，则B C '=________．20．如图，矩形ABCD 中，AB=8,AD=5，点E 为DC 边上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，点D 的对应点D ’落在矩形ABCD 的对称轴上时，DE 的长为____________.三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1,ABC 的三个顶点分别为()()4,3,3,()3,1,1A B C -．请在坐标系中标出,,A B C 三点，画出ABC ∆，并画出ABC ∆关于y 轴对称的图形111A B C ∆，写出点111,,AB C 的坐标．22．如图①，∠BAD=90°，AB=AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥CA 的延长线点E ，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D ，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD ，得△ABC ≌△DAE 进而得到AC=DE ，BC=AE ， 我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．请应用上述“一线三等角”模型，解决下列问题：（1）如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AC=AE ，连接BC 、DE ，且BC ⊥AH 于点H ，DE 与直线AH 交于点G ，求证：点G 是DE 的中点．（2）如图③，在平面直角坐标系中，点A 为平面内任意一点，点B 的坐标为（4，1），若△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A 的坐标．23．求下列各式中x 的值．（1）2x 2＝72；（2）（x+1）3+3＝﹣61．24．已知2x＋3的算术平方根是5，5x＋y＋2的立方根是3，求x﹣2y＋10的平方根．25．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=32米．求点B到地面的垂直距离BC．26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝6，D是AB边上任意一点，连接CD，以CD为直角边向右作等腰直角△CDE，其中∠DCE＝90°，CD＝CE，连接BE．（1）求证：AD＝BE；（2）当△CDE的周长最小时，求CD的值；（3）求证：222+=．AD DB CE2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据对称性知道，OA=OA'，计算OA的长度即可．【详解】A，∵()3,4∴22+，34A关于原点O的对称点是点A'，∵点()3,4∴OA=OA'=5，故选：C ．【点睛】本题考查了关于原点对称，点到原点的距离计算，熟练掌握原点对称的性质，点到原点的距离计算是解题的关键．2．C解析：C【分析】设第n 秒运动到Pn （n 为自然数）点，根据点P 的运动规律找出部分Pn 点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．【详解】解：设第n 秒运动到Pn （n 为自然数）点，观察，发现规律：112P ⎛ ⎝⎭，()210P ， ，332P ⎛ ⎝⎭ ，()42,0P ，552P ⎛ ⎝⎭ ，…，∴412n n P +⎛ ⎝⎭，42,02n n P +⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，432n n P +⎛ ⎝⎭，44,02n n P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵2021＝4×505＋1，∴2021P 为20212⎛ ⎝⎭． 故选:C ．【点睛】本题主要考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律．3．A解析：A【详解】解：由点P 在第四象限，且到x 轴的距离为2，则点P 的纵坐标为-2，即12a -=-解得1a =-54a ∴+=则点P 的坐标为（4，-2）．故选A ．【点睛】本题考查点的坐标．4．B解析：B【分析】根据点的坐标特征求解即可．【详解】横坐标是50-<，纵坐标是210a +>，∴点N （5-，21a +）一定在第二象限，故选：B ．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）．5．A解析：A【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】解：AB 3，故不是最简二次根式；C ＝D 3，故不是最简二次根式； 故选：A ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记定义，并能灵活进行化简，判断是解题的关键. 6．A解析：A【分析】根据平方根和立方根分别对四个选项进行计算即可．【详解】解：∵-1，，故只有A 计算正确；故选:A ．【点睛】本题考查的是平方根、算术平方根和立方根，计算的时候需要注意审题是求平方根还是算术平方根．7．D解析：D【分析】根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判断即可．【详解】5=，故A 选项错误；0ππ-+=，故B 选项错误；-3=C 选项错误；D 选项正确；故选D．【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键．8．C解析：C【分析】原式利用二次根式乘法运算法则计算得到结果，估算即可．【详解】解：(2＋∵16＜24＜25，即42＜2＜52，∴4＜5，∴6＜2＋7，∴(6和7之间．故选：C．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．B解析：B【分析】由勾股定理求出a、b、c、d，即可得出结果．【详解】∵=，d=2，5∴长度是无理数的线段有2条，故选B．【点睛】本题考查了勾股定理、无理数，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．10．B解析：B【分析】设CD=x，在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理列式表示出AC2，然后解方程即可．【详解】解：设CD=x，则BC=5+x，在Rt△ACD中，AC2=AD2-CD2=25-x2，在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2=64-（5+x）2，所以，25-x2=64-（5+x）2，解得x=1.4，即CD=1.4．故答案为：B．【点睛】本题考查了勾股定理，熟记定理并在两个三角形列出等式表示出AC2，然后列出方程是解题的关键．11．B解析：B【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，由题意可得：A′D的长度等于圆柱底面周长的一半，即A′D=15cm由对称的性质可得A′M=AM=DE=2，BE=11-5=6∴BD=DE+BE=8连接A′B，则A′B即为最短距离，2222++=（cm）．A D BD'15817故选：B．【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．12．B解析：B【分析】由勾股定理求出AC＝10，求出BE＝4，设DE＝x，则BD＝8−x，得出（8−x）2＋42＝x2，解方程求出x即可得解．【详解】∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，∴10=，∵将△ADC 沿直线AD 翻折得△ADE ，∴AC ＝AE ＝10，DC ＝DE ，∴BE ＝AE−AB ＝10−6＝4，在Rt △BDE 中，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，∵BD 2＋BE 2＝DE 2，∴（8−x ）2＋42＝x 2，解得：x ＝5，∴DE ＝5．故选B ．【点睛】本题考主要查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．二、填空题13．﹣1＜a ＜0【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出a 的取值范围【详解】解：∵点P （aa+1）在平面直角坐标系的第二象限内∴解得：﹣1＜a ＜0则a 的取值范围是：﹣1＜a ＜0故答案为：﹣1＜a ＜0【解析：﹣1＜a ＜0【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出a 的取值范围．【详解】解：∵点P （a ，a +1）在平面直角坐标系的第二象限内，∴010a a <⎧⎨+>⎩， 解得：﹣1＜a ＜0．则a 的取值范围是：﹣1＜a ＜0．故答案为：﹣1＜a ＜0．【点睛】本题考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题的关键．14．【分析】根据图象可得移动4次图形完成一个循环从而可得出点的坐标【详解】解：由图象可得移动4次图形完成一个循环即所以：故答案为：【点睛】本题考查的是点的坐标规律的探究掌握规律探究的方法是解题的关键 解析：()20191009,0A ．【分析】根据图象可得移动4次图形完成一个循环，从而可得出点2019A 的坐标．【详解】解：由图象可得移动4次图形完成一个循环，201945043,20204505,∴÷=÷=()()()48122,0,4,0,6,0,,A A A()20205052,0,A ∴⨯即()20201010,0,A所以：()20191009,0.A故答案为：()20191009,0.A【点睛】本题考查的是点的坐标规律的探究，掌握规律探究的方法是解题的关键．15．【分析】先将新定义的运算化为一般运算再计算二次根式的混合运算即可【详解】解：=====故答案为：【点睛】本题考查新定义的实数运算二次根式的混合运算能根据题意将新定义运算化为一般运算是解题关键解析：1-【分析】先将新定义的运算化为一般运算，再计算二次根式的混合运算即可．【详解】解：2※=2=2-=2=43-=1-故答案为：1-【点睛】本题考查新定义的实数运算，二次根式的混合运算．能根据题意将新定义运算化为一般运算是解题关键．16．【分析】根据二次根式的减法法则求出利用完全平方公式把原式化简代入计算即可【详解】解：则故答案为：12【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值掌握完全平方公式二次根式的加减法法则是解题的关键解析：【分析】根据二次根式的减法法则求出x y -，利用完全平方公式把原式化简，代入计算即可．【详解】y=解：2x=-223x y，则2222x y xy x y，2()(23)12故答案为：12．【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的加减法法则是解题的关键．17．1【分析】先根据正方体的体积得出其棱长再求出体积达到125m3时的棱长进而可得出结论【详解】解：设正方体集装箱的棱长为a∵体积为64m3∴a==4m；设体积达到125m3的棱长为b则b==5m∴b-解析：1【分析】先根据正方体的体积得出其棱长，再求出体积达到125m3时的棱长，进而可得出结论．【详解】解：设正方体集装箱的棱长为a，∵体积为64m3，∴=4m；设体积达到125m3的棱长为b，则，∴b-a=5-4=1（m）．故答案为：1．【点睛】本题考查的是立方根，熟知正方体的体积公式是解题的关键．18．【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB的长度再根据个单位长度表示的实际距离为米求出结果即可【详解】解：如图AC=6-（-2）=8BC=2-（-4）=6∴∴小明与东方之门的实际距离为10×10解析：1000【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB的长度，再根据1个单位长度表示的实际距离为100米求出结果即可．【详解】解：如图，AC=6-（-2）=8，BC=2-（-4）=6 ∴2222=6+8=10AB BC AC +∴小明与东方之门的实际距离为10×100=1000（米）故答案为：1000．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键． 19．【分析】先运用勾股定理求出的长根据等腰直角三角形的性质证得∠=90°最后再利用勾股定理解答即可【详解】解：∵和大小形状完全相同∴≌∵∴和为等腰直角三角形∴∴∴和为等腰直角三角形∴∠CAB=∠C`AB 解析：23【分析】先运用勾股定理求出AB '的长，根据等腰直角三角形的性质证得∠CAB '=90°，最后再利用勾股定理解答即可．【详解】解：∵ABC 和A B C '''大小、形状完全相同 ∴ABC ≌A B C ''' ∵90ACB AC B ''∠=∠=︒，2AC BC == ∴ABC 和A B C '''为等腰直角三角形∴'''2AC B C ==,∴()()22'''222222AB AC AC '=+=+=∴ABC 和A B C '''为等腰直角三角形∴∠CAB=∠C`AB`=45°，即∠CAB '=90°∴()()()222'222223CB AC AB '=+=+=故答案为23．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，掌握大小、形状完全相同的三角形是全等三角形是解答本题的关键．20．或【详解】分析：过点D′作MN⊥AB于点NMN交CD于点M由矩形有两条对称轴可知要分两种情况考虑根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系在直角△EMD′与△AND′中利用勾股定理可得出关于DM解析：52或533【详解】分析：过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，由矩形有两条对称轴可知要分两种情况考虑，根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系，在直角△EMD′与△AND′中，利用勾股定理可得出关于DM长度的一元二次方程，解方程即可得出结论．详解：过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，如图1、所示．设DE=a，则D′E=a．∵矩形ABCD有两条对称轴，∴分两种情况考虑：①当DM=CM时，AN=DM=12CD=12AB=4，AD=AD′=5，由勾股定理可知：22=3AD AN'-，∴MD′=MN-ND′=AD-ND′=2，EM=DM-DE=4-a，∵ED′2=EM2+MD′2，即a2=（4-a）2+4，解得：a=52；②当MD′=ND′时，MD′=ND′=12MN=12AD=52，由勾股定理可知：2253 =AD ND'-'∴EM=DM-DE=AN-DE=532-a ， ∵ED′2=EM 2+MD′2，即a 2＝(532−a )2+(52)2， 解得：a=533． 综上知：DE=52或533． 故答案为52或533．． 点睛：本题考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于DM 长度的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题型题目时，结合勾股定理列出方程是关键．三、解答题21．图见解析；点111,,A B C 的坐标分别为()()–4,3,3,3--，()1,1-【分析】先在平面直角坐标系中画出,,A B C 三点，顺次连接即可；再按照轴对称的性质，画出它们的对称点即可．【详解】解：如图所示，111,ABC A B C ∆∆，即为所求；点111,,A B C 的坐标分别为()()–4,3,3,3--，()1,1-【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中描点和画轴对称图形，关于y 轴对称点的坐标变化规律，解题关键是正确描点和画对称点．22．（1）见解析；（2）A(32，52)或(52，-32)． 【分析】 （1）过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ．根据“K 字模型”即可证明AH=DM 和AH=EN ，即EN=DM ，再根据全等三角形的判定和性质即可证明DG=EG ，即点G 是DE 的中点．（2）分情况讨论①当A 点在OB 的上方时，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．根据“K 字模型”即可证明AC BD OC AD DE ===，，再利用B 点坐标即可求出A 点坐标．②当A 点在OB 的下方时，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．同理即能求出A 点坐标．【详解】（1）如图，过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ，则∠DMA=90°，∠ENG=90°．∵∠BHA=90 ，∴∠2+∠B=90°．∵∠BAD=90°，∴∠1+∠2=90°．∴∠B=∠1 ．在△ABH 和△DAM 中1BHA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH ≅△DAM （AAS ），∴AH=DM ．同理 △ACH ≅△EAN （AAS ），∴ AH=EN ．∴EN=DM ．在△DMG 和△ENG 中MGD NGE DMG ENG DM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DMG ≅△ENG （AAS ）．∴DG=EG ．∴点G 是DE 的中点．（2）根据题意可知有两种情况，A 点分别在OB 的上方和下方．①当A 点在OB 的上方时，如图，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．利用“K 字模型”可知ACO BDA ≅，∴AC BD OC AD DE ===，，设AC x =，则BD x =，∵1DE BD BE x =+=+，∴1OC AD DE x ===+，又∵4CD AD AC =+=，即14x x ++=， 解得32x =， ∴32AC =，35122DE =+=． 即点A 坐标为(32，52)．②当A 点在OB 的下方时，如图，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．根据①同理可得：52AP =，32MQ =． 即点A 坐标为(52，32-)．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质．熟练利用三角形的判定方法是解答本题的关键．23．（1）x ＝6或x ＝﹣6；（2）x ＝﹣5【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案；（2）直接利用立方根的定义计算得出答案．【详解】解：（1）2x2＝72x 2＝36，故x＝±6，则x＝6或x＝﹣6；（2）（x+1）3+3＝﹣61（x+1）3＝﹣64，x+1＝﹣4∴x＝﹣5．【点睛】此题主要考查了立方根和平方根，正确掌握相关定义是解题关键．24．±9【分析】根据立方根与算术平方根的定义得到5x＋y＋2＝27，2x＋3＝25，则可计算出x＝11，y＝﹣30，然后计算x﹣2y＋10后利用平方根的定义求解．【详解】解：因为2x＋3的算术平方根是5，5x＋y＋2的立方根是3，∴2325 5227xx y+=⎧⎨++=⎩解得：1130 xy=⎧⎨=-⎩，∴x﹣2y＋10＝81，∴x﹣2y＋10的平方根为：9=±．【点睛】本题主要考查了算术平方根，平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．25．【分析】在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt△ABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长．【详解】解：在Rt△DAE中，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠DAE=45°，∴AD2=AE2+DE2=（2+（2=36，∴AD=6，即梯子的总长为6米．∴AB=AD=6．在Rt△ABC中，∵∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=12AB=3， ∴BC 2=AB 2-AC 2=62-32=27，∴BC=27=33m ，∴点B 到地面的垂直距离BC=33m ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，如何从实际问题中整理出直角三角形并正确运用勾股定理是解决此类题目的关键．26．（1）见解析；（2）32；（3）见解析【分析】（1）先判断出∠ACD=∠BCE ，得出△ADC ≌△CBE （SAS ），即可得出结论；（2）先判断出DE=2CD ，进而得出△CDE 的周长为（2+2）CD ，进而判断出当CD ⊥AB 时，CD 最短，即可得出结论；（3）先判断出∠A=∠ABC=45°，进而判断出∠DBE=90°，再用勾股定理得出BE 2+DB 2=DE 2，即可得出结论．【详解】证明：（1）∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2．∵BC ＝AC ，CD ＝CE ，∴△CAD ≌△CBE ，∴AD ＝BE ．（2）∵∠DCE =90°，CD =CE ．∴由勾股定理可得CE 2DC ．∴△CDE 周长等于CD +CE +DE =22CD CD =(22)CD ．∴当CD 最小时△CDE 周长最小．由垂线段最短得，当CD ⊥AB 时，△CDE 的周长最小．∵BC ＝AC ＝6，∠ACB ＝90°，∴AB ＝2此时AD ＝CD ＝11623222BD AB ==⨯=∴当CD=△CDE 的周长最小．（3）由（1）易知AD ＝BE ，∠A ＝∠CBA ＝∠CBE ＝45°，∴∠DBE ＝∠CBE ＋∠CBA ＝90°．在Rt △DBE 中：222BE BD DE +=．222AD BD DE ∴+=在Rt △CDE 中：222CD CE DE +=．222CE CE DE ∴+=∴2222AD BD CE +=．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出CD ⊥AB 时，CD 最短是解本题的关键．。

一、选择题1．点()2,3P 关于x 轴的对称点的坐标为（ ）A ．()2,3-B ．()2,3-C ．()2,3--D ．()3,2 2．已知(4,2)P a +在第一象限内，且点P 到两坐标轴的距离相等，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．－6 D ．2或－6 3．如图，在48⨯的长方形网格OABC 中，动点(0,3)P 从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2020次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（ ）A ．(1,4)B ．(5,0)C ．(6,4)D ．(8,3) 4．平面直角坐标系中，点()2,3A -，()2,1B -，经过点A 的直线//a x 轴，点C 是直线a 上的一个动点，当线段BC 的长度最短时，点C 的坐标为（ ）A ．()0,1-B ．()1,2--C ．()2,1--D ．()2,3 5．一个正方形的面积为29，则它的边长应在（ ） A ．3到4之间B ．4到5之间C ．5到6之间D ．6到7之间 6．58） A 5B 10C 5D 5227．下列说法中正确的是（ ）A 25±5B ．两个无理数的和仍是无理数C ．-3没有立方根.D 22-a b . 8．在下列数中，是无理数的是（ ）A ．2.1313313331…（两个1之间依次多一个3）B ．0.101001-C ．227D 364-9．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为48，小正方形面积为6，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边长（x>y ），则()2x y +的值为（ ）A．60 B．79 C．84 D．9010．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（）A．2m B．2.5cm C．2.25m D．3m11．如图，已知正方体纸盒的高为1，已知一只蚂蚁从其中一个顶点A，沿着纸盒的外部表面爬行至另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A．3B．2 C．5D．2112．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（）A．29 B．32 C．36 D．45二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）和（3，0），点C是y 轴上的一个动点，连接AC、BC，则△ABC周长的最小值是_____．14．如图是我国空军“八一”飞行表演队在珠海国际航展上的一个飞行队形，若轰炸机A 、B 的平面坐标分别为A (－3，1)和B (1，－1)，那么轰炸机C 的平面坐标是_______．15．对于任意非零实数a ，b ，定义运算“※”如下：“a b ※”a b ab -=，则12233420202021++++※※※※的值为__________．16．已知mn 、是两个连续的整数，且410m n <+<，则m n +=_______________________． 17．若236A ⨯=，则A =_____________．18．如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，则正方形B 的面积为____．19．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾6a =，弦10c =，则小正方形ABCD 的面积是____.20．如图所示，△ABC 的顶点A 、B 、C 在边长均为1的正方形网络的格点上，BD ⊥AC 于D ，则BD 的长＝_____．三、解答题21．如图，方格纸中小正方形的边长均为1个单位长度，A 、B 均为格点．（1）在图中建立直角坐标系，使点A 、B 的坐标分别为（3，3）和（﹣1，0）；（2）在（1）中x 轴上是否存在点C ，使△ABC 为等腰三角形（其中AB 为腰）？若存在，请直接写出所有满足条件的点C 的坐标．22．如图是规格为88⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请在所给网格中按下列要求操作：（1）请在网格中建立恰当的平面直角坐标系，使点A 的坐标为(—2,5)，此时点B 的坐标为_（2）在（1）的条件下，求出以(1,1)C -、AB 、为顶点的ABC 的面积，并求出ABC 中AB 边上的高；（3）在（1）的条件下，P 为y 轴上一动点，当AP BP +有最小值时，求出这个最小值． 23．计算：（1）8a 6÷2a 2﹣4a 3•3a ﹣（4a 2）2；（2）（12﹣1483324．计算：()316215362272-⨯--⨯-25．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4cm ，作AD ⊥BC ，垂足为D ，若AD ＝4cm ，求AB 的长．26．（1）问题：如图①，在Rt ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 边上一点（不与点,B C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AE ，连接EC ，则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为___________；（2）探索：如图②，在Rt ABC ∆与Rt ADE ∆中，AB AC =，AD AE =，将ADE ∆绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明结论；（3）应用：如图3，在四边形ABCD 中，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒．若12BD =，4CD =，求AD 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据点关于x 轴对称的计算方法确定即可．【详解】∵点()2,3P 关于x 轴的对称，∴对称点的坐标为（2，-3），故选B ．【点睛】本题考查了坐标系内点的坐标对称，熟练掌握对称的特点是解题的关键．2．A解析：A【分析】本题可通过横坐标为4确定点P到纵轴距离，继而根据点P到坐标轴距离相等列方程求解．【详解】a+=，由已知得：24a+=，因为点P在第一象限，故：24a=．解得：2故选：A．【点睛】本题考查平面直角坐标系、一元一次方程、绝对值的化简，易错点在于若坐标含有未知数，考查距离问题时需要加绝对值或者分类讨论，确保结果不重不漏．3．B解析：B【分析】根据入射角与反射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组，依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.【详解】如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0,3），÷=，∵202063364∴当点P第2020次碰到矩形的边时的坐标与点P第4次反弹碰到矩形的边时的坐标相同，∴点P的坐标为（5,0）,故选：B.【点睛】此题考查了直角坐标系中点的坐标的表示方法，动点的运动规律，正确理解题中点的运动变化规律得到点的坐标的规律是解题的关键.4．D解析：D【分析】由经过点A的直线a∥x轴，可知点C的纵坐标与点A的纵坐标相等，可设点C的坐标（x，3），根据点到直线垂线段最短，当BC⊥a时，点C的横坐标与点B的横坐标相等，即可得出答案．【详解】解：如右图所示，∵a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，点A（-2，3），∴设点C（x，3），∵当BC⊥a时，BC的长度最短，点B（2，-1），∴x=2，∴点C的坐标为（2，3）．故选：D．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征和点到直线垂线段最短，解答时注意应用数形结合思想．5．C解析：C【分析】一个正方形的面积为2929“夹逼法”29解决问题．【详解】解：∵正方形的面积为29，∴292529365296．故选：C．【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．6．B解析：B【分析】根据分数的性质，在分子分母同乘以2，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】4=== 故选：B ．【点睛】此题考查化简二次根式，掌握分数的性质确定分子分母同乘以最小的数值，使分母化为一个数的平方，由此化简二次根式是解题的关键．7．D解析：D【分析】根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判断即可．【详解】5=，故A 选项错误；0ππ-+=，故B 选项错误；-3=C 选项错误；D 选项正确；故选D ．【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键．8．A解析：A【分析】根据无理数的定义判断即可．【详解】解：A. 2.1313313331…（两个1之间依次多一个3）是无理数，符合题意；B. 0.101001-是有限小数，不是无理数，不符合题意；C. 227是分数，不是无理数，不符合题意；D. 4-，是整数，不是无理数，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了无理数的定义，解题关键是熟记无理数是无限不循环小数．9．D解析：D根据勾股定理流出方程，进而利用完全平方公式解答即可．【详解】解：∵大正方形的边长是直角三角形的斜边长，∴根据勾股定理可得：2248x y +=，根据小正方形面积可得()26x y -=，∴2xy +6=48，∴2xy =42，则()222290x y x y xy +=++=， 故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式，解题的关键是利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想．10．A解析：A【分析】设水池的深度BC ＝xm ，则AB ＝（0.5+x ）m ，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】解：在直角△ABC 中，AC ＝1.5m ．AB ﹣BC ＝0.5m ．设水池的深度BC ＝xm ，则AB ＝（0.5+x ）m ．根据勾股定理得出：∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴1.52+x 2＝（x +0.5）2，解得：x ＝2．故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理，列出方程，是解题的关键． 11．C解析：C【分析】从正方体外部可分三类走法直接走AB 对角线，先走折线AD-DB ，或走三条棱，求出其长度，比较大小即可方法一：走两个正方形两接的面展开成日字形的对角线在三角形ABC中，由勾股定理AB=2222AC+BC=2+1=5；方法二：走一面折线AD-BD，由勾股定理221+1=22+1；方法三折线AE-ED-DB即AE+ED+DB=3；在正方体外部表面走有这三类走法，∵5<9，∴53<，∵2>1，∴21>，∴222>，∴22+32+3>，∴()2>，2+15∴2+15>5故选择：C．【点睛】本题考查蚂蚁爬行最短路径问题是考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用方法，会利用图形分析行走路径是解题关键．12．D解析：D【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）＝AC2−AB2＝45．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．二、填空题13．【分析】作AD⊥OB于D则∠ADB＝90°OD＝1AD＝3OB＝3得出BD＝2由勾股定理求出AB即可；由题意得出AC+BC最小作A关于y轴的对称点连接交y 轴于点C点C即为使AC+BC最小的点作轴于E解析：513+【分析】作AD⊥OB于D，则∠ADB＝90°，OD＝1，AD＝3，OB＝3，得出BD＝2，由勾股定理求出AB即可；由题意得出AC+BC最小，作A关于y轴的对称点A'，连接A B'交y轴于点C，'⊥轴于E，由勾股定理求出A B'，即可得出结果．点C即为使AC+BC最小的点，作A E x【详解】解：作AD⊥OB于D，如图所示：则∠ADB＝90°，OD＝1，AD＝3，OB＝3，∴BD＝3﹣1＝2，∴AB222+3=13要使△ABC的周长最小，AB一定，则AC+BC最小，作A关于y轴的对称点A'，连接A B'交y轴于点C，点C即为使AC+BC最小的点，'⊥轴于E，作A E x由对称的性质得：AC＝A C'，则AC+BC＝A B'，A E'＝3，OE＝1，∴BE＝4，由勾股定理得：A B'22+=，345∴△ABC．．【点睛】本题主要考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质找到对称点，然后利用勾股定理进行求解即可．14．(－1－2)【分析】根据A(－31)和B(1－1)的坐标以及与C 的关系进行解答即可【详解】解：因为A(－31)和B(1－1)所以可得点C 的坐标为(－1－2)故答案为(－1－2)【点睛】本题考查了坐标解析：(－1，－2)【分析】根据A (－3，1)和B (1，－1)的坐标以及与C 的关系进行解答即可．【详解】解：因为A (－3，1)和B (1，－1)，所以可得点C 的坐标为(－1，－2)．故答案为(－1，－2)．【点睛】本题考查了坐标问题，关键是根据A (－3，1)和B (1，－1)的坐标以及与C 的关系解答． 15．【分析】根据已知将原式变形进而计算得出答案【详解】解：根据题意∵∴……∴=====故答案为：【点睛】此题主要考查了实数运算正确将原式变形是解题关键 解析：20202021-【分析】根据已知将原式变形进而计算得出答案．【详解】解：根据题意，∵“a b ※”a b ab -=， ∴12※121(1)122-==--⨯，231123()2323-==--⨯※，……， ∴12233420202021++++※※※※ =122320202021122320202021---+++⨯⨯⨯ =11111(1)()()22320202021------- =111111(1)223320202021--+-+-+- =1(1)2021--=2020 2021 -．故答案为：2020 2021 -．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键．16．【分析】估算确定出m与n的值即可求出m+n的值【详解】解：∵∴即∴m=5n=6则m+n=5+6=11故答案为：11【点睛】此题考查了估算无理数的大小弄清无理数估算的方法是解本题的关键解析：11【分析】估算确定出m与n的值，即可求出m+n的值．【详解】解：∵34，∴526<，即56<<，∴m=5，n=6，则m+n=5+6=11，故答案为：11【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清无理数估算的方法是解本题的关键．17．【分析】利用实数的除法法则计算即可【详解】解：∵∴A=故答案为：【点睛】本题主要考查了实数的运算熟练掌握实数的除法法则是解题关键解析：【分析】利用实数的除法法则计算即可．【详解】解：∵A=∴A==故答案为：【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握实数的除法法则是解题关键．18．8【分析】如图（见解析）先根据正方形的面积公式可得再根据勾股定理可得然后根据正方形的面积公式可得最后又利用勾股定理可得的值由此即可得出答案【详解】如图正方形ACD的面积依次为4618在中四边形MNG解析：8【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得2226,18,4EF EG ON ===，再根据勾股定理可得212FG =，然后根据正方形的面积公式可得2212MN FG ==，最后又利用勾股定理可得2OM 的值，由此即可得出答案．【详解】 如图，正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，2226,18,4EF EG ON ∴===，在Rt EFG 中，22212FG EG EF =-=，四边形MNGF 是正方形，∴由正方形的面积公式得：2212MN FG ==，在Rt MON 中，2221248OM MN ON =-=-=，则正方形B 的面积为28OM =，故答案为：8．【点睛】本题考查了正方形的面积公式、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．19．4【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解【详解】∵勾弦∴股b=∴小正方形的边长＝∴小正方形的面积故答案为4【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式关键是运用了数形结合的数学思想解析：4【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．【详解】∵勾a 6=，弦c 10=，∴股221068-=，∴小正方形的边长＝862-=，∴小正方形的面积224==故答案为4【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想． 20．【分析】先根据勾股定理求出AC 的长再利用网格的特点和三角形的面积解答即可【详解】解：如图△ABC 的面积＝×BC×AE ＝2由勾股定理得AC ＝＝则××BD ＝2解得BD ＝故答案为：【点睛】本题主要考查了勾解析：45 5【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再利用网格的特点和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图，△ABC的面积＝12×BC×AE＝2，由勾股定理得，AC＝2212＝5，则12×5×BD＝2，解得BD＝455．故答案为：455．【点睛】本题主要考查了勾股定理和利用三角形的面积求高，属于常考题型，熟练掌握勾股定理、明确求解的方法是关键．三、解答题21．（1）答案见解析；（2）存在，点C的坐标（-6，0）或（4，0）或（7，0）．【分析】（1）根据点B（-1，0），判断x轴经过点B，且B右侧的点就是原点，建立坐标系即可；（2）分情形求解即可．【详解】（1）∵点B（-1，0），∴x轴经过点B，且B右侧的点就是原点，建立坐标系如图1所示；（2）存在，点C的坐标（-6，0）或（4，0）或（7，0）．理由如下：∵A（3,3），B（-1,0），∴AB=22(3(1))(30)--+-=5，当AB 为等腰三角形的腰时，（1）以B 为圆心，以BA=5为半径画弧，角x 轴于两点，原点左边的1C ，右边为2C ， ∵AB=5，点B （-1,0）,∴1C (-6，0)，2C （4,0）；（2）以A 为圆心，以AB=5为半径画弧，角x 轴于一点，原点的右边为3C ，∵AB=5，点A 到x 轴的距离为3，（-1,0）,∴等腰三角形AB 3C 的底边长为22253-=8，∴3C （7，0）；综上所述，存在，点C 的坐标（-6，0）或（4，0）或（7，0）．【点睛】本题考查了平面直角坐标系的建立，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握坐标系的特点，等腰三角形的判定，科学分类求解是解题的关键．22．（1）见解析，(4,3)-；（2）6；522；（3）210 【分析】（1）根据直角坐标系的特点即可确定点O ，画出图后直接可得出点B 的坐标； （2）先求出△ABC 的面积，再根据三角形面积法即可得出AB 边上的高； （3）在坐标系中作出点A 关于y 轴的对称点()12,5A ，连结1AB 交y 轴于点,P 此时AP BP +的值最小，根据勾股定理即可求出最小值．【详解】（1）坐标系建立如图：∴点B 的坐标为：()4,3-；()2ABC 的面积为：11134221423=5222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯AB 的长度为：222222+=AB ∴边上的高为：525222=2⨯÷； ()3在坐标系中作出点A 关于y 轴的对称点()12,5A ，连结1A B 交y 轴于点,P此时AP BP +的值最小，最小值为：221162210A A AP BP P BP B +===++=【点睛】 本题考查了利用轴对称的性质求最短距离、勾股定理、直角坐标系的建立，熟练掌握利用直角坐标系的特点求最值是解题的关键． 23．（1）424a -；（2）143 【分析】（1）根据整式运算法则运算即可；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并，最后进行二次根式的除法运算．【详解】解：（1）原式＝4a 4﹣12a 4﹣16a 4＝﹣24a 4；（2）原式＝（32333＝28333＝143． 【点睛】本题考查了整式的运算和二次根式的运算，解题关键是熟练运用法则进行准确计算． 24．5【分析】根据二次根式的性值计算即可；【详解】原式662=--⨯+，，；【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，准确计算是解题的关键．25．【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵AB＝AC，BC＝4cm，AD⊥BC，∴BD＝12BC＝2，∵AD＝4cm，∴在直角三角形ABD中AB．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．26．（1）BC＝DC＋EC；（2） BD2＋CD2＝2AD2，见解析；（3）8【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=12，根据勾股定理计算即可．【详解】解：（1）BC=DC+EC，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∴BC=BD+CD=EC+CD，故答案为：BC=DC+EC；（2）探索 BD2＋CD2＝2AD2，理由如下：连接CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即，在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAE AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，∴∠DCE＝90°，∴CE2＋CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2＋CD2＝2AD2；（3）应用作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，AB ACBAD CAE AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝12，∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴22222124128DE CE CD=-=-=∵∠DAE＝90°，∠EDA＝45°，∴BD2＋CD2＝EC2=2AD2＝128∴AD＝8【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。