电磁感应的双棒问题(陈乐辉)

电磁感应中双杆模型问题一、在竖直导轨上的“双杆滑动”问题1.等间距型如图1所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨置于垂直导轨向里的匀强磁场中，两根质量相同的金属棒a 和b 和导轨紧密接触且可自由滑动，先固定a ，释放b ，当b 速度达到10m/s 时，再释放a ，经1s 时间a 的速度达到12m/s ，则：A 、 当va=12m/s 时，vb=18m/sB 、当va=12m/s 时，vb=22m/sC 、若导轨很长，它们最终速度必相同D 、它们最终速度不相同，但速度差恒定【解析】因先释放b ，后释放a ，所以a 、b 一开始速度是不相等的，而且b 的速度要大于a 的速度，这就使a 、b 和导轨所围的线框面积增大，使穿过这个线圈的磁通量发生变化，使线圈中有感应电流产生，利用楞次定律和安培定则判断所围线框中的感应电流的方向如图所示。

再用左手定则判断两杆所受的安培力，对两杆进行受力分析如图1。

开始两者的速度都增大，因安培力作用使a 的速度增大的快，b 的速度增大的慢，线圈所围的面积越来越小，在线圈中产生了感应电流；当二者的速度相等时，没有感应电流产生，此时的安培力也为零，所以最终它们以相同的速度都在重力作用下向下做加速度为g 的匀加速直线运动。

在释放a 后的1s 内对a 、b 使用动量定理，这里安培力是个变力，但两杆所受安培力总是大小相等、方向相反的，设在1s 内它的冲量大小都为I ，选向下的方向为正方向。

当棒先向下运动时，在和以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是棒受到向下的安培力，棒受到向上的安培力，且二者大小相等。

释放棒后，经过时间t ，分别以和为研究对象，根据动量定理，则有：对a 有：( mg + I ) · t = m v a0, 对b 有：( mg － I ) · t = m v b －m v b0联立二式解得：v b = 18 m/s ，正确答案为：A 、C 。

在、棒向下运动的过程中，棒产生的加速度，棒产生的加速度。

电磁感应中的双杆运动问题江苏省特级教师　戴儒京 有关“电磁感应”问题，是物理的综合题，是⾼考的重点、热点和难点，往往为物理卷的压轴题。

电磁感应中的“轨道”问题，较多见诸杂志，⽽电磁感应中的“双杆运动”问题的专门研究⽂章，在物理教学研究类杂志还很咸见，兹举例说明如下。

例1（2006年⾼考重庆卷第21题）两根相距为L的⾜够长的⾦属直⾓导轨如图所⽰放置，它们各有⼀边在同⼀⽔平内，另⼀边垂直于⽔平⾯。

质量均为m的⾦属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为µ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R。

整个装置处于磁感应强度⼤⼩为B,⽅向竖直向上的匀强磁场中。

当ab杆在平⾏于⽔平导轨的拉⼒F作⽤下以速度V1沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以速度V2向下匀速运动。

重⼒加速度为g。

以下说法正确的是（ ） A．ab杆所受拉⼒F的⼤⼩为µmg+ B．cd杆所受摩擦⼒为零 C．回路中的电流强度为 D．µ与V1⼤⼩的关系为µ= 【解析】因4个选项提出的问题皆不同，要逐⼀选项判断。

因为ab杆做匀速运动，所以受⼒平衡，有，其中, ,，, 所以，所以F=µmg+,A正确； 因为cd杆在竖直⽅向做匀速运动，受⼒平衡，所以cd杆受摩擦⼒⼤⼩为，或者，因为cd杆所受安培⼒作为对轨道的压⼒，所以cd杆受摩擦⼒⼤⼩为,总之，B错误； 因为只有ab杆产⽣动⽣电动势（cd杆运动不切割磁感线），所以回路中的电流强度为，C 错误； 根据B中和，得µ=，所以D正确。

本题答案为AD。

【点评】ab杆和cd杆两杆在同⼀个⾦属直⾓导轨上都做匀速运动，因为ab杆切割磁感线⽽cd杆不切割磁感线，所以感应电动势是其中⼀个杆产⽣的电动势，即，⽽不是，电流是，⽽不是。

例2（2006年⾼考⼴东卷第20题）如图所⽰，在磁感应强度⼤⼩为B，⽅向垂直向上的匀强磁场中，有⼀上、下两层均与⽔平⾯平⾏的“U”型光滑⾦属导轨，在导轨⾯上各放⼀根完全相同的质量为的匀质⾦属杆和，开始时两根⾦属杆位于同⼀竖起⾯内且杆与轨道垂直。

压轴题08电磁感应现象中的单双棒问题考向一/选择题：电磁感应现象中的单棒问题考向二/选择题：电磁感应现象中的含容单棒问题考向三/选择题：电磁感应现象中的双棒棒问题考向一：电磁感应现象中的单棒问题模型规律阻尼式（导轨光滑）1、力学关系：22A B l vF BIl R r==+；22()A FB l va m m R r ==+2、能量关系：20102mv Q-=3、动量电量关系：00BIl t mv -⋅∆=-；Bl sq n R r R rφ∆⋅∆==++电动式（导轨粗糙）1、力学关系：((B A E E E lv F B l B lR r R r--=++反））＝；(B ()B F mg E lv a B l g m m R r μμ--=-+）=2、动量关系：0m BLq mgt mv μ-=-3、能量关系：212m qE Q mgS mv μ=++4、稳定后的能量转化规律：min min ()2min mI E I E I R r mgv μ=+++反5、两个极值：（1）最大加速度：v=0时,E 反=0,电流、加速度最大。

m E I R r =+；m m F BI l =；mm F mg a mμ-=（2）最大速度：稳定时，速度最大，电流最小。

min ,m E Blv I R r -=+min min mE Blv mgF BI l B l R rμ-===+发电式（导轨粗糙）1、力学关系：22--==--+()B F F mg F B l va gm m m R r μμ2、动量关系：0m Ft BLq mgt mv μ--=-3、能量关系：212mFs Q mgS mv μ=++4、稳定后的能量转化规律：2()m m mBLv Fv mgv R rμ=++5、两个极值：（1）最大加速度：当v=0时，m F mg a mμ-=。

（2）最大速度：当a=0时，220--==--=+()m B B l v F F mg Fa g m m m R r μμ考向二：电磁感应现象中的含容单棒问题模型规律放电式（先接1，后接2。

电磁感应中的“双杆问题”1.“双杆”向相反方向做匀速运动当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。

[例1] 两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25Ω，回路中其余部分的电阻可不计。

已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图所示，不计导轨上的摩擦。

（1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小。

（2）求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量。

解析：（1）当两金属杆都以速度v匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为：E1=E2=Bdv由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为：因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为F1=F2=IBd。

由以上各式并代入数据得N（2）设两金属杆之间增加的距离为△L，则两金属杆共产生的热量为，代入数据得Q=1.28×10-2J。

2.“双杆”同向运动，但一杆加速另一杆减速当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。

[例2] 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。

导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示。

两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。

在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。

设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。

开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0。

若两导体棒在运动中始终不接触，求：（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少。

（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？解析：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流。

ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动。

第9课时电磁感应中的双棒运动问题一、分析要点：1、分析每个棒的受力，棒运动时安培力F ：R vL B BIL F 22，F 与速度有关；2、分析清楚每个棒的运动状态→服从规律（牛顿定律、能量观点、动量观点）； 3、找出两棒之间的受力关系、速度关系、加速度关系、能量关系等。

二、例题分析：1、两棒一静一动：【例1】如图所示，两根足够长的光滑金属导轨MN 、PQ 间距为l=0.5m ，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角。

完全相同的两金属棒ab 、cd 分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒的质量均为0.02kg ，电阻均为R=0.1Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B=0.2T ，棒ab 在平行于导轨向上的力F 作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd 恰好能保持静止。

取g=10m/s 2，问：（1）通过cd 棒的电流I 是多少，方向如何？（2）棒ab 受到的力F 多大？（3）棒cd 每产生Q=0.1J 的热量，力F 做的功W 是多少？2、两棒不受力都运动：满足动量守恒，分析最终状态：【例2】如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定于同一水平面内，导轨间的距离为L ，导轨上平行放置两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路。

已知两根导体棒的质量均为m 、电阻均为R ，其它电阻忽略不计，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B ，导体棒均可沿导轨无摩擦的滑行。

开始时，导体棒cd 静止、ab 有水平向右的初速度v 0，两导体棒在运动中始终不接触。

求：（1）开始时，导体棒ab 中电流的大小和方向？（2）cd 最大加速度？（3）棒cd 的最大速度？（4）在运动过程中产生的焦耳热？（5）棒cd 产生的热量？（6）当ab 棒速度变为43v 0时，cd 棒加速度的大小？（7）两棒距离减小的最大值？3、一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动。

长兴金陵高中高三物理备课组 主备人：唐梦健1电磁感应中的“双棒”问题一：一静一动例1：如图所示，两条间距l =1m 的光滑金属导轨制成倾角37°的斜面和水平面，上端用阻值为R =4Ω的电阻连接。

在斜面导轨区域和水平导轨区域内分别有垂直于斜面和水平面的匀强磁场B 1 和B 2，且B 1 =B 2=0.5T 。

ab 和cd 是质量均为m =0.1kg ，电阻均为r =4Ω的两根金属棒，ab 置于斜面导轨上，cd 置于水平导轨上，均与导轨垂直且接触良好。

已知t =0时刻起，cd 棒在外力作用下开始水平向右运动（cd 棒始终在水平导轨上运动），ab 棒受到F ＝0.6－0.2t （N ）沿斜面向上的力作用，处于静止状态。

不计导轨的电阻，试求：（1）流过ab 棒的电流强度I ab 随时间t 变化的函数关系；（2）分析并说明cd 棒在磁场B 2中做何种运动；（3）若t =0时刻起，1.2s 内作用在cd 棒上外力做功为W =16J ，则这段时间内电阻R 上产生的焦耳热Q R 多大？二、两根都动例2、如图所示，两固定的竖直光滑金属导轨足够长且电阻不计．两质量、长度均相同的导体棒c 、d ，置于边界水平的匀强磁场上方同一高度h 处．磁场宽为3h ，方向与导轨平面垂直．先由静止释放c ，c 刚进入磁场即匀速运动，此时再由静止释放d ，两导体棒与导轨始终保持良好接触．用a c 表示c 的加速度，E kd 表示d 的动能，x c 、x d 分别表示c 、d 相对释放点的位移．下图中正确的是( )例3．相距L ＝1.5 m 的足够长金属导轨竖直放置，质量为m 1＝1 kg 的金属棒ab 和质量m 2＝0.27 kg 的金属棒cd 均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图(a)所示，虚线上方磁场方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同．ab 棒光滑，cd 棒与导轨间动摩擦因数为μ＝0.75，两棒总电阻为1.8 Ω，导轨电阻不计．ab 棒在方向竖直向上、大小按图(b)所示规律变化的外力F 作用下，从静止开始，沿导轨匀加速运动，同时cd棒也由静止释放．(g ＝10 m/s 2)(1)求出磁感应强度B 的大小和ab 棒加速度的大小；(2)已知在2 s 内外力F 做功40 J ，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热； (3)求出cd 棒达到最大速度所需的时间t 0，并在图(c)中定性画出cd 棒所受摩擦力f cd 随时间变化的图线．课后作业1、如图（a ）所示，间距为l 、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上。

2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题65 电磁感应中的双棒问题导练目标导练内容目标1无外力等距式双棒问题目标2有外力等距式双棒问题目标3无外力不等距式双棒问题目标4有外力不等距式双棒问题模型规律无外力等距式（导轨光滑）1、电流大小：21211212Blv Blv Bl(v v)IR R R R--==++2、稳定条件：两棒达到共同速度3、动量关系：2012()m v m m v=+4、能量关系：2122211m v(m m)v Q22=+共＋；1122Q RQ R=有外力等距式（导轨光滑）1、电流大小：1221Blv BlvIR R-=+2、力学关系：11AFam=；22AF Fam-=。

（任意时刻两棒加速度）3、稳定条件：当a2＝a1时，v2-v1恒定；I恒定；F A恒定；两棒匀加速。

4、稳定时的物理关系： 12F (m m )a =+；1A F m a =；2112A Bl(v v )F BIlB lR R -==+；121212212(R R )m F v v B l (m m )+-=+无外力不等距式 （导轨光滑）1、动量关系：11110BL I t m v m v -∆=-；2220BL I t m v -∆=-2、稳定条件：1122BL v BL v =3、最终速度：21222122110m L v v m L m L =+；12122122120m L L v v m L m L =+4、能量关系：222101122111222Q m v m v m v =-- 5、电量关系：2202BL q m v =-有外力不等距式 （导轨光滑）F 为恒力，则：1、稳定条件：1122l a l a =，I 恒定，两棒做匀加速直线运动 2、常用关系：111A F F a m -=；222A F a m =；1122l a l a =；1122A A F l F l =3、常用结果：2121221221A l m F F l m l m =+；1222221221A l l m F F l m l m =+； 221221221l a F l m l m =+； 122221221l l a F l m l m =+； 此时回路中电流为：12221221l m F I l m l m B=⋅+与两棒电阻无关一、无外力等距式双棒问题【例1】如图，水平面内固定有两根平行的光滑长直金属导轨，导轨间距为l ，电阻不计。

电磁感应力电综合——双棒问题（参考答案）一、选择题1． 【答案】BCD【解析】根据题意可知，两棒组成回路，电流大小相同，故所受安培力等大反向，两棒组成的系统动量守恒，故任何一段时间内，导体棒b 动量改变量跟导体棒a 动量改变量总是大小相等、方向相反，根据能量守恒定律可知，a 动能减少量的数值等于b 动能增加量与系统产生的焦耳热之和，故A 错误，B 正确；对系统由动量守恒定律有2mv 0＝(2m ＋m )v ，对b 棒由动量定理有mv －0＝B I －l ·t ＝Blq ，解得q ＝2mv 03Bl，根据能量守恒定律，两棒共产生的焦耳热为Q ＝12×2mv 20－12(2m ＋m )v 2＝mv 203，故C 、D 正确。

2． 【答案】D 。

【解析】解：A 、根据右手定则知：回路中产生沿NMPQM 的感应电流，根据左手定则可知，MN 棒受到的安培力水平向右，PQ 棒受到的安培力也水平向右，且通过两棒的安培力大小相等，所以，两棒受到的安培力冲量大小相等，方向相同，故A 错误；B 、当两棒产生的感应电动势大小相等，相互抵消，回路中感应电流为零时，两棒均做匀速运动，达到稳定状态，设最终MN 棒和PQ 棒的速度大小分别为1v 和2v 。

稳定时，有：12BLv BLv = 得：12v v =对PQ 棒，根据动量定理得：20I mv =-对MN 棒，根据动量定理得：10I mv mv -=-解得：0122vv v ==，1v 水平向左，2v 水平向右，方向相反，故B 错误；C 、设MN 棒产生的焦耳热为Q ，则PQ 棒产生的焦耳热也为Q ，根据能量守恒定律得；2220121112()222Q mv mv mv =-+解得208mv Q =，故C 错误；D 、对PQ 棒，根据动量定理得：20BIL t mv =-通过PQ 棒某一横截面的电荷量为q It =，可得02mv q BL=，故D 正确。

电磁感应现象中的“双杆”问题作者：解永平来源：《物理教学探讨》2010年第09期电磁感应现象部分的知识历来是高考的重点。

有关题目可将力学、电磁学等知识融于一体,从而很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学知识处理物理问题的能力。

导体杆在磁场中运动切割磁感线产生电磁感应现象,是历年高考的一个热点。

笔者通过对近年高考题的研究,发现每年都有“杆+导轨”模型的高考题。

因此在高二复习阶段教师有必要对此类问题进行归类总结,使学生更好地掌握、理解它的内涵。

解决此类问题的基本物理公式是E=BLv,因此对导体杆运动状态的分析便极为重要。

笔者将两根导体杆在导轨上切割磁感线的问题,从运动学的角度作一个粗浅的归类,请读者批评指正。

1 一杆静止,另一杆作匀速直线运动分析只有一根杆切割磁感线,因此电路中只会产生一个感应电动势。

根据公式E=BLv可知电路中感应电动势为一恒定值,若电路中电阻保持不变,则感应电流也为一恒定的值。

再由公式F=BIL,可知两杆所受的安培力为一恒定值。

例1 如图1所示,竖直放置在匀强磁场中的固定光滑长直导轨,若自身的电阻不计,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度B=0.50T。

两导体棒ab、cd的长度和导轨宽度相同,为l=0.20m,电阻均为r=0.10Ω,重量均为G=0.10N,导体棒与导轨接触良好。

现用竖直向上的推力F推ab,使它匀速上升,此时观察到cd处于静止状态。

有下列说法:①ab受到的推力F大小为0.10N;②ab上升的速度为2.0m/s;③2.0s内回路中产生的电能为0.40J;④2.0s内cd上产生的电热为0.40J。

以上说法中正确的有( )A.①④B.②③C.①③D.②④解析 cd杆静止不动,则cd杆受力平衡。

安培力与重力平衡mg=BIl,解得:I=mgBl=0.10.5×0.2=1A。

再根据左手定则可判断出电流为逆时针方向。

ab杆作匀速直线运动,则ab杆受力也平衡。

根据左手定则ab杆所受安培力向下,则:F=mg+BIl=0.1+0.5×1×0.2=0.2N;由E=Blv=I2r,得ab杆运动的速度:v=I2rBl=1×2×0.10.5×0.2=2m/s。

辨析电磁感应现象中的双金属棒问题电磁感应现象中的双金属棒问题一般可以分为四种情况，具体分析如下。

一、两棒都只在安培力作用下运动的双金属棒问题。

例1．两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L 。

导轨上面横放着两根导体棒a 和b ，构成矩形回路，如图1所示．两根导体棒的质量皆为m ，电阻皆为R ，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B ．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒b 静止，棒a 有指向棒b 的初速度v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．（2）当a 棒的速度变为初速度的3/4时，b 棒的加速度是多少？分析：（1）a 、b 两棒产生电动势和受力情况如图2所示。

a 、b 两棒分别在安培力作用下做变减速运动和变加速运动，最终达到共同速度，开始匀速运动。

由于安培力是变化的，故不能用功能关系求焦耳热；由于电流是变化的，故也不能用焦耳定律求解。

在从初始至两棒达到速度相同的过程中，由于两棒所受安培力等大反向，故总动量守恒，有mv mv 20=根据能量守恒，整个过程中产生的总热量2022041)2(2121mv v m mv Q =-=（2）设a 棒的速度变为初速度的3/4时，b 棒的速度为v1，则由动量守恒可知10043mv v m mv +=由于两棒产生的感应电动势方向相同，所以回路中的感应电动势1043BLv v BL E -=，感应电流为 R E I 2=此时棒所受的安培力 IBL F =，所以b 棒的加速度为 m F a =由以上各式，可得 mR v L B a 4022=二、两棒除受安培力外，还受拉力F 作用的双金属棒问题。

例2．如图3所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨电阻忽略不计，导轨间的距离L=0.20m 。