第二章-平面汇交力系与平面力偶系

第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。

若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。

1、平面汇交力系的合成先讨论3个汇交力系的合成。

设汇交力系1F ，2F ，3F汇交于O （图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F=如图和图所示，其中321F F F F ++=F2F 3F OFO1F 2F 3F12F讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。

2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。

3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。

结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：∑=i F F用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。

2．平面汇交力系的平衡1F 2F iF 2-n F 1-n F n F设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F，（∑-=-=111n i i N F F ）0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F等值，反向，共线，即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F，或0=∑i F结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是0=∑i F，力多边形自行封闭。

例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F，方向如图，求反力FA B C45F AF BACα 45FF BF α解：1。

第二章-1 平面汇交力系与平面力偶系一、判别题（正确和是用√，错误和否×，填入括号内。

）2-1 平面汇交力系平衡的充分与必要的几何条件是：力多边形自行封闭。

（√）2-2 力在某一固定面上的投影是一个代数量。

（×）2-3 两个力F1、F2大小相等，则它们在同一轴上的投影也相等。

（×）2-4 一个力不可能分解为一个力偶；一个力偶也不可能合成一个力。

（√）2-5 力偶无合力、不能用一个力来等袒代替，也不能用一个力来平衡；（√）2-6 力偶无合力，也就是说力偶的合力等于零。

（×）2-7 力偶矩和力对点之矩本质上是二样的，讲的是一回事。

（×）2-8 力偶的作用效果取决于力偶矩的大小和转向。

（√）2-9 只要两力偶的力偶矩代数值相等，就是等效力偶。

（√）2-10 力偶中的两个力对同平面内任一点之矩的代数和等于力偶矩。

（√）2-11 力偶只能用力偶来平衡。

（√）2-12 平面力偶系可简化为一个合力偶。

（√）2-13 力偶可任意改变力的大小和力偶臂的长短。

（×）2-14 力偶的两力在其作用面内任意轴上的投影的代数和都等于零。

（√）2-15 若两个力F1、F2在同一轴上的投影相等，则这两个力相等，即F1 = F2。

（×）2-16 若两个力F1、F2大小相等，则在同一轴Ox上投影相等，即F1x = F2x。

（×）2-17 若两个力F1、F2大小、方向、作用点完全相同，则这两个力在任一轴上的投影相等。

（√）2-18 若两个力大小相等、方向相反，则在任一轴Ox上的投影大小相等。

（√）2-19 若两个力平行，则它们在任一轴上的投影相等。

（×）2-20 若两个力在某轴上的投影均为零，则该两力平行。

（√）2-21 图示为分别作用在刚体上A、B、C、D点的4个共面力，它们所构成的力多边形自行封闭且为平行四边形。

由于力多边形自行封闭，所以是平衡的。

第二章平面汇交力系与平面力偶系一、要求1、掌握平面汇交力系合成（分解）的几何法。

能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。

2、能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。

对合力投影定理应有清晰的理解。

3、能熟练地运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。

4、对于力对点的矩应有清晰的理解，并能熟练地计算。

5、深入理解力偶和力偶矩的概念。

明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。

6、掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。

二、重点、难点1、 力在坐标轴上的投影，合力投影定理，平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解析法。

2、 力对点之矩的计算，力偶矩的概念，平面力偶性质和力偶等效条件。

三、学习指导平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向等于力系的矢量和，即∑==+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=ni i n F F F F R 121或简化为∑=F R上式是平面矢量方程，只可以求解两个未知数。

每一个力都有大小和方向两个要素（因为力的汇交点是已知的），因此，方程中只能有两个要素是未知的。

矢量方程的解法有：几何法和解析法。

只有力沿直角坐标轴分解的平行四边形才是矩形。

力在轴上投影的大小等于分力的大小，投影的正负表示分力沿坐标轴的方向。

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力为零。

即∑R=F这个平面的矢量方程可解两个未知数，解法有几何法和解析法。

（1）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形封闭。

（2）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零即：∑=0YX；∑=0对于平衡方程，和平面汇交力系合成与分解的解析法一样，一般也选直角坐标系。

但在特殊情况下，有时选两个相交的相互不垂直的坐标轴，可使问题的求解简化。

这是因为平衡时合力恒等于零，合力在任一坐标轴的投影也恒等于零，所以，不一定局限在直角坐标系。

合力投影定理与合力矩定理是结构静力计算经常要用到的两个定理。

第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础，本章将分别研究两种力系的合成与平衡问题。

§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。

一、平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则如图a 所示，作用在刚体上的四个力1F ，2F ，3F 和4F 汇交于点A 。

连续应用平行四边形法则，即可求出通过汇交点A 的合力R 。

合力R 的大小和方向也可用图(b)所示的力三角形法则或力多边形法则得到。

后者，作出图示首尾相接的开口的力多边形abcde ,封闭边矢量ae 即所求的合力。

通过力多边形求合力的方法称为几何法。

改变分力的作图顺序，力多边形改变，如图(c)所示，但其合力不变。

平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。

即∑==+++=n i i 1n 21F F F F R 简写为 ∑=F R （2-1）二、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零。

其矢量表达式为∑==0F R （2-2）力系平衡的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。

例2-1 如图所示，钢梁的重量kN 6N 1063=⨯=P ,︒=30θ，试求平衡时钢丝绳的约束力。

解：取钢梁为研究对象。

作用力有：钢梁重力P ，钢绳约束力AF 和B F 。

三力汇交于D 点 ，受力如图a 所示。

作力多边形，求未知量。

首先选择力比例尺，以1cm 长度代表2kN 。

其次，任选一点e ，作矢量ef ，平行且等于重力P ，再从e 和f 两点分别作两条直线，与图(a)中的A F 、B F 平行，相交于h 点，得到封闭的力三角形efh 。

按各力首尾相接的次序，标出fh 和he 的指向，则矢量和he 分别代表力A F 和B F （如图b 所示）。

按比例尺量得和的长度为：45.3=fh cm ， 45.3=he cm即 45.3145.3=⨯=A F kN ，45.3145.3=⨯=B F kN 从力三角形可以看到，在重力P 不变的情况下，刚绳约束力随角θ增加而加大。

理论力学第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础。

本章将分别用几何法与解析法研究平面汇交力系的合成与平衡问题，同时介绍平面力偶的基本特性及平面力偶系合成与平衡问题。

§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系是指各力的作用线都在同一平面内且汇交于一 点的力系。

1．平面汇交力系合成的几何法、力多边形规则设一刚体受到平面汇交力系 1F ， 2F ， 3F ， 4F 的作用，各力作用线汇交于点A ，根据刚体内部力的可传性，可将各力沿其作用线移至汇交点A ，如图2-la 所示。

为合成此力系，可根据力的平行四边形规则，逐步两两合成各力，最后求得一个通过汇交点A 的合力R F ;还可以用更简便的方法求此合力R F 的大小与方向。

任取一点a ，先作力三角形求出1F 与2F 的合力大小与方向R1F ，再作力三角形合成R1F 与3F 得R2F ，最后合成R2F 与4F 得R F ，如图2-lb 所示。

多边形abcde 称为此平面汇交力系的力多边形，矢量ae 称此力多边形的封闭边。

封闭边矢量ae 即表示此平面汇交力系合力R F 的大小与方向(即合力矢)，而合力的作用线仍应通过原汇交点A ，如图2-la 所示的R F 。

必须注意，此力多边形的矢序规则为:各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接。

由此组成的力多边形abcde 有一缺口，故称为不封闭的力多边形，而合力矢则应沿相反方向连接此缺口，构成力多边形的封闭边。

多边形规则是一般矢量相加(几何和)的几何解释。

根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢仍然不变，如图2-lc 所示。

总之，平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。

设平面汇交力系包含n 个力，以R F 表示它们的合力矢，则有RF =1F +2F +…+nF =∑=n1i iF(2-1)合力R F 对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。