高二数学期中考试必修5试题及答案

高二数学试题参考答案一、填空题：1.{|0,1}x x x <>或2.723.34.（选修历史）12 （选修物理）[1,)+∞5.06.[0,1)7.（选修历史）{|53}y y y ≥≤-或 （选修物理）存在菱形，它的四条边不全相等8.7- 9.21n n a n =+ 10.(,1]-∞ 11.3 12.4π 13.[2,)+∞14.(,3-∞- 二、解答题：15.解：设点(,0)A a ，(0,)B b (,0)a b >，则直线l 的方程为1x y a b +=.……2分 由题意，点（1，2）在此直线上，所以121a b+=. …………4分 由基本不等式得12()()OA OB a b a b a b+=+=++ …………6分21233b a a b =+++≥+=+ …………8分 当且仅当2b a a b =时取“=”. …………9分 又121a b+=，解得1a =，2b =+…………12分 因此，当OA OB +最小时，直线l1+=20.y +--= …………14分解法二：直线l 过点（1，2）且斜率存在，故可设其方程为2(1)y k x -=-.……2分令0y =得21x k=-；令0x =得2y k =-， 故得点,A B 坐标分别为2(1,0)A k -，(0,2)B k -. …………5分 因,A B 分别在,x y 轴正半轴上，故210,20,k k ⎧->⎪⎨⎪->⎩解得0.k < …………7分21233OA OB k k +=-+-≥+=+ …………10分 当且仅当2k k-=-时取“=”. …………11分 注意到0k <解得k =l20.y +--= …………14分16.解：当0a =时，210x ->，原不等式的解集为1(,)2+∞； …………2分当0a ≠时，一元二次方程2+210ax x -=的判别式44a ∆=+，当1a ≤-时，0∆≤，原不等式的解集为∅； ……………4分当0a >时，1x =2x =， ……………6分 原不等式的解集为{|x x >x <}； ……………10分 当10a -<<时，12x x <，原不等式的解集为……………14分 17.解：（1）由正弦定理得1sin sin sin 3a c A Cπ==， ……………2分于是a A =，c C =. ……………4分所以2sin()]3a c A A π+=+-2sin()6A π=+. ……………8分 203A π<<，所以当3A π=时，a c +取最大值2. ……………10分 （2）由余弦定理得2212cos 3a c ac π=+-2ac ac ac ≥-=，……………12分ABC ∆面积1sin 2S ac B =≤=1a c ==时等号成立. 所以ABC ∆……………14分 18.解：（1）由121n n a S +=+可得121n n a S -=+(2)n ≥，两式相减得12n n n a a a +-=，13n n a a +=(2)n ≥. ……………3分又2121a S =+，令213a a =，得11a =. ……………5分∴数列{}n a 的通项公式为13n n a -=. ……………6分(或：2121a a =+,31212()163a a a a =++=+(2分),2211(63)a a a =+得11a =或112a =-(4分)当11a =时，23a =，13n n a -=；当112a =-时，20a =，不合题意，舍去(4分)) 设{}nb 的公差为d ，由42b a =，2390b a +=得1133,9()90,b d b d +=⎧⎨++=⎩解之得13,2.b d =-⎧⎨=⎩ ……………9分 ∴2(1)3242n n n T n n n -=-+⨯=-. ……………11分 （2）k k T a +=212143(2)34k k k k k ---+=-+-. ……………12分 令21()(2)34k f k k -=-+-，则(1)2f =-，(2)1f =-，(3)6f =，(4)27f =， ……………14分且当2k ≥时，21()(2)34k f k k -=-+-单调递增，所以，不存在k ∈N *，使得(10,20)k k T a +∈． ……………16分19.解：（1）1000 1.05201030⨯-=，2013年底该市的住房面积为1030万m 2； ……………2分 1030 1.05201061.5⨯-=，2014年底该市的住房面积为1061.5万m 2. ……………4分（2）设2012年到2032年该市的住房面积数组成数列{}n a (121)n ≤≤.则11000a =，1 1.0520n n a a +=-. ……………6分 令 1.05b =，则120n n a b a +=-g， 所以11120n n n n n a a b b b +++=-，…，2121220a a b b b=-， ……………9分 于是1111231202020(...)n n n a a b b b b b +++=-+++， 1211120(1)20(...1)1n n n n nn b a a b b b a b b --+-=-+++=--， ……………12分 20202120(1 1.05)1000 1.051 1.05a -=⨯-- 400600 2.6531991.8≈+⨯=(万m 2). ……………15分答：2032年底该市的住房面积约为1991.8万m 2. ……………16分20.解：（1）2()1f x x mx m =-+-22()124m m x m =-+--， 在区间(,]2m -∞上是减函数，在区间[,)2m +∞上是增函数． ①22m ≤，即4m ≤，()f x 在[]2,4上为增函数， ()f x 的最小值为3m -，则31m -≥-，4m ≤； ……………2分 ②242m <<，即48m <<，()f x 在[]2,4上的最小值为2(1)4m m --， 则2(1)14m m --≥-，04m ≤≤，∴此时无解； ……………4分 ③42m ≥，即8m ≥，()f x 在[]2,4上为减函数， ()f x 的最小值为315m -+，则3151m -+≥-，163m ≤，∴此时无解． 综上，实数m 的取值范围是(,4]-∞． ……………6分(或()1f x ≥-得20x mx m -+≥(2分)，因24x ≤≤，故可得21x m x ≤-(4分)， 由基本不等式得21x x =-1(1)21x x -+≥-，当且仅当2x =时取等号，故4m ≤(6分)) （2）假设存在适合题意的整数,a b ，则必有min ()a f x ≤，这时()a f x b ≤≤的解集为[](),,.f b b a b a b m =⎧⇔⎨+=⎩ ……………8分由()f b b =得21b mb m b -+-=，即21(1)b b m b --=-，因1b =时此式不成立，故21111b b m b b b --==---． ……………10分 ∵,a b Z ∈，∴m a b Z =+∈，故11Z b ∈-，只可能11b -=±．……12分 当11b -=-时，0,1,1b m a ===，不符合a b <； ……………14分当11b -=时，min 2,1,1()b m a f x ===-<，符合题意．综上知，存在1,2a b =-=适合题意． ……………16分。

高二数学试题参考答案一、填空题：1.{|0,1}x x x <>或2.723.34.（选修历史）12 （选修物理）[1,)+∞5.06.[0,1)7.（选修历史）{|53}y y y ≥≤-或 （选修物理）存在菱形，它的四条边不全相等8.7- 9.21n n a n =+ 10.(,1]-∞ 11.3 12.4π 13.[2,)+∞ 14.3(,)3-∞- 二、解答题：15.解：设点(,0)A a ，(0,)B b (,0)a b >，则直线l 的方程为1x y a b +=.……2分 由题意，点（1，2）在此直线上，所以121a b+=. …………4分 由基本不等式得12()()OA OB a b a b a b+=+=++ …………6分 22123232 2.b a b a a b a b =+++≥+⨯=+ …………8分 当且仅当2b a a b =时取“=”. …………9分 又121a b+=，解得21a =+，22b =+. …………12分 因此，当OA OB +最小时，直线l 的方程为12122xy+=++，即2220.x y +--= …………14分解法二：直线l 过点（1，2）且斜率存在，故可设其方程为2(1)y k x -=-.……2分令0y =得21x k=-；令0x =得2y k =-，故得点,A B 坐标分别为2(1,0)A k-，(0,2)B k -. …………5分 因,A B 分别在,x y 轴正半轴上，故210,20,k k ⎧->⎪⎨⎪->⎩解得0.k < …………7分 221232()()32 2.OA OB k k k k +=-+-≥+-⨯-=+ …………10分 当且仅当2k k-=-时取“=”. …………11分 注意到0k <解得2k =-，直线l 的方程为2220.x y +--= …………14分 16.解：当0a =时，210x ->，原不等式的解集为1(,)2+∞； …………2分当0a ≠时，一元二次方程2+210ax x -=的判别式44a ∆=+，当1a ≤-时，0∆≤，原不等式的解集为∅； ……………4分当0a >时，111a x a -++=，211a x a--+=， ……………6分 原不等式的解集为{|x 11a x a -++>或11a x a --+<}； ……………10分 当10a -<<时，12x x <，原不等式的解集为[11a a -++，11a a--+]. ……………14分 17.解：（1）由正弦定理得1sin sin sin 3a c A Cπ==， ……………2分 于是2sin 3a A =，2sin 3c C =. ……………4分 所以22[sin sin()]33a c A A π+=+-2sin()6A π=+. ……………8分 203A π<<，所以当3A π=时，a c +取最大值2. ……………10分 （2）由余弦定理得2212cos 3a c ac π=+-2ac ac ac ≥-=，……………12分ABC ∆面积1133sin 2224S ac B =≤=，当1a c ==时等号成立.所以ABC ∆面积的最大值为3.4……………14分 18.解：（1）由121n n a S +=+可得121n n a S -=+(2)n ≥，两式相减得12n n n a a a +-=，13n n a a +=(2)n ≥. ……………3分又2121a S =+，令213a a =，得11a =. ……………5分∴数列{}n a 的通项公式为13n n a -=. ……………6分(或：2121a a =+,31212()163a a a a =++=+(2分),2211(63)a a a =+得11a =或112a =-(4分) 当11a =时，23a =，13n n a -=；当112a =-时，20a =，不合题意，舍去(4分)) 设{}nb 的公差为d ，由42b a =，2390b a +=得1133,9()90,b d b d +=⎧⎨++=⎩解之得13,2.b d =-⎧⎨=⎩ ……………9分 ∴2(1)3242n n n T n n n -=-+⨯=-. ……………11分 （2）k k T a +=212143(2)34k k k k k ---+=-+-. ……………12分令21()(2)34k f k k -=-+-，则(1)2f =-，(2)1f =-，(3)6f =，(4)27f =， ……………14分且当2k ≥时，21()(2)34k f k k -=-+-单调递增，所以，不存在k ∈N *，使得(10,20)k k T a +∈． ……………16分19.解：（1）1000 1.05201030⨯-=，2013年底该市的住房面积为1030万m 2； ……………2分1030 1.05201061.5⨯-=，2014年底该市的住房面积为1061.5万m 2. ……………4分（2）设2012年到2032年该市的住房面积数组成数列{}n a (121)n ≤≤.则11000a =，1 1.0520n n a a +=-. ……………6分令 1.05b =，则120n n a b a +=-， 所以11120n n n n n a a b b b +++=-，…，2121220a a b b b=-， ……………9分于是1111231202020(...)n n n a a b b b b b+++=-+++， 1211120(1)20(...1)1n n n n nn b a a b b b a b b --+-=-+++=--， ……………12分 20202120(1 1.05)1000 1.051 1.05a -=⨯-- 400600 2.6531991.8≈+⨯=(万m 2). ……………15分答：2032年底该市的住房面积约为1991.8万m 2. ……………16分20.解：（1）2()1f x x mx m =-+-22()124m m x m =-+--， 在区间(,]2m -∞上是减函数，在区间[,)2m +∞上是增函数． ①22m ≤，即4m ≤，()f x 在[]2,4上为增函数， ()f x 的最小值为3m -，则31m -≥-，4m ≤； ……………2分 ②242m <<，即48m <<，()f x 在[]2,4上的最小值为2(1)4m m --， 则2(1)14m m --≥-，04m ≤≤，∴此时无解； ……………4分 ③42m ≥，即8m ≥，()f x 在[]2,4上为减函数， ()f x 的最小值为315m -+，则3151m -+≥-，163m ≤，∴此时无解． 综上，实数m 的取值范围是(,4]-∞． ……………6分(或()1f x ≥-得20x mx m -+≥(2分)，因24x ≤≤，故可得21x m x ≤-(4分)， 由基本不等式得21x x =-1(1)21x x -+≥-，当且仅当2x =时取等号，故4m ≤(6分)) （2）假设存在适合题意的整数,a b ，则必有min ()a f x ≤，这时()a f x b ≤≤的解集为[](),,.f b b a b a b m =⎧⇔⎨+=⎩……………8分 由()f b b =得21b mb m b -+-=，即21(1)b b m b --=-，因1b =时此式不成立，故21111b b m b b b --==---． ……………10分 ∵,a b Z ∈，∴m a b Z =+∈，故11Z b ∈-，只可能11b -=±．……12分 当11b -=-时，0,1,1b m a ===，不符合a b <； ……………14分 当11b -=时，min 2,1,1()b m a f x ===-<，符合题意．综上知，存在1,2a b =-=适合题意． ……………16分。

高二数学期中考试必修5试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）A. 180种B. 90种C. 60种D. 30种2. 若集合A中元素的个数是4，集合B中元素的个数是3，则从集合A到集合B的不同映射的个数是（）A. 12B. 64C. 81D. 2563. 设函数f(x) = log2(x - 1)，下列结论正确的是（）A. f(x)在(0, +∞)上是增函数B. f(x)在(1, +∞)上是增函数C. f(x)在(0, 1)上是减函数D. f(x)在(1, +∞)上是减函数4. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 3，则函数f(x)的单调递增区间是（）A. (-∞, 1]B. [1, +∞)C. (-∞, 1)D. (1, +∞)5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)在区间（）内是减函数。

A. (-∞, 0)B. (0, 1)C. (1, 2)D. (2, +∞)6. 若等差数列{an}的前n项和为S_n，且S_n = 2n^2 - n，则该数列的通项公式为（）A. an = 2n - 3B. an = 2n - 1C. an = 2n + 1D. an = 3n - 27. 若等比数列{an}的前n项和为S_n，且S_n = 2^n - 1，则该数列的通项公式为（）A. an = 2n - 1B. an = 2n - 2C. an = 2n - 3D. an = 2n8. 一个长方体的长、宽、高分别是3，4，5，则它的对角线长度的平方是（）A. 50B. 64C. 36D. 25二、填空题（每题5分，共30分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的单调递减区间。

10. 已知等差数列{an}的通项公式为an = 2n + 1，求该数列的前10项和。

高二数学试题必修五模块检测第I 卷（选择题 60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分）1. 不等式2340x x -++<的解集为A.{|14}x x -<<B.{|41}x x x ><-或C.{|14}x x x ><-或D.{|41}x x -<<2.在△ABC 中，已知8=a ，B=060，C=075，则b 等于 A.64 B.54 C.34 D.322 3.已知ABC ∆中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则sin B =A.122 4.在等差数列{}n a 中，已知521,a =则456a a a ++等于A ．15B ．33C ．51 D.635.已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为A ．15B ．17C ．19D ．216.若1,a >则11a a +-的最小值是A.2B.a 7.已知点(3，1)和(4，6)在直线3x -2y +a =0的两侧,则a 的取值范围是A.0a >B.7a <-C.0a >或7a <-D.70a -<<8.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于 A.1 B.56 C.16 D.1309.在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为A.223B.233C.23 D.33 10.已知x ＞0，y ＞0，且x +y ＝1，求41x y+的最小值是 A.4 B.6 C.7 D.911.若222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则目标函数2z x y =+的取值范围是A.[2，6]B.[2，5]C.[3，6]D.[3，5]12.设ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：(共4小题，每小题4分，共16分)13.设等比数列{}n a 的公比为12q =，前n 项和为n S ，则44S a =_____________. 14. 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2015-2016学年山东省德州市乐陵、庆云、宁津地区联考高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（）A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或22．该试题已被管理员删除3．已知直线l1：ax﹣y﹣2=0和直线l2：（a+2）x﹣y+1=0互相垂直，则实数a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．与x轴相切，半径为6，圆心的横坐标为﹣203的圆的方程是（）A．（x+203）2+（y﹣6）2=36B．（x+203）2+（y+6）2=36C．（x+203）2+（y﹣6）2=36或（x+203）2+（y+6）2=36D．以上都不对5．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．③④6．方程x2+y2+x+y﹣m=0表示一个圆，则m的取值范围是（）A．（﹣，+∞） B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣]D．[﹣，+∞）7．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：2：4 D．3：1：28．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+4y的最大值为（）A．10 B．12 C．13 D．149．如图，是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积是（）A．56πcm2B．77πcm2C．D．10．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（）A．m∥n且n与圆O相离B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离D．m⊥n且n与圆O相离二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11．点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|=．12．和直线3x+4y﹣7=0垂直，并且在x轴上的截距是﹣2的直线方程是．13．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为．14．两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是．15．一块正方形薄铁片的边长为4cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形（如图），用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于cm3．三、解答题：（本大题6个小题，共75分.解答须写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）16．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边上的中点．（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长；（3）求AB边的高所在直线方程．17．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，∠AEB=90°，F为CE上的点．（Ⅰ）求证：AD∥平面BCE；（Ⅱ）求证：AE⊥BF．18．已知三个点A（0，0），B（4，0），C（3，1），圆M为△ABC的外接圆．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设直线y=kx﹣1与圆M交于P，Q两点，且|PQ|=，求k的值．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC⊥AM；（Ⅱ）若M，N分别为CC1，AB的中点，求证：CN∥平面AB1M．20．已知直线l1：2x﹣y﹣5=0；直线l2：x+y﹣5=0．（Ⅰ）求点P（3，0）到直线l1的距离；（Ⅱ）直线m过点P（3，0），与直线l1、直线l2分别交与点M、N，且点P是线段MN的中点，求直线m的一般式方程；（Ⅲ）已知⊙Q是所有过（Ⅱ）中的点M、N的圆中周长最小的圆，求⊙Q的标准方程．21．已知四棱锥P﹣ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）求证：AC⊥平面PAB．2015-2016学年山东省德州市乐陵、庆云、宁津地区联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（）A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】分类讨论．【分析】当k﹣3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k﹣3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值．【解答】解：由两直线平行得，当k﹣3=0时，两直线的方程分别为y=﹣1 和y=，显然两直线平行．当k﹣3≠0时，由=≠，可得k=5．综上，k的值是3或5，故选C．【点评】本题考查由直线的一般方程求两直线平行时的性质，体现了分类讨论的数学思想．2．该试题已被管理员删除3．已知直线l1：ax﹣y﹣2=0和直线l2：（a+2）x﹣y+1=0互相垂直，则实数a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，由此可得实数a的值．【解答】解：已知直线l1：ax﹣y﹣2=0和直线l2：（a+2）x﹣y+1=0互相垂直，故有a（a+2）+（﹣1）（﹣1）=0，解得a=﹣1，故选A．【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，属于基础题．4．与x轴相切，半径为6，圆心的横坐标为﹣203的圆的方程是（）A．（x+203）2+（y﹣6）2=36B．（x+203）2+（y+6）2=36C．（x+203）2+（y﹣6）2=36或（x+203）2+（y+6）2=36D．以上都不对【考点】圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，根据所求的圆与x轴相切，得到圆心到x轴的距离等于圆的半径，即圆心的纵坐标的绝对值等于圆的半径，即可求出圆心纵坐标，得到圆心的坐标，然后根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由所求的圆与x轴相切，圆的半径为6，得到圆心的纵坐标为﹣6或6，则圆心坐标为（﹣203，6）或（﹣203，﹣6），所以圆的方程为：（x+203）2+（y﹣6）2=36或（x+203）2+（y+6）2=36．故选C【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的条件，会根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程，是一道中档题．学生容易出错的地方是没有注意圆心的纵坐标有两个解．5．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．③④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用线线关系以及线面平行、线面垂直的性质对四个命题分析解答．【解答】解：由平行线的传递性可以判断①正确；在空间，垂直于同一条直线的两条直线，可能平行、相交或者异面．故②错误；平行于同一个平面的两条直线的位置关系有：平行、相交、异面．故③错误；垂直于同一个平面的两条直线是平行的；故④正确；故选：C．【点评】本题考查了线线关系，线面关系的判断；关键是熟练运用相关的公里或者定理．6．方程x2+y2+x+y﹣m=0表示一个圆，则m的取值范围是（）A．（﹣，+∞） B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣]D．[﹣，+∞）【考点】二元二次方程表示圆的条件．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据二元二次方程构成圆的条件求出m的范围即可．【解答】解：∵方程x2+y2+x+y﹣m=0表示一个圆，∴1+1+4m＞0，解得：m＞﹣，则m的取值范围是（﹣，+∞），故选：A．【点评】此题考查了二元二次方程表示圆的条件，二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件为D2+E2﹣4F＞0．7．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：2：4 D．3：1：2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由已知中圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，我们设出球的半径，代入圆柱、圆锥、球的体积公式，计算出圆柱、圆锥、球的体积即可得到答案．【解答】解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，=则球的体积V球=2πR3圆柱的体积V圆柱=圆锥的体积V圆锥故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：：=3：1：2故选D【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．8．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+4y的最大值为（）A．10 B．12 C．13 D．14【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+4y过区域内某个顶点时，z最大值即可．【解答】解析：先画出约束条件的可行域，如图，得到当时目标函数z=2x+4y有最大值为，．故选C．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9．如图，是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积是（）A．56πcm2B．77πcm2C．D．【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．【专题】计算题．【分析】三视图复原的几何体是长方体的一个角，扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，求出对角线长，即可求出外接球的表面积．【解答】解：三视图复原的几何体是长方体的一个角，三度为：6、5、4；把它扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，所以长方体的对角线长为：所以球的半径为：．这个几何体的外接球的表面积是：4=77π（cm2）故选B【点评】本题是基础题，考查几何体的外接球的问题，空间想象能力，逻辑思维能力，和计算能力，注意本题中三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球．10．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（）A．m∥n且n与圆O相离B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离D．m⊥n且n与圆O相离【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】利用直线m是以P为中点的弦所在的直线可求得其斜率，进而根据直线n的方程可判断出两直线平行；表示出点到直线n的距离，根据点P在圆内判断出a，b和r的关系，进而判断出圆心到直线n的距离大于半径，判断出二者的关系是相离．【解答】解：直线m是以P为中点的弦所在的直线∴直线m⊥PO，∴m的斜率为﹣，∵直线n的斜率为﹣∴n∥m圆心到直线n的距离为∵P在圆内，∴a2+b2＜r2，∴＞r∴直线n与圆相离故选A【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．直线和圆的位置关系分相交，相离，相切三种状态，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11．点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|=2．【考点】空间两点间的距离公式．【专题】计算题．【分析】由题意求出P关于坐标平面xOz的对称点为P2的坐标，即可求出|P1P2|．【解答】解：∵点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，所以P1（﹣1，2，﹣3），P关于坐标平面xOz 的对称点为P2，所以P2（1，﹣2，3），∴|P1P2|==2．故答案为：2【点评】本题是基础题，考查空间点关于点、平面的对称点的求法，两点的距离的求法，考查计算能力．12．和直线3x+4y﹣7=0垂直，并且在x轴上的截距是﹣2的直线方程是4x﹣3y+8=0．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】根据两直线垂直斜率之积等于﹣1，求出所求直线的斜率，再由直线过点（﹣2，0），即可得出答案．【解答】解：∵直线3x+4y﹣7=0的斜率为﹣∴所求直线的斜率为，∵过点（﹣2，0），故所求直线方程为y=（x+2），即4x﹣3y+8=0．故答案为：4x﹣3y+8=0【点评】此题考查了两直线垂直的条件，熟记条件即可．13．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．【解答】解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为：1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．【点评】本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力．14．两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是．【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题．【分析】在一条直线上任取一点，求出这点到另一条直线的距离即为两平行线的距离．【解答】解：由直线x+3y﹣4=0取一点A，令y=0得到x=4，即A（4，0），则两平行直线的距离等于A到直线2x+6y﹣9=0的距离d===．故答案为：【点评】此题是一道基础题，要求学生理解两条平行线的距离的定义．会灵活运用点到直线的距离公式化简求值．15．一块正方形薄铁片的边长为4cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形（如图），用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于πcm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到=2πr，解得r=1，然后根据勾股定理计算圆锥的高．即可求解几何体的体积．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得=2πr，解得r=1，所以这个圆锥的高==（cm）．圆锥的体积为：=π．cm3．故答案为：π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．三、解答题：（本大题6个小题，共75分.解答须写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）16．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边上的中点．（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长；（3）求AB边的高所在直线方程．【考点】直线的一般式方程；直线的斜截式方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）由题意可得直线AB的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得；（2）由中点坐标公式可得BC的中点M（1，1），代入距离公式可得；（3）由（1）可知AB的斜率为6，故AB边上的高所在直线斜率为﹣，可得点斜式方程，化为一般式可得．【解答】解：（1）由题意可得直线AB的斜率k==6，故直线的方程为：y﹣5=6（x+1），化为一般式可得：6x﹣y+11=0（2）由中点坐标公式可得BC的中点M（1，1），故AM==（3）由（1）可知AB的斜率为6，故AB边上的高所在直线斜率为﹣，故方程为y﹣3=（x﹣4），化为一般式可得x+6y﹣22=0【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及两点间的距离公式，属基础题．17．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，∠AEB=90°，F为CE上的点．（Ⅰ）求证：AD∥平面BCE；（Ⅱ）求证：AE⊥BF．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）直接根据已知条件，将利用线线平行转化为线面平行．（Ⅱ）利用线面垂直转化成线线垂直，进一步利用线面垂直的判定得到线面垂直，最后证得线线垂直．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC又因为BC⊂平面BCEAD⊄平面BCE所以AD∥平面BCE（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面ABEAD∥BCBC⊥平面ABEAE⊥BC因为∠AEB=90°所以：AE⊥BE所以：AE⊥平面BCEBF⊂平面BCE所以：AE⊥BF【点评】本题考查的知识要点：线面平行的判定，线面垂直的判定，及线面垂直与线线垂直之间的转化．属于基础题型．18．已知三个点A（0，0），B（4，0），C（3，1），圆M为△ABC的外接圆．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设直线y=kx﹣1与圆M交于P，Q两点，且|PQ|=，求k的值．【考点】圆的一般方程．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）设出圆的一般式方程，代入三个点的坐标联立方程组求得D，E，F的值，则圆的方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆M的圆心为（2，﹣1），半径为，结合弦长求得圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．∵点A（0，0），B（4，0），C（3，1）在圆M上，则，解得：D=﹣4，E=2，F=0．∴△ABC外接圆的方程为x2+y2﹣4x+2y=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）圆M的圆心为（2，﹣1），半径为．又，∴圆M的圆心到直线y=kx﹣1的距离为．∴，解得：k2=15，k=．【点评】本题考查了圆的一般式方程，考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC⊥AM；（Ⅱ）若M，N分别为CC1，AB的中点，求证：CN∥平面AB1M．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）由三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，可得CC1⊥BC．由已知AC=BC=2，，利用勾股定理的逆定理知BC⊥AC．利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明结论；（II）过N作NP∥BB1交AB1于P，连接MP，则NP∥CC1，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理与性质定理即可得到CN∥MP，再利用线面平行的判定定理即可证明．【解答】证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥BC．因为AC=BC=2，，所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．又因为AC∩CC1=C，所以BC⊥平面ACC1A1．因为AM⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AM．（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连接MP，则NP∥CC1．因为M，N分别为CC1，AB中点，所以，．因为BB1=CC1，所以NP=CM．所以四边形MCNP是平行四边形．所以CN∥MP．因为CN⊄平面AB1M，MP⊂平面AB1M，所以CN∥平面AB1 M．【点评】本题综合考查了直三棱柱的性质、线面平行于垂直的判定和性质定理、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理等基础知识与方法，需要较强的推理能力和空间想象能力．20．已知直线l1：2x﹣y﹣5=0；直线l2：x+y﹣5=0．（Ⅰ）求点P（3，0）到直线l1的距离；（Ⅱ）直线m过点P（3，0），与直线l1、直线l2分别交与点M、N，且点P是线段MN的中点，求直线m的一般式方程；（Ⅲ）已知⊙Q是所有过（Ⅱ）中的点M、N的圆中周长最小的圆，求⊙Q的标准方程．【考点】直线和圆的方程的应用；圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）由点P（3，0）与直线l1的解析式，利用点到直线的距离公式求出点P到直线l1的距离即可；（Ⅱ）由题意设出直线m的方程，分别与已知两直线联立表示出两交点坐标，利用中点坐标公式表示出线段MN中点纵坐标，根据纵坐标为0求出k的值，即可确定出直线m的一般式方程；（Ⅲ）由（Ⅱ）中k的值确定出M与N坐标，在所有过M、N的圆中，以线段MN为直径的圆的周长最小，确定出此时圆Q的圆心与半径，即可求出圆Q的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）点P（3，0）到直线l1的距离d==；（Ⅱ）由题意，设直线m：y=kx﹣3k，由，解得：，即M（，），再由，解得：，即N（，），由中点坐标公式得：=0，解得：k=0或k=1，经检验，当直线m的斜率不存在或k=0时皆不满足题意，舍去，故k=1，则所求直线方程为y=x﹣3；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：把k=1分别代入M、N中，得M（2，﹣1），N（4，1），在所有过M、N的圆中，以线段MN为直径的圆的周长最小，即圆Q的半径r=|MN|==，圆心Q与点P（3，0）重合，则圆Q的标准方程为（x﹣3）2+y2=2．【点评】此题考查了直线与圆方程的应用，以及圆的标准方程，涉及的知识有：直线与直线的交点，点到直线的距离公式，线段中点坐标公式，根据题意得出“在所有过M、N的圆中，以线段MN为直径的圆的周长”最小是解本题第三问的关键．21．已知四棱锥P﹣ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）求证：AC⊥平面PAB．【考点】直线与平面垂直的判定；由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；空间位置关系与距离．【分析】（1）过A作AE∥CD，可得E是BC的中点，且BE=CE=AE=CD=1．正三角形PBC中，算出中线PE=，由PA⊥平面ABCD，在Rt△PAE中，算出PA=即为正视图三角形的高长，由此结合BC=2即可求出正视图的面积；（2）由（1）的证明，结合题意可得四棱锥P﹣ABCD是以PA为高、底面ABCD是直角梯形的四棱锥，结合题中的数据即可算出四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）分别在Rt△ABE、Rt△ADC中，算出AB=AC=，结合BC=2利用勾股定理的逆定理证出AC⊥AB，再由PA⊥平面ABCD得PA⊥AC，根据线面垂直的判定定理即可证出AC⊥平面PAB．【解答】解：（1）过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，（1 分）且BE=CE=1，AE=CD=1（2 分）又∵△PBC为正三角形，∴BC=PB=PC=2，且PE⊥BC∴PE2=PC2﹣CE2=3（3 分）∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE（4 分）可得PA2=PE2﹣AE2=2，即（5 分）因此，正视图的面积为（6 分）（2）由（1）可知，四棱锥P﹣ABCD的高为PA，，（7 分）底面积为∴四棱锥P﹣ABCD的体积为（10 分）（3）∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC（11 分）∵在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=2，在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=2（12 分）∴BC2=4=AB2+AC2，可得△BAC是直角三角形（13 分）∴AC⊥AB．由此结合AB∩PA=A，可得AC⊥平面PAB（14 分）【点评】本题给出四棱锥的三视图的形状，求证线面垂直并求四棱锥的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、锥体体积公式和三视图的认识与理解等知识，属于中档题．。

【典型题】高中必修五数学上期中试卷附答案一、选择题1．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--3．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1825．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．6．在ABC 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）ABCD7．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或78．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10B ．12?C ．14D ．169．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．1310．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．2111．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6612．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．81二、填空题13．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 14．设0,0,25x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为______.15．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）16．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .17．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________．18．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为_____．19．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos23C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．20．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．三、解答题21．在ABC 中，3B π∠=，7b =，________________，求BC 边上的高．从①21sin 7A =， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．22．在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知()sin sin sin B C m A m +=∈R ,且240a bc -=．(1)当52,4a m ==时,求,b c 的值; (2)若角为锐角,求m 的取值范围．23．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 24．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，234848a a a =+=，．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设4log .n n b a =证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S ．25．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围． 26．已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{12n n b a +}为等差数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．2．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率 1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤.故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.3．D解析：D 【解析】 【分析】 把已知2214S S S 用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S ，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．4．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．5．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.6．C解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得229223cos5,54b b π=+-⋅⋅⋅==.由正弦定理得35sin sin 4BAC π=∠，解得310sin 10BAC ∠=. 考点：解三角形.7．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.8．D解析：D 【解析】 【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1， ∴()11119999110216y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.9．D解析：D 【解析】 【详解】试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，∴1134101313()13()1322a a a a S ++===，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.10．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=（，，即14)P （，，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．11．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．二、填空题13．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题 解析：238【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的174417a a ab b b +=+，再由等差数列的求和公式，转化为77S T ，从而得到答案. 【详解】因为数列{}n a 、{}n b 均为等差数列所以7474141422a a b b a a b b ==++ ()()1771777272a a S b b T +==+37223718⨯+==+ 【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.14．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立解析：【解析】 【分析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值． 【详解】(1)(2x xy +=0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立， 故所求的最小值为 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．15．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题 解析：128【解析】 【分析】由1113()n nn N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩通项公式，则10a 可求【详解】1113()n nn N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228n n n a a =+-=-∴= 故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题16．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式 解析：21n -【解析】 【分析】 【详解】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==， 即3418a q a ==，所以2q ，因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---，故答案为21n -. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.17．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等； 解析：()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；18．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b 将转为（a ﹣b ）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b ＞0的解集为{x|x解析：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞） 【解析】 【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b 将227a b a c +++转为（a ﹣b ）+9a b -，利用基本不等式求得它的范围． 【详解】因为一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a ＞0，二次函数的对称轴为x=1a-=c ，△=4﹣4ab=0， ∴ac=﹣1，ab=1，∴c=1a-，b=1a ，即c=-b,则227a b a c +++=()29a b a b-+-=（a ﹣b ）+9a b -，当a ﹣b ＞0时，由基本不等式求得（a ﹣b ）+9a b-≥6， 当a ﹣b ＜0时，由基本不等式求得﹣（a ﹣b ）﹣9a b -≥6，即（a ﹣b ）+9a b-≤﹣6, 故227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），故答案为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.19．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的【解析】试题分析：cos2C =，21cos 2cos 129C C =-=，sin C =cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为952sin 10c R C ==，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有95110x x ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得52x =，故最大面积为1552222S =⋅⋅=.考点：解三角形．【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像，很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.20．【解析】【分析】△ACD 中求出AC △ABD 中求出BC △ABC 中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知△ACD 中∠ACD ＝15°∠ADC ＝150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD 中∠BDC ＝15 解析：805【解析】 【分析】△ACD 中求出AC ，△ABD 中求出BC ，△ABC 中利用余弦定理可得结果. 【详解】解：由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°， ∴∠DAC=15°由正弦定理得80sin1504062sin1562AC ===-，△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， ∴∠DBC=30°， 由正弦定理，CD BCsin CBD sin BDC=∠∠，所以BC 80sin15160154012CD sin BDC sin sin CBD⋅∠⨯︒===︒=∠；△ABC 中，由余弦定理，AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB＝((08116008160216002-+++⨯⨯⨯16001616004160020=⨯+⨯=⨯解得：AB =则两目标A ，B间的距离为．故答案为． 【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．三、解答题21．选择①，h =；选择②，h =；选择③，h =【解析】 【分析】 （1）选择①sin 7A =，可由sin sin a b A B =解得2a =，再由2222cos b a c ac B =+-解得3c =，最后由sin h c B =可得解；（2）选择②sin 3sin A C =，由sin sin()3sin A B C C =+=得5sin C C =，结合22sin cos 1C C +=得sin 14C =，最后由sin h b C =可得解. （3）选择③2a c -=，由2222cos b a c ac B =+-可得：227a c ac +-=，结合2a c -=解得1c =，最后由sin h c B =可得解. 【详解】（1）选择①sin 7A =，解答如下： 在ABC ，由正弦定理得：sin sin a b A B=，=2a =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，2212222c c =+-⨯⨯，解得1c =-（舍去）或3c =，则BC边上的高sin h c B = （2）选择②sin 3sin A C =，解答如下：在ABC 中，[]sin sin ()sin()A B C B C π=-+=+， 由sin 3sin A C =可得：sin()3sin 3C C π+=，整理得5sin C C =┄①， 又22sin cos 1C C +=┄②，由①②得sin 14C =， 则BC边上的高sin h b C ===. （3）选择③2a c -=，解答如下：在ABC 中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，3B π∠=，b =227a c ac ∴+-=┄①，又2a c -=┄②， 由①②解得1c =， 则BC边上的高sin h c B =. 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，考查了计算能力，属于中档题.22．(1)2 12b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩; (2) 2m <<． 【解析】试题分析: 本题考查正弦定理和余弦定理;(1)先利用正弦定理将角角关系转化为边边关系,再通过解方程组求解;(2)利用余弦定理进行求解. 试题解析：由题意得2,40b c ma a bc +=-=． (1)当52,4a m ==时,5,12b c bc +==, 解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩;(2)()222222cos 22b c bc a b c a A bc bc+--+-===()222222232a ma a m a --=-, ∵为锐角,∴()2cos 230,1A m =-∈,∴2322m <<,又由b c ma +=可得0m >,∴622m <<． 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 23．（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n T .试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d=+=+，可解得14,3b d ==， 所以31n b n =+．（2）由（1）知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221n n n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -. 24．（Ⅰ） 12n n a += （Ⅱ）见解析，234n n+【解析】 【分析】（1）利用2342248a a a q a q +=+=及28a =求得q ，从而得到通项公式．（2）利用定义证明{}n b 等差数列，并利用公式求和． 【详解】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意0q >．由2348,48a a a =+=得28848q q +=，解得2q ．故21822n n n a -+=⨯= ． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得1441log log 22n n n n b a ++===． 故112n n b b --=，所以{}n b 是首项为1，公差为12的等差数列， 所以()21131224n n n n nS n -+=⨯+⨯=． 【点睛】一般地，判断一个数列是等差数列，可从两个角度去考虑：（1）证明1n n a a d --=；（2）证明：112n n n a a a -+=+. 25．（1）72（2）3a >- 【解析】 【分析】（1）由题得()122f x x x=++，再利用对勾函数的性质得到函数()f x 的最小值；（2）等价于22y x x a =++＞0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解. 【详解】 （1）当12a =时，()122f x x x =++， ∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()712f =.（2）在区间[)1,+∞上，()220x x af x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立．设22y x x a =++，[)1,x ∈+∞，因为()222+a=11y x x x a =+++-在[)1,+∞上递增， ∴当1x =时，min 3y a =+，于是，当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立， 故3a >-. 【点睛】本题主要考查对勾函数的性质，考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 26．（1）1232;2,122n n n n a b n n --==-⋯（＝，，）；（2）213312442n n T n n -=+-+. 【解析】 【分析】(1)根据等比数列的性质得到7a ＝64，2a ＝2，进而求出公比，得到数列{a n }的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可. 【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为q ．由等比数列的性质得a 4a 5＝27a a ＝128，又2a ＝2，所以7a ＝64．所以公比2q ===． 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2q n －2＝2×2n －2＝2n －1． 设等差数列{12n n b a +}的公差为d ． 由题意得，公差221111113221122222d b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以等差数列{12n n b a +}的通项公式为()()11113331122222n n b a b a n d n n ⎛⎫+=++-=+-⋅= ⎪⎝⎭．所以数列{b n }的通项公式为12313132222222n n n n b n a n n --=-=-⋅=-（n ＝1，2，…）． （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ．由（1）知，2322n n b n -=-（n ＝1，2，…）． 记数列{32n }的前n 项和为A ，数列{2n －2}的前n 项和为B ，则()33322124n n A n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+，()1112122122nn B --==--． 所以数列{b n }的前n 项和为()1213133112242442n n n T A B n n n n --=-=+-+=+-+． 【点睛】这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.。

人教版高中数学测试卷（考试题）期中测试卷01（本卷满分150分，考试时间120分钟） 测试范围：人教A 版 必修5全册+选修1-1第一章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知命题p ：R x ∈∃，使1sin =xx成立，则p ⌝为( )。

A 、R x ∈∃，使1sin ≠x x 成立 B 、R x ∈∃，使1sin ≤xx成立 C 、R x ∈∀，使1sin ≠x x 成立 D 、R x ∈∀，使1sin =xx 成立 【答案】C【解析】p ⌝为前不否后否，但前有量词必须改量词，故选C 。

2．在等比数列}{n a 中，若4a 、8a 是方程0342=+-x x 的两根，则6a 的值是( )。

A 、3-B 、3C 、3±D 、3± 【答案】B【解析】解方程0342=+-x x 可得1=x 或3=x ，故14=a 、38=a 或34=a 、18=a ，故38426=⋅=a a a ，故36±=a ，又4a 、6a 、8a 同号，04>a ，故36=a ，故选B 。

3．锐角ABC ∆中C A B sin sin sin 2⋅=，则B cos 的取值范围是( )。

A 、)10(，B 、)121(， C 、]2221[， D 、)121[，【答案】D【解析】若C A B sin sin sin 2⋅=，则ac b =2，由余弦定理可得21222cos 222=-≥-+=ac ac ac ac b c a B ，则21cos ≥B ，又)20(π∈，B ，则1cos 21<≤B ，故选D 。

4．设全集}|){(R y R x y x U ∈∈=，，，集合}02|){(>+-=m y x y x A ，，集合}0|){(≤-+=n y x y x B ，，那么点)()32(B C A P U ∈，的充要条件是( )。

2009-2010第一学期高二数学期中考试(必修五试卷(理)一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，满分55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．数列1,3,7,15,…的通项公式n a 等于（ ）A ．n 2B ．)12+nC ．12-nD ．12-n2、在直角坐标系内，满足不等式022≥-y x 的点),(y x 的集合(用阴影表示)正确的是（ ）3.若不等式022>++bx ax 的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x 则a －b 值是（ ）A ．－10 B.－14 C.10 D.144．已知数列{}n a 的前n 项和5(n n S t t =+是实数），下列结论正确的是 （ ）A ．t 为任意实数，{}n a 均是等比数列B ．当且仅当1t =-时，{}n a 是等比数列C ．当且仅当0t =时，{}n a 是等比数列D ．当且仅当5t =-时，{}n a 是等比数列5．在21和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为 （ ）A ．8B ．±8C ．16D ．±16 6．下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①22bc ac b a >⇒> ②22bc ac b a ≥⇒≥③bc ac c b c a >⇒> ④bc ac c b c a ≥⇒≥⑤0>⇒>>c bc ac b a 且 ⑥0≥⇒≥≥c bc ac b a 且 A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．设等比数列{a n }的前n 项为S n ，若,62,622006200720052006+=+=S a S a 则数列{ a n }的公比为q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于（ ）A ． 30B ． 60C ． 30或 150D ． 60或 1209．在ABC ∆中，ac b B =︒=2,60，则ABC ∆一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形 10．正数a 、b 的等差中项是21，且βαβα++=+=则,1,1bb a a 的最小值是 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为P ，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年5月10日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ）A ．7)1(p a +B ．8)1(p a + C ．)]1()1[(7p p pa +-+ D ．)]1()1[(8p p p a +-+ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 12．已知等差数列｛a n ｝的公差d ≠0, 且a 1, a 3, a 9成等比数列, 则1042931a a a a a a ++++的值是13． 若x 、y 为实数, 且x+2y=4, 则39x y +的最小值为14．设m 为实数，若my x y x y mx x y x y x 则},25|),{(003052|),(22≤+⊆⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≥+-的取值范围是 .15．如图所示，我舰在敌岛A 南偏西50°相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛A 沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，我舰要用2小时在C 处追上敌舰，则需要的速度是 . 16．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设,i ja （i 、j∈N*）是位 于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如4,2a ＝8．则63,54a 为三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）高二数学试题参考答案一、填空题：1.{|0,1}x x x <>或2.723.34.（选修历史）12 （选修物理）[1,)+∞5.06.[0,1)7.（选修历史）{|53}y y y ≥≤-或 （选修物理）存在菱形，它的四条边不全相等8.7- 9.21n n a n =+ 10.(,1]-∞ 11.3 12.4π 13.[2,)+∞ 14.3(,)3-∞- 二、解答题：15.解：设点(,0)A a ，(0,)B b (,0)a b >，则直线l 的方程为1x y a b +=.……2分 由题意，点（1，2）在此直线上，所以121a b+=. …………4分 由基本不等式得12()()OA OB a b a b a b+=+=++ …………6分 22123232 2.b a b a a b a b =+++≥+⨯=+ …………8分 当且仅当2b a a b =时取“=”. …………9分 又121a b+=，解得21a =+，22b =+. …………12分 因此，当OA OB +最小时，直线l 的方程为12122xy+=++，即2220.x y +--= …………14分解法二：直线l 过点（1，2）且斜率存在，故可设其方程为2(1)y k x -=-.……2分令0y =得21x k=-；令0x =得2y k =-， 故得点,A B 坐标分别为2(1,0)A k -，(0,2)B k -. …………5分因,A B 分别在,x y 轴正半轴上，故210,20,k k ⎧->⎪⎨⎪->⎩解得0.k < …………7分 221232()()32 2.OA OB k k k k +=-+-≥+-⨯-=+ …………10分 当且仅当2k k-=-时取“=”. …………11分 注意到0k <解得2k =-，直线l 的方程为2220.x y +--= …………14分 16.解：当0a =时，210x ->，原不等式的解集为1(,)2+∞； …………2分 当0a ≠时，一元二次方程2+210ax x -=的判别式44a ∆=+，当1a ≤-时，0∆≤，原不等式的解集为∅； ……………4分 当0a >时，111a x a -++=，211a x a--+=， ……………6分 原不等式的解集为{|x 11a x a -++>或11a x a --+<}； ……………10分 当10a -<<时，12x x <，原不等式的解集为[11a a -++，11a a--+]. ……………14分 17.解：（1）由正弦定理得1sin sin sin 3a c A Cπ==， ……………2分 于是2sin 3a A =，2sin 3c C =. ……………4分 所以22[sin sin()]33a c A A π+=+-2sin()6A π=+. ……………8分 203A π<<，所以当3A π=时，a c +取最大值2. ……………10分 （2）由余弦定理得2212cos 3a c ac π=+-2ac ac ac ≥-=，……………12分ABC ∆面积1133sin 2224S ac B =≤=，当1a c ==时等号成立. 所以ABC ∆面积的最大值为3.4 ……………14分18.解：（1）由121n n a S +=+可得121n n a S -=+(2)n ≥，两式相减得12n n n a a a +-=，13n n a a +=(2)n ≥. ……………3分 又2121a S =+，令213a a =，得11a =. ……………5分∴数列{}n a 的通项公式为13n n a -=. ……………6分(或：2121a a =+,31212()163a a a a =++=+(2分),2211(63)a a a =+得11a =或112a =-(4分) 当11a =时，23a =，13n n a -=；当112a =-时，20a =，不合题意，舍去(4分)) 设{}nb 的公差为d ，由42b a =，2390b a +=得1133,9()90,b d b d +=⎧⎨++=⎩解之得13,2.b d =-⎧⎨=⎩ ……………9分 ∴2(1)3242n n n T n n n -=-+⨯=-. ……………11分 （2）k k T a +=212143(2)34k k k k k ---+=-+-. ……………12分令21()(2)34k f k k -=-+-，则(1)2f =-，(2)1f =-，(3)6f =，(4)27f =， ……………14分 且当2k ≥时，21()(2)34k f k k -=-+-单调递增，所以，不存在k ∈N *，使得(10,20)k k T a +∈． ……………16分19.解：（1）1000 1.05201030⨯-=，2013年底该市的住房面积为1030万m 2； ……………2分 1030 1.05201061.5⨯-=，2014年底该市的住房面积为1061.5万m 2. ……………4分（2）设2012年到2032年该市的住房面积数组成数列{}n a (121)n ≤≤.则11000a =，1 1.0520n n a a +=-. ……………6分 令 1.05b =，则120n n a b a +=-， 所以11120n n n n n a a b b b +++=-，…，2121220a a b b b =-， ……………9分 于是1111231202020(...)n n n a a b b b b b +++=-+++，1211120(1)20(...1)1n n n n nn b a a b b b a b b --+-=-+++=--， ……………12分 20202120(1 1.05)1000 1.051 1.05a -=⨯-- 400600 2.6531991.8≈+⨯=(万m 2). ……………15分答：2032年底该市的住房面积约为1991.8万m 2. ……………16分20.解：（1）2()1f x x mx m =-+-22()124m m x m =-+--， 在区间(,]2m -∞上是减函数，在区间[,)2m +∞上是增函数． ①22m ≤，即4m ≤，()f x 在[]2,4上为增函数， ()f x 的最小值为3m -，则31m -≥-，4m ≤； ……………2分 ②242m <<，即48m <<，()f x 在[]2,4上的最小值为2(1)4m m --， 则2(1)14m m --≥-，04m ≤≤，∴此时无解； ……………4分 ③42m ≥，即8m ≥，()f x 在[]2,4上为减函数， ()f x 的最小值为315m -+，则3151m -+≥-，163m ≤，∴此时无解． 综上，实数m 的取值范围是(,4]-∞． ……………6分(或()1f x ≥-得20x mx m -+≥(2分)，因24x ≤≤，故可得21x m x ≤-(4分)， 由基本不等式得21x x =-1(1)21x x -+≥-，当且仅当2x =时取等号，故4m ≤(6分)) （2）假设存在适合题意的整数,a b ，则必有min ()a f x ≤，这时()a f x b ≤≤的解集为[](),,.f b b a b a b m =⎧⇔⎨+=⎩ ……………8分 由()f b b =得21b mb m b -+-=，即21(1)b b m b --=-，因1b =时此式不成立，故21111b b m b b b --==---． ……………10分∵,a b Z ∈，∴m a b Z =+∈，故11Z b ∈-，只可能11b -=±．……12分 当11b -=-时，0,1,1b m a ===，不符合a b <； ……………14分 当11b -=时，min 2,1,1()b m a f x ===-<，符合题意．综上知，存在1,2a b =-=适合题意． ……………16分。