含有参数的分式方程Word版

分式方程参数问题求分式方程中参数（字母系数）的取值范围的问题是一类非常重要的题目，在各类试题中出现频率较高，和解分式方程的题目相比，它更能考差学生思维的全面性和敏捷程度。

在此类题目中往往首先给出分式方程解的情况，让解题者作出逆向判断，从而确定参数的取值范围。

由于分式方程是先化成整式方程求解的，并且在去分母化简的过程中容易扩大未知数的范围，所以求出的参数的取值范围也就不准确了。

例1. 已知关于x 的分式方程132323-=--+--xmxx x 无解，求m 的值。

正解：将原方程化为整式方程，得：()21-=-x m ， 因为原分式方程无解，所以()01=-m 或312=--m所以m=1或 m=35．辨析：产生错误的原因是只从字面意思来理解“无解”，认为“无解”就单单是解不出数来。

实际上，导致分式方程无解的原因有两个：①解不出数来，也就是整式方程无解；②解出的数不符合原方程，也就是整式方程虽然有解，但这个解能使最简公分母为零． 例2. 已知关于x 的分式方程323-=--x mx x 有一个正解，求m 的取值范围。

正解：将原方程化为整式方程，得：()m x x =--32∴m x -=6，∵原方程有解且是一个正解 ∴06>-m 且36≠-m ∴m 的取值范围是：m ＜6且m ≠3辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等于零。

误认为分式方程有一个正解就是整式方程有一个正解，从而简单处理了事。

实际上，题目隐含着一个重要的条件：x ≠3, 有一个正解并不表示所有的正数都是它的解，而表示它有一个解并且这个解是一个正数两层含义。

例3：已知关于x 的分式方程42212-=-+x m x x 的解也是不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->-832221x x x x的一个解，求m 的取值范围。

正解：解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->-832221x x x x得：x ≤-2 将分式方程42212-=-+x m x x 化为整式方程，得：m x x x 2)2(42=+--解这个整式方程得：2--=m x ∴分式方程42212-=-+x mx x 的解为：2--=m x （其中m ≠0和-4） 由题意得：22-≤--m ,解得：0≥m ∴m 的取值范围是：m ＞0．辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等于零。

分式方程的含参问题解含有参数的分式方程解含有参数的分式方程的基本方法是将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示未知数的值。

例如，对于关于x的方程1/(x-1)+a=1(a≠1)，可以通过在等式两边乘以最简公分母x-1，然后整理方程，得到x=(a-2)/(a-1)。

在解决含有参数的分式方程时，需要注意将参数看作常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。

已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值如果已知含有参数的分式方程有特殊解，可以将这个特殊解代入原式，然后求解参数的值。

例如，对于关于x的方程(x+12a-3)/(x-2a+5)=0，如果已知其解为0，可以将x=0代入原式，建立关于参数a的方程，然后解出a的值。

在解决这种问题时，需要注意方程的解有意义这个前提条件。

已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值如果已知含有参数的分式方程解的范围，可以用含有参数的代数式将方程的解表示出来，然后根据解的范围建立与参数有关的关系式。

例如，对于关于x的方程x^m-2/(x-3)(x-3)，如果已知其解为正数，可以将m看作常数，表示出方程的解为x=6-m/(x-3)，然后根据解的范围建立关于m的关系式，解出m的取值范围。

在解决这种问题时，需要注意方程的解为正且原式有意义这两个前提条件。

解含有参数的分式方程的基本方法是将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示未知数的值。

例如，对于关于x的方程1/(x-1)+a=1(a≠1)，可以通过在等式两边乘以最简公分母x-1，然后整理方程，得到x=(a-2)/(a-1)。

在解决含有参数的分式方程时，需要注意将参数看作常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。

如果已知含有参数的分式方程有特殊解，可以将这个特殊解代入原式，然后求解参数的值。

例如，对于关于x的方程(x+12a-3)/(x-2a+5)=0，如果已知其解为0，可以将x=0代入原式，建立关于参数a的方程，然后解出a的值。

9.3 分式方程【知识精读】含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。

公式变形实质上是解含有字母系数的方程对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程a x b=型，讨论如下： （1）当a ≠0时，此时方程a x b =为关于x 的一元一次方程，解为：x b a= （2）当a =0时，分以下两种情况： <1>若b =0，原方程变为00x =，为恒等时，此时x 可取任意数，故原方程有无数个解；<2>若b ≠0，原方程变为00x b b =≠()，这是个矛盾等式，故原方程无解。

含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。

【分类解析】1. 分式有意义的应用例1. 若a b a b +--=10，试判断1111a b -+，是否有意义。

练习： 当x 取何值时，分式2111x x+-有意义？值为0？ 2. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。

而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。

例2. 已知x y y =+-2332，试用含x 的代数式表示y ，并证明()()323213x y --=。

3. 求含有字母系数的一元一次方程的解 例3. 解关于x 的方程2362ax b bx ac a b -=+≠c () 分析：将x 以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。

4. 已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件例4. 如果关于x 的方程a x a b x b+=+11有唯一解，确定a 、b 应满足的条件。

5. 在其它学科中的应用（公式变形）例5. 在物理学中我们学习了公式S vt at =-0212，其中所有的字母都不为零。

已知S 、v 0、t ，试求a 。

分式方程中的参数专题知识归纳1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般步骤：去分母化分式方程为整式方程.()1解这个整式方程，求出整式方程的根.()2检验，得出结论.一般代入原方程的最简公分母进行检验.()33.增根.增根是分式方程化为整式方程的根，但它使得原分式方程的分母为零.例题精讲例1、如果解关于x 的分式方程时出现增根，那么m 的值为（ ）2122m x x x-=--A ．﹣2 B ．2 C ．4 D ．﹣4【答案】D ．例2、若关于x 的方程的解为正数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜B ．m ＜且m ≠C ．m ＞D ．m ＞且m ≠【答案】B ．例3、关于x 的两个方程260x x --=与有一个解相同，则m = ．【答案】﹣8．例4、从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组无解，且使关于x 的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣ D ．32【答案】B ．例5、已知关于x 的分式方程的解为负数，则k 的取值范围是 ．【答案】k ＞且k ≠0．例6、于x 的方程无解，则m 的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣8C ．﹣2D ．5【答案】A ．专题练习1.若关于x 的分式方程无解，则m 的值为( )2213m x x x+-=-A. － B. 1 C. 或2 Ｄ－或－32321232【答案】D2.已知关于x 的分式方程的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ）3133x a x -=-A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ≥1且a ≠9 D ．a ≤1【答案】C ．考点：1．分式方程的解；2．解一元一次不等式．3.若关于x 的方程与有一个解相同，则a 的值为（ ）2230x x +-=213x x a=+-A ．1 B ．1或﹣3 C ．﹣1 D ．﹣1或3【答案】C ．【解析】试题分析：解方程，得：x 1=1，x 2=﹣3，∵x =﹣3是方程的增根，∴当x =1时，代入2230x x +-=213x x a =+-方程，得：，解得a =﹣1．故选C ．213x x a =+-21131a=+-点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分式方程的解．此题属于易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零．考点：1．解一元二次方程﹣因式分解法；2．分式方程的解．4.若数a 使关于x 的分式方程的解为正数，且使关于y 的不等式组的解集为y ＜2411a x x +=--21322()0y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】A ．【解析】试题分析：分式方程的解为x =且x ≠1，∵关于x 的分式方程的解为正数，2411a x x +=--64a -2411a x x +=--∴＞0且≠1，∴a ＜6且a ≠2．64a -64a -，解不等式①得：y ＜﹣2；21322()0y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩①②解不等式②得：y ≤a ．[来源:学科网]∵关于y 的不等式组的解集为y ＜﹣2，∴a ≥﹣2，∴﹣2≤a ＜6且a ≠2．21322()0y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩∵a 为整数，∴a =﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，（﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5=10．故选A ．点睛：本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为y ＜﹣2，找出﹣2≤a ＜6且a ≠2是解题的关键．考点：1．分式方程的解；2．解一元一次不等式组；3．含待定字母的不等式（组）；4．综合题．5.若数a 使关于x 的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程2122274x x x a-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩2222a y y +=--有非负数解，则满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．3B ．1C ．0D ．﹣3【答案】B ．6.若关于x 的分式方程的解为负数，则k 的取值范围为 ．121k x -=+【答案】k ＜3且k ≠1．考点：1．分式方程的解；2．解一元一次不等式；3．分式方程及应用．7.关于x 的分式方程的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．【答案】m<6且m ≠2.8.若分式方程有增根，则这个增根是 211x m x x -=--【答案】x=1．考点：分式方程的增根．9.若关于x 的分式方程有增根，则实数m 的值是 ．1322m x x x -=---【答案】1．【解析】试题分析:去分母，得： 由分式方程有增根，得到 即 把代入整式方13(2),m x x =---20,x -= 2.x =2x =程可得：故答案为：1.1.m =考点：分式方程的增根．10.若关于x 的分式方程无解，则实数m =_______．7311mx x x +=--【答案】3或7．【解析】试题分析：方程去分母得：7+3（x ﹣1）=mx ，整理，得（m ﹣3）x =4，当整式方程无解时，m ﹣3=0，m =3；当整式方程的解为分式方程的增根时，x =1，∴m ﹣3=4，m =7，∴m 的值为3或7．故答案为：3或7．考点：1．分式方程的解；2．分类讨论．。

含有参数的分式方程【问题一】解含有参数的分式方程例如：解关于x 的方程11(1)1a a x +=≠- 分析：解分式方程的一般是方法将分式方程转化为整式方程，通过在等式两边乘以最简公分母达到去分母的效果。

在解决含有参数的分式方程时，将参数看作一个常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。

解：去分母，方程两边同时乘以1x -得：1(1)1a x x +-=-整理方程得：(1)2a x a -=-∵1a ≠，∴10a -≠， ∴21a x a -=- 检验，当21a x a -=-时，10x -≠ ∴原分式方程的解为21a x a -=- 小结：将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示一个未知数的值，是解决含参问题的基本方法。

练习：解关于x 的方程10(0,1)1m m m x x -=≠≠+且 （1m x m=-） 【问题二】已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值例如：当a 为何值时，关于x 的方程12325x a x a +-=-+的解为0. 分析：将方程的解代入原方程建立关于参数的方程。

解：当x =0是方程的解时有0123025a a +-=-+，解得 15a = 当15a =时，50a +≠ 所以15a =是方程23152a a -=-+的解. 所以当15a =时，原方程的解为0 . 小结：方程的解是指使得等式两边相等的未知数的值，所以将方程的解代入原式，等式依然成立。

练习：当a 为何值时，关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1. （3a =）【问题三】已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值例如：已知关于x 的方程233x m x x -=--的解为正数，试求m 的取值范围. 分析：将m 看作常数，表示出方程的解，根据方程的解的范围建立关于m 的关系式，注意方程有意义这个前提条件.解：去分母得：2(3)x x m --=解得6x m =-∵原方程的解为正数，∴0x >，即60m ->……………①又∵原方程要有意义 ∴30x -≠，即63m -≠……………②由①②可得6m <且3m ≠所以，当6m <且3m ≠时，方程的解为正数.小结：用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。

专项26 含参数的分式方程（两大类型）【典例1】（2022秋•宁远县校级月考）若解分式方程＝﹣3产生增根，则k的值为（ ）A．2B．1C．0D．任何数【答案】B【解答】解：＝﹣3，去分母，得k＝x﹣k﹣3（x﹣2）．去括号，得k＝x﹣k﹣3x+6．移项，得﹣x+3x＝﹣k+6﹣k．合并同类项，得2x＝6﹣2k．x的系数化为1，得x＝3﹣k．∵分式方程＝﹣3产生增根，∴3﹣k＝2．∴k＝1．故选：B．【变式1-1】（2022秋•合浦县期中）若关于x的方程﹣2＝有增根，则m的值应为多少．（ ）A．2B．﹣2C．5D．﹣5【答案】C【解答】解：方程两边同时乘以x﹣5，得x﹣2x+10＝m，解得x＝10﹣m，∵方程有增根，∴10﹣m＝5，∴m＝5，故选：C．【变式1-2】（2022春•梅江区校级期末）若关于x的方程有增根，则a的值是（ ）A．3B．﹣3C．1D．﹣1【答案】A【解答】解：关于x的方程有增根，则x＝3是增根，将原分式方程去分母得，2x﹣6+a＝x，∴x＝6﹣a，∴6﹣a＝3，所以a＝3，故选：A．【变式1-3】（2022春•鲤城区校级期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）A．1.5B．﹣6C．1或﹣2D．1.5或﹣6【答案】D【解答】解：，去分母，得2（x+2）+mx＝x﹣1．去括号，得2x+4+mx＝x﹣1．移项，得2x+mx﹣x＝﹣1﹣4．合并同类项，得（m+1）x＝﹣5．x的系数化为1，得x＝﹣．∵关于x的分式方程有增根，∴或﹣2．∴m＝﹣6或1.5．故选：D．【典例2】（2022春•沭阳县月考）已知关于x的方程＝3．（1）已知m＝4，求方程的解；（2）若该方程的解是正数，试求m的范围．【解答】解：（1）把m＝4代入方程＝3得：＝3，方程两边乘x﹣2，得2x+4＝3（x﹣2），解得：x＝10，经检验x＝10是原分式方程的解，所以方程的解是x＝10；（2）＝3，方程两边乘x﹣2，得2x+m＝3（x﹣2），解得：x＝m+6，∵该方程的解是正数，∴m+6＞0，解得：m＞﹣6，∵方程的分母x﹣2≠0，∴x≠2，即m+6≠2，即m≠﹣4，所以m的范围是m＞﹣6且m≠﹣4．【变式2-1】（2021秋•丛台区校级期末）已知关于x的分式方程：．（1）当m＝3时，解分式方程；（2）若这个分式方程无解，求m的值．【解答】解：（1）把m＝3代入得：﹣＝﹣1，去分母得：3﹣2x+3x﹣2＝2﹣x，解得：x＝，检验：把x＝代入得：x﹣2≠0，∴分式方程的解为x＝；（2）去分母得到：3﹣2x+mx﹣2＝2﹣x，整理得：（m﹣1）x＝1，当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；当m≠1时，由分式方程无解，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：3﹣4+2m﹣2＝0，解得：m＝，综上所述，m的值为1或．【典例3】（2021春•玉门市期末）已知关于x的方程．（1）当k＝3时，求x的值？（2）若原方程的解是正数．求k的取值范围？【答案】（1）x＝9 （2）k＞﹣6且k≠﹣3．【解答】解：（1）k＝3时，方程为，两边同乘以（x﹣3），得x﹣2（x﹣3）＝﹣3，解得，x＝9，经检验x＝9是原方程的根，∴原分式方程的解为x＝9；（2），两边同乘以（x﹣3），得x﹣2（x﹣3）＝﹣k，解得：x＝6+k，∵原方程解是正数，∴6+k＞0，∴得k＞﹣6∵x≠3，∴6+k≠3，∴k≠﹣3，∴k＞﹣6且k≠﹣3．【变式3-1】（2020秋•仓山区期末）已知关于x的分式方程+＝2的解为正数，求a的取值范围．【答案】a＜8且a≠﹣1【解答】解：去分母得：2﹣x﹣a＝2x﹣6，解得：x＝，由分式方程的解为正数，得到＞0且≠3，解得：a＜8且a≠﹣1．【变式3-2】（2021•丛台区校级开学）关于x的分式方程﹣2m＝无解，求m的值．【答案】m＝或3【解答】解：给分式方程两边同时乘以x﹣3，得，x﹣2m（x﹣3）＝m，（2m﹣1）x＝5m，①2m﹣1＝0，则m＝；②2m≠1，解得x＝，由方程增根为x＝3，则＝3，解得m＝3，综上，m＝或3．1．（2022春•辽阳期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）A．0B．C．1D．4【答案】D【解答】解：，去分母，得7x+3（x﹣1）＝2m﹣1．去括号，得7x+3x﹣3＝2m﹣1．移项，得10x＝2m﹣1+3．合并同类项，得10x＝2m+2．x的系数化为1，得x＝．∵关于x的分式方程有增根，∴＝1．∴m＝4．故选：D．2．（2022春•巴中期末）若关于x的方程有增根，则k的值为（ ）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【答案】A【解答】解：去分母，得x+2﹣4＝kx，根据题意，当x＝﹣2时，得﹣2+2﹣4＝﹣2k，解得k＝2，故选：A．3.（2022•沙市区模拟）若关于x的分式方程＝2的解为非负数，则m的取值范围是（ ）A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＞﹣1且m≠1D．m≥﹣1且m≠1【答案】D【解答】解：去分母，得m﹣1＝2（x﹣1），解得x＝，∵关于x的分式方程＝2的解为非负数，∴≥0且≠1且m≠1，解得m＞﹣1且m≠1，故选：D．4．（2022•齐齐哈尔三模）已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）A．m≤5B．m≤5且m≠3C．m＜5D．m＜5且m≠3【答案】D【解答】解：去分母得：m﹣3＝x+2，解得：x＝m﹣5，∵x＜0且x+2≠0，∴m﹣5＜0且m﹣5+2≠0，解得：m＜5且m≠3，故选：D．5．（2022春•镇海区校级期中）关于x的方程有增根，那么a的值为（ ）A．1B．﹣4C．﹣1或﹣4D．1或4【答案】D【解答】解：分式方程去分母得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣1）＝a+2x，∵分式方程有增根，∴（x+2）（x﹣1）＝0，即x＝﹣2或x＝1，把x＝﹣2代入整式方程得：a﹣4＝0，此时a＝4；把x＝1代入整式方程得：3＝a+2，此时a＝1，则a的值为1或4．故选：D．6．（2022春•深圳期中）若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（ ）A．m＝6B．m＝2C．m＝2或m＝6D．m＝2或m＝−6【答案】C【解答】解：+＝1，x+m﹣x（2+x）＝4﹣x2，解得：x＝m﹣4，∵分式方程有增根，∴4﹣x2＝0，∴x＝±2，当x＝2时，2＝m﹣4，解得：m＝6，当x＝﹣2时，﹣2＝m﹣4，解得：m＝2，综上所述，m的值是2或6，故选：C．7．（2022春•浦东新区校级期末）用换元法解方程，设＝y，则得到关于y的整式方程为 ．【答案】y2﹣10y﹣6＝0【解答】解：设＝y，∴，，则原方程为：，整理得：y2﹣10y﹣6＝0．故答案为：y2﹣10y﹣6＝0．8．（2022春•衡山县期末）若分式方程：3+无解，求k的值．【解答】解：去分母得：3（x﹣3）+2﹣kx＝﹣1，整理得：（3﹣k）x＝6，当3﹣k＝0，即k＝3时，整式方程无解，满足题意；当3﹣k≠0，即k≠3时，x＝＝3时，分式方程无解，即k＝1，综上所示，k的值为3或1．9.（2020秋•华龙区校级期中）已知关于x的方程的解为正数，求k的取值范围．【答案】k＞﹣4且k≠4【解答】解：，去分母得：k﹣2x+4＝2x解得：x＝，∵x﹣2≠0，∴＞0且﹣2≠0解得：k＞﹣4且k≠4．。

含参分式方程
参分式方程是代数中常见的一类方程，它涉及到含有分式的方程。

在解这类方程时，我们需要运用有关分式的知识和技巧。

本文
将分为以下几个章节详细介绍参分式方程的求解过程。

第一章：引言
在本章中，我们将简要介绍参分式方程的概念和基本形式。

第二章：基本概念
在本章中，我们将详细阐述参分式方程的基本概念，包括分式
的定义、分式的化简方法等。

第三章：一元参分式方程
在本章中，我们将重点讨论只含有一个未知数的一元参分式方
程的求解方法，包括分子分母的通分、分母去括号、方程的变形等。

第四章：多元参分式方程
在本章中，我们将介绍含有多个未知数的多元参分式方程的求
解方法，涉及到分式方程组的解法、参数的确定等。

第五章：常见问题和案例分析
在本章中，我们将通过一些常见问题和案例，进一步加深对参
分式方程的理解和应用。

第六章：总结与展望
在本章中，我们将对全文进行总结，并对未来的深入研究方向进行展望。

附件：
本文档还附带了一些相关的计算和图表，以及实际应用的例题和答案。

法律名词及注释：
⒈分式：指一个整体被分为若干部分的表达式。

⒉分子：分式中位于分数线上面的部分，表示被分成的若干部分中的其中一个部分。

⒊分母：分式中位于分数线下面的部分，表示把一个整体分成的总部分数。

含参数分式方程问题详解分式方程参数问题求分式方程中参数（字母系数）的取值范围的问题是一类非常重要的题目，在各类试题中出现频率较高，和解分式方程的题目相比，它更能考差学生思维的全面性和敏捷程度。

在此类题目中往往首先给出分式方程解的情况，让解题者作出逆向判断，从而确定参数的取值范围。

由于分式方程是先化成整式方程求解的，并且在去分母化简的过程中容易扩大未知数的范围，所以求出的参数的取值范围也就不准确了。

例1. 已知关于x 的分式方程132323-=--+--xmxx x 无解，求m 的值。

正解：将原方程化为整式方程，得：()21-=-x m ， 因为原分式方程无解，所以()01=-m 或312=--m所以m=1或 m=35．辨析：产生错误的原因是只从字面意思来理解“无解”，认为“无解”就单单是解不出数来。

实际上，导致分式方程无解的原因有两个：①解不出数来，也就是整式方程无解；②解出的数不符合原方程，也就是整式方程虽然有解，但这个解能使最简公分母为零． 例2. 已知关于x 的分式方程323-=--x mx x 有一个正解，求m 的取值范围。

正解：将原方程化为整式方程，得：()m x x =--32∴m x -=6，∵原方程有解且是一个正解 ∴06>-m 且36≠-m ∴m 的取值范围是：m ＜6且m ≠3辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等于零。

误认为分式方程有一个正解就是整式方程有一个正解，从而简单处理了事。

实际上，题目隐含着一个重要的条件：x ≠3, 有一个正解并不表示所有的正数都是它的解，而表示它有一个解并且这个解是一个正数两层含义。

例3：已知关于x 的分式方程42212-=-+x m x x 的解也是不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->-832221x x x x的一个解，求m 的解：化简原方程，得01232=-+-x kx kx ① 当k =0时，原方程有唯一解21=x ，符合题意.当k ≠0时，方程①的根的判别式△=()92034342322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-k k k .因为03432≥⎪⎭⎫⎝⎛-k ，所以△>0，故方程①总有两个不同的实数解. 按题意其中必有一根是原方程的增根. 原方程可能产生的增根只能是0或1.把x =0代入①，方程不成立，不合题意. 故增根只能是x =1；把x =1代入①，得21=k ，此时方程为022=-+x x ，两个根为1,221=-=x x .所以，当k =0时，分式方程的解为21=x ；当k ≠0时，分式方程的解为2-=x .例6、 已知关于x 的方程x x a x =++323有两个实数根．．．．．．，求a 的取值范围. 解：原方程可化为022=-a x ，即a x 22=. ①由题意方程①必须有解，故得0>a ，由于3-=x 可能是原方程的增根，应该排除. 由3-≠x ，得29≠a .所以，当0>a 且29≠a 时，原方程有两个实数根.例7、已知关于x 的方程02212222=-+-++mx x m x x，其中m 为实数.当实数m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？并求出这三个实数根.解：令y x x =+22，则原方程可化为01222=-+-m my y ，解得11+=m y ，12-=m y .所以0122=--+m x x ① 或0122=+-+m x x ② 从而△1=4m +8，△2=4m .‘;.,由题意，△1与△2中应有一个等于零，一个大于零.当△1=0即m =－2时，△2<0，不合题意；当△2=0即m =0时，△1>0，此时方程②有两个相等的实数根1-=x ，方程①有两个不相等的实数根21±-=x所以当m =0，原方程有三个互不相等的实数根：1x =0，212+-=x ，213--=x .妙用分式方程的增根求参数值解分式方程时，常通过适当变形化去分母，转化为整式方程来解，若整式方程的根使分式方程中的至少一个分母为零，则是增根，应舍去，由此定义可知：增根有两个性质：（1）增根是去分母后所得整式方程的根；（2）增根是使原分式方程分母为零的未知数的值，灵活运用这两个性质，可简捷地确定分式方程中的参数（字母数）值，请看下面例示：分式方程有增根，求参数值 例8 a 为何值时，关于x 的方程342-+-x ax x =0有增根？解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得 x 2-4x+a=0（※）因为分式方程有增根，增根为x=3，把x=3代入（※）得，9-12+a=0 a=3所以a=3时，342-+-x ax x =0有增根。

综合算式专项练习解含参数的分式方程在数学学习中，分式方程是一种重要的数学问题类型。

分式方程的求解需要我们掌握一定的解法和技巧。

本文将针对含参数的分式方程进行综合算式专项练习，通过解题实例来深入理解和掌握解题方法。

一、基础概念回顾在进一步讨论含参数的分式方程之前，首先回顾一下基础概念。

1. 分式方程：含有未知数的分式等式称为分式方程。

例如：$\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = \frac{3}{x+2}$。

2. 参数：在分式方程中，参数是指可以取不同值的常数。

在解含参数的分式方程时，我们需要找出参数的取值范围，使得等式成立。

二、解含参数的分式方程的步骤解含参数的分式方程的一般步骤如下：步骤一：将所有分母通分。

步骤二：对等式两边进行化简，消去分母。

步骤三：解得含有参数的方程。

步骤四：讨论参数的取值范围，使方程成立。

下面通过实例演示以上步骤。

例题一：求解分式方程$\frac{x+1}{x-2} + \frac{2}{x+1} =\frac{3}{x-1}$，并确定参数的取值范围。

解题步骤：步骤一：将所有分母通分。

由于$x-2$和$x-1$互为因式，故通分后得到：$(x+1)(x-1) + 2(x-2) = 3(x-2)$。

步骤二：对等式两边进行化简，消去分母。

展开得：$x^2 - x + 1 + 2x - 4 = 3x - 6$。

合并同类项后得到：$x^2 + x - 9 = 3x - 6$。

步骤三：解得含有参数的方程。

移项后得到：$x^2 - 2x - 3 = 0$。

步骤四：讨论参数的取值范围，使方程成立。

使用二次方程求根公式解得：$x = 3$或$x = -1$。

因此参数的取值范围为：$x \in \{-1, 3\}$。

说明：通过解方程可得参数的取值范围。

同时，我们还可以检验得到的解是否满足原分式方程。

结论：分式方程$\frac{x+1}{x-2} + \frac{2}{x+1} = \frac{3}{x-1}$的解为$x \in \{-1, 3\}$。

分式方程参数问题求分式方程中参数（字母系数）的取值范围的问题是一类非常重要的题目，在各类试题中出现频率较高，和解分式方程的题目相比，它更能考差学生思维的全面性和敏捷程度。

在此类题目中往往首先给出分式方程解的情况，让解题者作出逆向判断，从而确定参数的取值范围。

由于分式方程是先化成整式方程求解的，并且在去分母化简的过程中容易扩大未知数的范围，所以求出的参数的取值范围也就不准确了。

例1. 已知关于x 的分式方程132323-=--+--xmxx x 无解，求m 的值。

正解：将原方程化为整式方程，得：()21-=-x m ， 因为原分式方程无解，所以()01=-m 或312=--m所以m=1或 m=35．辨析：产生错误的原因是只从字面意思来理解“无解”，认为“无解”就单单是解不出数来。

实际上，导致分式方程无解的原因有两个：①解不出数来，也就是整式方程无解；②解出的数不符合原方程，也就是整式方程虽然有解，但这个解能使最简公分母为零． 例2. 已知关于x 的分式方程323-=--x mx x 有一个正解，求m 的取值范围。

正解：将原方程化为整式方程，得：()m x x =--32∴m x -=6，∵原方程有解且是一个正解 ∴06>-m 且36≠-m ∴m 的取值范围是：m ＜6且m ≠3辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等于零。

误认为分式方程有一个正解就是整式方程有一个正解，从而简单处理了事。

实际上，题目隐含着一个重要的条件：x ≠3, 有一个正解并不表示所有的正数都是它的解，而表示它有一个解并且这个解是一个正数两层含义。

例3：已知关于x 的分式方程42212-=-+x m x x 的解也是不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->-832221x x x x的一个解，求m 的取值范围。

正解：解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->-832221x x x x得：x ≤-2 将分式方程42212-=-+x m x x 化为整式方程，得：m x x x 2)2(42=+--解这个整式方程得：2--=m x ∴分式方程42212-=-+x mx x 的解为：2--=m x （其中m ≠0和-4） 由题意得：22-≤--m ,解得：0≥m ∴m 的取值范围是：m ＞0．辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等于零。

如何解答含有参数的分式⽅程2019-09-29在学习分式⽅程时，我们会遇到分⼦含有参数的分式⽅程问题.这类试题的特点是：已知分式⽅程的解的情况（如解为正数⾮负数或⽆解等），然后要求考⽣求出参数的值或取值范围.为了熟悉新题型，迎接新挑战，下⾯举例分类说明这类问题的解法.⼀、已知分式⽅程⽆解求参数的值类型⼀分式⽅程化为整式⽅程后未知数的系数不含参数点评：对于含有参数的分式⽅程⽆解问题，⾸先应将分式⽅程化为整式⽅程.对于化去分母的整式⽅程，如果未知数的系数不含参数，可先求出整式⽅程的解，接着再令分式⽅程的最简公分母等于零，求出原分式⽅程的增根，然后令整式⽅程的解等于原分式⽅程的增根，这样会得到⼀个关于参数的⼀元⼀次⽅程，最后解这个⼀元⼀次⽅程，即可求出参数的值.类型⼆分式⽅程化为整式⽅程后未知数的系数含有参数a的值是1或2.点评：对于含有参数的分式⽅程⽆解问题，将分式⽅程化成最简整式⽅程ax=b后，如果未知数的系数a含有参数，在求这个整式⽅程的解时，需要对这个整式⽅程的系数进⾏讨论.当a=0，b≠0时，最简整式⽅程ax=b⽆解，此时原分式⽅程也⽆解；当a≠0时，可先求出最简整式⽅程的解，然后再仿照未知数的系数不含参数的情形求解.从上⾯也可以看出，分式⽅程⽆解⼀般有两种情况：（1）原⽅程化去分母后的整式⽅程⽆解；（2）原⽅程化去分母后的整式⽅程有解，但这个解却使原⽅程的分母为0，它是原⽅程的增根，从⽽原⽅程⽆解.点评：解答“已知分式⽅程的解的范围求参数的范围”问题的步骤：（1）将分式⽅程化为整式⽅程，求出满⾜整式⽅程的解的参数的取值范围；（2）令分式⽅程的分母为零，求出分式⽅程的增根，然后将增根代⼊整式⽅程，求出参数的值；（3）从满⾜整式⽅程的解的参数的取值范围中剔除使分式⽅程的分母为零的参数的值即为满⾜题意的参数的取值范围.从上⾯可以看出，在解答含有参数的分式⽅程⽆解问题，要警惕化为整式⽅程后未知数的系数含有参数的情形，注意不要遗漏对最简整式⽅程的未知数的系数的讨论；在解答含有参数的分式⽅程的范围问题，要注意剔除使分式⽅程的分母为零的参数的值.总之解答含有参数的分式问题，注意不要增根，也不要失根！注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。