解三角形中的一类最值(范围)问题的解法探究

试析解三角形中最值与范围问题三角形是一种最基本的几何形状，它的最值与范围问题也是数学中的一个重要研究课题。

本文将从三个方面来试析三角形中最值与范围问题，分别是三角形的边长最值、角度最值和面积最值。

首先，讨论三角形的边长最值。

根据三角形的定义，三角形的边长最小值为0，最大值为无穷大。

这是因为三角形的边长可以是任意长度，只要满足三角形的定义即可。

其次，讨论三角形的角度最值。

根据三角形的定义，三角形的角度最小值为0度，最大值为180度。

这是因为三角形的角度必须小于180度，否则就不是三角形了。

最后，讨论三角形的面积最值。

根据三角形的定义，三角形的面积最小值为0，最大值为无穷大。

这是因为三角形的面积可以是任意大小，只要满足三角形的定义即可。

综上所述，三角形的边长最小值为0，最大值为无穷大；三角形的角度最小值为0度，最大值为180度；三角形的面积最小值为0，最大值为无穷大。

从这些最值和范围可以看出，三角形是一种非常灵活的几何形状，它的最值与范围问题也是数学中的一个重要研究课题。

三角形的最值与范围问题不仅仅是数学中的一个重要研究课题，它在实际应用中也有着重要的意义。

例如，在建筑设计中，三角形的最值与范围问题可以帮助建筑师更好地设计建筑物，以满足建筑物的结构要求。

此外，三角形的最值与范围问题也可以帮助工程师更好地设计机械设备，以满足机械设备的结构要求。

因此，三角形的最值与范围问题不仅仅是数学中的一个重要研究课题，它在实际应用中也有着重要的意义。

三角形的最值与范围问题的研究可以帮助我们更好地理解三角形，并且可以帮助我们更好地应用三角形，从而更好地解决实际问题。

Җ㊀山东㊀冯海侠㊀㊀在新高考形势下, 解三角形 应该会出现在第１７题或第１８题的位置,一般都属于中等或中等偏下难度的题目,是学生必拿分的题．高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活,题型多变㊁综合性强,有利于培养学生的创新意识．这类问题简单,但部分学生却拿不到满分,尤其是求最值或范围的问题．下面笔者以两道高考题为例来归纳这类问题的解答方法及技巧,希望能帮助读者突破瓶颈,提高学习效率．例１㊀(２０１９年全国卷Ⅲ理１８)әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a s i nA ＋C２＝b s i n A ．(１)求B ;(２)若әA B C 为锐角三角形,且c ＝１,求әA B C 面积的取值范围．(１)由a s i n A ＋C２＝b s i n A ,可得s i n A s i n π－B ２＝s i n B s i n A ,即s i n A c o s B２＝s i n B s i n A ,因为s i n A ʂ０,所以c o s B ２＝s i n B ＝２s i n B ２c o s B２．又因为B ɪ(０,π),所以B ２ɪ(０,π２),则c o s B ２ʂ０,所以s i n B ２＝１２,则B ２＝π６,即B ＝π３．(２)由c ＝１,a s i n A ＝c s i n C,可得a ＝c s i n A s i n C ＝s i n A s i n C．所以S әA B C ＝１２a c s i n B ＝１２ˑ３２a ＝３４a ＝３４s i n A s i n C ＝３４s i n (B ＋C )s i n C＝３４ˑ３２c o s C ＋１２s i n Cs i n C ＝３８＋３８ˑ１t a n C．又因为әA B C 是锐角三角形,故０＜C ＜π２且０＜２π３－C ＜π２,所以π６＜C ＜π２,则t a n C ＞３３,即０＜１t a n C ＜３,所以S әA B C ɪ(３８,３２)．例２㊀(２０１３年全国卷Ⅱ理１７)әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a ＝b c o s C ＋c s i n B ．(１)求B ;(２)若b ＝２,求әA B C 面积的最大值．(１)由已知条件及正弦定理得s i n A ＝s i n B c o s C ＋s i n C s i n B ．①又因为A ＝π－(B ＋C ),故s i n A ＝s i n (B ＋C )＝s i n B c o s C ＋c o s B s i n C ．②由①②得s i n B ＝c o s B ,又B ɪ(０,π),所以B ＝π４．(２)әA B C 的面积S ＝１２a c s i n B ＝２４a c ,由已知条件及余弦定理得４＝a ２＋c ２－２a c c o sπ４ȡ２a c －２a c ,故a c ɤ４２－２＝２(２＋２),当且仅当a ＝c 时,等号成立．因此,S ＝１２a c s i n B ＝２４a c ɤ２４ˑ２(２＋２)＝２＋１,即әA B C 面积的最大值为２＋１．解三角形中的最值及范围问题主要有两种方法,其一是利用基本不等式求最大值或最小值,这类问题多与余弦定理相结合,常见形式如下．(１)a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ȡ２b c －２b c c o s A ,从而求出b c 的最大值;(２)a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝(b ＋c )２－(２－２c o s A )b c ȡ(b ＋c )２－(２－２c o s A )(b ＋c ２)２．在使用基本不等式时一定不要忘了等号的验证,同时,要将所求式子转化为含有一个未知数的函数,大多情况下是转化成关于某个角的函数,利用三角函数性质及角的条件求解,有时也转化为某个边的函数,再结合边的范围求解．解三角形中的最值和范围问题是重点也是难点,综合性较强,所以学生不仅要有扎实的基本功,还要灵活应变,掌握做题技巧,这样在高考中才能取得满意的成绩．(作者单位:山东省菏泽市巨野县第一中学)３。

浅析解三角形中的最值与范围问题解题方法作者：沈燕云来源：《神州·下旬刊》2019年第10期摘要：解三角形是高中数学中的教学重点之一，是高考的高频考点，而其中的最值与范围问题的综合性较强，是学生解题中的一大难点。

本文旨在浅析解三角形中的最值与范围问题的解题方法，帮助学生较好的理解和掌握这类问题的做题技巧。

关键词：解三角形;不等式;最值与范围问题知识储备：1、正弦定理：，其中R为ΔABC外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为方程或分式关于边或者角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行。

2、余弦定理：变式：此公式在已知a， A的情况下，配合均值不等式可得到b+c和bc的最值。

3、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少。

（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效.4、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）问题。

（2）利用均值不等式求最值。

例1.已知锐角ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则ΔABC的面积最大值为_____.[分析]先化简得，，则只需求bc的最大值，此时既可以用余弦定理结合均值不等式解决，也可以用正弦定理将边化为角的正弦，利用三角函数的有界性解决。

具体解法如下：解法一：由余弦定理，即，当且仅当时取得等号，即，所以ΔABC面积的最大值为.解法二：由正弦定理，则因为ΔABC为锐角三角形，则则，所以ΔABC的面积即ΔABC面积的最大值为[总结]容易看到解法一简洁，解法二复杂，但解法一中无法体现三角形是锐角三角形，只能求出三角形面积的最大值，解法二则非常清晰地体现了锐角三角形中角的取值范围，可以求出面积的下限。

第14讲解三角形中周长最大值及取值范围问题【考点分析】考点一：解三角形中角的最值及范围问题①利用锐角三角形，⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<πππC B A 000，求出角的范围②利用余弦定理及基本不等式求角的最值：bca bc bc a cb A 222cos 2222-≥-+=考点一：解三角形中周长的最值及范围问题①利用基本不等式：()bca bc cb bc a c b A 222cos 22222--+=-+=，再利用bc c b 2≥+及a c b >+，求出c b +的取值范围②利用三角函数思想：()B A R B R C R B R c b ++=+=+sin 2sin 2sin 2sin 2，结合辅助角公式及三角函数求最值【题型目录】题型一：三角形角的最值及范围问题题型二：三角形边周长的最值问题题型三：三角形边周长的最值范围问题【典型例题】题型一：三角形角的最值及范围问题【例1】在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2sin B C A +=，则A 的最大值为（）A ．2π3B ．π6C ．π2D ．π3【例2】在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 0a B c +=，则tan C 的最大值是（）A ．1BCD【例3】锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos b a a C -=，则（）A ．2C A =B ．A 的取值范围是(,)64ππC ．2A C=D ．2ca的取值范围是【例4】已知在锐角ABC 中，sin tan 1cos BA B=+.(1)证明：2B A =；(2)求tan tan 1tan tan B AA B-+⋅的取值范围.【题型专练】1．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos b b A a B +=，则（）A ．2AB =B ．64B ππ<<C ．(ab∈D ．22a b bc=+2．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（）A ．,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．433⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭题型二：三角形边周长的最值问题【例1】已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，6c =，60B =︒，则b 的最小值为（）A ．3B ．C ．D ．6【例2】设ABC 边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若ABC 的面积为212c ，则以下结论中正确的是（）A ．b aa b+取不到最小值2B ．b aa b+的最大值为4C ．角C 的最大值为2π3D ．23b a ca b ab+-的最小值为-【例3】已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且()()()2sin sin 2sin sin a A B c b B C -=-+，若2AD DB =，1CD = ，求：(1)求()cos A B +的值；(2)求2b a +的最大值.【例4】△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2A +cos2B +2sin A sin B ＝1+cos2C ．(1)求角C ；(2)设D 为边AB 的中点，△ABC 的面积为CD 的最小值.【例5】ABC 三角形的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=(1)求C ∠；(2)已知6c =，求ABC 周长的最大值．【题型专练】1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin 2sin sin A B C =，则c bb c+的最大值为______，此时内角A 的值为______2.在平面四边形ABCD 中，20AB AD ==，π3BAD ∠=，2π3BCD ∠=．(1)若5π12ABC ∠=，求BC 的长；(2)求四边形ABCD 周长的最大值．3．在条件：①2sin 30b A =，②3sin cos a b A a B =-，③22cos a b C c =+中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，3b =，而且__________；(1)求角B 的大小；(2)求ABC 周长的最大值．4.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.5.已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，(cos 3)a C C b c +=+．（1）求角A ；（2）若5a =，求ABC △的周长的最大值．题型三：三角形边周长的最值范围问题【例1】在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1c =，π3B =，则a 的取值范围为_____________；sin sin AC 的最大值为__________．【例2】设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c 已知6a =，2b =，要使ABC 为钝角三角形，则c 的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．【例3】在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2cos 2a cC b-=.(1)求角B 的大小；(2)求ac的取值范围.【例4】平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，AB =2，则AD 长度的取值范围________.【例5】某公园有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，现欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM ，PN ，其中M ，N 分别在边界AB ，AC 上，小径PM ，PN 与边界BC 的夹角都是60︒，区域PMB 和区域PNC 内部种郁金香，区域AMPN 内种植月季花．(1)探究：观赏小径PM ，PN 的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区城内修建小径MN ，当点P 在何处时，三条小径（PM ，PN ，MN ）的长度之和最少？【例6】请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①()()()sin sin sin 0a c A C b a B +-+-=；②2cos 12cos C C C =+；③2sin sin 2sin cos B A C A -=．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若．(1)求角C ；(2)若4c =，求△ABC 周长的取值范围．【例7】在ABC 中,,a b c 为角,,A B C 所对的边，且cos cos 2B bC a c=-.(1)求角B 的值；(2)若b ，求2a c -的取值范围.【例8】在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．(1)求角A ；(2)若ABC 为锐角三角形，求)2b c a-的取值范围．【题型专练】1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2B bC a c=-，则下列说法正确的有（）A ．3B π=B ．若sin 2sinC A =，且ABC 的面积为ABC 的最小边长为2C ．若b =时，ABC 是唯一的，则a ≤D ．若b =ABC 周长的范围为2．锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos b a a C -=，则（）A ．2C A =B ．A 的取值范围是(,)64ππC ．2A C=D ．2ca的取值范围是3．已知三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos 0a c B b C --=．(1)求角B ；(2)若b ＝2，求a c +的取值范围．4．在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()22sin sin sin sin A B B A B -=+.(1)证明：2A B =.(2)求bc 的取值范围.5．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.6．如图：某公园改建一个三角形池塘，90C ∠=︒，2AB =（百米），1BC =（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏．(1)若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供游客观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC PB ++的长（单位为百米）；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建行连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当DEF 为正三角形时，求DEF 的面积的最小值．7.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin sin cos cos 3sin B C A CA a c=+，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=⋅，则ba c +2的取值范围是（）A ．B ．(6,C ．D ．2)。

高中数学解三角形最值与范围问题探讨摘要：解三角形是高考中的重点题型，对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，且题型多变，多与三角形周长，面积有关，而三角形中的最值与范围问题又是一个重点。

本文主要探究解三角形中求取最值和范围问题的解法，本文给出三种解法，并对比几种方法优劣。

关键词：高考数学；解三角形；正弦定理；余弦定理；解三角形是高考中的重点题型，也是高考数学的高频考点。

解三角形对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，题型多变，多与三角形周长，面积有关；有时也会与平面向量，三角恒等变换，不等式等结合考查。

而三角形中的最值与范围问题又是一个重点。

处理这个最值问题解决方法主要有三种：(1)利用正弦定理和三角函数有界性：已知一边及其对角，可利用正弦定理求出2R（R为外接圆半径），再通过边角互化和代入消元的方式，将多变量的表达式转化为关于角B或角C的函数，再利用降幂公式，辅助角公式等进行化简，建立目标函数后，问题将转化为三角函数求值域（最值）问题。

(2)利用基本不等式和余弦定理：根据余弦定理并配合基本不等式可求解的最值问题。

(3)利用数形结合和极限思想：已知三角形一边及其对角可知三角形外接圆半径，在该圆上固定三角形一边，根据同弧所对的圆周角相等可知该边所对应顶点在圆上运动，根据圆的对称性和极限思想可得取值范围或最值。

下面给出例题，探讨几种方法的优劣：题型一：已知三角形一边及其对角例1：在 ABC中，有，若，求 ABC周长的取值范围。

解：推出A=法一：（利用三角函数有界性和正弦定理）周长 +2R（sinB+sinC）(B+C= )= +2（sinB+sin( )）==由于，则，则周长L=的范围 .法二：（利用基本不等式和余弦定理）解：由题意可得：L= +a+b由余弦定理 ,因为，所以则 ,而三角形中两边之和大于第三边则 ,则周长L= +a+b取值范围 .法三：（数形结合与极限思想）已知一边及其对角可得三角形外接圆半径为1，画出外接圆并在圆上固定A 角所对边BC，根据同弧所对的圆周角相等可得三角形一顶点A在圆上运动，根据圆的对称性可得，当A点运动到优弧的中点A’处时，此时三角形ABC周长最大，此时三角形ABC为等腰三角形。

解三角形的范围与最值问题解三角形的范围与最值问题三角形是我们初中数学中常见的几何图形，解决三角形的范围和最值问题是三角函数的重要内容。

本文将从范围和最值两个方面进行探讨。

一、解三角形的范围问题解三角形的范围问题主要是要找到三角函数定义域中的解集，也就是角的取值范围。

1. 正弦函数正弦函数的定义域为全集R，一个完整的正弦函数周期为360度，即sinθ=sin(θ+360°)。

因此，对于任意θ∈R，正弦函数的值总是在[-1,1]之间取值。

2. 余弦函数余弦函数的定义域为全集R，一个完整的余弦函数周期为360度，即cosθ=cos(θ+360°)。

因此，对于任意θ∈R，余弦函数的值总是在[-1,1]之间取值。

3. 正切函数正切函数的定义域由其分母不为零的限定，即tanθ存在当且仅当cosθ≠0，即θ∈R\{nπ+π/2|n∈N}。

对于任意θ∈R，正切函数没有上下界，其取值范围为全集R。

4. 余切函数余切函数的定义域由其分母不为零的限定，即cotθ存在当且仅当sinθ≠0，即θ∈R\{nπ|n∈N}。

对于任意θ∈R，余切函数没有上下界，其取值范围为全集R。

以上是几个常见三角函数的定义域和取值范围，要求掌握它们的基本特征和计算方法。

二、解三角形的最值问题解三角形的最值问题主要是要找到三角函数在定义域中的最大值和最小值，其思路一般是利用极值点或者函数的单调性来进行分析。

1. 正弦函数和余弦函数的最值正弦函数和余弦函数的最值为1和-1，当且仅当θ=nπ(n∈N)时取到。

当θ非整数倍π时，正弦函数和余弦函数的值位于-1和1之间。

2. 正切函数和余切函数的最值正切函数和余切函数都没有最值，但它们在某些点上趋近于无穷或者负无穷，这些点称为函数的特殊点。

正切函数的特殊点为θ=nπ+π/2(n∈Z)，此时tanθ趋近于正无穷或负无穷，取决于极限方向。

余切函数的特殊点为θ=nπ(n∈Z)，此时cotθ趋近于正无穷或负无穷，取决于极限方向。

浅谈解三角形中的最值与取值范围的解题方法摘要：解三角形是高考重点考查内容，其中涉及到最值与取值范围问题，对基础一般的学生来说难度相对大点，学生比较害怕，所以本文整理了解三角形中最值与取值范围的基本解题思路，即一般情况下除了求面积最大值是用基本不等式之外，其他求最值与取值范围，化简成角的的范围去控制，转化为某一变量的函数求解基本能把问题解决.关键词:基本不等式;最值;取值范围一、化成角,转化为某一变量的函数求解(一)用正弦定理化边为角，用正弦和差角公式求解.例1.角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的面积 ,a＝2，且A [ ]，则边c的取值范围为：______________.解：由正弦定理整理得：c＝A+B+C= , B＝ , 又a＝2，∴C＝﹣A，故c＝＝＝ +1，又，∴1≤tan A≤，∴ 1≤≤∴c∈[2， +1]．，由题得，求边的范围，化成角的范围去控制，用正弦定理，正弦的和差角公式化简，结合三角函数的图像与性质即有界性可求得结果.例2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，求的取值范围．解：由正弦定理，A＝2B， A+B+C= ,得：＝＝＝＝＝，A∈（0，π），∴2B∈（0，π），且A+B＝3B∈（0，π），所以B∈（0，），令t＝cos B，则，则f（t）＝，求导得：在恒成立，故f（t）在上单调递减，所以f（1）＜f（t）＜f（），即，故的取值范围为．求边的范围，还是先考虑用角去控制，用正弦定理把边化为角之后，用正弦的和差角公式化简，用换元法整理后，求导化简，判断函数单调性从而求得取值范围.（二）用三角关系及正弦和差角公式求解.例3.角A，B，C所对的边分别为a，b，c且△ABC为锐角三角形,B＝,则cos A+cos B+cos C的取值范围为________．解：B＝，A+B+C= ,∴C＝﹣A，∴cos A+cos B+cos C＝cos A+cos（﹣A）+cos＝cos A﹣ cos A+sin A+＝ cos A+ sin A+＝sin（A+）+，△ABC为锐角三角形，∴＜A＜，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，∴ +＜sin（A+）+≤，故所求的取值范围为（， ]．例4.（2019•新课标Ⅲ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知a sin＝b sin A．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：（1）略；（2）∴△ABC面积S＝a•1sinB＝a，由正弦定理：，因为△ABC为锐角三角形，所以，∴，,所以＜a＜2.故△ABC面积S＝a的取值范围为（，）．本道题求面积的取值范围，通过整理转化求边的取值范围，然后转化为角的范围来控制.（三）用三角形的三角关系及二倍角，辅助角公式化简.例5.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足,，求△ABC周长l的取值范围.解：由正弦定理得，因为所以，，， .又，所以，.所以所求△ABC周长l=a+b+c的取值范围为．求三角形周长取值范围，已知一组对边对角，用正弦定理求出2R，结合正弦的和差角公式，辅助角公式，利用三角函数的有界性控制范围，这道题可以变为求周长的最值，思路一样，此处略.二、用基本不等式求解例6.在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则的最小值为（）A． B． C． D．＝＝bc＝2，∴bc＝8，解：由题得S△ABC∴＝，令t＝则t＞0，上式＝＝≥2﹣＝，当且仅当2t+1＝2，即t＝，可得b＝2c，又bc＝8，解得c＝4，b＝2时，等号成立；∴的最小值为：．故选：C．求与角有关的范围，直接用角来控制，换元后用基本不等式求解，难在需要配凑能约去的分母部分.本题也可以把角化为边，用边求解，同样用换元方法也可以，此处略.例7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且B为锐角，b＝1，则△ABC面积的最大值为_______．，解： A+B+C= , ，，， 0 故B＝ .又b＝1，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac•cos B得，当且仅当a=c时，等号成立.最值与取值范围的解题方法有多种，但是对于基础比较比较差的学生来说，方法多不一定就是好的，特别对于普通历史班中，学生基础较弱，方法多了学生还难以选择，我们可以总结最适合学生解题的一种（或者两种）方法，让学生多练习一类方法，提高解题速度，所以解三角形中很多都是化成角，变为某一变量的函数去求解，需要注意定义域范围，求面积最大值就用基本不等式即可.参考文献：1.高磊.运用一题多变探究三角形中的最值与范围问题[J].数学通讯，2020年（12）；49-52.2.罗礼明.解三角形中的最值与范围问题求解策略[J].数学通讯，2020年（7）；50-56.第4页（共4页）。

解三角形中的最值(范围)问题解三角形中的最值问题1.锐角三角形ABC满足$2B=A+C$，设最大边与最小边之比为$m$，求$m$的取值范围。

分析：由题意可知$\angle B=60^\circ$，且$A\leq B\leqC<90^\circ$。

不妨令$m=\dfrac{c}{a}$，则有：m=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sin C}{\sin A}\leq\dfrac{\sinC}{\sin B}\leq\dfrac{\sin C}{\sin(\pi/3)}=2\sin C$$又因为$\sin A\geq\dfrac{1}{2}$，$\tanA\geq\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，所以：dfrac{1}{2}\leq\sin A\leq 1,\quad \dfrac{\sqrt{3}}{3}\leq\tan A\leq\sqrt{3}$$从而有：1\leq m=\dfrac{c}{a}\leq 2$$2.锐角三角形ABC的面积为$S$，角C既不是最大角，也不是最小角。

若$k=\dfrac{a+b}{c}$，求$k$的取值范围。

分析：由正弦定理得：dfrac{c^2-a^2-b^2+2ab\cos C}{2ab}= \dfrac{\sin C}{\sinA\sin B}=\dfrac{2S}{ab\sin C}$$又因为$\cos C<1$，所以：dfrac{2S}{ab\sin C}<\dfrac{c^2-a^2-b^2+2ab}{2ab}=\dfrac{(c-a+b)(c+a-b)}{2ab}=\dfrac{(c-a+b)}{2}\cdot\dfrac{(c+a-b)}{2ab}\leq\dfrac{1}{4}$$又因为$\sin C\geq\dfrac{1}{2}$，所以：k=\dfrac{a+b}{c}\geq\dfrac{2\sqrt{ab}}{c}\geq 2\sqrt{\sinA\sin B}\geq\sqrt{2\sin A}\geq\sqrt{2}\sin\dfrac{A}{2}$$ 又因为$A0$，所以$k>0$。

解法探究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀解三角形中的最值或范围问题◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李鸿媛㊀㊀摘要:解三角形的最值或范围问题是高考考查的热点内容之一,并且对解三角形的命题设计,不只局限于解三角形,而是通常利用正余弦定理㊁三角形面积公式等求解三角形的边㊁角㊁周长和面积的最值等问题．这类问题的解法主要是将边角互化转化为三角函数的最值问题,或利用基本不等式求最值．本文中对这类问题加以归类解析,以提升学生的解题能力．关键词:解三角形;最值;范围１与边有关的最值或范围问题例１㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,角B ＝π３,若a ＋c ＝４,则b 的取值范围为．解析:由a ＋c ＝４,B ＝π３,由余弦定理得b ２＝a ２＋c ２－２a c c o s B ,则b ２＝(a ＋c )２－２a c －２a c c o s π３,即b ２＝１６－３a c ．由a ＋c ȡ２a c ,得４ȡ２a c ,即０＜a c ɤ４,于是４ɤb ２＜１６,所以２ɤb ＜４．评析:本题利用已知条件结合余弦定理,借助基本不等式求三角形边的取值范围[１],渗透了逻辑推理㊁数学运算等数学核心素养．例２㊀在әA B C 中,角A ,３２B ,C 成等差数列,且әA B C 的面积为１＋２,则A C 边长的最小值是．解析:由A ,３２B ,C 成等差数列,得A ＋C ＝３B ．又A ＋B ＋C ＝π,所以B ＝π４．设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则由S әA B C ＝１２a c s i n B ＝１＋２,可得a c ＝２２＋４．由余弦定理得b ２＝a ２＋c ２－２a c c o s B ,则b ２＝a ２＋c ２－２a c ．又a ２＋c ２ȡ２a c ,则b ２ȡ(２－２)a c ,即b ２ȡ(２－２)(２２＋４),所以b ȡ２(当且仅当a ＝c 时,等号成立)．故A C 边长的最小值为２．评析:本题考查了学生对等差数列的概念㊁三角形内角和定理㊁三角形面积公式㊁余弦定理等的掌握情况．解题的关键是将余弦定理与不等式相结合,进而求出三角形一边的最值．２与角有关的最值或范围问题例３㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若A ʂπ２,s i n C ＋s i n (B －A )＝２s i n２A ,则角A 的取值范围为．解法一:在әA B C 中,C ＝π－(A ＋B ),则s i n C ＝s i n (A ＋B ),所以s i n (A ＋B )＋s i n (B －A )＝２s i n ２A ,即２s i n B c o s A ＝２２s i n A c o s A ．又A ʂπ２,则c o s A ʂ０,所以s i n B ＝２s i n A ．由正弦定理,得b ＝２a ,则A 为锐角．又s i n B ＝２s i n A ɪ(０,１],于是可得s i n A ɪ(０,２２],故A ɪ(０,π４]．评析:解法一利用三角形内角和定理㊁两角和与差的正弦公式㊁正弦定理与三角函数的性质等知识,对学生的推理能力㊁运算能力和直观想象能力进行了考查．解法二:在әA B C 中,C ＝π－(A ＋B ),则s i n C ＝s i n (A ＋B ),所以s i n (A ＋B )＋s i n (B －A )＝２s i n ２A ,即２s i n B c o s A ＝２２s i n A c o s A ．又A ʂπ２,则c o s A ʂ０,所以s i n B ＝２s i n A ．由正弦定理,可得b ＝２a ．结合余弦定理,可以得到c o s A ＝b ２＋c ２－a ２２b c ＝１２b ２＋c ２２b c ȡ２１２b ２ c ２２b c ＝２２,当且仅当c ＝２２b 时,等号成立,故A ɪ(０,π４]．评析:解法二考查了三角形内角和定理㊁两角和与差的正弦公式㊁正弦定理㊁余弦定理㊁基本不等式等知识．这种解题方法需要学生灵活运用两个正数的和与积的关系,充分体现学生的数学运算能力和数据分析能力．３与周长有关的最值或范围问题例４㊀әA B C 为锐角三角形,角A ,B ,C 所对的４７２０２３年１２月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀边分别为a ,b ,c ,已知３３b s i n C ＋c c o s B ＝a ,且c ＝２,求әA B C 周长的最大值．解析:由３３b s i n C ＋c c o s B ＝a ,根据正弦定理,得３３s i n B s i n C ＋s i n C c o s B ＝s i n A ．由A ＝π－(B ＋C ),得s i n A ＝s i n (B ＋C )．所以３３s i n B s i n C ＋s i n C c o s B ＝s i n (B ＋C ),即３３s i n B s i n C ＝s i n B c o s C ．由s i n B ʂ０,得３３s i n C ＝c o s C ．又c o s C ʂ０,所以t a n C ＝３．而０＜C ＜π,则C ＝π３．根据正弦定理,得a ＝４３３s i n A ,b ＝４３３s i n B ,则a ＋b ＋c ＝４３３s i n A ＋４３３s i n B ＋２＝４３３s i n A ＋４３３s i n (２π３－A )＋２＝４３３(３２s i n A ＋３２c o s A )＋２＝４s i n (A ＋π６)＋２．由әA B C 为锐角三角形,可知０＜A ＜π２,０＜２π３－A ＜π２,ìîíïïïï解得π６＜A ＜π２．所以π３＜A ＋π６＜２π３．因此３２＜s i n (A ＋π６)ɤ１．故２３＋２＜４s i n (A ＋π６)＋２ɤ６．因此әA B C 周长的最大值为６．评析:这道题解题的关键是利用正弦定理将边化为角,转化为求三角函数的最值问题[２],考查了逻辑推理和数学运算等核心素养．４与面积有关的最值或范围问题例５㊀әA B C 的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知２(c －a c o s B )＝３b ．(１)求角A ;(２)若a ＝２,求әA B C 面积的取值范围．解法一:(１)略．(２)由(１)知A ＝π６,又a ＝２,根据正弦定理,可得b ＝４s i n B ,c ＝４s i n C ．由C ＝π－A －B ＝５π６－B ,得s i n C ＝s i n (５π６－B )．所以,S әA B C ＝１２b c s i n A ＝１４b c ＝４s i n B s i n C ＝４s i n B s i n(５π６－B )＝４s i n B (１２c o s B ＋３２s i n B )＝２s i n B c o s B ＋２３s i n ２B ＝s i n２B －３c o s ２B ＋３＝２s i n (２B －π３)＋３．由０＜B ＜５π６,得－π３＜２B －π３＜４π３,所以可知－３２＜s i n (２B －π３)ɤ１,故０＜S әA B C ɤ２＋３,即әA B C 面积的取值范围为(０,２＋３]．解法二:(１)略．(２)由(１)知A ＝π６,a ＝２,则S әA B C ＝１４b c ．由c o s A ＝b ２＋c ２－a ２２b c ＝b ２＋c ２－４２b c ＝３２,可得b ２＋c ２－４＝３b c ．又b ２＋c ２ȡ２b c ,则０＜b c ɤ４２－３＝４(２＋３),所以０＜S әA B C ɤ２＋３．故әA B C 面积的取值范围为(０,２＋３]．评析:本题求解三角形面积的取值范围,解法一通过正弦定理将边转化为角,再利用三角函数的性质,求解三角形面积的取值范围．解法二先利用余弦定理,结合不等式b ２＋c ２ȡ２b c ,求解b c 的取值范围,接着利用三角形面积S әA B C ＝１２b c s i n A 求出面积的取值范围[３]．这两种解法都考查了数学运算㊁逻辑推理等数学核心素养．数学这门学科需要学生具备较强的逻辑推理能力㊁运算能力㊁直观想象能力等．针对解三角形最值或范围问题,学生需要熟练掌握三角形的面积公式㊁同角三角函数的基本关系㊁正弦定理㊁余弦定理㊁基本不等式等知识,并能够进行综合运用．参考文献:[１]刘海涛．谈解三角形中有关求范围或最值的解题策略[J ]．数理化学习(高中版),２０２２(７):３Ｇ７．[２]张露梅．解三角形中的范围或最值问题[J ]．中学生数理化(高二数学),２０２１(１１):３５Ｇ３６．[３]玉素贞．解三角形最值问题的两种转化策略分析[J ]．考试周刊,２０２１(４９):８５Ｇ８６．Z５７。