求二次函数中三角形面积最大值压轴题专题汇编

中考数学总复习《二次函数压轴题（面积问题）》专题训练-附含答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x c =-+与y 轴交于点()0,4A -，与x 轴交于点()4,0B ，连接AB .(1)求抛物线的解析式．(2)P 是AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．①求PC PD +的最大值．①连接PA ，PB ，是否存在点P ，使得线段PC 把PAB 的面积分成3:5两部分？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．综合与探究如图1，抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和(0,2)C ，与x 轴的另一个交点为A ，连接AC ，BC ．(1)求该抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)如图1，点D 是线段AC 的中点，连接BD ．点E 是抛物线上一点，若ABE BCD S S =△△，设点E 的横坐标为x ，请求出x 的值；(3)试探究在抛物线上是否存在一点P ，使得45PBO OBC ∠+∠=︒？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC =．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D 、E 是直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．(3)点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．4．已知二次函数23y ax bx a =+-经过点()1,0A -和()0,3C ，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC 、BC 和DB ，判断BCD △的形状并说明理由；(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P ，使得P 、D 、C 构成以PC 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标及此时四边形PBCD 的面积．5．如图，抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于点,A B 两点（点A 在点B 的右侧），点()()8,02,0A B -、，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式； (2)点D 为抛物线的顶点，过点D 作DE AC ∥交抛物线于点E ，点P 为抛物线上点,D E 之间的一动点，连接,,,,AC AE AP CE CP ，线段,AP CE 交于点G ，记CPG △的面积为1,S AEG △的面积为2S ，且12S S S =-，求S 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将拋物线沿射线AC 方向平移5个单位长度后得到新抛物线，点Q 是新拋物线对称轴上一动点，在平面内确定一点R ，使得以点P Q B R 、、、为顶点的四边形是矩形．直接写出所有符合条件的点R 的坐标．6．如图，有一个长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度18a =米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB 为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(2)如何设计才能使长方形花圃面积最大；并求其最大面积．7．如图，过原点的抛物线212y x bx c =-++与x 轴的另一个交点为A ，且抛物线的对称轴为直线2x =，点B 为顶点(1)求抛物线的解析式(2)如图（1），点C 为直线OB 上方抛物线上一动点，连接AB，BC 和AC ，线段AC 交直线OB 于点E ，若CBE △的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，求12S S 的最大值 (3)如图（2），设直线()20y kx k k =-≠与抛物线交于D ，F 两点，点D 关于直线2x =的对称点为D ，直线D F '与直线2x =交于点P ，求证：BP 的长是定值．8．抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ，C ，已知()1,0A -和()0,3C ．(1)求抛物线的解析式及顶点E 的坐标；(2)点D 在BC 上方的抛物线上．①如图1，若CAB ABD ∠=∠，求点D 的坐标；①如图2，直线BD 交y 轴于点N ，过点B 作AD 的平行线交y 轴于点M ，当点D 运动时，求CBD AMNS S △△的最大值及此时点D 的坐标． 9．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线244y ax ax =-+交x 轴于点A 、B （A 左B右），交y 轴于点C ，直线123y x =-+，经过B 点，交y 轴于点D ．(1)如图1，求a 的值；(2)如图2，点P 在第一象限内的抛物线上，过点A 、B 作x 轴的垂线，分别交直线PD 于点E 和F ，若PF DE =，求点P 的坐标；(3)如图3，在（2）的条件下，点Q 在第一象限内的抛物线上，过点Q 作QH DP ⊥于点H ，交直线BD 于点R ，连接EQ 和ER ，当QE ER =时，求ERQ △的面积．10．已知抛物线213222y x x =-++与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点A ．(1)判断ABC 的形状，并说明理由．(2)设点(,)P m n 是抛物线在第一象限部分上的点，过点P 作PH x ⊥轴于H ，交AC 于点Q ，设四边形OAPC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求使S 最大时点P 的坐标和QHC △的面积；(3)在（2）的条件下，点N 是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以P 、C 和M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点M 的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由．11．已知，如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线6y x =+与x 轴相交于点B ，与y 轴交于点C ，点A 是x 轴正半轴上一点，且满足2tan 3ACO ∠=．(1)若抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 和C 三点，求抛物线的解析式；(2)若点M 是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M 作MP y ∥轴，交BC 于点P ，连接OP ，在第一象限内找一点Q ，过点Q 作⊥OQ OP 且OQ OP =，连接PQ ，MQ ，设MPQ 的面积为S ，点P 的横坐标为t ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；(3)在（2）的条件下，设PQ 与y 轴相交于点R ，若53=PR PC 时，求点P 的坐标． 12．已知抛物线22y ax ax c =-+过点()10A -，和()03C ，，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上方抛物线上有一点P （与D 不重合），BCP 面积与BCD △面积相等，求点P 的坐标；(3)若点E 为抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点F ，使得以E 、F 和B 、C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线过点()08D ，，与x 轴交于()20A -，，()40B ，两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点C 为二次函数的顶点，求BCD S △．14．如图，O 为平面直角坐标系坐标原点，抛物线22y ax ax c =-+经过点()6,0B ，点()0,6C 与x 轴交于另一点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)D 点为第一象限抛物线上一点，连接AD 和BD ，设点D 的横坐标为t ，ABD △的面积为S ，求S 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；(3)在（2）的条件下，P 为第四象限抛物线上一点，连接PA 交y 轴于点E ，点F 在线段BC 上，点G 在直线AD 上，若1tan 2DAO ∠=，四边形BEFG 为菱形，求点P 的坐标． 15．已知抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与直线3y x =-+交于点B 和点C ，M 为抛物线的顶点，直线ME 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式及点M 的坐标；(2)点P 为直线BC 上方抛物线上一点，连接PB ，PC ，当PBC 的面积取最大值时，求点P 的坐标．参考答案：1．(1)2142y x x =-- (2)① PC PD +取得最大值254 ① 53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或 316,2⎛⎫+- ⎪⎝⎭2．(1)213222y x x =-++ (1,0)-； (2)3172+或3172-或3332+或3332- (3)存在，517(,)39--或113(,)39-3．(1)故抛物线的表达式为：223y x x =-++，函数的对称轴为：1x =；(2)10113++(3)()4,5-或()8,45-4．(1)223y x x =-++(2)BCD △为直角三角形(3)点P 的坐标为()2,3，四边形PBCD 的面积为45．(1)213442y x x =-++ (2)S 的最大值为1，()4,6P(3)()7,3或()5,3-6．(1)2330S x x =-+ 410x ≤＜；(2)当宽AB 为5米，长15BC =米时，长方形花圃的最大面积为75平方米.7．(1)2122y x x =-+ (2)188．(1)()1,4(2)①()2,3D ；①CBD AMN S S △△的最大值为916，此时315,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．(1)13a =- (2)()4,4P(3)1010．(1)直角三角形(2)244S m m =-++ (2,3)P 1QHC S =(3)存在，点M 坐标为3651(,)22+或3651(,)22-或333(,)22或333(,)22-或31(,)22，理由见解析11．(1)211642=--+y x x (2)()2396042S t t t =---<< (3)()()124,2,2,4P P --12．(1)223y x x =-++(2)()23P ，(3)存在，点F 的坐标为()417，或()417-，或()2314-+，或()2314--，13．(1)228y x x =-++(2)614．(1)211642y x x =-++ (2)2553042S t t =-++ (3)()8,6P -15．(1)抛物线的解析式为223y x x =-++，点M 的坐标为(1,4)(2)315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

一、知识梳理1．三角形面积公式：S 2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题（必考知识点）=21×底×高2．平行四边形的性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分3．判别式法求最值：通过判别式判断二次方程的根的情况，进而求出最值二、问题分析1．三角形面积最值存在性问题：∙利用二次函数的性质和对称性，找到合适的底和高，计算三角形的面积；∙设置关于底和高的二次方程，利用判别式判断方程的根的情况，进而求出面积的最值。

2．平行四边形存在性问题：∙利用二次函数的对称性和性质，找到满足平行四边形性质的点；∙利用平行四边形的性质证明这些点构成平行四边形。

三、例题解析【例1】已知抛物线y=x2−2x和直线y=2x+b相交于A、B两点，且∠AOB=90°，其中O为坐标原点。

求△AOB的面积。

【答案】联立方程组：y=x2−2x，y=2x+b.​消去y得：x2−4x−b=0.由于直线与抛物线有两个交点，所以判别式Δ>0：Δ=16+4b>0⇒b>−4.设交点A、B坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，由韦达定理得：x1+x2=4，x1x2=−b.​由于∠AOB=90，所以x1x2+y1y2=0。

代入y1=2x1+b和y2=2x2+b，解得：−b+(2x1+b)(2x2+b)=0.化简得：−b−4b+8b+b2=0⇒b2+3b=0.解得：b=−3或b=0。

当b=0时，A、B坐标分别为(0，0)和(4，8)，点A和点O重合，不符合条件。

因此，b =−3，代入方程组得A (1，-1)，B (3，3)。

所以，△AOB 的面积为：S =21×∣O A ∣×∣O B ∣=21×2211）（）（-+×2233）（）（+=21×2×18=3.【例2】抛物线6221y 2--=x x 与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C 。

二次函数求三角形面积最大值的典型题目篇一：哎呀呀，说到二次函数求三角形面积最大值的题目，这可真是让我头疼了好一阵子呢！就比如说有这么一道题：在平面直角坐标系中，有一个二次函数图像，然后给了一堆点的坐标，让咱们求由这些点构成的三角形面积的最大值。

这可咋整？我一开始看到这题，那真是脑袋都大了！心里就想：“这啥呀？怎么这么难！”我瞪大眼睛，死死地盯着题目，手里的笔都快被我捏出汗来了。

我同桌小明呢，他倒是挺自信，还跟我说：“这有啥难的，看我的！”我心里暗暗不服气，哼，你就吹吧！然后老师开始讲题啦，老师说：“同学们，咱们得先找到这个二次函数的顶点坐标，这就好比是找到宝藏的钥匙！”我一听，宝藏？这比喻还挺有意思的。

老师接着说：“然后再看看那些给定的点，能不能通过一些巧妙的方法把三角形的面积表示出来。

”我就在那拼命点头，好像听懂了，其实心里还是有点迷糊。

我扭头看看后面的学霸小红，她一脸轻松，好像这题对她来说就是小菜一碟。

我忍不住问她：“小红，你咋这么厉害，这题你都懂啦？”小红笑了笑说：“多做几道类似的题，你也能懂！”我又埋头苦想，想着要是能像玩游戏一样，一下子就找到解题的秘诀该多好啊！经过一番折腾，我终于有点明白了。

原来求这个三角形面积最大值，就像是爬山，得找到那个最高的山峰，而我们要找的就是能让面积最大的那个点或者那条线。

你说，数学咋就这么难呢？但我就不信我搞不定它！我一定要把这些难题都攻克下来，让数学成为我的强项！总之，我觉得做这种二次函数求三角形面积最大值的题目，虽然过程很艰难，但只要我们不放弃，多思考，多练习，就一定能找到解题的窍门，取得胜利！篇二：哎呀！说起二次函数求三角形面积最大值的题目，这可真是让我又爱又恨呀！有一次上课，数学老师在黑板上出了一道这样的题：已知一个二次函数图像，还有三角形的三个顶点坐标都在这个函数图像上，让我们求三角形面积的最大值。

当时我一看，脑袋就嗡嗡响，这啥呀？我就开始在草稿纸上乱画，心里想着：“这咋这么难呢？”同桌小明凑过来，瞅了瞅我的草稿纸，说：“你这算的啥呀，思路都不对！”我瞪了他一眼，回道：“那你行你上啊！”然后我俩就你一句我一句地争论起来。

试卷第1页，总14页………外…………○…………订…………○……学：___________考号：___________………内…………○…………订…………○……三角形面积最值问题30题含详细答案1．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ． （1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标，并求PAB ∆面积的最大值．3．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+．试卷第2页，总14页……订…………○……※※内※※答※※题※※……订…………○……①求抛物线的解析式．②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值． ③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -），()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD BD 、，若DCB CBD ∠=∠，求点D 的坐标；（3）已知()1,1F ，若(),E x y 是抛物线上一个动点（其中12x <<），连接CE CF EF 、、，求CEF ∆面积的最大值及此时点E 的坐标．（4）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第3页，总14页…○…………外………………订…………………线…………○……___________考号：______…○…………内………………订…………………线…………○……5．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．6．已知抛物线y ＝a （x ﹣1）2过点（3，4），D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点B 、C 均在抛物线上，其中点B （0，1），且∠BDC ＝90°，求点C 的坐标： （3）如图，直线y ＝kx +1﹣k 与抛物线交于P 、Q 两点，∠PDQ ＝90°，求△PDQ 面积的最小值．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （0，3）、B （﹣1，0）、D （2，3），抛物线与x试卷第4页，总14页装…………○……………○…………线※要※※在※※装※※订※答※※题※※装…………○……………○…………线轴的另一交点为E ,点P 为直线AE 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的表达式；（2）当t 为何值时，△PAE 的面积最大？并求出最大面积；（3）是否存在点P 使△PAE 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．8．如图，四边形ABCD 是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB 、BA （或它们的延长线）于点E 、F ，∠EDF=60°，当CE=AF 时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF ．（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF 时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E 、F 分别在CB 、BA 的延长线上时，如图3请直接写出DE 与DF 的数量关系；（3）连EF ，若△DEF 的面积为y ，CE=x ，求y 与x 的关系式，并指出当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？9．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，DAE BAC ∠=∠． （初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB __________EC ．（填＞、＜或=）试卷第5页，总14页…………○………………○………………○…………………○……学校:____：___________班级：____：___________…………○………………○………………○…………………○……（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连结BE 、CD ．当5AB =，2AD =时，在旋转过程中，ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________．试卷第6页，总14页…○…………外………订…………○………………○……※内※※答※※题※※…○…………内………订…………○………………○……10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)m y x x =>的图像经过点34,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在y 轴的负半轴上，AB 交x 轴于点C ，C 为线段AB 的中点．（1）m =________，点C 的坐标为________；（2）若点D 为线段AB 上的一个动点，过点D 作//DE y 轴，交反比例函数图像于点E ，求ODE 面积的最大值．11．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ，交x 轴正半轴于点C ． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值及此时动点M 的坐标；（3）将点A 绕原点旋转得点A ′，连接CA ′、BA ′，在旋转过程中，一动点M 从点B 出发，沿线段BA ′以每秒3个单位的速度运动到A ′，再沿线段A ′C 以每秒1个单位长度的速度运动到C 后停止，求点M 在整个运动过程中用时最少是多少？12．（问题提出）试卷第7页，总14页……○…………外装…………○……姓名：___________班级：____……○…………内装…………○……（1）如图①，在等腰Rt ABC 中，斜边4AC =，点D 为AC 上一点，连接BD ，则BD 的最小值为 ．（问题探究）（2）如图2，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点M 是BC 上一点，且4BM =，点P 是边AB 上一动点，连接PM ，将BPM △沿PM 翻折得到DPM △，点D 与点B 对应，连接AD ，求AD 的最小值．（问题解决）（3）如图③，四边形ABCD 是规划中的休闲广场示意图，其中135BAD ADC ∠=∠=︒，30DCB ∠=︒，AD =，3AB km =，点M 是BC 上一点，4MC km =．现计划在四边形ABCD 内选取一点P ，把DCP 建成商业活动区，其余部分建成景观绿化区．为方便进入商业区，需修建小路BP 、MP ，从实用和美观的角度，要求满足PMB ABP ∠=∠，且景观绿化区面积足够大，即DCP 区域面积尽可能小．则在四边形ABCD 内是否存在这样的点P ？若存在，请求出DCP 面积的最小值；若不存在，请说明理由．13．在平面直角坐标系中，点O 是原点，四边形AOBC 是矩形，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O B C ，，的对应点分别为D E F ，，.（1）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（2）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .求点H 的坐标； （3）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.试卷第8页，总14页……外…………○……………订…………○…※※请※※线※※内※※答※※题※※……内…………○……………订…………○…14．（1）如图1，四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 为DC 边的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，求证：ABF ABCD S S ∆=四边形．（S 表示面积）（2）如图2，在ABC ∆中，过AC 边的中点P 任意作直线EF ，交BC 边于点F ，交BA 的延长线于点E ，试比较EBF ∆与ABC ∆的面积，并说明理由．（3）如图3，在平面直角坐标系中，已知一次函数y kx b =+的图像过点()2,4P 且分别于x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点A 、B ，请问AOB ∆的面积是否存在最小值?若存在，求出此时一次函数关系式；若不存在，请说明理由．15．△ABC 为等边三角形，AB =8，AD ⊥BC 于点D ，E 为线段AD 上一点，AE =．以AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形AEF ，连接CE ，N 为CE 的中点． （1）如图1，EF 与AC 交于点G ，连接NG ，求线段NG 的长；（2）如图2，将△AEF 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，M 为线段EF 的中点，连接DN ，MN ．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）连接BN ．在△AEF 绕点A 逆时针旋转过程中，当线段BN 最大时，请直接写出△ADN 的面积．16．如图，已知A ，B 是线段MN 上的两点，4MN =，1MA =，1MB >，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M ，N 两点重合成一点C ，构成ABC ，设AB x =．试卷第9页，总14页…外…………○………………○…………订………○……学校:_____名：___________班级：___________考号…内…………○………………○…………订………○……（1）求x 的取值范围； （2）求ABC 面积的最大值．17．在平面直角坐标系中，抛物线265y x mx =-+与y 轴的交点为A ，与x 轴的正半轴分别交于点B （b ，0），C （c ，0）.（1）当b =1时，求抛物线相应的函数表达式；（2）当b =1时，如图，E （t ，0）是线段BC 上的一动点,过点E 作平行于y 轴的直线l 与抛物线的交点为P ．求△APC 面积的最大值；（3）当c =b + n .时，且n 为正整数.线段BC （包括端点）上有且只有五个点的横坐标是整数，求b 的值.18．如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交于点()()()0, 31,03,0A B E --、、,点P 为抛物线上动点,设点P 的横坐标为t ．（1）若点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称,求C 点的坐标及抛物线的解析式； （2）若点P 在第四象限,连接PA PE 、及AE ,当t 为何值时,PAE ∆的面积最大?最大面积是多少?（3）是否存在点P ,使PAE ∆为以AE 为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P试卷第10页，总14页…外…………○…※…内…………○…的坐标；若不存在，请说明理由． 19．综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动，如图1，三角板ABC 和三角板CDE 都是等腰直角三角形，90C ∠=︒，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，连接AD ，点M ，P ，N 分别为DE ，AD ，AB 的中点．试判断线段PM 与PN 的数量关系和位置关系．探究展示：勤奋小组发现，PM PN =，PM PN ⊥．并展示了如下的证明方法：∵点P ，N 分别是AD ，AB 的中点，∴PNBD ，12PN BD =． ∵点P ，M 分别是AD ，DE 的中点，∴PM AE ∥，12PM AE =．（依据1）∵CA CB =，CD CE =，∴BD AE =，∴PM PN =． ∵PNBD ，∴DPN ADC ∠=∠．∵PM AE ∥，∴DPM DAC ∠=∠．∵90BCA ∠=︒，∴90ADC CAD ∠+∠=︒．（依据2）∴90MPN DPM DPN CAD ADC ∠=∠+∠=∠+∠=︒．∴PM PN ⊥． 反思交流：（1）①上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是指什么？ ②试判断图1中，MN 与AB 的位置关系，请直接回答，不必证明；（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，把CDE △绕点C 逆时针方向旋转到如图2的位置，发现PMN 是等腰直角三角形，请你给出证明；（3）缜密小组的同学继续探究，把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，当4CD =，10CB =时，求PMN 面积的最大值．20．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，点 C 的坐标为（4,0），∠AOC = 60°，垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 l 与 菱形 OABC 的两边分别交与点 M 、N （点 M 在点 N 的上方）．○…………外…………订………………○……级：___________考号：__○…………内…………订………………○……（1）求 A 、B 两点的坐标；（2）设 OMN 的面积为 S ，直线 l 运动时间为 t 秒（0 ≤t ≤6 ），试求 S 与 t 的函数表达 式；（3）在题（2）的条件下，t 为何值时，S 的面积最大？最大面积是多少．21．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），C （0，3），抛物线的顶点在直线1x =上．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设△PBC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标； 22．综合与探究如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、()20B ，两点，与y 轴交于点C ，顶点坐标为点1924D ⎛⎫⎪⎝⎭，． （1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线对称轴上一点，当PA PC +最小时，求点P 坐标；（3）在第一象限的抛物线上有一点M ，当BCM ∆面积最大时，求点M 坐标； （4）在x 轴下方抛物线上有一点H ，ABH ∆面积为6，请直接写出点H 的坐标．○…………装………○…………线…………※※请※※不※※要※※在※※○…………装………○…………线…………23．如图，已知抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是(1，0)，C 点坐标是(4，3)．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P 是抛物线上AC 下方的一个动点，是否存在点p ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．二、填空题24．如图，直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P 在抛物线1(2)(4)2y x x =--上，则△ABP 面积的最小值为__________．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________．………○…………装………………订……………线…………○……学校:___________姓名：_级：___________考号：………○…………装………………订……………线…………○……26．如图，30AOB ∠=，C 是BO 上的一点，4CO =，点P 为AO 上的一动点，点D 为CO 上的一动点，则PC PD +的最小值为 ________，当PC PD +的值取最小值时，则OPC ∆的面积为________.27．如图，已知直线433y x =-与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，P 是以(0,1)C 为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA ，PB ，当PAB ∆的面积最大时，点P 的坐标为__________．28．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且2DB AD =，3AE EC =连接BE ，CD ，相交于点O ，则ABO ∆面积最大值为__________．…………装…………○…订…………○……线…………○……※请※※不※※要※※在※※装※※订内※※答※※题※※…………装…………○…订…………○……线…………○……29．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝2，D 是AB 边上的动点，连接CD ，将△BCD 绕点C 沿顺时针旋转至△ACE ，连接DE ，则△ADE 面积的最大值＝_____．30．如图，∠AOB=45°，点M 、N 分别在射线OA 、OB 上，MN=7，△OMN 的面积为14，P 是直线MN 上的动点，点P 关于OA 对称的点为P 1，点P 关于OB 对称点为P 2，当点P 在直线NM 上运动时，△OP 1P 2的面积最小值为_____参考答案1．(1)抛物线的表达式为：223y x x =--；(2)POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916；(3) Q -或(或1122⎛-+- ⎝⎭或⎝⎭． 【分析】（1）函数的表达式为：y=a （x+1）（x-3），将点D 坐标代入上式，即可求解； （2）设点()2,23P m m m --，求出32OG m =+，根据()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++，利用二次函数的性质即可求解； （3）分∠ACB=∠BOQ 、∠BAC=∠BOQ ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ 倾斜角，进而求解． 【详解】解：(1)函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a =， 故抛物线的表达式为：223y x x =--…①；(2)设直线PD 与y 轴交于点G ，设点()2,23P m m m --，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得，直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+， ()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++，∵10-<，故POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916； (3)∵3OB OC ==，∴45OCB OBC ︒∠=∠=，∵ABC OBE ∠=∠，故OBE ∆与ABC ∆相似时，分为两种情况：①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，BC =AC = 过点A 作AH ⊥BC 与点H ，1122ABC S AH BC AB OC ∆=⨯⨯=⨯，解得：AH =，∴CH 则tan 2ACB ∠=，则直线OQ 的表达式为： 2 y x =-…②，联立①②并解得：x =故点Q -或(； ②BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠， 则直线OQ 的表达式为： 3 y x =-…③，联立①③并解得：x =故点13,22Q ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1322⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭；综上，点Q -或(或1122⎛-+- ⎝⎭或13,22⎛-+ ⎝⎭． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．2．（1）抛物线的解析式为223y x x =--，直线AB 的解析式为3y x =-，（2）(2,1)-或33(22+-+．（3）当32m =时，PAB∆面积的最大值是278，此时P 点坐标为33(,)22-． 【解析】 【分析】（1）将(0,3)A -、(3,0)B 两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；（2）先求出C 点坐标和E 点坐标，则2CE =，分两种情况讨论：①若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE MN =，②若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE MN =，设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，可分别得到方程求出点M 的坐标；（3）如图，作//PG y 轴交直线AB 于点G ，设2(,23)P m m m --，则(,3)G m m -，可由12PAB S PG OB ∆=，得到m 的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可． 【详解】解：（1）∵抛物线22y ax x c =-+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，∴9603a c c -+=⎧⎨=-⎩，∴13a c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--， ∵直线y kx b =+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为3y x =-，（2）∵2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线的顶点C 的坐标为(1,4)-， ∵//CE y 轴， ∴(1,2)E -， ∴2CE =，①如图，若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE MN =， 设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，∴223(23)3MN a a a a a =----=-+， ∴232a a -+=，解得：2a =，1a =（舍去）， ∴(2,1)M -，②如图，若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE MN =，设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，∴2223(3)3MN a a a a a =----=-， ∴232a a -=，解得：a =，a =（舍去），∴M ，综合可得M 点的坐标为(2,1)-或33(22+-+． （3）如图，作//PG y 轴交直线AB 于点G ，设2(,23)P m m m --，则(,3)G m m -， ∴223(23)3PG m m m m m =----=-+， ∴22211393327(3)3()2222228PAB PGA PGB S S S PG OB m m m m m ∆∆∆=+==⨯-+⨯=-+=--+， ∴当32m =时，PAB ∆面积的最大值是278，此时P 点坐标为33(,)22-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题．3．①265y x x =-+-；②当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为；③点N 的横坐标为：4或52+或52．【解析】 【分析】①点B 、C 在直线为y x n =+上，则B （﹣n ，0）、C （0，n ），点A （1，0）在抛物线上，所以250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：265y x x =-+-； ②先求出点P 到BC 的高h为sin 45)BP t ︒=-，于是211)22)22PBE S BE h t t t ∆=⋅=-⨯=-+2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC的距离d =N 作x轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证△PQN为等腰直角三角形，即NQ PQ ==4PN =，Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m =，Ⅱ．4NH HP +=，()25654m m m ---+-=解得152m +=，252m =（舍去），Ⅲ．4NH HP -=，()265[(5)]4m m m --+----=，解得152m =（舍去），252m =．【详解】解：①∵点B 、C 在直线为y x n =+上， ∴B（﹣n ，0）、C （0，n ）， ∵点A （1，0）在抛物线上，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩， ∴1a =-，6b =，∴抛物线解析式：265y x x =-+-；②由题意，得，4PB t =-，2BE t =，由①知，45OBC ︒∠=，∴点P 到BC 的高h 为sin 45)2BP t ︒=-，∴211(4)2(2)2222PBE S BE h t t t ∆=⋅=⨯-⨯=-+当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，∴点A 到直线BC 的距离d =过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证△PQN 为等腰直角三角形，即NQ PQ ==∴4PN =，Ⅰ．4NH HP +=，∴265(5)4m m m -+---=解得11m =，24m =，∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，∴4m =；Ⅱ．4NH HP +=，∴()25654m m m ---+-=解得152m =，252m =， ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，5m >，∴m =，Ⅲ．4NH HP -=，∴()265[(5)]4m m m --+----=，解得1m =，2m = ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，0m <，∴52m =，综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或52或52-． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．4．（1）224233y x x =-++，对称轴1x =；（2）11,4D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）面积有最大值是4948，755,424E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（4）存在点M 使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形，()2,2M 或104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）将点A （-1，0），B （3，0）代入y=ax 2+bx+2即可；（2）过点D 作DG ⊥y 轴于G ，作DH ⊥x 轴于H ，设点D （1，y ），在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=（2-y ）2+1，在Rt △BHD 中，BD 2=BH 2+HD 2=4+y 2，可以证明CD=BD ，即可求y 的值； （3）过点E 作EQ ⊥y 轴于点Q ，过点F 作直线FR ⊥y 轴于R ，过点E 作FP ⊥FR 于P ，证明四边形QRPE 是矩形，根据S △CEF =S 矩形QRPE -S △CRF -S △EFP ，代入边即可；（4）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点M （2，2）或M （4，-103）或M （-2，-103）； 【详解】 解：（1）将点()()1,0,3,0A B -代入22y ax bx =++， 可得24,33a b =-=， 224233y x x ∴=-++； ∴对称轴1x =；（2）如图1：过点D 作DG y ⊥轴于G ，作DH x ⊥轴于H ，设点()1,D y ，()()0,2,3,0C B ，∴在Rt CGD ∆中，()222221CD CG GD y =+=-+，∴在Rt BHD ∆中，22224BD BH HD y =+=+，在BCD ∆中，DCB CBD ∠=∠CD BD ∴=，22CD BD ∴=()22214y y ∴-+=+14y ∴=， 11,4D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；（3）如图2：过点E 作EQ y ⊥轴于点Q ，过点F 作直线FR y ⊥轴于R ，过点E 作FP FR ⊥于P ，90EQR QRP RPE ︒∴∠=∠=∠=，∴四边形QRPE 是矩形，CEF CRF EFP QRPE S S S S ∆∆∆=--矩形，()()(),,0,2,1,1E x y C F ，111•222CEF SEQ QR EQ QC CR RF FP EP ∴=⋅-⨯⋅-⋅- ()()()()111121111222CEF S x y x y x y ∆∴=----⨯⨯--- 224233y x x =-++， 21736CEF S x x ∆∴=-+ ∴当74x =时，面积有最大值是4948， 此时755,424E ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （4）存在点M 使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形，设()()1,,,N n M x y ，①四边形CMNB 是平行四边形时，1322x += 2x ∴=-102,3M ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭ ②四边形CNBM 时平行四边形时，3122x += 2x ∴=，()2,2M ∴；③四边形CNNB 时平行四边形时，1322x +=， 4x ∴=，104,3M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； 综上所述：()2,2M 或104,3M ⎛⎫-⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，及分类讨论的数学思想.熟练掌握二次函数的性质、灵活运用勾股定理求边长、掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．5．（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，AN =MN ∴==最大，22211114922242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大．方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．6．（1）y ＝（x ﹣1）2；（2）点C 的坐标为（2，1）；（3）1【分析】（1）将点（3，4）代入解析式求得a 的值即可；（2）设点C 的坐标为（x 0，y 0），其中y 0＝（x 0﹣1）2，作CF ⊥x 轴，证△BDO ∽△DCF 得BO DF DO CF=，即1＝00x 1y -＝()01x 1-，据此求得x 0的值即可得； （3）过点D 作x 轴的垂线交直线PQ 于点G ，则DG ＝4，根据S △PDQ ＝12DG•MN 列出关于k 的等式求解可得．【详解】解：（1）将点（3，4）代入解析式，得：4a ＝4，解得：a ＝1，所以抛物线解析式为y ＝（x ﹣1）2；（2）由（1）知点D 坐标为（1，0），设点C 的坐标为（x 0，y 0），（x 0＞1、y 0＞0），则y 0＝（x 0﹣1）2，如图1，过点C 作CF ⊥x 轴，∴∠BOD ＝∠DFC ＝90°，∠DCF+∠CDF ＝90°，∵∠BDC ＝90°，∴∠BDO+∠CDF ＝90°，∴∠BDO ＝∠DCF ，∴△BDO ∽△DCF ， ∴BO DF DO CF=， ∴1＝00x 1y -＝()01x 1-，解得：x 0＝2，此时y 0＝1，∴点C 的坐标为（2，1）．（3）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 为（x 2，y 2），（其中x 1＜1＜x 2，y 1＞0，y 2＞0）， 如图2，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，由y=(x-1)2 ，y=kx+1-k ，得x 2﹣（2+k ）x+k ＝0．∴x 1+x 2＝2+k ，x 1•x 2＝k ．∴MN ＝|x 1﹣x 2|＝|2﹣k|．则过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，1），所以DG＝1，∴S△PDQ＝12DG•MN＝12×1×|x1﹣x2|＝12|2﹣k|，∴当k＝0时，S△PDQ取得最小值1．【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．7．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）t＝32时，△PAE的面积最大，最大值是278；（3）t的值为1．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EA的解析式，作PM∥y轴，交直线AE于点M，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PAE的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值即可；（3）由题意可知有∠PAE＝90°或∠APE＝90°两种情况，当∠PAE＝90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE＝90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．【详解】解：（1）由题意得：0 4233a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴抛物线对称轴为x＝1，∴E（3，0），设直线AE的解析式为y＝kx+3，∴3k+3＝0，解得，k＝﹣1，∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，如图1，作PM∥y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴12PAE PMA PMES S S PM OE=+=⋅＝()21332t t⨯⨯-+＝23327228t⎛⎫--+⎪⎝⎭，∴t＝32时，△PAE的面积最大，最大值是278．（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE＝90°或∠APE＝90°，①当∠PAE＝90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴∠PAG＝∠APG＝45°，∴PG＝AG，∴t ＝﹣t 2+2t+3﹣3，即﹣t 2+t ＝0，解得t ＝1或t ＝0（舍去）， ②当∠APE ＝90°时，如图3，作PK ⊥x 轴，AQ ⊥PK ，则PK ＝﹣t 2+2t+3，AQ ＝t ，KE ＝3﹣t ，PQ ＝﹣t 2+2t+3﹣3＝﹣t 2+2t ， ∵∠APQ+∠KPE ＝∠APQ+∠PAQ ＝90°， ∴∠PAQ ＝∠KPE ，且∠PKE ＝∠PQA ， ∴△PKE ∽△AQP ， ∴PK KEAQ PQ=， ∴222332t t t t t t-++-=-+，即t 2﹣t ﹣1＝0，解得：t 或t 0（舍去），综上可知存在满足条件的点P ，t 的值为1或12+． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何面积最值问题以及二次函数与特殊三角形的问题，解题的关键是灵活运用二次函数的性质及几何知识．8．(1)成立，证明见解析；（2）DF=DE ．（3）当x=0时，y 最小值 【分析】（1）如图1，连接BD ．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE ，然后证明△ADF ≌△BDE （ASA ），得DF=DE ；（2）如图2，连接BD ．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE ，然后证明△ADF ≌△BDE（ASA ），得DF=DE ；（3）根据（2）中的△ADF ≌△BDE 得到：S △ADF =S △BDE ，AF=BE ．所以△DEF 的面积转化为：y=S △BEF +S △ABD ．据此列出y 关于x 的二次函数，通过求二次函数的最值来求y 的最小值． 【详解】（1）DF=DE ．理由如下： 如图1，连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD=AB ． 又∵∠A=60°，∴△ABD 是等边三角形， ∴AD=BD ，∠ADB=60°， ∴∠DBE=∠A=60° ∵∠EDF=60°， ∴∠ADF=∠BDE ． ∵在△ADF 与△BDE 中，ADF BDE AD BDA DBE ∠=⎧∠=∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ADF ≌△BDE （ASA ）， ∴DF=DE ；（2）DF=DE ．理由如下： 如图2，连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD=AB ． 又∵∠A=60°，∴△ABD 是等边三角形， ∴AD=BD ，∠ADB=60°， ∴∠DBE=∠A=60° ∵∠EDF=60°， ∴∠ADF=∠BDE ． ∵在△ADF 与△BDE 中，ADF BDE AD BDA DBE ∠=⎧∠=∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ADF ≌△BDE （ASA ）， ∴DF=DE ；（3）由（2）知，△ADF ≌△BDE ．则S △ADF =S △BDE ，AF=BE=x ． 依题意得：y=S △BEF +S △ABD =12（2+x ）xsin60°+12×2×2sin60°x+1）2．即x+1）20， ∴该抛物线的开口方向向上， ∴当x=0即点E 、B 重合时，y 最小值=29．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE ；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7【分析】（1）由DE ∥BC ，得到DB ECAB AC=，结合AB=AC ，得到DB=EC ； （2）由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB=CE ；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB ≌△EAC ，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC 的AC 始终保持不变，即可． 【详解】[初步感知]（1）∵DE ∥BC ， ∴DB ECAB AC=， ∵AB=AC ， ∴DB=EC ， 故答案为：=， （2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ， 在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ）， ∴DB=CE ；[深入探究]（3）如图③，设AB ，CD 交于O ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AD=AE ，AB=AC ，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC ， 在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ）， ∴DB=CE ，∠ABD=∠ACE ， ∵∠BOD=∠AOC ， ∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形， ∴∠AED=45°， ∴∠AEC=135°， 在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ）， ∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ， ∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高， ∴AM=EM=MD ， ∴AM+BD=CM ；故答案为：90°，AM+BD=CM ； 【拓展提升】 （5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变， △ADE 与△ADC 面积的和达到最大， ∴△ADC 面积最大，∵在旋转的过程中，AC 始终保持不变， ∴要△ADC 面积最大， ∴点D 到AC 的距离最大， ∴DA ⊥AC ，∴△ADE 与△ADC 面积的和达到的最大为2+12×AC×AD=5+2=7， 故答案为7． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．10．（1）m=6，()2,0；（2）当a=1时，ODE 面积的最大值为278【分析】（1）将点34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入反比例函数解析式求出m ，根据坐标中点公式求出点C 的横坐标即可；（2）由AC 两点坐标求出直线AB 的解析式为3342y x =-，设D 坐标为33,(04)42D a a a ⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭，则6,E a a ⎛⎫⎪⎝⎭，进而得到2327(1)88ODESa =--+，即可解答【详解】解：（1）把点34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入反比例函数(0)m y x x=>，得：324m =，解得：m=6，∵A 点横坐标为：4，B 点横坐标为0，故C 点横坐标为：4022+=， 故答案为：6，(2,0)；（2）设直线AB 对应的函数表达式为y kx b =+．将34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,0)C 代入得34220k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 所以直线AB 对应的函数表达式为3342y x =-． 因为点D 在线段AB 上，可设33,(04)42D a a a ⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭， 因为//DE y 轴，交反比例函数图像于点E ．所以6,E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 所以221633333273(1)2428488ODESa a a a a a ⎛⎫=⋅⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭． 所以当a =1时，ODE 面积的最大值为278． 【点睛】本题考查了函数与几何综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、坐标中点求法、二次函数的应用等知识点，解题关键是用函数解析式表示三角形面积．11．（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）S 与m 的函数表达式是S ＝252m m --，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是（52，74）；（3）点M在整个运动过程中用时最少是3秒． 【分析】（1）首先求出B 点的坐标，根据B 点的坐标即可计算出二次函数的a 值，进而即可计算出二次函数的解析式;。

二次函数中面积的最值问题(六大题型)通用的解题思路：二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：1)当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下：一般步骤为：①设出要求的点的坐标；②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；③列出关系式求解；④检验是否每个坐标都符合题意．2)用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.3)利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；②通过已知点的坐标，求出直线解析式；③求出题意中要求点的坐标；④检验是否每个坐标都符合题意．题型01三角形面积最值问题1(2024·宁夏银川·一模)如图，二次函数y =-x 2+6x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1，5 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是二次函数图象上的一个动点，且在直线AB 上方，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②设△PAB 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．2(2024·新疆克孜勒苏·二模)如图，抛物线y =x ²+bx +c (b ，c 是常数)的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，A 2,0 ，AB =6，点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ ∥BC 交AC 于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)求△CPQ 面积的最大值，并求此时P 点坐标．3(23-24九年级下·湖北武汉·开学考试)如图，抛物线y =ax 2-4ax +3a 交x 轴于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，交y 轴正半轴于点C ,OB =OC ，点P 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)若tan∠ACP=2，求点P的横坐标．(3)平面上有两点M m,-m-3，求△PMN的面积的最小值．,N m+2,-m-54(23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习)△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=4，点P从点C出发，沿射线CA方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点B出发，沿射线BA方向运动．设运动时间为x(x≠2且x≠4)秒，△APQ的面积为S．(1)当0<x<2时，如图①，求S与x的函数关系式；(2)当2<x<4时，如图②，求S的最大值；(3)若在运动过程中，存在两个时刻x1，x2，对应的点P和点Q分别记为P1，P2和Q1，Q2，对应的△AP1Q1和△AP2Q2的面积分别记为S1和S2，且当CP1=P1P2时，S1=S2，请求出x1的值．5(2023·山东聊城·二模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点A 的坐标为-1,0，直线CD:y=2x-3与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动， ，与y轴交于点C0,-3过点M作MP⊥x轴，垂足为点P，交直线CD于点N．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)点M在运动过程中，能否使以C，N，M为顶点的三角形是以NM为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．6(2024·浙江宁波·模拟预测)如图，一次函数y=33x+3的图象与坐标轴交于点A、B，抛物线y=-33x2+bx+c的图象经过A、B两点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为抛物线上一动点，在直线AB上方是否存在点P使△PAB的面积最大？若存在，请求出△PAB 面积的最大值及点P的坐标，请说明理由．7(2024·甘肃陇南·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=-x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B1,0，抛物线对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为直线AC下方抛物线上一点，当△MAC的面积最大时，求点M的坐标；(3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点．要使得以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，请直接写出点P的坐标．8(2024·江苏盐城·模拟预测)已知抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC．(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；(2)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，求△PBC的最大面积；(3)如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线y=2x-9上，求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标．9(2024·四川广元·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=-x2+bx+c与x轴交于点B，A(-3, 0)，与y轴交于点C(0,3)．(1)求直线AC和抛物线的解析式．(2)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使得以M，A，C三点为顶点的三角形是以AC为底的等腰三角形?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，求△PAC面积的最大值．10(2024·安徽安庆·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A1,0两点，与y轴交于、B3,0点C．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F．①若点E在第一象限，连接CF、BF，求△CFB面积的最大值；②此抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接DF，若△DEF为直角三角形，请直接写出E点坐标．11(2024·安徽合肥·一模)如图，直线y=x-3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c 经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A．(1)求抛物线的函数表达式；(2)直接写出当x-3>x2+bx+c时，x的取值范围；(3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，连接OE．求△BOE面积的最大值及此时点P的坐标．12(2024·天津西青·一模)已知抛物线y=-x2-4ax-12a(a<0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C．(1)若点D4,12在抛物线上．①求抛物线的解析式及点A的坐标；②连接AD，若点P是直线AD上方的抛物线上一点，连接PA，PD，当△PAD面积最大时，求点P的坐标及△PAD面积的最大值；(2)已知点Q的坐标为-2a,-8a，连接QC，将线段QC绕点Q顺时针旋转90°，点C的对应点M恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．13(2024·山东临沂·二模)如图，抛物线y=ax2+32x+c与x轴交于点A和点B4,0，与y轴交于点C0,2，连接BC，点D在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接BD，CD，△BCD面积存在最大值，请帮助小明求出△BCD面积的最大值；(3)小明进一步探究点D位置时发现：如图2，点D在抛物线上移动，连接CD，存在∠DCB=∠ABC，请帮助小明求出∠DCB=∠ABC时点D的坐标．14(2024·广东深圳·二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与轴交于A，B 点，与y轴交于点C0,3，点B的坐标为3,0，点P是抛物线上一个动点．(1)求二次函数解析式；(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值；(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形；若不存在，请说明理由．15(2024·湖北·模拟预测)如图，抛物线y=x-12+k与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C0,-3．设P点在抛物线上运动，横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式；(2)当P点位于第四象限时，求△BCP面积的最大值，并求出此时P点坐标；(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h．① 求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；② 根据h的不同取值，试探索点P的个数情况．16(22-23九年级下·重庆·阶段练习)抛物线y=ax²+bx+5经过点A1,0和点B5,0．该抛物线与直线y=12x+5相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)连接PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；(3)连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．17(2024·江苏宿迁·一模)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(3，0)．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D是第一象限内该抛物线上一动点，过点D作直线l∥y轴，直线l与△ABD的外接圆相交于点E．①仅用无刻度直尺找出图2中△ABD外接圆的圆心P．②连接BC、CE，BC与直线DE的交点记为Q，如图3，设△CQE的面积为S，在点D运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S的最大值；如果不存在，请说明理由．18(2024·新疆乌鲁木齐·一模)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒t>0．(1)AH=，EF=(用含t的式子表示)．(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．19(2024·重庆·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过点(3,-4)，交x轴于点A(-1,0)，B两点，交y轴于点C(0,2)．(1)求抛物线的表达式；(2)连接AC ，BC ，M 为线段AB 上一动点，过点M 作MD ∥BC 交直线AC 于点D ，连接MC ，求△MDC 面积的最大值及此时M 点的坐标；(3)在(2)中△MDC 面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线BC 方向平移2个单位长度，P 是平移后的抛物线上一动点，连接CP ，当∠PCM 与△OBC 的一个内角相等时，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．20(2024·湖南衡阳·一模)如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 1,0 ,B -3,0 ,C 0,3 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 为第二象限内抛物线上一动点，求△BCD 面积的最大值；(3)设点P 为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．21(2024·甘肃天水·一模)如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x 轴交于A ,B 两点，D 是抛物线的顶点．O 为坐标原点．A ,B 两点的横坐标分别是方程x 2-4x -12=0的两根，且cos ∠DAB =22．(1)求抛物线的函数解析式；(2)作AC ⊥AD ，AC 交抛物线于点C ，求点C 的坐标及直线AC 的函数解析式；(3)在(2)的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在一点P ，使△APC 的面积最大？如果存在，请求出点P 的坐标和△APC 的最大面积；如果不存在，请说明理由．22(2024·山东聊城·一模)在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于点A -1,0 和点B 3,0 ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若点P 为第四象限内抛物线上一点，当△PBC 面积最大时，求点P 的坐标；(3)若点P 为抛物线上一点，点Q 是线段BC 上一点(点Q 不与两端点重合)，是否存在以P 、Q 、O 为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23(2024·吉林长春·一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y =x +2分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点C 2,2 作x 轴垂线，垂足为D ，连接BC ．现有动点P 、Q 同时从A 点出发，分别沿AB 、AD 向终点B 和终点D 运动，若点P 的运动速度为每秒2个单位长度，点Q 的运动速度为每秒2个单位长度．设运动的时间为t 秒．(1)求A、B两点的坐标；(2)当CQ∥AB时，t=；(3)设△CPQ的面积为y，写出y与t的函数关系式，并求△CPQ面积的最大值；(4)当△CPQ为轴对称图形时，直接写出t的值．24(2023·湖南娄底·中考真题)如图，抛物线y=x2+bx+c过点A-1,0，交y轴于点C．、点B5,0(1)求b，c的值．(2)点P x0,y0是抛物线上的动点0<x0<5①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25(2024·河南安阳·模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2+x-1的形状相同，且与x轴交于点-1，0．直线y=kx+2分别与x轴、y轴交于点A，B，和4，0与y=ax2+bx+c于点C，D(点C在点D的左侧)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线y=kx+2上方抛物线上的任意一点，当k=2时，求△PCD面积的最大值；(3)若抛物线y=ax2+bx+c与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k的取值范围．26(2024·湖南长沙·一模)如图，抛物线y=x2-bx+c与x轴交于A-1,0两点，与y轴交于，B m,0点C0,-3，顶点为D，直线BD交y轴于点E．(1)求抛物线的解析式．(2)设点P为线段BD上一点(点P不与B，D两点重合)，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接DF，BF，求△BDF面积的最大值．(3)连接CD，在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．27(2024·江西萍乡·一模)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A3,0，连接AC，BC．，C0,3(1)求抛物线的函数解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△OBC相似，求出点P的坐标；(3)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接MC，MA．设△ACM的面积为S，试求S的最大值．28(2024·四川广元·二模)如图1，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为5，0，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为(3,-4)．(1)求抛物线和直线BC的解析式．(2)在抛物线上是否存在点M，使得△BCM是以BC为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为⊙B 上的一个动点，连接AC ，求△ACP 面积的最大值．29(2023·山东青岛·中考真题)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =10cm ，BD =45cm ．动点P 从点A 出发，沿AB 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，动点Q 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为2cm/s ．以AP ，AQ 为邻边的平行四边形APMQ 的边PM 与AC 交于点E ．设运动时间为t s 0<t ≤5 ，解答下列问题：(1)当点M 在BD 上时，求t 的值；(2)连接BE ．设△PEB 的面积为S cm 2 ，求S 与t 的函数关系式和S 的最大值；(3)是否存在某一时刻t ，使点B 在∠PEC 的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南怀化·中考真题)如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx -8与x 轴交于A (-4,0)、B (2,0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P 为第三象限内抛物线上一点，作直线AC ，连接PA 、PC ，求△PAC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)设直线l 1:y =kx +k -354交抛物线于点M 、N ，求证：无论k 为何值，平行于x 轴的直线l 2:y =-374上总存在一点E ，使得∠MEN 为直角．31(2024·海南省直辖县级单位·一模)如图，已知抛物线y =ax 2+2x +c a ≠0 ，与x 轴交于点A -1,0 和点B 3,0 ，与y 轴交于点C ，E 为抛物线的顶点．图1图2(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P 是第一象限内抛物线上一动点，连接PC 、PB 、BC ，设点P 的横坐标为t ．①当t 为何值时，△PBC 的面积最大？并求出最大面积；②当t 为何值时，△PBC 是直角三角形？(3)如图2，过E 作EF ⊥x 轴于F ，若M m ,0 是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC =90°，请直接写出实数m 的取值范围．32(2024·四川成都·一模)如图，直线y =-x -4分别交x 轴，y 轴于A ，C 两点，点B 在x 轴正半轴上．抛物线y =15x 2+bx +c 过A ，B ，C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B 作BD ∥AC 交y 轴于点D ，交抛物线于点F ．若点P 为直线AC 下方抛物线上的一动点，连接PD 交AC 于点E ，连接EB ，求S △PEB 的最大值及最大值时点P 的坐标；(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线y =-2x 与新抛物线交于O ，G 两点，点H 是线段OG 的中点，过H 作直线RQ (不与OG 重合)与新抛物线交于R ，Q 两点，点R 在点Q 左侧．直线GR 与直线OQ 交于点T ，点T 是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．33(2024·江苏苏州·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2-8ax +10a -1a <0 与x 轴的交点分别为A x 1,0 ，B x 2,0 ，其中(0<x 2<x 1)，且AB =4，与y 轴的交点为C ，直线CD ∥x 轴，在x 轴上有一动点E t ,0 ，过点E 作直线l ⊥x 轴，与抛物线、直线CD 的交点分别为P 、Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当0<t ≤8时，求△APC 面积的最大值；(3)当t >2时，是否存在点P ，使以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△OBC 相似？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．题型02四边形面积最值问题1(2024·安徽阜阳·一模)如图，抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A -1，0 ，B 3，0 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P ，使△PAC 的周长最小，求△PAC 的周长的最小值及此时点P 的坐标；(3)若M 为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形OCMB 的面积的最大值及此时点M 的坐标.2(2024·山东临沂·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-14x 2+bx +c 与x 轴交于点A (-2,0)和点B ，与y 轴交于点C (0,4)，点P 是直线BC 上方的抛物线上一点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线BC 于点D ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求线段PD 长的最大值；(3)连接CP ，BP ，请直接写出四边形ABPC 的面积最大值为．3(2024·山西运城·一模)综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A-1,0、B两点，与y轴交于点C，点D-2,9 2在抛物线上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线BD于点Q，连接PA、PB、QA，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求四边形PAQB面积的最大值及此时点P的坐标；(3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得∠MAB=2∠ACO，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．4(2024·安徽合肥·一模)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A，B两点，直线l：y=kx+2与抛物线交于A，C两点，且A-1,0，B3,0．(1)求a，b，k的值；(2)点M是线段OB上的动点，点N在x轴上，MN=2，且点N在M的左边．过点M作MP⊥x轴，交抛物线于点P．过点N作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线l于点R．①当以P，Q，R，M为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．②记以P，Q，R，M为顶点的四边形面积为S，求S的最大值．5(2024·安徽蚌埠·一模)如图1，已知直线y=-x+5与坐标轴相交于A、B，点C坐标是-1，0，抛物线经过A、B、C三点．点P是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线AB交于点D，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在第一象限时，连接CP交OA于点E，连接EF，如图2所示；①求AE+DF的值；②设四边形AEFB的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．6(2024·安徽马鞍山·一模)如图，过原点的二次函数y=ax2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数交于B1,-3，与y轴交于点C0,-4．(1)分别求此二次函数与直线AB的解析式．(2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为t．①当PD=12OC时，求t的值；②当点P在直线AB下方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF，求四边形FQED面积的最大值．7(2024·山东济南·一模)如图，直线y=-12x+3交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=-14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点P m,0顺时针旋转90°得到线段O A ，若线段O A 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．8(2024·四川广元·二模)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于原点O和点A4，0，经过点A的直线与该函数图象交于另一点B1，3，与y轴交于点C．(1)求直线AB的函数解析式及点C的坐标．(2)点P是抛物线上位于直线AB上方的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，过点B作BF⊥x轴于点F，连接OP，与BF交于点G，连接DG．求四边形GDEF面积的最大值．(3)抛物线上是否存在这样的点Q，使得∠BOQ=45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9(2024·广东珠海·一模)如图，抛物线y=-x2+3x+4和直线y=x+1交于A-1,0点，点B，B3,4在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．(1)求∠BAC的度数．(2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒t>0．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．10(2024·安徽宿州·二模)如图1，抛物线y=ax2+bx-3(a，b是常数且a>0)与x轴交于点A-1,0和点B(点B在点A的右侧)，点D是抛物线的顶点，CD是抛物线的对称轴且交x轴于点C1,0.(1)求a，b的值；(2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．(i)如图2，连接AP，DP，BD，求四边形ABDP面积的最大值；(ii)如图3，连接AP并延长交CD延长线于点Q，连接BP交CD于点E，求CE+CQ的值.11(2024·安徽·二模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4交x轴于点A-1,0,B4,0，交y轴于点C，点M在该抛物线上，横坐标为m，将该抛物线M,C两点之间(包括M,C两点)的部分记为图象W．(1)求抛物线的解析式；(2)图象W的最大值与最小值的差为4时，求m的值；(3)如图2，若点M位于BC下方，过点A作AE∥BC交拋物线于点E，点D为直线AE上一动点，连接CM, CD,BM,BD，求四边形CDBM面积的最大值及此时点M的坐标．12(2024·四川广安·二模)如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A-4,0．，B两点，交y轴于点C0,4(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，求四边形AOCP的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13(23-24九年级上·重庆渝北·期末)二次函数y=ax2+bx+4经过点A-1,0，点C，点D，点B4,0分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点.(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，连接BC ，过点A 作BC 的平行线交二次函数于点E ，连接CM ，BM ，BE ，CE ．求四边形CMBE 面积的最大值以及此时点M 的坐标；(3)如图2，过点M 作MN ∥y 轴，交BC 于点N (点M 不与点D 重合)，过点D 作DH ∥y 轴，交BC 于点H ，当DM =HN 时，直接写出点M 的坐标．题型03面积比最值问题14(2024·安徽合肥·一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =a x +1 x -4 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C 0，-2 ．(1)求a 的值；(2)点D 为第四象限抛物线上一点①求△BCD 的面积最大值②连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE 的面积为S 1，△ABE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值；15(2023·四川遂宁·中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．16(2024·湖北省直辖县级单位·一模)抛物线y =x 2-4x 与直线y =x 交于原点O 和点B ，与x 轴交于另一点A ，顶点为D ．(1)求出点B 和点D 的坐标；(2)如图①，连接OD ，P 为x 轴的负半轴上的一点，当tan ∠PDO =12时，求点P 的坐标；(3)如图②，M 是点B 关于抛物线的对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横坐标为m 0<m <5 ，连接MQ ，BQ ，MQ 与直线OB 交于点E ，设△BEQ 和△BEM 的面积分别为S 1和S 2，求S1S 2的最大值．17(2023·湖南永州·中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．18(2024·四川南充·一模)抛物线y =-38x 2+bx +c b >0 与x 轴分别交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C 0,3 ，抛物线对称轴为x =1，点P 是抛物线在第一象限上动点，连接CB ，PB ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图，连接PA ，交BC 于点M ，设△ABM 的面积为S 1，△PBM 的面积为S 2，求S 1S 2的最小值及此时点P的坐标．19(2024·湖北孝感·一模)如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A-1,0，B3,0，与y轴交于点C，连接BC．(1)求a，b的值及直线BC的解析式；(2)如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交BC于点G，(ⅰ)若EP=EG，求点P的坐标，(ⅱ)连接CP，CA，记△PCE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求S1S2的最大值；(3)如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围．题型04面积和最值问题1(2024·吉林长春·一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(-1,0)、B(3,0)，交y轴于点C，连结AC、BC．点D在该抛物线上，过点D作DE∥AC，交直线BC于点E，连结AD、AE、BD．设点D横坐标为m(m>0)，△DAE的面积为S1，△DBE的面积为S2．(1)求a，b的值；(2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围；(3)当点D在第一象限时，求S1+S2的最大值；(4)当S1:S2=2:1时，直接写出m的值．题型05面积差最值问题1(2024·安徽合肥·一模)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ， 与x 轴交于另一点A ， 顶点为D ．(1)填空： 点B 的坐标为___________， 点D 的坐标为___________．(2)如图1 ， 连结OD P ，为x 轴上的动点， 当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点， 它的横坐标为 (05)m m <<， 连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ． 设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ， 设12S t s =， 试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。

YAXByA O xCM B 二次函数与三角形最大面积1、在坐标系中求三角形的面积有3 种方法：（1）割法：（和、差）的相互转化三角形的面积一般都是通过分割成几个三角形然后计算几个三角形的面积和，然后利用坐标来表示三角形的面积，这样三角形的面积即为一个二次函数，下面求解二次函数的最值即可。

1公式法：⨯铅垂高*水平宽2（2）补法：用大图形的面积–其他图形的面积（大三角形的面积–小三角形的积）1、直线AB 经过x 轴上的一点A（2,0），且与抛物线y=ax2 相交于B，C 两点，已知点B 坐标为（1，1）（1）求直线和抛物线的解析式；（2）如果D 为抛物线上的一点，使得△AOD 与△OBC 的面积相等，求点D 坐标．2、如图：如图，直线y =-1x 与抛物线y =-1x 2+ 6 交于A、B 两点，2 4（1）求A、B 两点的坐标。

（2）点Q 在X 轴上方的抛物线上，当Q 点的坐标为多少时，△ABQ 的面积最大？最大面积有为多少？3、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0)、B(0，-4)、C(2,0)三点，（1）求抛物线的解析式，（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m, △AMB 的面积为S,求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值。

（3）若点P 为抛物线上的动点，点Q 是直线y= - x 上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标54、（广安）如图，已知抛物线y=x2+bx+c 经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与直线y=x 相交于点A，B（点B 在点A 的侧），平行于y 轴的直线x=m（0＜m＜+1）与抛物线交于点M，与直线y=x 交于点N，交x 轴于点P，求线段MN 的长（用含m 的代数式表示）；（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m 的值，使△BOM 的面积S 最大？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由5、已知：抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C．其中点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA、OC 的长（OA＜OC）是方程x2-5x+4=0 的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1．（1）求A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A、B 不重合），过点D 作DE∥BC 交AC 于点E，连接CD，设BD 的长为m，△CDE 的面积为S，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．36．（2011•济宁）如图，第一象限内半径为 2 的⊙C 与 y 轴相切于点 A ，作直径 AD ，过点 D 作⊙C 的切线 l 交 x 轴于点 B ，P 为直线 l 上一动点，已知直线 PA 的解析式为：y=kx+3．（1） 设点 P 的纵坐标为 p ，写出 p 随 k 变化的函数关系式．（2） 设⊙C 与 PA 交于点 M ，与 AB 交于点 N ，则不论动点 P 处于直线 l 上（除点 B 以外）的什么位置时，都有△AMN ∽△ABP ．请你对于点 P 处于图中位置时的两三角形相似给予证明；32（3） 是否存在使△AMN 的面积等于 的 k 值？若存在，请求出符合的 k 值；若不存在，请说明理由．25练习巩固：3．（2011•南充）抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的交点为 A （m-4，0）和 B （m ，0），与直线 y= -x+p 相交于点 A 和点 C （2m-4，m-6）．（1） 求抛物线的解析式；（2） 若点 P 在抛物线上，且以点 P 和 A ，C 以及另一点 Q 为顶点的平行四边形面积为 12，求点 P ，Q 的坐标；（3） 在（2）条件下，若点 M 是 x 轴下方抛物线上的动点，当△PQM 的面积最大时，请求出△PQM 的最大面积及点 M 的坐标．2.如图,在平面直角坐标系中，直线 AB 与 X 轴交于点 A(-2,0)，与反比例函数在第一象限内的图像交于点 B(2，n)，连接 BO,若 S △A O B =2 ，(1)求改反比例函数和直线 A B 的解析式。

2022年中考数学二次函数--图形面积与最值问题压轴题专项训练1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3(1)求抛物线的解析式；(2)P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：(3)将抛物线沿射线CB方向平移个单位得新抛物线y′．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y′上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N 的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．3．如图，抛物线223=-++与x轴交于,A B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，y ax axBC，A点的坐标是（1-，0），点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，当PQ∥y轴时，作PM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点P的右侧），以PQ，PM为邻边构造矩形PQNM，求该矩形周长的最小值；(3)设抛物线在点C与点P之间的部分（含点C和P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h=16时，直接写出△BCP的面积．4．在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”．(1)已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4，6，m﹣1，求m的值．(2)已知Rt△ABC是“调和三角形”，它的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c．①求a：b：c的值；②若△ABC周长的数值与面积的数值相等，求a，b，c的值．(3)在（2）的条件下，动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿路线A→B→C运动，动点Q从点C 出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，设y＝PQ2．①求y关于t的函数关系式；②求y的最小值．5．如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且顶点为C，直线y＝kx+2经过A，C两点．(1)求直线AC的表达式与抛物线C1的表达式；(2)如图2，将抛物线C1沿射线AC方向平移一定距离后，得到抛物线为C2，其顶点为D，抛物线C2与直线y＝kx+2的另一交点为E，与x轴交于M，N两点（M点在N点右边），若S△MDE＝23S△MAE，求点D的坐标；(3)如图3，若抛物线C1向上平移4个单位得到抛物线C3，正方形GHST的顶点G，H在x轴上，顶点S，T 在x轴上方的抛物线C3上，P（m，0）是射线GH上一动点，则正方形GHST的边长为，当m＝时，PSPT有最小值．6．如图，已知抛物线212y x bx c =++经过()4,0A -，()0,4B -，()2,0C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与轴交于A (﹣1，0)，B (4，0)，与y 轴交于点C (0，﹣3)，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 是抛物线上位于第四象限内的一点，连接AD ，点E 是AD 的中点，连接BE 、CE ，求△BCE 面积的最小值；(3)如图2，点P 是抛物线上位于第四象限内的一点，点Q 在y 轴上，∠PBQ ＝∠OBC ，是否存在这样的点P 、Q 使BP ＝BQ ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0），交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点．(1)求抛物线的解析式；(2)求△PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；(3)在（2）的条件下，将直线BC向右平移74个单位得到直线l，直线l交对称轴右侧的抛物线于点Q，连接PQ，点R为直线BC上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T，使得四边形PQTR为菱形，若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．(1)求该抛物线的解析式；(2)连接BG ，求△BGD 的面积最大值；(3)如图2，在点P 运动的同时，点Q 从点B 出发，沿BA 边以每秒1个单位的速度向点A 运动．动点P 、Q 运动的过程中，在矩形ABCD 内（包括其边界）是否存在点H ，使以B ，Q ，E ，H 为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出t 的值：t ＝ ．10．如图，抛物线26y ax bx =++与直线2y x =+相交于15,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()4,6B 两点，点P 是线段AB 上的动点（不与A 、B 两点重合），过点P 作PC x ⊥轴于点D ，交抛物线于点C ，点E 是直线AB 与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点C 是抛物线的顶点时，求BCE 的面积；(3)是否存在点P ，使得BCE 的面积最大？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由．11．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣3x ﹣3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，且与x 轴交于另一点B （点B 在点A 右侧）．(1)求抛物线的解析式及点B 坐标；(2)设该抛物线的顶点为点H ，则S △BCH ＝ ；(3)若点M 是线段BC 上一动点，过点M 的直线ED 平行y 轴交x 轴于点D ，交抛物线于点E ，求ME 长的最大值及点M 的坐标；(4)在（3）的条件下：当ME 取得最大值时，在x 轴上是否存在这样的点P ，使得以点M 、点B 、点P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y ＝243x bx c -++经过点A （3，0），B （0，2），连接AB ，点P 是第一象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的表达式；(2)过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点Q ，判断是否存在点P ，使得以P 、Q 、B 为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点C与点B关于x轴对称，连接AC，AP，PC，当点P运动到什么位置时，△ACP的面积最大？求△ACP 面积的最大值及此时点P的坐标．13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，抛物线在第四象限的图象上有一点M，求四边形ABMC面积的最大值及此时点M的坐标；(3)如图2，直线CD交x轴于点E，若点P是线段EC上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；(2)若点F 在抛物线的对称轴上，且EF ∥x 轴，若以点D ，E ，F 为顶点的三角形与△ABD 相似，求出此时点E 的坐标；(3)若点P 为坐标平面内一动点，满足tan ∠APB ＝3，请直接写出△P AB 面积最大时点P 的坐标及该三角形面积的最大值．15．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(2,0)A -、(6,0)B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的横坐标为4．(1)求抛物线的解析式与直线l 的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA 、PD ，求当PAD ∆面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；(3)若点Q 是抛物线上的点，且45ADQ ∠=︒，请直接写出点Q 的坐标．16．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2交x 轴于点A （﹣3，0）和点B （1，0），交y 轴于点C ．已知点D 的坐标为（﹣1，0），点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP 、PC 、CD ．(1)求这个抛物线的表达式．(2)点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．(3)①点M 在平面内，当△CDM 是以CM 为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M 的坐标； ②在①的条件下，点N 在抛物线对称轴上，当∠MNC ＝45°时，求出满足条件的所有点N 的坐标．17．如图，已知抛物线212y x bx c =-++的顶点C 的坐标为()3,2-，此抛物线交x 轴于点A ，B 两点，点P 为直线AD 上方抛物线上一点，过点P 作PE x ⊥轴垂足为E ，连接AP ，PD ．(1)求抛物线和直线AD 的解析式；(2)求线段PN 的最大值；(3)当APD △的面积是ABC 的面积的54时，求点P 的坐标．18．如图，直线y 12=x +2与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，抛物线y 12=-x 2+bx +c 经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为B ，点D 是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在直线AC 上方时，连接BC ，CD ，BD ，BD 交AC 于点E ，令△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求12S S 的最大值； (3)点F 是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B ，C ，D ，F 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标为C （3，6），并与y 轴交于点B （0，3），点A 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①所示，P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP ，AP ，求△ABP 的面积的最大值；(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作∠ACD ＝30°交抛物线于点D ，求出D 点的坐标；并探究：在y 轴上是否存在点Q ，使∠CQD ＝60°？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，直线3y x =-+经过B，C两点，连接AC．(1)求抛物线的表达式；(2)点E为直线BC上方的抛物线上的一动点（点E不与点B，C重合），连接BE，CE，设四边形BECA的面积为S，求S的最大值；(3)若点Q在x轴上，则在抛物线上是否存在一点P，使得以B，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．解：把点A （﹣1，0），点C （0，﹣3）代入抛物线的解析式为y ＝x 2+bx +c 中得：103b c c -+=⎧⎨=-⎩解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4∴顶点的坐标为（1，﹣4）(2)如图1，设直线BC 的解析式为y ＝kx +d （k ≠0）当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0解得：x 1＝3，x 2＝﹣1∴B （3，0）将B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝kx +d 中得：303k d d +=⎧⎨=-⎩，解得：13k d =⎧⎨=-⎩ ∴直线BC 的解析式为y ＝x ﹣3∵OP ＝t设点P 的坐标为（t ，0），则点N 的坐标为（t ，t ﹣3），H （t ，t 2﹣2t ﹣3） ∴NH ＝t ﹣3﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+3t ∴223327()22813(3)22BCH S t t S NH OB t ===-+=--+△∵0≤t≤3，32-＜，∴当t32=时，S取最大值，最大值为278；(3)分两种情况：①当Q在x轴的上方时，如图2和图4，四边形ACPQ是平行四边形根据A（﹣1，0）和C（0，﹣3）可知：点Q的纵坐标为3当y＝3时，x2﹣2x﹣3＝3解得：x1＝1x2＝1∴P（20）或（20）②当Q在x轴的下方时，如图3，四边形ACQP是平行四边形，当y＝﹣3时，由对称得：Q（2，﹣3）∴P （1，0）综上，P 点的坐标为（2，0）或（20）或（1，0）2．∵抛物线解析式为23y ax bx =++，令x ＝0，得y ＝3，∴点C 坐标为（0，3），∴OC=OB ＝3，∴B 坐标为（3，0）．∵tan ∠CAO ＝3，即3OC OA=， ∴OA ＝1，∴点A 坐标为（-1，0），∴可设抛物线解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3），代入C 点坐标得：y ＝a （0+1）（0﹣3）解得：a ＝-1，∴22(1)(3)23(1)4y x x x x x =-+-=-++=--+，∴抛物线解析式为：2y x 2x 3=-++；(2)∵Q 为线段PB 中点，∴S △CPQ ＝12S △CPB ，当S △CPB 面积最大时，△CPQ 面积最大．设P 坐标（a ，223a a -++），如图，过点P 作//PH y 轴交BC 于点H ，∴H 坐标为（a ，-a +3），∴223(23)(3)PH a a a a a =-++-=-+-+ ∴22113327()(3)3()22228PB B C C PH x x a S a a =⋅-=-+⨯=--+， ∴当32a =时，即P 坐标为(32，154)时，CPB S 面积最大，最大值为278， ∴127216CPQ CPB S S ==； (3)沿CB 方向平移2个单位，向下2个单位，∴新抛物线解析式为2(3)2y x =--+，∴M （3，2），C 坐标为（0，3），设N 点坐标为（n ，0），根据平行四边形的性质，分类讨论①当22C N M D y y y y ++=时，即23022D y ++=， 解得：1=D y ．∴21(3)2x =--+解得：1242x x ==，∴xD ＝4或xD ＝2，当xD ＝4时，22C N M D x x x x ++=，即03422N x ++=， 解得：7N x =；当xD ＝2时，22C N M D x x x x ++=，即03222N x ++=， 解得：5N x =；∴N 坐标为（7，0）或（5，0）；①当 22C D M N y y y y ++=时，即32022D y ++=， 解得：1D y =-．∴21(3)2x -=--+解得：1233x x ==∴3D x =3D x =当3D x =22C D M N x x x x ++=32N x +=，解得：N x当3D x =22C D M N x x x x ++=32N x +=，解得：N x =∴N 0）或（0）；综上，可知N 点坐标为（7，0）或（5，00）或（0）； 3．解：∵抛物线223y ax ax =-++与x 轴交于,A B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，A 点的坐标是（1-，0），∴令0x =，则3y =，()0,3C ∴将点()1,0A -代入得023a a =--+解得1a =则抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++ (2)点P 是抛物线上的一个动点，其横坐标为m ，且m >0．点Q 是直线AC 上的一个动点，且位于x 轴的上方，PQ ∥y 轴Q ∴点在P 点上方，()1,0A -,()0,3C ，设直线AC 的解析式为y kx b =+30b k b =⎧⎨-+=⎩解得33k b =⎧⎨=⎩∴直线AC 的解析式为33y x =+设()2,23P m m m -++，则(),33Q m m +()223323PQ m m m m m ∴=+--++=+抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++()214x =--+对称轴为1x =，顶点坐标为()1,4， PM PQ ⊥P M y y ∴= 根据对称性可得21P PM x =-21m =-设矩形PQNM 的周长为l ，①当1m =时，0PM =，不能构成矩形，②当01m <<时， 22PM m =-则()22222224l m m m m m =++-=-+ 当21222x -=-=⨯时，2min 1117224142222l ⎛⎫=⨯-⨯+=-+= ⎪⎝⎭ ③当1m 时，22PM m =-则()22222264l m m m m m =++-=+- 对称轴为63222x =-=-⨯ 则当1m 时，不存在最小值综上所述，矩形PQNM 的周长的最小值为72(3)当0＜0m≤1时，h=-m 2+2m+3-3=-m 2+2m ；当1＜m≤2时，h=4-3=1；当m ＞2时，h=4-（-m 2+2m+3）=m 2-2m+1；②当h=16时，m 2-2m+1=16，解得m=5或m=-3（舍），∴P （5，-12），过点P 作PQ ⊥x 轴交直线BC 与点Q ，令y=0，则-x 2+2x+3=0，解得x=-1或x=3，∴B （3，0），设直线BC 的解析式为y=k'x+b'，3,30b k b =⎧∴⎨+=''⎩' 3,1b k =⎧∴⎨=-'⎩' ∴y=-x+3，∴Q （5，-2），∴PQ=10，∴S △PCB =S △CPQ -S △BPQ =12×5×10-12×10×2=25-10=15． 4． 解：“调和三角形”某两边的长度之和等于第三边长度的两倍， ∴①当462(1)m +=-时， 解得6m =，②当1426m -+=⨯时，解得9m =，③当6124m +-=⨯时，解得3m =（不合题意舍去），综上，m 的值为6或9；(2)解：①Rt ABC 是“调和三角形”，且a b c <<， 222a b c ∴+=，①2a c b +=，②由②，得2a c b +=，代入①， 得222()2a c a c ++=， 整理得(53)()0a c a c -+=， a ，b ，c 为三角形三边，0a b c ∴<<<，530a c ∴-=，故:3:5a c =，同理可得，:3:4a b =，::3:4:5a b c ∴=；②若ABC ∆周长的数值与面积的数值相等， 即12a b c ab ++=， ::3:4:5a b c =，43b a ∴=，53c a =， 12a b c ab ∴++=， 即45143323a a a a a ++=⨯，解得6a =或0a =（舍去）， 6a ∴=，8b =，10c =；(3)解：①（Ⅰ）当P 点在AB 上时，即05t 时， 过P 作PD AC ⊥于D ，则有2AP t =，CQ t =，A A ∠=∠，90PDA BCA ∠=∠=︒，APD ABC ∴∆∆∽，::3:4:5PD AD AP ∴=，65PD t ∴=，85AD t =， 8138855DQ t t t ∴=--=-， 222PQ PD DQ =+，222261341208()(8)645555PQ t t t t ∴=+-=-+； （Ⅱ）当P 在BC 上时，即58t <时，此时，6102162PC t t =+-=-，CQ t =，222222(162)564256PQ PD DQ t t t t ∴=+=-+=-+，综上，y 关于t 的函数关系式：()22412086405{55564256(58)t t t y t t t -+=-+<；②由y 关于t 的函数关系式可知当P 在AB 上时有最小值， 224120841104230464()55541205y t t t =-+=-+， ∴当10441t =，y 有最小值为2304205．5．解：如图1，∵直线y＝kx+2经过A（﹣1，0），∴﹣k+2＝0，解得k＝2，∴直线AC的表达式为y＝2x+2；由抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，得抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y＝2×1+2＝4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，4）；设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+4，则4a+4＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线C1的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3．(2)解：如图2，作DQ⊥x轴于点Q，EF⊥DQ于点F，设抛物线C2的顶点D的横坐标为t.∵抛物线C 2由抛物线C 1沿射线AC 方向平移得到，∴D （t ，2t +2），∴抛物线C 2的表达式可表示为y ＝﹣（x ﹣t ）2+2t +2，由222()22y x y x t t =+⎧⎨=--++⎩，得2x +2＝﹣（x ﹣t ）2+2t +2， 解关于x 的方程，得x 1＝t ﹣2，x 2＝t ，则点E 、F 的横坐标分别为t ﹣2、t ，∴EF ＝t ﹣（t ﹣2）＝2，∵S △MDE ＝23S △MAE ， ∴DE AE ＝23 ， ∴DE DA ＝25； ∵EF ∥AQ ，∴△DEF ∽△DAQ ， ∴25EF DE AQ DA ==， ∴2＝25AQ ， ∴AQ ＝5，∴OQ ＝5﹣1＝4；当x ＝4时，y ＝2×4+2＝10， ∴D （4，10）．(3)解：由（1）得，抛物线C 1的表达式为y ＝﹣（x ﹣1）2+4，将抛物线y ＝﹣（x ﹣1）2+4向上平移4个单位得到的抛物线为y ＝﹣（x ﹣1）2+8，即y ＝﹣x 2+2x +7，∴抛物线C 3的表达式为y ＝﹣x 2+2x +7．由题意可知，正方形GHST 与抛物线C 3有相同的对称轴直线x ＝1，如图3，设H （t ，0），则S （t ，2t ﹣2），∴﹣t 2+2t +7＝2t ﹣2，解得t 1＝3，t 2＝﹣3（不符合题意，舍去），∴H （3，0）．∴SH ＝2（t ﹣1）＝2×（3﹣1）＝4，∴正方形的边长为4；将△PSH 绕点S 顺时针90°得到△KST ，取SK 的中点R ，连结TR 、PR ，则点K 在GT 上， 设PS ＝KS ＝t （t ＞0），则TR ＝SR ＝12KS ＝12t ，由旋转得，∠PSR ＝90°，∴PR t ， ∵PR +TR ≥PT ，t +12t ≥PT ， ∴t PT ≥即PS PT ≥∴PS PT ； 如图4，当PS PT时，则点R 落在PT 上. 设PT 交SH 于点L ．∵∠PSL ＝∠TSR ＝∠PTS ，∠SPL ＝∠TPS （公共角），∴△PLS ∽△PST ， ∴SL PS TS PT =， ∴SL ＝＝2； ∵∠KTS ＝∠LST ＝90°，ST ＝TS （公共边），∠TSK ＝∠STL ，∴△KST ≌△LTS （ASA ），∴PH ＝KT ＝SL ＝2，∴OP ＝2＝，∴P （，0），∴m ＝．故答案为：4，． 6．解：把A （-4，0），C （2，0）代入y =12x 2+bx +c 得， 11640214202b c b c ⎧⨯-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩，解得14b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y=12x2+x-4；(2)解：如图，过点M作MN⊥AC，垂足为N，抛物线y=12x2+x-4与y轴的交点B坐标为（0，-4），即OB=4，又∵M（m，12m2+m-4），∴ON=-m，MN=-12m2-m+4，AN=4-（-m）=4+m，∴S△ABM=S△ANM+S梯形MNOB-S△AOB=12（4+m）（-12m2-m+4）+12（-12m2-m+4+4）（-m）-12×4×4=-m2-4m=-（m+2）2+4，∴当m=-2时，S最大=4，答：S与m的函数关系式为S=-m2-4m，S的最大值为4．7．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A（﹣1，0），B（4，0），∴设该抛物线的函数表达式为y＝a(x+1)(x﹣4)，将C（0，﹣3）代入，得：﹣4a＝﹣3，解得：a＝34，∴y＝34(x+1)(x﹣4)＝34x2﹣94x﹣3，∴该抛物线的函数表达式为y＝34x2﹣94x﹣3；(2)（2）设直线BC 的解析式为y ＝kx +n ，∵B （4，0），C （0，﹣3），∴403k n n +=⎧⎨=-⎩， 解得：343k n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝34x ﹣3， 过点E 作EM ∥y 轴，交BC 于M ，设D (t ，34t 2﹣94t ﹣3)， ∵点E 是AD 的中点，∴E (12t -，38t 2﹣98x ﹣32)， ∴M (12t -，3278t -)， ∴EM ＝38t 2﹣98x ﹣32﹣3278t -＝38t 2﹣32x +158， ∴S △BCE ＝12EM •OB ＝2(38t 2﹣32x +158)＝34 (t ﹣2)2+34， ∵34＞0， ∴当t ＝2时，S △BCE 取得最小值34；(3)解：存在，P 20116927⎛⎫- ⎪⎝⎭，，Q (0，-6427)． 如图2，在BC 上截取BE ＝BO ＝4，过点E 作EG ∥OC 交x 轴于G ，作EF ⊥BC 交y 轴于F，交抛物线于P ，∵B （4，0），C （0，﹣3），∴OB ＝4，OC ＝3，CE ＝BC ﹣BE ＝1，∵∠BOC ＝90°，∴BC5=，∵EG ∥OC ，∴△BEG ∽△BCO ， ∴EG BG BE OC OB BC ==， ∴4345EG BG ==， ∴EG ＝125，BG ＝165， ∴OG ＝OB ﹣BG ＝4﹣16455=， ∴E (45，﹣125)， ∵EF ⊥BC ，∴∠CEF ＝∠COB ＝90°，∵∠ECF ＝∠OCB ，∴△ECF ∽△OCB ， ∴CE OC CF BC =，即135CF =， ∴CF ＝53， OF ＝OC ﹣CF ＝3﹣5433=， ∴F (0，﹣43)， 设直线EF 的解析式为y ＝k 1x +n 1，∵E (45，﹣125)，F (0，﹣43)， ∴1114125543k n n ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：114343k n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线EF 的解析式为y ＝43-x 43-， 联立方程组，得：2443349334y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， 解得：1110x y =-⎧⎨=⎩（舍去），2220911627x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴P 20116927⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 在Rt △BPE 中，PE6427=， ∵∠PBQ ＝∠OBC ，∴∠PBE +∠CBQ ＝∠CBQ +∠QBO ，∴∠PBE ＝∠QBO ，在△PEB 和△QOB 中，PBE QBO BE BOPEB QOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△PEB ≌△QOB （ASA ），∴BP ＝BQ ，OQ ＝PE ＝6427， ∴Q (0，-6427)， ∴存在，P 20116927⎛⎫- ⎪⎝⎭，，Q (0，-6427)．8．解：将A （﹣1，0）、B （4，0）代入抛物线公式，如下：0401644a b a b =-+⎧⎨=++⎩， 求得13a b =-⎧⎨=⎩． 抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+3x +4．(2)解：设P 到直线BC 的距离为d ，P 点坐标为（x ，﹣x 2+3x +4）（0＜x ＜4），∵y ＝﹣x 2+3x +4交y 轴于点C ，令x ＝0，∴y ＝4，∴C （0，4），由B （4，0），C （0，4）两点求得直线BC 的解析式为：y +x ﹣4＝0．做直线BC 的平行线K ：y ＝﹣x +m ，因为K 与BC 平行，我们将K 平移，根据题意，点P 是直线BC 上方抛物线上的一点，∴随着K 平行移动，以BC 为底的△PBC 的高d 在逐渐增大，当K 与抛物线y ＝﹣x 2+3x +4恰有一个交点时，此时以BC 为底的△PBC 的高d 最大，即此时△PBC 面积最大． ∵此时K ：y ＝﹣x +m 与抛物线y ＝﹣x 2+3x +4相交，且仅有一个交点，∴﹣x +m ＝﹣x 2+3x +4，m ＝8．∴直线K ：y ＝﹣x +8．此时求K 和抛物线的交点为：﹣x +8＝﹣x 2+3x +4，解得x ＝2，将x ＝2代入直线K ：y ＝﹣x +8，解得y ＝6．因此P （2，6）．现在我们来求P 到直线BC 的距离，即△PBC 的高d ：过P 作垂直于BC 的直线k ：y ＝x +m ．∵P 在直线k 上，∴6＝2+m ，∴m ＝4，直线k ＝x +4．直线K 与直线k 的交点为：44y x y x =-+⎧⎨=+⎩， 解得交点坐标（0，4），即交点为C 点．因此的△PBC 的高d 即为B 点和C 点两点之间的距离，∴d ＝|BC|=在△PBC 中，∵|BC |＝△PBC 的面积的最大值S △PBC 12=|BC |•d 12=⨯=8． (3) 解：存在．直线BC 向右平移74个单位得到直线l ， ∴l ：y ＝﹣（x 74-）+4＝﹣x 234+． 223434y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩，解得127212x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 二次函数y ＝﹣x 2+3x +4对称轴为x 32=， ∵直线l 交对称轴右侧的抛物线于点Q ，∴x 72=，代入y ＝﹣x 23944+=． ∴Q （7924，）． 设T （a ，b ）．∵R 为直线BC 上的一动点，∴设R（x，﹣x+4）．（Ⅰ）假设T在Q点左侧：∴72a<．此时P（2，6），T（a，b）为菱形对称顶点，Q（7924，），R（x，﹣x+4）为菱形对称定点．在菱形中PTQR中，|PR|＝|QT|，=①又∵对角线互相垂直平分，且对称顶点横纵坐标的中点相等，即：72222946422xaxb⎧+⎪+=⎪⎪⎨⎪-++⎪=⎪⎩，②由①，②解得113.53871.7887ab=⎧⎨=-⎩，220.53872.2887ab=-⎧⎨=⎩，又∵a72＜，∴此时T点坐标为：T（﹣0.5387，2.2887）．（Ⅱ）假设T在Q点右侧：∴a72＞．此时P（2，6），Q（7924，）为菱形对称顶点，T（a，b），R（x，﹣x+4）为菱形对称定点．在菱形PTQR中，|PR|＝|PT|，③又∵对角线互相垂直平分，且对称顶点横纵坐标的中点相等，即：96442722b xa x⎧+⎪=-+⎪⎨⎪+=+⎪⎩，④由③，④解得a2697562=＞，符号题意．此时b27756=．此时T点坐标为：T（26956，27756）．综上所述：T存在两点，分别为：T（﹣0.5387，2.2887）和T（26956，27756）．9．（1）∵矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0），∴D（﹣1，4），由抛物线的顶点为D（﹣1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+4，∵抛物线经过点B（﹣3，0），∴4a+4＝0，解得a＝﹣1，∴该抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3；(2)如图1，设直线BD的解析式为y＝kx+d，则304k dk d-+=⎧⎨-+=⎩，解得，∴y＝2x+6，设G（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜﹣1），则E（x，2x+6），∴GE＝﹣x2﹣2x+3﹣（2x+6）＝﹣x2﹣4x﹣3，∵AD＝﹣1﹣（﹣3）＝2，∴S△BGD＝12GE•AF+12GE•DF＝12GE•AD＝12×2（﹣x2﹣4x﹣3）＝﹣（x+2）2+1，∴当x＝﹣2时，S△BGD最大＝1，∴△BGD面积的最大值为1．(3)存在．理由如下：如图2，菱形BQHE 以BE 为一边.由题意，得BQ ＝PD ＝EF ＝t ，∵PQ ∥EF ，∴四边形BQFE 是平行四边形，∴当BQ ＝QF ＝t 时，四边形BQFE 是菱形，此时点H 与点F 重合．∵QF ∥BD ，∴∠AQF ＝∠QBD ，∵AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝90°，∴BD =∴AQ AB QF BD ===，∴AQ BQ =，∴4t +=，解得20t =-如图3，菱形BQEH 以BE 为对角线，连结QH 交BE 于点R ，则QH ⊥BE ，BR ＝ER ， ∴∠BRQ ＝90°，∴BR AB BQ BD ==∴BR =， 同理，PD CD DE BD ===∴DE ==，∴2= 解得2013t =，综上所述，20t =-2013t =，故答案为：20-2013．10．解：把15,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()4,6B 代入抛物线26y ax bx =++中得：115642216466a b a b ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ 解得：28a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为：2286y x x =-+．(2)解：如图1，∵()22286222y x x x =-+=--∴顶点()2,2C -对于直线2y x =+，当2x =时，224y =+=∴()426PC =--=当0y =时，20x +=，解得2x =-∴()2,0E -∴PC BCE B E P C S S S =+△△()1122B D PC ED PC x x =⨯+⨯- ()()1122D E B D PC x x PC x x =⨯-+⨯- ()12B E PC x x =⨯- ()16422=⨯⨯+ 18=∴△BCE 的面积为18．(3)解：存在设点P 的坐标为(),2m m +，则()2,286C m m m -+∴()222286294PC m m m m =+--+=-+-∴BCE S ()12B E PC x x =⨯- ()()21294422m m =⨯-+-⨯+ 29147648m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ∵60-<∴当94m =时，BCE S 最大，这个最大值是1478． 11．解：∵直线y ＝﹣3x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ， ∴A （﹣1，0），C （0，﹣3），∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0），C （0，﹣3）， ∴ 103b c c -+=⎧⎨=-⎩， 解得 23b c =-⎧⎨=-⎩ ， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3．当y ＝0时，由x 2﹣2x ﹣3＝0，得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴B （3，0）．(2)解：如图1，设抛物线的对称轴交BC 于点F ，交x 轴于点G ．设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，把B（3，0）代入得3k﹣3＝0，解得k＝1，∴y＝x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点H（1，﹣4），当x＝1时，y＝x﹣3=1﹣3＝﹣2，∴F（1，﹣2），∴FH＝﹣2﹣（﹣4）＝2，∴S△BCH＝12FH•OG+12FH•BG＝12FH•OB＝12×2×3＝3．故答案为：3．(3)解：设E（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），则M（x，x﹣3），∴ME＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣32）2+94，∴当x＝32时，ME最大＝94，此时M（32，-32）．(4)解：存在．如图2，由（3）得，当ME 最大时，则D （32，0），M （32，-32）， ∴DO ＝DB ＝DM ＝32； ∵∠BDM ＝90°，∴DE 垂直平分OB∴OM =BM∵OM 2=BM 2= DB 2 +DM 2 =(32)2+(32)2=92∴OM ＝BM ＝ 当点P 与原点O 重合时，则PM ＝BM ， △PBM 是等腰三角形，此时点P 的坐标是（0，0）,即P 1（0，0）；当BP ＝BM P 在点B 的左侧时， △PBM 是等腰三角形，则OP ＝3∴点P 0），即P 20）； 当点P 与点D 重合时，则PM ＝PB ＝32， 此时△PBM 是等腰三角形，∴点P 的坐标为（32，0），即P 3（32，0）；当BP ＝BM P 在点B 的右侧时， △PBM 是等腰三角形，则OP ＝∴点P 0），即P 40）．综上所述，P 1（0，0），P 2，0），P 3（32，0），P 40）． 12．解：∵抛物线y ＝﹣43x 2+bx +c 经过点A （3，0），B （0，2）， 把点A （3，0），B （0，2）代入解析式得：493032b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩， 解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴二次函数的解析式为：241033y x =-+x +2； (2)解：设P （m ，﹣43m 2+103m +2）， 当∠BPQ ＝90°时，则有BP ∥x 轴，如图，∴点P 的纵坐标为2，∴﹣43x 2+103x +2＝2， 解得：x 1＝0（舍去）或x 2＝52， ∴P 1（52，2）； 当∠PBQ ＝90°时，过点P 作PM ⊥y 轴，垂足为M ，如图，则∠PBM +∠BPM ＝90°，PM ＝m ，BM ＝﹣43m 2+103m +2﹣2=﹣43m 2+103m ， ∵∠PBQ ＝90°，∴∠PBM +∠OBA ＝90°，∴∠OBA ＝∠BPM ，∴△PMB ∽△BOA ， ∴PM BO ＝MB OA ， 即2m ＝2410333m m +， 解得：m ＝0（舍）或m ＝118， ∴P 2（118，6516）， 综上所述，当以PQB 为顶点的三角形是直角三角形时，点P 的坐标为（52，2）或（1165,816）；(3)解：设PQ 的延长线交AC 与点N ，∵B （0，2），点C 与点B 关于x 轴对称，∴C （0，﹣2），设直线AC 的表达式为：y ＝k 1x +a 1，把A ，C 代入得：111302k a a +=⎧⎨=-⎩，解得11232k a ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AC 的表达式为：223y x =-， 设点P （n ，241033n -+n +2），则N （n ，223n -）， ∴PN ＝241033n -+n +2﹣（223n -）＝24833n -+n +4， ∴S △APC ＝12PN ×OA ＝12（24833n -+n +4）×3＝﹣2n 2+4n +6＝﹣2（n ﹣1）2+8， ∵a ＝﹣2＜0，S △APC 有最大值，且0＜n ＜3，∴当n ＝1时，△APC 的面积最大，最大面积是8，此时，P （1，4），综上所述，△APC 面积的最大值是8，点P 的坐标是（1，4）．13．设抛物线的表达式为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，将点C （0，﹣3）代入得：4a ﹣4＝0，解得a ＝1，∴抛物线表达式为：y ＝（x ﹣1）2﹣4；(2)连接BC ，作MN ∥y 轴交BC 于点N ，交AB 于点E ，作CF ⊥MN 于点F ，如图，由（1）知，抛物线表达式为y ＝（x ﹣1）2﹣4＝x 2﹣2x ﹣3，令y ＝0，可解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点A 坐标（﹣1，0），点B 坐标（3，0），设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，将点B （3，0），C （0，﹣3）代入得：303k b b +=⎧⎨=-⎩， ∴13k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 表达式为y ＝x ﹣3，设M 点（m ，m 2﹣2m ﹣3），则点N （m ，m ﹣3），222393(23)3()24M N MN y y m m m m m m =-=----=-+=--+ ∴S 四边形ABMC ＝S △ABC +S △BCM＝S △ABC +S △CMN +S △BMN ＝1122AB OC MN CF ⨯⨯+⨯⨯+12MN BE ⨯⨯ ＝1143()22MN CF BE ⨯⨯+⨯⨯+ ＝6+132MN ⨯⨯ ＝23375()228m --+ 当32m =时，即点M 坐标315(,)24-时，四边形ABMC 面积的最大值758； (3) 如图，作PQ 垂直x 轴，设直线CD ：y ＝px +q ，将点C ，D 分别代入得，43p q q +=-⎧⎨=-⎩，解得13p q =-⎧⎨=-⎩， ∴直线BC ：y ＝﹣x ﹣3，当y ＝0时，解得x ＝﹣3，∴点E 坐标为（﹣3，0），∵OE ＝OC ＝OB ＝3，∴∠OEC ＝∠OBC ＝45°，在Rt △OBC 中，BC①当△BAC ∽△EPO 时，AB EPBC EO =3EP =，解得EP ＝在Rt △EPQ 中，∠OEC ＝45°，∴sin 45°＝PQ EP， 解得PQ ＝2，∴EQ ＝PQ ＝2，此时点P 坐标（﹣1，﹣2）；②当△BAC ∽△EOP 时，BA EOBC EP =3EP=，解得EP 在Rt △EPQ 中，∠OEC ＝45°，∴sin 45°＝PQ EP ， 解得94PQ = ∴94EQ PQ ==，此时点P 坐标39(,)44--； 综上所述，当点P 坐标为（﹣1，﹣2）或39(,)44--时，点P 、E 、O 为顶点的三角形与△ABC相似．14．∵直线y＝﹣x+3与y轴、x轴分别交于A、B两点、∴A（0，3），B（3，0），将A（0，3）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得：3093cb c=⎧⎨=++⎩，解得：43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1∴抛物线的顶点D的坐标为（2，﹣1）．(2)∵A（0，3），B（3，0），D（2，﹣1），∴AB2＝32+32＝18，AD2＝（2﹣0）2+（3+1）2＝20，BD2＝（3﹣2）2+（0+1）2＝2，∴AB2+BD2＝AD2，∴△ABD为直角三角形，且∠ABD＝90°，设点E（m，m2﹣4m+3）（m＞2）．∵EF∥x轴，∴DF＝m2﹣4m+3+1＝m2﹣4m+4，FE＝m﹣2，∠DFE＝90°，∴∠DFE＝∠ABD＝90°，∴如图1，以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，且∠FDE＝∠BAD，则DF FE AB BD=，由AB2＝32+32＝18，BD2＝（3﹣2）2+（0+1）2＝2，得AB＝，BD= 2=解得m1＝5，m2＝2（不符合题意，舍去）．∴E（5，8）；如图2，以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，且∠FDE＝∠BDA，则DF FE BD AB=，2=解得m173=，m2＝2（不符合题意，舍去），∴E（73，89-）．综上所述，点E的坐标为（5，8）或（73，89-）．(3)由（2）得，tan∠ADB==3，∵tan∠APB＝3，∴∠APB＝∠ADB，∴点P在过A、B、D三点，即以AD为直径的圆上．如图3，取AD的中点Q，以点Q为圆心，以QA为半径作圆，连接QB，∵QB12=AD＝QA，∴点B在⊙Q上；连接并延长OQ、QO分别交AB于点G、⊙Q于点H，作PR⊥AB于点R，连接PG、PQ．∵QB＝P A，OB＝OA，∴HG垂直平分AB，由PG≤QG+PQ，得PG≤GH，∵PR≤PG，∴PR≤GH；∵S △P AB 12=AB •PR ， ∴当点P 与点H 重合时，△P AB 的面积最大，此时S △P AB 12=AB •GH ．由AD 2＝（2﹣0）2+（3+1）2＝20，得AD ＝∵∠ABQ ＝90°，AQ 12=AD =AG 12=AB =，∴QG =∵HQ ＝AQ =∴GH =∴S △P AB 最大12=⨯= 过点H 作HL ⊥x 轴于点L ，∵∠OHL ＝90°﹣∠HOL ＝90°﹣∠BOG ＝∠OBA ＝45°，∴OL ＝OH •tan45°=；∵OG 12=AB =，∴OH ＝GH ﹣OG ==，∴HL ＝OL ==∴H ． ∵此时点P 与点H 重合，∴P ．综上所述，△P AB P ）． 15． 解：抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(2,0)A -、(6,0)B 两点， ∴设抛物线的解析式为2(2)(6)412y a x x ax ax a =+-=--， ∴123a -=， 解得14a =-，∴抛物线的解析式为211(2)(6)344y x x x x =-+-=-++， ∵点D 在抛物线上，当x =4时2144334y =-⨯++=，∴点D （4，3），直线l 经过(2,0)A -、(4,3)D ，设直线l 的解析式为(0)y kx m k =+≠，代入坐标得： 2043k m k m -+=⎧⎨+=⎩， 解得，121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线l 的解析式为112y x =+； (2)解：如图1中，过点P 作//PF y 轴交AD 于点F ．设点P 的横坐标为m ， ∴21(,3)4P m m m -++，则112，F m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．()132PAD D A S x x PF PF ∆=⋅-⋅=， ()2221111193121424244PF m m m m m m =-++--=-++=--+， ∴()2Δ3273144PAD S PF m ==--+， 304-<，抛物线开口向下，函数有最大值， 1m ∴=时， PAD S ∆最大=274，当m =1, 211151134444y =-⨯++=-+=， ∴15(1,)4P ． (3) （3）如图2中，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AT ， ∴y =4-(-2)=6，-2-x =3-0,解得x =-5 则(5,6)T -，设DT 交抛物线于点Q ，则45ADQ ∠=︒， (4,3)D ，∴直线DT 的解析式为11333y x =-+， ∴213411333y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 43359x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或43x y =⎧⎨=⎩， 4(,9)335Q ∴， 作点T 关于AD 的对称点(),T x y '，。

）））））））））2017中考数学全国试题汇编------二次函数中三角形面积最大值综合题2x轴交于点2017甘肃白银）如图，已知二次函数的图象与28．（4?ax??bxy????8,0BC?2,0，与，点轴交于点．Ay24??y?axbx（1）求二次函数的表达式；NBCN作，若点上运动（不与点在线段重合），过点（2）连接CBAB,AC,N?ACAMNNM//点的坐标；，当面积最大时，求于点，交MAB COMAOM与）的结论下，求（3）连接的数量关系．，在（22，B，点C的坐标分别代入解：（1）将点4?bxaxy??0??44a?2b?，得：?0?b?464a?8? 1分31．解得：，?a?b?24∴该二次函数的表达式为3123分．4?x?y?x?24），＜8）（2＜n0（2）设点N的坐标为（n，?，．则n?8?BN?n?2CN, 0）C）,（8，，∵B（-20=10. ∴BC ，令，解得：4y?0x? =44），OA，，（∴点A0 ACMN∵∥，））））））））））．）））））））））AMNC8?n．4分∴??10BCAB，BC=10，=4∵OA115 ．∴20??10?S?BC?OA?4ABCV22分11?2）S2）?4=（2n+BN?OA?（n+ABNV22 Sn8?AMCN AMNV,??又Q?10ABCBS ABNV1?n1826∴．5S?3)?nS?(8?)(n??2)??(n ABNAMNVV5105分7 的面积最大．∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN分.边中点0）时，N为BC（3）当N（3，1边中点，∴∴M为AB AB.?OM2分822∵，5?4?OA16?AB?OB2?22，5?4?64?AC?OC16?OA1∴AC,AB?2分9∴1分10 ．AC?OM4????25,01,0BA3bx??y?ax。

海南）24（2017.抛物线和点经过点（1）求该抛物线所对应的函数解析式；3DC、是抛物线上的动点且（2 相交于）该抛物线与直线两点，点3x?y?P5xx NCDM、位于轴下方。

432y 2+-=x x 1221y 2++-=x x =max y 21ah S ABC 21=∆专题一：二次函数与面积问题------类型1：三角形面积的最大值一、知识点睛1.点P 是抛物线 上一动点。

若设点P 的横坐标为m ，则点P 的纵坐标可表示为： ，∴点P 的坐标可表示为：2.如右图，AB ∥x 轴，BC ∥y 轴。

则线段BC= ，AB=故：“竖直方向”上的线段长 = —“水平方向”上的线段长 = —3.二次函数的一般式为： ，顶点式为： 例如：将 化为顶点式为： ，开口向 ，顶点坐标： ∴当x= 时，二、铅垂法（割补求面积） 坐标系中三角形面积公式：S= •一点引铅垂线段的长•另两点的水平宽锐角三角形中过点C 引的铅垂线 钝角三角形中过点C 引的铅垂线锐角三角形中过点B 引的铅垂线 ah S ABC 21=∆ 铅垂法的优点： 1.任何一点引铅垂线都可以 2.任何形状的三角形都适用 3.与三角形在第几象限无关 4.与三角形在不在坐标系无关 ah S ABC 21=∆三、典例讲解例1.已知二次函数62343y 2++-=x x 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C 。

点P 是第一象限抛物线上一动点。

连结BC ，BP 和CP 。

当△BCP 面积最大时，求P 点坐标。

四、小试牛刀例2.如图，已知抛物线经过两点A(-3,0)，B(0,3)且其对称轴为直线x= -1（1）求此抛物线的解析式（2）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A 点B ）求△PAB 的面积最大值，并求出此时点P 的坐标。

五、能力提升1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线34383y 2--=x x 与x 轴交于点A(-2,0)，B(4,0)，与直线323y -=x 交于点C(0,-3)，直线323y -=x 与x 轴交于点D ，点P 是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC ，PD 。

当△PCD 面积最大时，求点P 坐标.2. 如图，已知抛物线c bx ++-=2x y 过(1,4)与(4,-5)两点，且与一直线1x y +=相交于A,C 两点，(1)求该抛物线解析式.(2)求A,C 两点的坐标.(3)若P 是抛物线上位于直线AC.上方的一个动点,求△APC 的面积的最大值.B C A O M N xy3.如图，抛物线经过A (-1，0)、B (3，0)、C (0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B 、C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下，连接MB 、MC ，是否存在点M ，使四边形OBMC 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及最大面积；若不存在，说明理由．4.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A (0, 4), B(1, 0), C(5, 0),其对称轴与x 轴相交于点M.（1）求抛物线的解析式和对称轴.（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.（3）连接AC,在直线AC 的下方的抛物线上，是否存在一点N,使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标:若不存在，请说明理由.。

二次函数与面积最值定值问题(六大类型)1.考向分析题型一:二次函数与三角形面积最值问题1如图，已知抛物线y =12x 2+bx 过点A (-4，0)、顶点为B ，一次函数y =12x +2的图象交y 轴于M ，对称轴与x 轴交于点H ．(1)求抛物线的表达式；(2)已知P 是抛物线上一动点，点M 关于AP 的对称点为N ．①若点N 恰好落在抛物线的对称轴上，求点N 的坐标；②请直接写出△MHN 面积的最大值．2如图，等腰直角三角形OAB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA，OB分别在y轴和x轴上，点C的坐标为(3，4)，且AC平行于x轴．(1)求直线AB的解析式；(2)求过B，C两点的抛物线y=-x2+bx+c的解析式；(3)抛物线y=-x2+bx+c与x轴的另一个交点为D，试判定OC与BD的大小关系；(4)若点M是抛物线上的动点，当△ABM的面积与△ABC的面积相等时，求点M的坐标．3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知A(3，0)，该抛物线的对称轴为直线x=1．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)求点B、C的坐标；(3)将线段BC平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x轴上，若将点B、C平移后的对应点分别记为点D、E，求以B、C、D、E为顶点的四边形面积的最大值．4已知抛物线y=x2+4mx+4m2-4m-3的顶点C在定直线l上．(1)求C点的坐标(用含m的式子表示)；(2)求证：不论m为何值，抛物线与定直线l的两交点间的距离d恒为定值；(3)当抛物线的顶点C在y轴上，且与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)时，是否存在直线n满足以下三个条件：①n与抛物线相交于点M，N(点M在点N的左侧)，且与线段AC交于点P；②∠APN=2∠ACO；③n将△ABC的面积分成1：2的两部分．若存在，求出直线n的解析式；若不存在，请说明理由．5如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=23x2+bx-2的图象与x轴交于点A(3，0)，B(点B在点A左侧)，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，作直线AD．(1)填空：b=；(2)将△AOC平移到△EFG(点E，F，G依次与A，O，C对应)，若点E落在抛物线上且点G落在直线AD上，求点E的坐标；(3)设点P是第四象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交AC于点T．若∠CPT+∠DAC=180°，求△AHT与△CPT的面积之比．6平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+(1+m)x-m(m为常数，m≠±1)与轴交于定点A及另一点B，与y轴交于点C．(1)当点(2，2)在抛物线上时，求抛物线解析式及点A，B，C的坐标；(2)如图1，在(1)的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB=90°，求点D的坐标；(3)若点P是抛物线的顶点，令△ACP的面积为S，①直接写出S关于m的解析式及m的取值范围；②当58≤S≤158时，直接写出m的取值范围．2.压轴题速练1一、解答题1(2023春·全国·九年级专题练习)已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与坐标轴分别交于点A(0,6)，B(6,0)，C(-2,0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值，面积最大值是多少？2(2023春·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于 A(-1，0)，B(6，0)，与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接 PB．(1)求该抛物线的解析式；(2)当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；3(2023春·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y =-x 2+bx +c 过点A 、B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y =-x +3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OA =13OB ．(1)求抛物线的解析式；(2)点M t ,0 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线对称轴上的一个动点，当DN =2t ，△MNB 的面积为154时，求出点M 与点N 的坐标；4(2023·广西贵港·统考一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx经过A(4，0)，B(1，3)两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的表达式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CPB，△BCO的面积分别为S1，S2，判断S1S2是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．5(2023·新疆克孜勒苏·统考一模)如图所示，抛物线y=-x2+2x+3的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连结BC．(1)求抛物线顶点D的坐标；(2)在直线BC上方的抛物线上有一点M，使得四边形ABMC的面积最大，求点M的坐标及四边形ABMC面积的最大值；(3)点E在抛物线上，当∠EBC=∠ACO时，直接写出点E的坐标．6(2023·广东珠海·统考一模)如图，抛物线与x轴交于点A-1,0．点、B4,0，与y轴交于点C0,2D为抛物线第四象限一动点，连接AC、BC、BD、AD．(1)求抛物线的解析式；(2)当S△BCD=S△ABC时，求此时点D的坐标；(3)在第(2)问的条件下，延长线段AC、DB交于点E．请判断△ADE的形状，并说明理由．7(2023春·上海·八年级专题练习)在边长为4的正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，作PE⊥PB交直线CD于点E，设PA=x，S△PCE=y．(1)求证：DF=EF；(2)当点P在线段AO上时，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；(3)点P在运动过程中能否使△PEC为等腰三角形？如果能，请直接写出PA的长；如果不能，请简单说明理由．8(2023春·江苏无锡·九年级统考期中)在平面直角坐标系中xOy 中，二次函数y =ax 2+bx +2a <0 的图像与x 轴交于点A (-1,0)、B (2,0)，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P 是二次函数图像上位于线段BC 上方的一个动点．①如图，连接AC ，CP ，AP ，AP 交BC 于点E ，过点P 作AC 的平行线交BC 于点Q ，将△PEQ 与△PCE的面积比S △PEQ S △PCE 记为a ，将△PCE 与△ACE 的面积比S △PCE S △ACE记为b ，当a +22b 有最大值时，求点P 的坐标；②已知点N 是y 轴上一点，若点N 、P 关于直线AC 对称，求CN 的长．9(2023·黑龙江哈尔滨·统考一模)如图，在平面直角坐标系中，直线BC的解析式为y=-x+6，直线BC交x轴和y轴分别于点B和点C，抛物线y=-2x2+bx+c交x轴于点A和点B，交y轴于点C．9(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第二象限抛物线上的点，连接PB、PC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S．求S与t的函数关系式(不要求写出t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，点D在线段OB上，连接PD、CD，∠PDC=45°，点F在线段BC上，EF⊥BC，FE的延长线交x轴于点G，交PD于点E，连接CE，若∠GED+∠DCE=180°，DC>DE，S△CDE=15，求点P的横出标．10(2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c a<0两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．、B4,0与x轴交于A-2,0(1)试求抛物线的解析式；(2)直线y=kx+1k>0与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线BC交于点M，记m= S△CPMS△CDM，试求m的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的N点的坐标．11(2023·山东济宁·统考一模)如图，抛物线y =ax 2+bx +3与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，其中A (-4,0)、B (1，0)，M 是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为m ，(1)求抛物线的解析式；(2)连接BM ，交线段AC 于点D ，求S ΔADM S ΔADB的最大值(其中符号S 表示面积)；(3)连接CM ，是否存在点M ，使得∠ACO +2∠ACM =90°，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．12(2023·海南海口·海口市第九中学校考二模)如图①，已知抛物线L:y=x2+bx+c的图象经过点A0,3．过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，连结OE． ，B1,0(1)求抛物线的关系式并写出点E的坐标；(2)若动点P在x轴下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出此时P点横坐标；(3)若将抛物线向上平移h个单位，且其顶点始终落在△OAE的内部或边上，写出h的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴上l的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．13(2023·广东珠海·校考一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为(4,0)，与y轴交于点C(0,2)．(1)求抛物线y=-12x2+bx+c和直线BC的函数表达式；(2)点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；(3)连接B和(2)中求出点P，点Q为抛物线上的一点，直线BP下方是否存在点Q使得∠PBQ=45°？若存在，求出点Q的坐标．14(2023·广西梧州·统考一模)如图1，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A -6，0 ，B 0，8 ，C 8，0 ，点P 为线段AC 上的一动点(点P 与点A ，C 不重合)，过点P 作PQ ∥BC 交AB 于点Q ，将△APQ 沿PQ 翻折，点A 的对应点为点D ，连接PD ，QD ，BD ．设点P 的坐标为t ，0(1)当点D 恰好落在BC 上时，求点P 的坐标；(2)若△PDQ 与△ABC 重叠部分面积S 与点P 横坐标t 之间的函数解析式为S =a (t +6)2(-6<t ≤1)-67t 2+bt +647(1<t <8) ，其图象如图2所示，求a 、b 的值；(3)是否存在点P ，使得∠BDQ 为直角？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15(2023·吉林长春·统考一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+ax+1(a为常数)，经过点P2,-7，点Q在抛物线上，其横坐标为m，将此抛物线上P、Q两点间的部分(包括P、Q两点)记为图像G．(1)求抛物线的解析式．(2)若点B是抛物线上一点，横坐标为1．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC，求△PBC的面积．(3)当抛物线的顶点是图像G的最高点，且图像G的最高点与最低点到x轴的距离和为定值时，求m的取值范围．(4)已知点M2m-1,-7、N2m-1,12m+1、E2,12m+1，顺次连接PM、MN、NE、EP得到矩形PMNE，当图像G与该矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．16(2023·广西贺州·统考一模)如图1，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点(点A在左侧)，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，(1)求点A，B，C的坐标；(2)设点P的横坐标为m，请用含m的式子表示线段PD的长；(3)如图2，连接OP，交线段BC于点Q，连接PC，若△PCQ的面积为S1，△OCQ的面积为S2，则S1S2是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由．17(2023·辽宁辽阳·统考一模)如图，在平而直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A-2,0两点，与y轴交于点C．，B4,0(1)试求抛物线的解析式；(2)直线y=kx+1k>0与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线BC交于点M，记m= S△CPMS△CDM，试求m的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标：若不存在，请说明理由．18(2023·河北衡水·校联考模拟预测)如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A1,0，点B-3,0，与y轴交于点C，顶点是D．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标D；(2)如图1，点E x,y是线段BD上的动点(不与B，D重合)，EF⊥x轴于F，设四边形OFEC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；(3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+3向下平移k个单位长度，平移后的顶点为D ，与x轴的交点是A ，B ．若△A B D 的外心在该三角形的内部，直接写出k的取值范围．19(2023·福建漳州·统考一模)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A3,0和点B，对称轴是直线x=2，与y轴交于点C，点P在抛物线上(不与A，B重合)．(1)当a=2时．①求抛物线的解析式；②点P在直线AC的下方，且△PAC的面积最大，求此时点P的坐标；(2)若直线AP，BP分别与y轴交于点D、E判断CDCE是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．20(2023·江苏常州·校考二模)已知：如图，抛物线y=mx2+4mx+3m>0交x轴于E、F两点，交y 轴于A点，直线AE：y=x+b交x轴于E点，交y轴于A点．(1)求抛物线的解析式；(2)若Q为抛物线上一点，连接QE,QA，设点Q的横坐标为t t<-3，△QAE的面积为S，求S与t函数关系式；(不要求写出自变量t的取值范围)(3)在(2)的条件下，点M在线段QA上，点N是位于Q、E两点之间的抛物线上一点，S=15，∠QMN=∠AEM，且MN=EM，求点N的坐标．。

二次函数的压轴题分类复习一、抛物线关于三角形面积问题例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.练习：1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式；（3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求∆BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；yBAMEF2. 如图，已知抛物线4212++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．二、抛物线中线段长度最小问题例题 如图，对称轴为直线x ＝－1的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（－3，0）． （1）求点B 的坐标；（2）已知a =1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴，QD 交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．OABP EQFxyEN MDCBAOyx练习：1. 如图， Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．三、抛物线与线段和最小的问题例题 如图，已知抛物线()()()120y x x a a a=-+>与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线过点M （﹣2，﹣2），求实数a 的值； （2）在（1）的条件下，解答下列问题； ①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH+EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．练习：1. 如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）． （1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP2. 如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出H 的坐标；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．四、抛物线与等腰三角形例题：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习：1. .如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线12 x=-（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．3. 如图，已知抛物线于x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由：（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

课题二次函数的综合压轴题型归类1、 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 教学目标2、 掌握特殊图形面积的各种求法1、 利用图形的性质找点 重点、难点2、 分解图形求面积教学内容知识点睛：一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总1、两点间的距离公式22： ABy A y Bx A x Bx A x B y A y B2、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为：2 ，2直线 yk 1 x b 1 （ k 1 0 ）与 y k 2 x b 2 （ k 2 0 ）的位置关系：（ 1）两直线平行k 1 k 2 且 b 1 b 2 （ 2）两直线相交k 1 k 2（ 3）两直线重合k 1 k 2 且 b 1 b 2（ 4）两直线垂直k 1k 213、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用 和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根； （两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于 x 的一元二次方程x 2－2 m 1 x m 2＝0 有两个整数根， m ＜5 且 m 为整数，求 m 的值。

4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线213 与y mxmx x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定3此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题 ，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：已知关于 x 的方程 mx 23(m 1)x 2m 3 0 （ m 为实数），求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根。

解：当 m0 时， x1；当 m0 时，m 3203 m 1， x1 231 ；， x、 x22m m综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线 y x2mx m 2 （ m 是常数），求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用二次函数求面积最大值问题】【考点二利用二次函数求面积最小值问题】【考点三利用二次函数求周长最大值问题】【考点四利用二次函数求周长最小值问题】【典型例题】【考点一利用二次函数求面积最大值问题】1(2023秋·吉林四平·九年级四平市第三中学校校考阶段练习)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B与y轴交于点C，点A的坐标为-1,0．，点B的坐标为3,0(1)求抛物线的表达式；(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC的面积S的最大值；(3)当a-2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值．【变式训练】1(2023春·河北沧州·九年级校考期中)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为4,0点，点P是直线BC，与y轴交于C0,-4下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．2(2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习)已知，抛物线y =-x 2+bx +c 经过B 3,0 、C 0,3 两点，点P 是抛物线上一点，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 位于第一象限时，连接BP ，CP ，得到△BCP ，当△BCP 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)当点P 位于第四象限时，连接AC ，BC ，PC ，若∠PCB =∠ACO ，求直线PC 的解析式；3(2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于点A -1,0 ，点B ，与y 轴交于点C ，且OC =2，点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P 在第四象限时，求△BCP 的最大面积；(3)当点P 在第一象限，且∠PCB =∠ABC 时，求出点P 的坐标．【考点二利用二次函数求面积最小值问题】1(2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习)如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =12，点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以1个单位每秒的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2个单位每秒的速度移动．如果P ，Q 两点在分别到达B ，C 两点后就停止移动，设运动时间为t 秒(0<t <6)，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时△PBQ的面积等于8．(2)设五边形APQCD的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值．【变式训练】1(2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测)已知抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A-1，0，与y轴交于点C．，B3，0(1)求b，c的值；(2)已知P为抛物线y=-x2+bx+c一点(不与点B重合)，若点P关于x轴对称的点P 恰好在直线BC上，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，平移抛物线y=-x2+bx+c，使其顶点始终在直线y=x上，且与PP 相交于点Q，求△QBP 面积的最小值．2(2023·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为3,0，连接AC，BC．动点P从A点出发，在线，B点坐标为-1,0段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．(1)b=，c=；(2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段MA+MP的值最小，则试求出点M的坐标．【考点三利用二次函数求周长最大值问题】1(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O0,0，矩形ABCD的边AB在线段OE上，E10,0(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B t,0，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．【变式训练】1(2023春·湖南长沙·八年级校考期末)已知抛物线y=a-1x+a2-4(a为常数，a>0)x2+2a-7的图象经过原点，点A在抛物线上运动．(1)求a的值．(2)若点P8-t，s都是这个抛物线上的点，且有s>r，求t的取值范围．和点Q t-4，r(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，过点D作DC⊥x轴，垂足于点C，试问四边形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．2(2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx与抛物线y= ax2+c交于A8,6、B两点，点B的横坐标为-2．(1)求直线AB 和抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合)，过点P 作x 轴的平行线，与直线AB 交于点C ，连接PO ，设点P 的横坐标为m ．①若点P 在x 轴上方，当m 为何值时，△POC 是等腰三角形；②若点P 在x 轴下方，设△POC 的周长为p ，求p 关于m 的函数关系式，当m 为何值时，△POC 的周长最大，最大值是多少？3(2023春·内蒙古赤峰·九年级统考阶段练习)如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于A (0,3)、B (-1,0)、C (3,0)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；(3)当矩形MNHG 的周长最大时，在二次函数图象上是否存在点P ，使△PNC 的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，直接写出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【考点四利用二次函数求周长最小值问题】1(2023秋·安徽·九年级阶段练习)如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若OA =1，OB =3，抛物线的对称轴为直线x =1.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P ，使得△PAB 周长最小，求出△PAB 最小周长．【变式训练】1(2023秋·云南临沧·九年级统考期末)如图，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴为直线x =2，点B 坐标为3,0 ，D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式．(2)P为该抛物线对称轴上一动点，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标．(3)当函数y=x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为3，求m的值．2(2023秋·全国·九年级专题练习)综合与探究如图，经过B3,0两点的抛物线y=x2-bx+c与x轴的另一个交点为A．，C0,-3(1)求抛物线的解析式；(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求D的坐标；(3)已知点M在抛物线上，求S△ABM=8时的点M坐标；(4)已知E2,-3，请直接写出能以点A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形的点P坐标．3(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0．点D为线段BC上的一动点． 和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．4(2023春·山东东营·九年级校考阶段练习)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(1, 0)、C(-2,3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D．(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；(2)在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用二次函数求面积最大值问题】【考点二利用二次函数求面积最小值问题】【考点三利用二次函数求周长最大值问题】【考点四利用二次函数求周长最小值问题】【典型例题】【考点一利用二次函数求面积最大值问题】1(2023秋·吉林四平·九年级四平市第三中学校校考阶段练习)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B与y轴交于点C，点A的坐标为-1,0，点B的坐标为3,0．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC的面积S的最大值；(3)当a-2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值．【答案】(1)y=x2-2x-3(2)278(3)a =6或a=-3【分析】1 用待定系数法即可求解；(2)先求直线BC的表达式，过点P作PH∥y轴交BC于点H,由S△PBC=S△PHC+S△PHB,即可求解.(3)当a+1≤1时, 即a≤0, 则x=a+1时, 抛物线取得最小值;当x=a-2≥1时, 即a≥3, 则x=a-2时, 抛物线取得最小值，进而求解；【详解】(1)设抛物线的表达式为：y=a x-1,x-3又∵a=1∴y=x+1x-3=x2-2x-3；(2)过点P作PH∥y轴交BC于点H,当x =0时，y =-3,∴点C 0,-3 ,设直线BC 的表达式为y =mx +n ，把3,0 和0,-3 代入得：3m +n =0n =-3 ，解得m =1n =-3 ∴直线BC 的表达式为y =x -3,设点P x ，x 2-2x -3 , 则点H x ，x -3 ,∴S △PBC =S △PHC +S △PHB =12×PH ×OB =12×3x -3-x 2+2x +3 =-32x -32 2+278，∵a =-32<0，∴S △PBC 有最大值，最大值为278；(3)∵y =x 2-2x -3=x -1 2-4≥-4，即抛物线的最小值是-4，即x =a -2和x =a +1不可能在抛物线对称轴两侧；当a +1≤1时, 即a ≤0,则x =a +1时，抛物线取得最小值，即y =a +1 2-2a +1 -3=5,解得:a =3(舍去)或a =-3,即a =-3；当x =a -2≥1时, 即a ≥3,则x =a -2时, 抛物线取得最小值,即y =a -2 2-2a -2 -3=5,解得:a =6或a =0(舍去)，综上,a =6或a =-3；【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.【变式训练】1(2023春·河北沧州·九年级校考期中)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为4,0 ，与y 轴交于C 0,-4 点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【答案】(1)y=x2-3x-4(2)P点的坐标为：2,-6，四边形ABPC的面积的最大值为18【分析】(1)将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；(2)由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．【详解】(1)解：将B、C两点的坐标代入得，16+4b+c=0c=-4，解得：b=-3 c=-4，所以二次函数的表达式为：y=x2-3x-4；(2)解：如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，P x,x2-3x-4，设直线BC的解析式为：y=kx+d，则d=-44k+d=0 ，解得：k=1 d=-4，∴直线BC的解析式为：y=x-4，则Q点的坐标为x,x-4；当0=x2-3x-4，解得：x1=-1，x2=4，∴AO=1，AB=5，S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=12AB⋅OC+12QP⋅BF+12QP⋅OF=12×5×4+124-xx-4-x2-3x-4+12x x-4-x2-3x-4=-2x2+8x+10=-2x-22+18，当x=2时，四边形ABPC的面积最大，此时P点的坐标为：2,-6，四边形ABPC的面积的最大值为18．【点睛】此题考查了二次函数综合应用，求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标等，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．2(2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习)已知，抛物线y=-x2+bx+c经过B3,0、C0,3两点，点P是抛物线上一点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 位于第一象限时，连接BP ，CP ，得到△BCP ，当△BCP 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)当点P 位于第四象限时，连接AC ，BC ，PC ，若∠PCB =∠ACO ，求直线PC 的解析式；【答案】(1)y =-x 2+2x +3(2)P 32,154(3)直线PC 的解析式为y =-2x +3【分析】(1)根据待定系数法可进行求解；(2)过点P 作PH ∥y 轴，交BC 于点H ，由题意易得直线BC 的解析式为y =-x +3，设点P a ,-a 2+2a +3 ，则H a ,-a +3 ，然后根据铅垂法可进行求解；(3)设CP 与x 轴的交点为E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，由题意易得△BOC 为等腰直角三角形，△EFB 为等腰直角三角形，△AOC ∽△EFC ，然后根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】(1)解：由题意可得：-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3；(2)解：过点P 作PH ∥y 轴，交BC 于点H ，如图所示：设直线BC 的解析式为y =kx +b ，则有：3k +b =0b =3，解得：k =-1b =3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +3，设点P a ,-a 2+2a +3 ，则H a ,-a +3 ，∴PH =-a 2+2a +3--a +3 =-a 2+3a ，点C 与点B 的水平距离为3，∴S △BCP =12×3×-a 2+3a =-32a -32 2+278，∵0<a <3且-32<0，∴当a =32时，△BCP 的面积最大，最大值即为278，此时∴P 32,154 ；(3)解：设CP 与x 轴的交点为E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，如图所示：由(1)及题意可得：OC =OB =3，当y =0时，则有-x 2+2x +3=0，解得：x 1=-1,x 2=3，∴△BOC 为等腰直角三角形，即∠OBC =45°，BC =2OB =32，OA =1，∴△EFB 为等腰直角三角形，∴EF =BF ，∵∠PCB =∠ACO ，∠AOC =∠EFC =90°，∴△AOC ∽△EFC ，∴AO EF =OC CF ，即AO OC =EF CF =13，∴CF =3EF =3BF ，∴CF +BF =4BF =BC =32，∴BF =324，∴BE =2BF =32，∴OE =OB -BE =32，∴E 32,0 ，设直线PC 的解析式为y =kx +b ，则有：32k +b =0b =3，解得：k =-2b =3 ，∴直线PC 的解析式为y =-2x +3．【点睛】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的图象与性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．3(2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于点A -1,0 ，点B ，与y 轴交于点C ，且OC =2，点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P 在第四象限时，求△BCP 的最大面积；(3)当点P 在第一象限，且∠PCB =∠ABC 时，求出点P 的坐标．【答案】(1)y =12x 2-32x -2(2)S △BCP 最大值为4(3)点P 坐标为173,509【分析】(1)先求出点C 的坐标为0,-2 ，把A -1,0 ，C 0,-2 代入解析式y =12x 2+bx +c ，求解即可；(2)过点P 作PE ⊥x 轴交BC 于点E ，令y =0，得12x 2-32x -2=0，求解得B 4,0 ；再用待定系数法求出BC 的解析式为y =12x -2，设点P a ,12a 2-32a -2 ，则点E a ,12a -2 ，所以PE =12a -2-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a ，由三角莆面积公式得S △BCP =12×-12a 2+2a ×4=-a -2 2+4，然后根据二次函数最值求法求解即可；(3)根据点P 在第一象限，所以设CP 交x 轴于点H ，根据等腰三角形的判定与勾肌主得BH =CH =52，从而求出点H 32,0 ．再用待定系数法救是直线CH 解析式为y =43x -2，然后求出直线CH 与抛物线在第一象限的交点坐标即可得解．【详解】(1)解：∵OC =2，∴点C 的坐标为0,-2 ，把A -1,0 ，C 0,-2 代入解析式y =12x 2+bx +c ，得1=12-b +c-2=c，解得b =-32c =-2，∴抛物线的解析式为y =12x 2-32x -2；(2)解：过点P 作PE ⊥x 轴交BC 于点E ，如图：令y =0，则12x 2-32x -2=0解得x 1=-1，x 2=4，∴B 4,0设BC 的解析式为y =kx +b ，把C 0,-2 ，B 4,0 代入得b =-24k +b =0，解得k =12b =-2，，∴BC 的解析式为y =12x -2，设点P a ,12a 2-32a -2 ，则点E a ,12a -2 ，∴PE =12a -2-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a ，∴S △BCP =12×-12a 2+2a ×4=-a -2 2+4，0<a <4 ，-1<0，∴当a =2时，S △BCP 取最大值，最大值为4；(3)解：∵点P 在第一象限，∴设CP 交x 轴于点H ，如图：∵∠PCB =∠ABC ，∴CH =BH ，∵CH 2=OC 2+OH 2，∴BH 2=CH 2=OC 2+OB -BH 2=22+4-BH 2，解得BH =52，∴OH=OB-BH=4-52=32，∴点H32,0．设直线CH解析式为y=kx+b，将点C0,-2，点H32,0代入得-2=b0=32k+b，解得k=43b=-2，∴直线CH解析式为y=43x-2，联立解析式得y=43x-2 y=12x2-32x-2，解得：x1=0y1=-2或x2=173y2=509，∴点P在第一象限，∴点P坐标为173,509．【点睛】本题考查用待定系数法函数解析式，一次函数与抛物线的图象性质，一次函数和抛物线的交点问题，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形的面积．熟练掌握一次函数与抛物线的图象性质是解题的关键．【考点二利用二次函数求面积最小值问题】1(2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，点P从点A出发沿AB边向点B以1个单位每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2个单位每秒的速度移动．如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，设运动时间为t秒(0<t<6)，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时△PBQ的面积等于8．(2)设五边形APQCD的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值．【答案】(1)2秒或4秒(2)S=t2-6t+72，当t=3时，S最小=63【分析】(1)设运动开始后第t秒时△PBQ的面积等于8，由三角形面积公式即可求解；(2)由S=S矩形ABCD-S△PBQ即可求解．【详解】(1)解：设运动开始后第t秒时△PBQ的面积等于8，由题意得126-t×2t=8，整理得：t 2-6t +8=0，解得：t 1=2，t 2=4，答：运动开始后第2秒或4秒时△PBQ 的面积等于8．(2)解：S =S 矩形ABCD -S △PBQ=6×12-126-t ×2t=t 2-6t +72，=t -3 2+63，∵1>0，0<t <6，∴当t =3时，S 最小=63；答：S =t 2-6t +72，当t =3时，S 最小=63．【点睛】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用，根据图形找出等量关系式，掌握二次函数最值的求法是解题的关键．【变式训练】1(2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测)已知抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A -1，0 ，B 3，0 ，与y 轴交于点C ．(1)求b ，c 的值；(2)已知P 为抛物线y =-x 2+bx +c 一点(不与点B 重合)，若点P 关于x 轴对称的点P 恰好在直线BC 上，求点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，平移抛物线y =-x 2+bx +c ，使其顶点始终在直线y =x 上，且与PP 相交于点Q ，求△QBP 面积的最小值．【答案】(1)b =2c =3 ；(2)P -2，-5 ；(3)S △QBP的最小值为1358．【分析】(1)利用待定系数法即可求解；(2)求得直线BC 的解析式为y =-x +3，设P a ，-a +3 ，则P a ，a -3 ，解方程a -3=-a 2+2a +3，即可求解；(3)由顶点始终在直线y =x 上，推出c =-b 24+b 2，由三角形面积公式得S △QBP=5PQ 2，当P Q 取最小值时，S △QBP取最小值，求得P Q 关于b 的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：∵抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A -1，0 ，B 3，0 ，∴-1-b +c =0-9+3b +c =0，解得b =2c =3 ；(2)解：由(1)得抛物线解析式为y =-x 2+2x +3，令x =0，则y =3，∴C 0，3 ，设直线BC 的解析式为y =kx +3，则0=3k +3，解得k =-1，∴直线BC 的解析式为y =-x +3，∵点P 关于x 轴对称的点P 恰好在直线BC 上，∴设P a ，-a +3 ，则P a ，a -3 ，即点P a ，a -3 在抛物线y =-x 2+2x +3上，∴a -3=-a 2+2a +3，整理得a 2-a -6=0，解得a 1=-2，a 2=3，∵点P 不与点B 重合，∴P -2，5 ，P -2，-5 ；(3)解：抛物线y =-x 2+2x +3的顶点坐标为b 2，b 24+c ，∵顶点始终在直线y =x 上，∴b 2=b 24+c ，即c =-b 24+b 2，由(2)知直线PP 的方程为x =-2，∵抛物线y =-x 2+bx +c 与PP相交于点Q ，∵S △QBP=5PQ2，∴当P Q 取最小值时，S △QBP取最小值，∵P Q =5--4-2b +c =9+2b -c=9+2b --b 24+b 2 =b 24+3b 2+9=b 2+32 +274，∵1>0，∴当b 2=-32即b =-3时，P Q 的最小值为274，∴S △QBP的最小值为=52×274=1358．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2(2023·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 的图象与坐标轴相交于A ，B ，C 三点，其中A 点坐标为3,0 ，B 点坐标为-1,0 ，连接AC ，BC ．动点P 从A 点出发，在线段AC 上以每秒2个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从B 点出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．(1)b =，c =；(2)在P ，Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？(3)已知点M 是该抛物线对称轴上一点，当点P 运动1秒时，若要使得线段MA +MP 的值最小，则试求出点M 的坐标．【答案】(1)2，3(2)当t =2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4(3)M 1,23 【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为E ，利用S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ 表示出四边形BCPQ 的面积，求出t 的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；(3)直接利用对称点的性质得出M 点位置，进而得出答案．【详解】(1)∵二次函数y =-x 2+bx +c 的图象经过点A 3,0 ，B -1,0 ，则-9+3b +c =0-1-b +c =0 ，解得：b =2c =3 ；故答案为：2；3；(2)令x =0，则有y =3，即有C 0,3 ；∵C 0,3 ，A 3,0 ，B -1,0 ，∴OC =OA =3，OB =1，即AB =4，AC =OC 2+OA 2=32，∴△OAC 是等腰直角三角形，∴∠BAC =45°，由点P 、Q 的运动可知：AP =2t ，BQ =t ，结合B -1,0 ，可得：Q -1+t ,0 ，即：AQ =AB -BQ =4-t ，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，如图，∴AH =PH =2t2=t ，即H 3-t ,0 ，∴S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ=12×OC ×AB -12×AQ ×PH=12×3×4-12×4-t ×t =12t -2 2+4，∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，且AC =32，∴0≤t ≤322即，0≤t ≤3，∴当t =2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4；(3)由(2)可知，当t =1时，可得点P 的坐标为(2，1)，根据抛物线的对称性可知，点A ，B 关于对称轴：x =1对称，连接BP ，与抛物线对称轴交于点M ，点M 即为所求，∵P 2,1 ，B -1,0 ，∴利用待定系数法可得直线BP 的解析式为：y =13x +13，当x =1时，y =23．即点M 的坐标为1,23．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最值问题，用方程的思想解决问题是解本题的关键．【考点三利用二次函数求周长最大值问题】1(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O 0,0 ，E 10,0 ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上(点B 在点A 的左侧)，点C ，D 在抛物线上，设B t ,0 ，当t =2时，BC =4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t =2时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．【答案】(1)y =14x 2-52x(2)当t =1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412(3)4【分析】(1)设抛物线的函数表达式为y =ax x -10 a ≠0 ，求出点C 的坐标，将点C 的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；(2)由抛物线的对称性得AE =OB =t ，则AB =10-2t ，再得出BC =-14t 2+52t ，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；(3)连接AC ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形OCHG 是平行四边形，则PQ =CH ，PQ =12OA ．求出t =2时，点A 的坐标为8,0 ，则CH =12OA =4，即可得出结论．【详解】(1)解：设抛物线的函数表达式为y =ax x -10 a ≠0 ．∵当t =2时，BC =4，∴点C 的坐标为2,-4 ．将点C 坐标代入表达式，得2a 2-10 =-4，解得a =14．∴抛物线的函数表达式为y =14x 2-52x ．(2)解：由抛物线的对称性得：AE =OB =t ，∴AB =10-2t ．当x =t 时，BC =-14t 2+52t ．∴矩形ABCD 的周长为2AB +BC =210-2t +-14t 2+52t=-12t 2+t +20=-12t -1 2+412．∵-12<0，∴当t =1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412．(3)解：连接AC ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ．∵直线GH 平分矩形ABCD 的面积，∴直线GH 过点P ．．由平移的性质可知，四边形OCHG 是平行四边形，∴PQ =CH ．∵四边形ABCD 是矩形，∴P 是AC 的中点．∴PQ =12OA ．当t =2时，点A 的坐标为8,0 ，∴CH =12OA =4．∴抛物线平移的距离是4．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质．【变式训练】1(2023春·湖南长沙·八年级校考期末)已知抛物线y =a -1 x 2+2a -7 x +a 2-4(a 为常数，a >0)的图象经过原点，点A 在抛物线上运动．(1)求a的值．(2)若点P8-t，s和点Q t-4，r都是这个抛物线上的点，且有s>r，求t的取值范围．(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，过点D作DC⊥x轴，垂足于点C，试问四边形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)a=2；(2)t<6；(3)存在，当x=12时，四边形ABCD的周长最大为13 2．【分析】(1)将坐标0,0代入抛物线计算求值即可；(2)由a的值可得抛物线解析式，从而可得s，r的表达式，再根据s>r解不等式即可；(3)由y=x2-3x可得函数的对称轴，根据A、D两点的对称性设A m，m2-3m，D n，m2-3m，再由两点的中点坐标在对称轴上可得n的表达式；根据坐标的定义求得四边形周长的表达式再配方即可解答；【详解】(1)解：将原点坐标代入抛物线可得：0=a2-4，a=±2，∵a>0，∴a=2；(2)解：把a=2代入抛物线可得：y=x2-3x，点P和点Q代入抛物线解析式可得：s=8-t2-38-t=t2-13t+40，r=t-42-3t-4=t2-11t+28，∵s>r，∴t2-13t+40>t2-11t+28，∴-2t>-12，∴t<6；(3)解：由抛物线解析式y=x2-3x可得对称轴为x=--32=32，AD平行于x轴，设A m，m2-3m且0<m<32，D n，m2-3m，由抛物线的对称性可知A、D两点的中点坐标在对称轴x=32上，∴m+n2=32，∴n=3-m，∵AB和DC都和x轴垂直，AD平行于x轴，∴四边形ABCD 是矩形，由函数图象可知A 点纵坐标m 2-3m <0，∴四边形ABCD 的周长为：2AB +2AD =2m 2-3m +2n -m =-2m 2-3m +23-2m =-2m -12 2+52，∴当m =12时四边形周长有最大值52；【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质，矩形的性质，坐标的定义等知识；掌握二次函数的对称性是解题关键．2(2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y =kx 与抛物线y =ax 2+c 交于A 8,6 、B 两点，点B 的横坐标为-2．(1)求直线AB 和抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合)，过点P 作x 轴的平行线，与直线AB 交于点C ，连接PO ，设点P 的横坐标为m ．①若点P 在x 轴上方，当m 为何值时，△POC 是等腰三角形；②若点P 在x 轴下方，设△POC 的周长为p ，求p 关于m 的函数关系式，当m 为何值时，△POC 的周长最大，最大值是多少？【答案】(1)y =34x ，y =18x 2-2(2)①当m =4+4103时，△POC 是等腰三角形；②当m =2时，△POC 的周长最大，最大值为9【分析】(1)利用待定系数法求解析式；(2)①当△POC 是等腰三角形时，判断出只有OC =PC ，设出点P 的坐标，用OC =PC 建立方程组求解即可；②先表示出PC ,OC ,OP ，然后建立△POC 的周长p 关于m 的函数关系式，确定出最大值．【详解】(1)解：将点A 8,6 代入y =kx ，得8k =6，解得k =34，∴直线AB 的解析式为y =34x ；当x =-2时，y =34x =34×-2 =-32，∴B -2,-32 将点A 8,6 ，B -2,-32代入y =ax 2+c ，得64a +c =64a +c =-32，解得a =18c =-2 ，∴抛物线的解析式为y =18x 2-2；(2)①设P m ,n ，则18m 2-2=n ，∵过点P 作x 轴的平行线，与直线AB 交于点C ，∴C 43n ,n ，∴PC =m -43n ，当点P 在x 轴上方时，m >0，∠OCP 是钝角，∴OC <OP ,PC <OP ，∵△POC 是等腰三角形，∴OC =CP ，∵OC =53n ，∴m -43n =53n ，∴m =3n ，∵18m 2-2=n ∴m =318m 2-2 ，∴m =4+4103或m =4-4103(舍去)，∴当m =4+4103时，△POC 是等腰三角形；②当点P 在x 轴下方时，-2<m <4，∴n <0∵P m ,n ，则18m 2-2=n ，点C 43n ,n ,∴OC =-53n ，OP =m 2+n 2=m 2+18m 2-2 2=18m 2+2，∵PC =m -43n ，18m 2-2=n ，∴p =OP +PC +OC=18m 2+2+m -43n +-53n =18m 2+m -3n +2=18m 2+m -318m 2-2 +2=-14m -2 2+9，∴当m =2时，p 最大，最大值为9，∴当m =2时，△POC 的周长最大，最大值为9．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平面内两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形的周长，极值的确定，解本题的关键是表示出PC ,OC ,OP 的长度．3(2023春·内蒙古赤峰·九年级统考阶段练习)如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于A (0,3)、B (-1,0)、C (3,0)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；(3)当矩形MNHG 的周长最大时，在二次函数图象上是否存在点P ，使△PNC 的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，直接写出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+2x +3(2)10(3)存在；32，3+322，3-322【分析】(1)利用待定系数法解答即可；(2)设点M 的坐标为m ,-m 2+2m +3 ，则点N 2-m ,-m 2+2m +3 ，利用m 的代数式分别表示出矩形的边长，利用矩形的周长的公式求得矩形的周长，利用配方法解答即可得出结论；(3)利用(2)的结论求得点N 的坐标，可得点N 与点A 重合，设点P 的坐标为n ,-n 2+2n +3 ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交AC 于点E ，利用含n 的代数式表示出FE ，利用S △PNC =S △PNE +S △PCE =12×PE ⋅OC ，求得△PNC 的面积，利用已知条件得到关于n 的方程，解方程即可求得n 值；再利用平行线的距离相等，当直线AC 向下平移94个单位长度时，该直线与抛物线的交点也满足条件，求得平移后的直线解析式，与抛物线的解析式联立，解方程组即可得出结论．【详解】(1)设二次函数解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0)，∵二次函数图象过A (0,3)、B (-1,0)、C (3,0)三点，∴c =3a -b +c =09a +3b +c =0，解得a =-1b =2c =3，即二次函数解析式为y =-x 2+2x +3．(2)设点M 的坐标为m ,-m 2+2m +3 ，则点N 2-m ,-m 2+2m +3 ，∴MN =m -2+m =2m -2，GM =-m 2+2m +3，矩形MNHG 的周长C =2MN +2GM ，=2(2m -2)+2-m 2+2m +3=-2m 2+8m +2，∵-2<0。

专题28 二次函数中的三角形问题知识对接考点一、二次函数中的三角形问题考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。

考点二、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。

例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

要点补充：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。

6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。

要点补充：专项训练一、单选题1．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】设三角形运动速度为1，分0≤t≤2时，2＜t≤2时，2＜时，时五种情况，可知等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，分别求出函数关系式，即可得出答案． 【详解】∵等腰直角三角形的直角边长为1， ∵当s ＝12×1×1+2×2﹣212t ⨯＝92﹣12t 2；s ＝22-12+2×12t)2=t 2﹣112；t≤2时，s ＝2122-×1×1＝72；当2＜时，s ＝22-2×12(t -2)2=t 2﹣4t+152；当2+2＜s ＝22+12-2×12t+2）2=92t+2）2，∵等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，且变小、变大时的图象为抛物线，不变时的图象为直线， ∵A 符合要求， 故选：A ． 【点睛】考查了动点问题的函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，熟练掌握二次函数的图象是解题关键．2.定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l ：13y x b =+经过点10,4M ⎛⎫⎪⎝⎭一组抛物线的顶点()111B y ，，()222,B y ，()333,B y ，…(),n n B n y （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()11,0A x ，()22,0A x ，()33,0A x ，…()11,0n n A x ++（n 为正整数）．若()101x d d =<<，当d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A ．512或712B ．512或1112C ．712或1112D ．712【答案】B 【分析】由抛物线的对称性可知，所有构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又0＜d ＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1，据此对上一步结论分析可得满足美丽抛物线对应的顶点，再确定抛物线与x 轴的交点值与对称轴的距离，从而可求得d 的值 【详解】解： 直线l ：13y x b =+经过点M （0，14）则b=14，∵直线l ：1134y x =+由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形； ∵该等腰三角形的高等于斜边的一半 ∵0＜d ＜1∵该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）∵当x=1时，11173412y =+=＜1；当x=2时，221113412y =+= ＜1； 当x=3时，315144y =+=＞1； ∵美丽抛物线的顶点只有12,B B ∵若1B 为顶点，由17(1,)12B ，则7511212d =-= ， ∵若2B 为顶点，由211(2,)12B ，则11111(2)11212d ⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦综上所述，d 的值为512或1112时，存在美丽抛物线． 故选B ． 【点睛】此题主要考查抛物线与x 轴的交点，抛物线的对称性．3．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是A．16B．15C．14D．13【答案】C【详解】根据在OB上的两个交点之间的距离为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，∵一共有7条抛物线．同理可得开口向上的抛物线也有7条．∵满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14．故选C．4．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果∵ABC是该抛物线的内接格点三角形，A，B，C的横坐标x A，x B，x C满足x A＜x C＜x B，那么符合上述条件的抛物线条数是（）。

二次函数与三角形最大面积1、在坐标系中求三角形的面积有 3 种方法：（ 1）割法：（和、差）的相互转变三角形的面积一般都是经过切割成几个三角形尔后计算几个三角形的面积和， 尔后利用坐标来表示三角形的面积，这样三角形的面积即为一个二次函数，下面求解二次函数的最值即可。

公式法：1铅垂高 * 水平宽2（ 2）补法：用大图形的面积– 其他图形的面积（大三角形的面积– 小三角形的积）1、直线 AB 经过 x 轴上的一点 A （2,0），且与抛物线 y=ax 2 订交于 B ， C 两点，已知点 B 坐标为（ 1， 1）（ 1）求直线和抛物线的剖析式；（ 2）若是 D 为抛物线上的一点，使得△ AOD 与△ OBC 的面积相等，求点 D 坐标．2、如图：如图，直线 y1 x 与抛物线 y 1 x 26 交于 A 、 B 两点，24（ 1）求 A 、 B 两点的坐标。

（ 2）点 Q 在 X 轴上方的抛物线上，当 Q 点的坐标为多少时，△ ABQ 的面积最大？最大面积有为多少？YAXB3、、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4,0) 、 B(0 ， -4) 、 C(2,0) 三点，（ 1）求抛物线的剖析式，（ 2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m, △ AMB 的面积为 S,求 S 关于 m 的函数关系式，并求出S 的最大值。

（ 3）若点 P 为抛物线上的动点，点Q 是直线 y= - x 上的动点，判断有几个地址能使以点P 、Q 、B 、O 为极点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标yA OxC MB24、（广安）如图，已知抛物线y=x +bx+c 经过点（1，-5）和（-2，4）（ 2）设此抛物线与直线y=x 订交于点 A ，B（点 B 在点 A 的侧），平行于 y 轴的直线x=m（ 0＜ m＜ 5 +1）与抛物线交于点M ，与直线y=x 交于点 N ，交 x 轴于点 P，求线段 MN 的长（用含m 的代数式表示）；（ 3）在条件（ 2）的情况下，连接OM 、 BM ，可否存在m 的值，使△ BOM 的面积 S 最大？若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明原由5、已知：抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C 在 y 轴的负半轴上，线段 OA 、 OC 的长（ OA ＜ OC ）是方程 x2-5x+4=0 的两个根，且抛物线的对称轴是直线 x=1．（ 1）求 A 、 B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的剖析式；（3）若点 D 是线段 AB 上的一个动点（与点 A 、B 不重合），过点 D 作 DE ∥ BC 交 AC 于点 E，连接 CD ，设 BD 的长为 m，△ CDE 的面积为S，求 S 与 m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 可否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时 D 点坐标；若不存在，请说明原由．6．（ 2011?济宁）如图，第一象限内半径为 2 的⊙ C 与 y 轴相切于点 A ，作直径AD ，过点 D 作⊙ C 的切线 l 交 x 轴于点 B， P 为直线 l 上一动点，已知直线PA 的剖析式为：y=kx+3 ．（ 1）设点 P 的纵坐标为p ，写出 p 随 k 变化的函数关系式．（ 2）设⊙ C 与 PA 交于点 M ，与 AB 交于点 N ，则不论动点P 处于直线l 上（除点 B 以外）的什么地址时，都有△ AMN ∽△ ABP ．请你关于点P 处于图中地址时的两三角形相似恩赐证明；（ 3）可否存在使△AMN 的面积等于32的k值？若存在，央求出吻合的k 值；若不存在，请说明原由．25练习牢固：3．（ 2011?南充）抛物线y=ax 2 +bx+c 与 x 轴的交点为 A （ m-4 ， 0）和 B（ m， 0），与直线y= -x+p 订交于点A 和点 C （2m-4 ， m-6 ）．（ 1）求抛物线的剖析式；（ 2）若点 P 在抛物线上，且以点P 和 A ，C 以及另一点Q 为极点的平行四边形面积为12，求点 P，Q 的坐标；（ 3）在（ 2）条件下，若点M 是 x 轴下方抛物线上的动点，当△PQM 的面积最大时，央求出△PQM 的最大面积及点M 的坐标．2.如图 ,在平面直角坐标系中，直线 AB 与 X 轴交于点 A(-2,0) ，与反比率函数在第一象限内的图像交于点 B(2，n)，连接 BO, 若 S△AOB=2 3， (1) 求改反比率函数和直线AB的剖析式。

中考数学压轴题专题解析---二次函数中三角形面积问题例1. 如图，抛物线y ＝－x 2＋x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC.点P 为第一象14限的抛物线上的一个动点，设P 点的横坐标为m.(1)请问当m 为何值时，△PCB 的面积最大，求出最大面积．(2)过点P 作PM ⊥BC 于M ，求PM 的最大值．(3)过点P 作PQ ∥ｙ轴，交BC 于点Q ，若△CPQ 为等腰三角形，求m 的值．1．如图，直线l：y＝－3x＋3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2－2ax＋a＋4(a<0)经过点 B.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM.设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S.求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．2．如图，抛物线顶点为点C(1，4)，交x 轴于点A(3，0)，交y 轴于点 B.(1)求抛物线、直线AB 的解析式和△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；(2)点P 是抛物线上的一个动点，连接PA ，PB ，若S △PAB ＝S △CAB ，求出P 点的坐标．783．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点 C.抛物线y ＝－x 2＋bx 1212＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点 B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点．连接BC 、CD.设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求的最大值．S 1S 24．将直角边长为6的等腰直角三角形AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(－3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与(2)中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．答案例1.解：(1)方法一：由抛物线y ＝－x 2＋x ＋3，得A (－2，0)，B (6，0)，C (0，3)，∴直线BC 的14解析式为y ＝－x ＋3.12过点P 作PQ ∥y 轴，交BC 于点Q ，S △PCB ＝PQ (x B －x C )＝×6(－m 2＋m )12121432＝－(m －3)2＋，34274当m ＝3时，最大面积为.274其实，三角形的面积就等于铅垂高乘以水平宽再除以2.方法二：连接OP ，S △PCB ＝S △PCO ＋S △PBO －S △BCO＝CO ·x P ＋BO ·y P －OB ·OC 121212＝－(m －3)2＋.34274当m ＝3时，最大面积为.274方法三：要使△PCB 的面积最大，可以把BC 当作底边，由于底边BC 固定，当BC 边对应的高最大时，△PCB 的面积最大．把BC 平移到与抛物线仅有一个交点的位置，此时抛物线上动点P 到BC 距离最远，即BC 边对应的高最大．设直线BC 平移后的解析式为y ＝－x ＋b ，12因为BC 平移后的直线与抛物线仅有一个交点，所以由方程组得到的方程－x 2＋x ＋3＝－x ＋b 只有一个实数根．{y ＝－14x 2＋x ＋3，y ＝－12x ＋b ，)1412由判别式等于0，可求出b ＝，此时P (3，)，可求得△PCB 面积的最大值为.214154274经验小结：方法二中转换面积的方法很好，好处在于△PCO ，△PBO ，△BCO 都有一边在x 轴或者y 轴上，把它们作为底，那么高就可以用点的横纵坐标表示了，其实，这三个三角形的面积也是由铅垂高乘以水平宽除以2得到的．铅垂高不仅在求面积时用处很大，在求一些倾斜线段的长时也能提供很大的帮助．请看第(2)问．方法一：面积法：∵S △PCB ＝BC ·PM ，∴PM ＝122S △PCBBC＝－(m －3)2＋.5109 510∴当m ＝3时，PM 的最大值是.9 510方法二：转换到铅锤高：∵cos ∠MPQ ＝＝，PM PQ 2 55∴PM ＝PQ ＝－(m －3)2＋.2 555109 510∴当m ＝3时，PM 的最大值是.9 510解：分以下三种情况进行讨论：①QP ＝QC 时，∴－m 2＋m ＝m ，143252解得：m 1＝6－2 ，m 2＝0(舍)，5②CP ＝CQ 时，过点C 作CH ⊥PQ 于H ，∴HQ ＝PQ ，cos ∠CQP ＝＝＝，∴m ＝2.12HQ CQ 12（－14m 2＋32m ）52m15③PC ＝PQ 时，过点P 作PG ⊥CQ ，∴GQ ＝CQ ，12cos ∠CQP ＝＝＝，∴m ＝1.GQ PQ 12（52m ）－14m 2＋32m 15综上所述，当△CPQ 为等腰三角形时，m ＝6－2 或m ＝2或m ＝1.5针对训练：1. 解：(1)直线l ：y ＝－3x ＋3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，当y ＝0时，x ＝1；当x ＝0时，y ＝3.∴点A ，B 的坐标分别为(1，0)、(0，3)．∵点B (0，3)在抛物线y ＝ax 2－2ax ＋a ＋4(a ＜0)上，∴3＝a ＋4，∴a ＝－1.∴该抛物线的解析式为：y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)方法一：设M 的坐标为(m ，－m 2＋2m ＋3)，连接OM ，如图①．∵S △ABM ＝S 四边形OAMB －S △AOB ＝S △OBM ＋S △OAM－S △AOB ＝×3×m ＋×1×（－m 2＋2m ＋3)－×1×３121212＝－m 2＋m 1252＝－(m －)2＋.1252258∵点M 在第一象限，∴0＜m ＜3，∴当m ＝时，S 有最大值.52258方法二：过M 作MN ∥y 轴，交直线AB 于N ，如图②．设M 的坐标为(m ，－m 2＋2m ＋3)，N (m ，－3m ＋3)，∴MN ＝－m 2＋2m ＋3－(－3m ＋3)＝－m 2＋5m ，S △ABM ＝S △MNB －S △MNA ＝MN (x N －x B )－MN (x N －x A )1212＝MN (x A －x B )＝(－m 2＋5m )(1－0)＝－m 2＋m 12121252＝－(m －)2＋.1252258∵点M 在第一象限，∴0＜m ＜3，∴当m ＝时，S 有最大值.52258方法三：令y ＝0代入y ＝－x 2＋2x ＋3，∴0＝－x 2＋2x ＋3，∴x ＝－1或3，∴抛物线与x 轴的交点横坐标为－1和3，∵M 在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m ＜3，过点M 作ME ⊥y 轴于点E ，交AB 于点D ，如图③．由题意知：M 的坐标为(m ，－m 2＋2m ＋3)，∴D 的纵坐标为：－m 2＋2m ＋3，∴把y ＝－m 2＋2m ＋3代入y ＝－3x ＋3，∴x ＝，m 2－2m 3∴D 的坐标为(，－m 2＋2m ＋3)，m 2－2m 3∴DM ＝m －＝，m 2－2m 3－m 2＋5m 3∴S ＝DM ·BE ＋DM ·OE ＝DM (BE ＋OE )＝DM ·OB 12121212＝××３＝12－m 2＋5m 3－m 2＋5m 2＝－(m －)2＋.1252258∵0＜m ＜3，∴当m ＝时，S 有最大值，最大值为.522582. 解：(1)y 1＝－x 2＋2x ＋3，y 2＝－x ＋3.∵C 点坐标为(1，4)，∴当x ＝1时，y 1＝4，y 2＝2，∴CD ＝4－2＝2，∴S △CAB ＝×3×２＝3.12(2)设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，①若P 在直线AB 上方，则h ＝y 1－y 2＝(－x 2＋2x ＋3)－(－x ＋3)＝－x 2＋3x ，由S △PAB ＝S △CAB ，78得：×3×（－x 2＋3x )＝×３，化简得：4x 2－12x ＋7＝0，解得x ＝.12783±22将x ＝代入y 1＝－x 2＋2x ＋3，得y 1＝，即P 1(，)，P 2(，3±2213?2 243＋2213－2 243－22)；13＋2 24②若P 在直线AB 下方，则h ＝y 2－y 1＝(－x ＋3)－(－x 2＋2x ＋3)＝x 2－3x ，由S △PAB ＝S △CAB 得：7812×3×（x 2－3x )＝×３，78化简得：4x 2－12x －7＝0，解得x 1＝，x 2＝－.7212将x 1＝，x 2＝－代入y 1＝－x 2＋2x ＋3，得y 3＝－，y 4＝，∴P 点坐标为P 3(，－)，P 4(－，7212947472941274)．综上所述，存在满足条件的点：P 1(，)，P 2(，)，P 3(，－)，P 4(－3＋2213－2 243＋2213－2 24729412，)．743. 解：(1)在y ＝x ＋2中，当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝－4.∴C (0，2)，A (－4，0)．12代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，12得{2＝c ，0＝－12×（－4）2＋b ×（－4）＋c ，)解得b ＝－，c ＝2.32∴抛物线的函数表达式为y ＝－x 2－x ＋2.1232(2)如图，过点C 作CH ⊥BD 于点H ，则S 1＝DE ·CH ，S 2＝BE ·CH .∴＝.1212S 1S 2DE BE过点D 作DM ∥y 轴交AC 于点M 、过点B 作BN ⊥x 轴交AC 于点N ，则DM ∥BN .∴＝.DE BE DM BN 在y ＝－x 2－x ＋2中，当y ＝0时，1232－x 2－x ＋2＝0，1232解得x ＝－4或1.∴B (1，0)，A (－4，0)．易求直线AC 的解析式为y ＝x ＋2，当x ＝1时，y ＝x ＋2＝.∴N (1，)，12125252BN ＝.52设D (t ，－t 2－t ＋2)，则M (t ，t ＋2)．123212∴DM ＝－t 2－t ＋2－(t ＋2)＝－t 2－2t .12321212∴＝＝－(t ＋2)2＋.∴当t ＝－2时，取最大值.S 1S 2－12t 2－2t 521545S 1S2454.解：(1)y ＝－x 2＋x ＋6.13(2)设点P 的坐标为(m ，0)，如图，则PC ＝6－m ，S △ABC ＝BC ·AO ＝×9×６＝27.1212∵PE ∥AB ，∴△CEP ∽△CAB .∴＝()2，即＝()2.S △CEP S △CAB PC BC S △CEP 276－m 9∴S △CEP ＝(6－m )2.13∵S △APC ＝PC ·AO ＝(6－m )×６＝3(6－m )，1212∴S △APE ＝S △APC －S △CEP ＝3(6－m )－(6－m )2＝－(m －)2＋.131332274当m ＝时，S △APE 有最大面积为；此时，点P 的坐标为(，0)．3227432(3)如图，过G 作GH ⊥BC 于点H ，设点G 的坐标为G (a ，b )，连接AG 、GC ，∵S 梯形AOHG ＝a (b ＋6)，S △CHG ＝(6－a )b ，1212∴S 四边形AOCG ＝a (b ＋6)＋(6－a )b ＝3(a ＋b )．1212∵S △AGC ＝S 四边形AOCG －S △AOC ，∴＝3(a ＋b )－18.274∵点G (a ，b )在抛物线y ＝－x 2＋x ＋6的图象上，13∴b ＝－a 2＋a ＋6.∴＝3(a －a 2＋a ＋6)－18，1327413化简，得4a 2－24a ＋27＝0，解得a 1＝，a 2＝.3292故点G 的坐标为(，)或(，)．3227492154。